Как найти расстояние в правильной четырехугольной призме

Я готова помочь, если еще нужно

Прямые AD и D₁B — скрещивающиеся. Построим через D₁B плоскость, параллельную AD. Расстояние от стороны основания AD   до D₁B — расстояние от AD до плоскости, параллельной AD.
Т.к. AD || A₁D₁, то AD || пл. A₁D₁CB. В пл. AA₁B₁B построим отрезок 
т.к. принадлежит плоскости передней грани, перпендикулярной AD, а AD || ВС, значит, Получили, что следовательно, A₁D₁CB.
АТ- искомое расстояние.
По т. Пифагора из ΔАА₁В имеем:


Из прямоугольного ΔАА₁В имеем: 
Пусть АТ=х, тогда из прямоугольного ΔА₁АТ:

16х2   =  -9х2   + 9∙64,
25х2  = 9∙64(х>0),
5х=3  8, = 4,8 (см), АТ= 4,8 (см).
Ответ: 4,8 см.

В данной подборке из открытого банка ФИПИ
рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх
угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной
призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра
перпендикулярны основаниям).  

Некоторые факты
стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на данную плоскость.

Свойство параллельных плоскостей. Если две
параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Признак
перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти
плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости,
то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача
1.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны
основания

равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина
ребра AA​₁. Найдите
расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

Решение. Рассмотрим подробно процесс построения
сечения данной призмы плоскостью BED​₁. На плоскости
АВВ₁ точки В и Е
принадлежат и плоскости BED​₁. Значит
плоскости АВВ₁ и BED​₁ пересекаются по
прямой ВЕ. На плоскости ADD₁ также есть две
общие точки с плоскостью BED​₁, это Е и D​₁. Значит,
плоскости ADD₁ и BED​₁ пересекутся по
прямой ED​₁.

Так как
плоскости ADD₁ и ВСС₁
параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED​₁ параллельны. Проводим
через точку В в плоскости ВСС₁
прямую ВР параллельно ED​₁. Осталось
соединить точки Р и D​₁ в плоскости DСС₁.

Заметим, что в
сечении у нас получился ромб РBED​₁, так как прямоугольные
треугольники EА₁D​₁, РС₁D​₁, РВС, АВЕ равны. Равны и их гипотенузы. ED​₁= D​₁Р = ВР =ВЕ.

Для того, чтобы
найти расстояние
от вершины A до плоскости BED​₁, надо провести
перпендикуляр из вершины A на плоскость BED​₁. Для этого
продолжим прямую ED​₁ до пересечения
с прямой AD в
точке К. (Обе прямые лежат в плоскости ADD₁).  Так как точки В и К принадлежат плоскости
АВС и плоскости BED​₁, то эти
плоскости пересекаются по прямой ВК.

Теперь в
треугольнике АВК из вершины А проведём перпендикуляр АМ к стороне ВК. Соединив точки
М и Е, получим треугольник АМЕ. В нём проведём высоту АН. Докажем, что АН и
есть расстояние от точки А до плоскости BED​₁.

Так как ребро АА₁ перпендикулярно
плоскости основания АВС, то плоскость АМЕ перпендикулярна плоскости АВС по
признаку перпендикулярности плоскостей.

Прямая АА₁ перпендикулярна
прямой ВК (АА₁ перпендикулярна
плоскости АВС, а значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой
плоскости). По построению АМ перпендикулярна ВК. Мы получили, что прямая ВК
перпендикулярна двум пересекающимся прямым АА₁ и АМ в плоскости
АМЕ. Значит, ВК перпендикулярна плоскости АМЕ (по признаку перпендикулярности прямой
и плоскости).

Из этого
следует, что ВК перпендикулярна АН. По построению АН перпендикулярна МЕ. АН
перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВК и МЕ в плоскости ВКЕ. Значит, АН
перпендикулярна плоскости ВКЕ (по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости). Что и требовалось доказать.

Теперь надо
найти, чему равна длина отрезка АН.

Задачи для
самостоятельного решения.

1.     
В
правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны
основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина
ребра AA​₁. Найдите
расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

2.     
В
правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны
основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Точка E — середина
ребра AA​₁. Найдите
расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

3.     
В
правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны
основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка E — середина
ребра AA​₁. Найдите
расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

4.     
В
правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны
основания равны 3, а боковые рёбра равны 1. Точка E — середина
ребра AA​₁. Найдите расстояние
от вершины A до плоскости BED​₁.

5.     
В
правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны
основания равны 3, а боковые рёбра равны 2. Точка E — середина
ребра AA​₁. Найдите
расстояние от вершины A до
плоскости BED_​1.

Правильная четырехугольная призма

Определение.

Правильная четырехугольная призма — это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро — это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость — плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение — границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) — это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

Свойства правильной четырехугольной призмы

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия —  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .   

15306.1214
 

 Прямая призма |

Описание курса

| Куб 

Поскольку площадь основания равна 16 см2, то сторона призмы = 4 см.

B1D — диагональ призмы, тогда BD — диагональ основы и проекция  B1D на основу.

BD= как диагональ основы, которая является квадратом.

Отсюда за теоремой Пифагора с треугоьника  BB1D:

 B1D= см.

Расстоянием от AA1 до B1D является перпендикуляр.

Проекция этого перпендикуляра — половина  BD

Если соеденить концы этих отрезков, то получится прямоугольник. Отсюда следует, что:

MN=BD/2=, MN — расстояние между прямыми AA1 и B1D

Решение Задачи 13 на стереометрию ЕГЭ по стереометрии из базы №456

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание:

Рейтинг сложности задачи: