Как найти расстояние в задаче с дробями - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Цели:

Продолжить формирование умений решать задачи на движение в соединении с темой «Дроби».
Производить соответствующие записи и вычисления.
Развивать логическое мышление и внимание.
Развивать умение анализировать и обобщать.
Учить изменять условия задачи.

Ход урока

1. Орг. момент

— Что изучаем? (Дробные числа).

— Какого типа задачи учимся решать? (На движение).

— Какие 3 величины там обязательно должны быть (S, V, t).

— Сегодня мы попробуем соединить эти две темы.

— Как и где это возможно сделать? (В задачах на движение).

— Это мы попробуем сделать позже, а сначала немного повторим.

2. Устный счет.

Учитель пишет на доске.

— Найти: 1/2 от 48, 1/2 от 96, 1/2 от 78.

— Какая разница. Находим доли от числа и числа по доле.

— Объясните, как вы находили. На сколько частей делим?

— Как можно по-другому назвать 1/2.

— Найти 1/4 от 60 мин, 1/7 от 84.

— А если взять ⅔, то сколько частей надо взять.

— Сколько раз надо взять по 1/10 круга, чтобы получить целый круг?

— Сколько раз содержится в 1 круге по 1/2 .

— А по 1/4 , а по 1/10, а по 1/8.

От города до деревни 20км. Асфальтом покрыто 4/5.

Выбери схему, которая соответствует данному решению.

3. Подготовка к решению задач.

— Найдите её и докажите, что это так (у нас дробь 4/5, этот отрезок разделён на 5 частей и мы взяли 4 части).

— Почему не подходят все остальные схемы и какие дроби на них получились? (Подписываем над отрезками).

— Какое же количество асфальта покрыто в 3 задаче? Как узнать?

20:5 • 4 = 16 км

Сколько же действий нам потребовалось, чтобы найти 4/5 (2).

— Какие? (Деление и умножение).

— Почему? (Делили на части, а потом брали их).

4. Решение задач.

Итак, мы с вами решили, что дробные числа можно применять в задачах на движение. Давайте подумаем и приведем примеры, как это возможно.

Задача. На путь из одного города в другой почтовый голубь затратил 8 часов. Из них ⅟4 он отдыхал, а остальное время летел со скоростью 10км/ч. На каком расстоянии находятся друг от друга города?

— На какую тему эта задача? (На движение).

— Какие три величины всегда есть в таких задачах? (v, t, s).

— Чертим таблицу. Читаем задачу по частям и постепенно заполняем таблицу.

Всего 8 ч.

Отдых ? 1/4 часть

Остальное — ? ч.

10км/ч

?км

Читаем 1 предложение.

— Что такое 8 часов? (Время).

— Читаем 2 предложение (в какую графу пишем?)

— Какое время он летел? (Остальное).

— (1 ученик по таблице рассказывает еще раз условие).

— Нам нужно узнать расстояние. Какие два данных нужны, чтобы ответить на вопрос (t и v).

— Какую знаем уже? (Cкорость).

— Какова же она? (10 км/ч)

— Какое данное неизвестно? (Время).

— Смотрим на 1 графу и выделяем 1 простую задачу.

1. 8 : 4 × 1 = 2ч он отдыхал.

Рассуждаем дальше:

Сколько времени он потратил непосредственно при перелёте из одного города в другой?

Формулируем вторую простую задачу.

2. 8 — 2 = 6ч он летел (время в пути).

Рассуждаем дальше.

Формулируем 3 простую задачу. (Записываем формулу) S = v × t

3. 10 = 60км расстояние между городами.

Записываем ответ.

— Как изменить условие задачи так, чтобы решение стало короче? Что для этого нужно изменить в таблице (время).

— Как? (Просто записать количество часов).

Записываем.

Сформулируем задачу.

Как узнаем (это последнее действие предыдущей задачи).

— Решаем, пишем формулу.

— Как изменить условие задачи, чтобы решение стало длиннее?

— Что нужно сделать? (оставить условие, усложнив его).

— В какую графу можно добавить новые данные (если дети затрудняются).

— А голубь всегда с одной и той же скоростью летает?

Всего – 8 ч.

Отдых 1/4 часть

4 ч

Остальные

10км/ч

15км/ч

?км

На путь из одного города в другой почтовый голубь затратил 8 часов. Из них ⅟4 часть он отдыхал. 4 часа летел со скоростью 10км/ч, а остальное время со скоростью 15км/ч. На каком расстоянии находятся друг от друга города?

8 : 4 × 1 = 2ч отдыхал
8 — 2 = 6ч он летел
6 — 4 = 2ч остальное
10 × 4 = 40км за 4 часа
15 × 2 = 30км за 2 часа
40 + 30 = 70км – весь путь
Логическая задача.

Выходные дни составляют недели. Сколько выходных дней в году?

365 : 7 = 52 (ост . 1) недели в году.
7 : 7 × 2 = 2 выходных дня в неделе.
2 × 52 = 104 выходных дня в году.

Сколько же от года отдыхаем в дробях (примерно ).

6. Итог.

Над чем на уроке работали? Что нового узнали? Какие темы соединяли?

Источник

Задачи на движение — один из самых распространенных видов задач алгебры. Простейшие задачи на движение изучаются еще в начальной школе. В 6-7 классах решение задач на движение сводится к линейному уравнению либо системе линейных уравнений. Здесь мы рассмотрим задачи на движение, которые можно решить с помощью дробного рационального уравнения. При решении задач на движение используем формулу пути:

где s — путь, v — скорость, t — время. Как правило, в задачах на движение в 8 классе нужно выразить время через путь и скорость:

$[t = frac{s}{v}]$

Чаще всего путь измеряется в километрах, скорость — в километрах в час, время — в часах. Время, заданное в минутах, нужно перевести в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то 1 минута — это одна шестидесятая часа, а t минут — t шестидесятых часа:

1 (мин)=1/60(часа). t (мин)=t/60 (часа).

1) Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссе протяженностью 210 километров, а возвращался назад по грунтовой дороге протяженность. 160 километров, затратив на обратный путь на 1 час больше, чем на путь из А в В. Найти, с какой скоростью автомобиль двигался по грунтовой дороге, если она на 30 километров в час меньше его скорости по шоссе.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость автомобиля по грунтовой дороге, тогда его скорость по шоссе равна (х+30) км/ч.

Составим и решим уравнение:

$[frac{{160}}{x} - frac{{210}}{{x + 30}} = 1]$

$[frac{{{{160}^{backslash (x + 30)}}}}{x} - frac{{{{210}^{backslash x}}}}{{x + 30}} - {1^{backslash x(x + 30)}} = 0]$

$[frac{{160x - 4800 - 210x - {x^2} - 30x}}{{x(x + 30)}} = 0]$

$[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} - {x^2} - 80x + 4800 = 0\x(x + 30) ne 0end{array} right.]$

$[{x^2} + 80x - 4800 = 0]$

$[{x_1} = 40,{x_2} = - 120]$

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, автомобиль по грунтовой дороге двигался со скоростью 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

2) Первые 20 км пути велосипедист двигался со скоростью, на 5 км/ч большей скорости, с которой он ехал последние 20 км. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если на весь путь он затратил 3 часа 20 минут?

Решение:

Пусть II половину пути велосипедист двигался со скоростью х км/ч, тогда его скорость на I половине пути была (х+5)км/ч.

3 часа 20 минут = 3 20/60 =3 1/3 = 10/3 часа.

Составим и решим уравнение:

$[frac{{20}}{{x + 5}} + frac{{20}}{x} = frac{{10}}{3}]$

Упростим уравнение, разделив почленно обе его части на 10:

$[frac{2}{{x + 5}} + frac{2}{x} = frac{1}{3}]$

$[frac{{{2^{backslash 3x}}}}{{x + 5}} + frac{{{2^{backslash 3(x + 5)}}}}{x} - {frac{1}{3}^{backslash x(x + 5)}} = 0]$

$[frac{{6x + 6x + 30 - {x^2} - 5x}}{{3x(x + 5)}} = 0]$

$[ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} - {x^2} + 7x + 30 = 0\3x(x + 5) ne 0end{array} right.]$

$[{x^2} - 7x - 30 = 0]$

$[{x_1} = 10,{x_2} = - 3]$

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, II половину пути велосипедист проехал со скоростью 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Источник

Действие с обыкновенными дробями в задачах на движение

Класс: 6 В

Педагог: Карпеева ЛГ

Цель урока

1. Проверить умение выполнять действия с именованными числами, соотношений единиц измерения величин

2. Закрепить вычислительные навыки с обыкновенными дробями и применить при решении задач

3. Закрепить умение самостоятельно анализировать и решать задачи на движение, составлять задачи по схемам.

4. Развивать внимание, логическое мышление, воспитывать дружеское, уважительное отношение к мнениям

своих одноклассников.

Команды

1 команда: «Торопись – да не ошибись» .

2 команда: В математику тропинки одолеем без запинки .

3 команда: Кому ум служит, тот ни о чем не тужит .

4 команда: Кто думает, тот всегда додумается .

«Без знаний дробей никто не может признаться

знающим арифметику»

Цицерон

Разминка.

1. Назовите единицы измерения времени в порядке возрастания.

2.Назовите единицы измерения расстояния в порядке убывания.

Задания для каждой команды.

Какое именованное число лишнее в каждом столбике?

6 м/сек

280 км/ч

8 дм

18 м/мин

90 см

18 мин

30 сек

18 мин

65 км

65 м/ч

65 час

108 мм

5 суток

680 га

15 м/мин

С какой скоростью школьник Ваня может идти в школу?

15 м/сек 890 м/мин 3800 м/час 35 км/час

28 км/час 660 м/мин 280 м/сек 3500 м/час

Какие именованные числа нельзя сравнивать?

15 дм …150 см 13 км …13 010 м

80 дм …880 см 10 000 см в кв …10 м

3 м 2 дм …3 м 11 см 5 м 6 дм …560 мм

350 дм …5 м в кв. 300 мм …30 см

Без ног и без крыльев оно, быстро летит,

не догонишь его.

Работа со схемами

Найдите скорость сближения и скорость удаления.

В каких случаях произойдет встреча, а в каких нет? Почему?

Назовите номер схемы

Укажите соответствующие скорости:

30 м / с

250 км / ч

80 км / ч

15 км / ч

4 м / мин

50 км / ч

Устные упражнения

1. Выражения в секундах

1/3 мин 5/12 мин 1/2 часа 5/3 часа

2. выражение в минутах

1/4 часа 5/2 часа 4 часа 5 минут

На рисунке показаны различные случаи движения объектов. Найдите для

каждого случая скорость сближения или скорость удаления. На сколько

километров изменится расстояние между объектами через 7/3 часа после

Начала движения?

Используя рисунок, вычислите для каждого случая скорость сближения

или скорость удаления

Со станции одновременно в разных направлениях отправились два поезда.

Скорость одного поезда 44 км/ч, другого 56 км/ч. Какое расстояние будет

между ними через: пол часа, полтора часа и два часа.

Из города одновременно выехали автобус и автомобиль в

противоположных направлениях. Скорость автобуса 44(1/2) км/ч, скорость

автомобиля 55(1/3) км/ч. Через сколько часов расстояние между ними

будет 300км.

Из двух сел, расстояние между которыми 96 км, одновременно

навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость

одного 13,5 км/ч, другого 11(1/2) км/ч.

1) На сколько километров сблизятся они за 1час и 2(3/5) часа

2) Какое расстояние будет между ними через 2 часа

3) Через сколько часов они встретятся

Медиками установлено, что для нормального развития ребенок,

которому Т лет (Т

по формуле t=17-(T/2). Сколько времени должен спать в сутки

ребенок в возрасте 1 год, 2 года, 7 лет, 12 лет, 13 лет, 18 лет.

Мальчик наблюдал грозу, увидел, как блеснула молния, и через 15 сек

услышал удар грома. На каком расстоянии от него происходила гроза,

если скорость звука в воздухе равна 0,33 км/ч

Источник

Классическим примером текстовой задачи, которая может встретиться вам на ЕГЭ, является задача на движение. Эти задачи довольно разнообразны и включают в себя: задачи на движение навстречу, задачи на движение вдогонку, задачи на движение по реке. И поэтому вопрос, как же решать задачи на движение, иногда ставят учеников в тупик.

Научиться решать такие задачи довольно легко, для этого нужно знать алгоритм, состоящий всего из 3 шагов.

Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить
Как решать задачи на движение: 3 простых шага
Задачи на движение вдогонку: примеры с решением
Задачи на движение навстречу: примеры с решением
Задачи на движение по течению и против течения: примеры с решением

Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить

Для решения любой задачи на движение вам обязательно нужно знать всего одну формулу, которая вам уже давно известна:И уметь правильно выражать из этой формулы скорость и время:Многие ученики путаются при записи этих формул, допуская ошибки. Чтобы раз и навсегда запомнить формулы нахождения расстояния, скорости и времени, просто нарисуй треугольник. В верхнем углу треугольника напиши S, а внизу — V и t. Проведи горизонтальную черту между ними. Теперь мы можем закрыть рукой ту величину, которую нам нужно найти, и увидим формулу нахождения этой величины. Например, нам нужно найти расстояние. Закрываем рукой S, и на нашем рисунке останется V t – это и есть формула нахождения расстояния. Или нам нужно найти время. Закрываем рукой t, и на нашем рисунке остается – формула нахождения времени. Нужно найти скорость? Закрываем рукой V, получаем – формулу нахождения скорости. Главное запомнить, что S должна быть в верхнем углу. Это можно сделать, например, с помощью ассоциации, что S похожа на змею, а змея – хозяйка горы, поэтому она на вершине. Вот как выглядит такой магический треугольник:

Чтобы правильно решить задачу на движение нужно:

Определить неизвестное и составить таблицу на основании условия задачи.
Составить уравнение на основании таблицы.
Вернуться к условиям задачи и записать правильный ответ.

Давайте подробнее разберем каждый шаг:

Вначале нам нужно внимательно прочитать условие задачи и определить, что же взять за переменную Х. Чаще всего в задачах на движение удобнее всего за переменную Х обозначить скорость. Если же скорость нам прямо дана в условиях задачи, то за переменную Х обозначаем время. Если в условиях задачи прямо указаны значения и скорости, и времени, тогда за переменную Х берем расстояние. Затем из условий задачи определить все, что нам известно и занести в таблицу.
На основании полученной таблицы составляем уравнение и решаем его. После решения уравнения не торопимся записывать ответ. Ведь нахождение Х – это не всегда ответ к исходной задаче. Такую ошибку совершают многие ученики: фактически правильно решив задачу, они записывают неправильный ответ.
После решения уравнения возвращаемся к условиям задачи и смотрим, что же требовалось найти. Находим неизвестное и записываем ответ.

Задачи на движение бывают разными. В таких задачах участники движения могут двигаться навстречу друг другу, вдогонку, они могут двигаться по реке (против течения или по течению). Каждая из этих задач имеет особенности решения, о которых мы поговорим ниже и разберем на примерах.

Задачи на движение вдогонку: примеры с решением

При решении задачи, по условия которой оба участника движения двигаются в одном направлении, как правило, сравнивается время их движения. Необходимо запомнить правила:

Если время движения сравнивается (то есть присутствуют слова больше/меньше), то мы приравниваем время и прибавляем слагаемое. То есть чтобы получить большее время, мы прибавляем к меньшему времени что-то еще (из условий задачи).
Если условия задачи содержат общее время, то дроби, выражающее время, складываются.

Давайте разберем, как работают эти правила при решении задач.

Задача 1

Велосипедист и автомобилист одновременно выехали из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 50 км. Известно, что скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста, в результате чего автомобилист приехал в пункт Б на 4 часа раньше. Найдите скорость велосипедиста.

Решение:

1. Необходимо определить, что взять за переменную Х и составить таблицу. Вспоминаем, что удобнее всего за Х обозначить скорость в том случае, если она прямо не указано в условиях задачи.

В нашем случае скорость в условиях задачи не указана, поэтому скорость велосипедиста обозначаем за Х.

Составляем таблицу, данные для которой берем из условий задачи.

Итак, расстояние (S) нам известно – 50 км, скорость велосипедиста – х, скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, значит она равна х + 40. Чтобы определить время вспоминаем формулу t = S / V и подставляем в нее наши значения. Время, затраченное велосипедистом, получится 50 / х, а время, затраченное автомобилистом — 50 / (х + 40).2. На основании таблицы и условий задачи необходимо составить уравнение.

Из условий задачи нам известно, что автомобилист приехал раньше велосипедиста на 4 часа (смотрим наше первое правило). Это значит, что велосипедист затратил на 4 часа больше времени, чем автомобилист. Следовательно,

50 / (х + 40) + 4 = 50 / х

Решаем полученное уравнение, для этого приводим наши дроби к одному знаменателю:

50х + 4х (х + 40) – 50 (х+40) / х (х + 40) = 0

(50х + 4х² + 160х – 50х – 2000) / х (х+40) = 0

(4х² + 160х – 2000) / (х² + 40х) = 0

Умножим обе части уравнение на х² + 40х:

4х² + 160х – 2000 = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

х² + 40х – 500 = 0

Находим дискриминант:

D = 40² – 4 * 1 * (-500) = 3600

Далее находим корни уравнения:

х₁ = 10

х₂ = — 50

3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что же требовалось найти.

Нам нужно было определить скорость велосипедиста, которую мы обозначили за Х.

Скорость велосипедиста должна быть положительна, поэтому х₂ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, нас интересует только х₁ и скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Задача 2

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он поехал обратно, при этом его скорость была на 2 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа. В итоге на возвращение из города Б в город А у него ушло времени столько же, сколько на путь из города А в город Б. Найдите скорость велосипедиста на пути из города А в город Б.

Решение:

1. Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город Б как переменную Х.

Составим таблицу.

Из условий задачи: расстояние — 80 км, скорость велосипедиста во второй день – х. Его скорость во второй день была на 2 км/ч больше, чем в первый день, т.е. в первый день она была ниже, следовательно, скорость велосипедиста в первый день равна х – 2. Определим затраченное велосипедистом время на путь по формуле t = S / V. Тогда время, затраченное в первый день на путь равно 80 / х, во второй день — 80 / (х + 2).2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.

Из условий задачи нам известно, что во второй день велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа, следовательно, в пути он провел на 2 часа меньше (смотрим наше первое правило). Также нам известно, что общее затраченное велосипедистом время в первый и во второй дни равно. Следовательно:

80 / (х + 2) + 2 = (80 / х)

Решаем полученное уравнение, для чего приводим дроби к общему знаменателю:

(80х + 160 – 80х – 2х (х+2)) / х (х + 2) = 0

Умножаем обе части уравнения на х (х + 2):

160 – 2х² + 4х = 0

— 2х² — 4х + 160 = 0

Делим обе части уравнения на -2:

х² + 2х – 80 = 0

Находим дискриминант:

D = 2² – 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324

Тогда корни уравнения равны:

х₁ = 8

х₂ = — 10

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость велосипедиста на пути из города А в город Б, которую мы обозначали за Х.

Скорость должна быть положительна, поэтому х₂ = — 10 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 8.

Ответ: 8 км/ч.

Задачи на движение навстречу: примеры с решением

Главное, что нужно помнить о движении навстречу: скорости участников движения складываются.

В тех случаях, когда нам неизвестно общее расстояние, то есть мы не можем его определить из условий задачи и из составленных уравнений, данное расстояние следует принимать за единицу.

Примеры решения задач на движение навстречу:

Задача 1

Из города А в город Б выехал автомобилист, через 3 часа навстречу ему выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Расстояние между городами А и Б равно 470 км. Найдите скорость автомобилиста.

Решение:

1. Обозначим скорость автомобилиста как Х.

Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Следовательно, автомобилист проехал 350 км, а мотоциклист 470 – 350 = 120 км.

Составим таблицу:2. Составим уравнении на основании таблицы и условий задачи.

Из условий задачи известно, что автомобилист ехал на 3 часа дольше, чем мотоциклист (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Следовательно:

350/х = 120/60 + 3

350/х = 5

Решаем полученное уравнение:

5х = 350

х = 70

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость автомобилиста, которую мы обозначали за Х. Следовательно, скорость автомобилиста равна 70 км/ч.

Ответ: 70 км/ч.

Задача 2

Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и велосипедист. Автомобилист приехал в город А на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в город Б. Встретились они через 4 часа после начала движения. Сколько времени затратил автомобилист на путь из города Б в город А?

Решение:

1. Время автомобилиста обозначим как Х.

Примем расстояние между городами А и Б за единицу. Остальные данные берем из условий задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение на основании таблицы и условий задачи.

Известно, что велосипедист и автомобилист встретились через 4 часа после начала движения и в сумме преодолели все расстояние от города А до города Б. То есть все расстояние от города А до города Б было преодолено за 4 часа.

Вспоминаем, что при движении навстречу скорости движения участников складываются. Подставим в формулу пути известные нам данные:

((1 / х) + (1 / (х — 6))) * 4 = 1

Решаем полученное уравнение:

(4 / х) + (4 / (х — 6)) = 1

Приводим дроби к одному знаменателю:

(4х — 24 + 4х — х² + 6х) / (х (х — 6)) = 0

Делим обе части уравнения на х (х — 6), при условии, что х > 6:

-х² + 14х — 24 = 0

Умножим обе части уравнение на -1:

х² — 14х + 24 = 0

Находим дискриминант нашего квадратного уравнения:

D = 14² – 4 * 1 * 24 = 100

Находим корни уравнения:

х₁ = 12

х₂ = 2

х₂ < 6, следовательно, корнем уравнения не является.

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько времени затратил автомобилист на путь из города Б в город А. Это время мы обозначали за Х. Следовательно, автомобилист затратил на путь из города Б в город А 12 часов.

Ответ: 12 часов.

Задачи на движение по течению и против течения: примеры с решением

В условиях задач на движение по реке всегда дано две скорости: собственная скорость судна (скорость, с которой он может двигаться в неподвижной воде) и скорость течения.

При этом возможны две ситуации: когда судно движется по течению и когда судно движется против течения.

Когда судно движется по течению, то течение помогает судну двигаться, оно начинает двигаться быстрее, следовательно, собственная скорость судна и скорость течения складываются.

Когда же судно двигается против течения, то оно ощущает сопротивление, плыть ему становится тяжелее. В этом случае скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Давайте рассмотрим примеры решения задач на движение по реке.

Задача 1

Катер прошел против течения реки 160 км/ч и вернулся в пункт отправления, затратив времени на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

1. Обозначим собственную скорость катера – х.

Составим таблицу:2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.

По условиям задачи известно, что время, затраченное на путь по течению реки, на 8 часов меньше, чем время, затраченное на путь против течения реки (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Соответственно:

160 / (х + 5) + 8 = 160 / (х — 5)

Решаем данное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(160 (х – 5) + 8 (х – 5) (х + 5) – 160 (х + 5)) / (х – 5) (х + 5) = 0

(160х – 800 + (8х – 40) (х + 5) – 160х — 800) / (х – 5) (х + 5) = 0

Умножаем обе части уравнения на (х – 5) (х + 5):

-1600 + 8х² + 40х – 40х – 200 = 0

8х² – 1800 = 0

8х² = 1800

х² = 225

х_1,2 = ±15

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти собственную скорость катера, которую мы обозначили за Х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -15 противоречит условию задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

Задача 2

Моторная лодка вышла в 9:00 из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 30 км. Пробыв в пункте Б 3 часа, моторная лодка повернула назад и вернулась в пункт А в 20:00. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость моторной лодки 8 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость течения реки за х. Остальные данные берем из условия задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение.

Нам известно, что моторная лодка начала свое движение в 9:00, а закончила в 20:00, а также в течение этого времени пробыла без движения во время стоянки – 3 часа. Таким образом, общее время движения будет 20 – 9 – 3 = 8 часов. Когда речь идет об общем времени движения, то нам нужно сложить время движения по течению и время движения против течения (пользуемся вторым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Получаем:

30 / (8+х) + 30 / (8-х) = 8

Решаем полученное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(30 (8+х) + 30 (8-х) – 8 (8-х) (8+х)) / (8-х) (8+х) = 0

Умножаем обе части уравнения на (8-х) (8+х):

240 + 30х + 240 – 30х – (64 – 8х) (8+х) = 0

480 – 512 – 64х + 64х – 8х² = 0

8х² = 32

х² = 4

х_1,2 = ±2

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти скорость течения, которую мы обозначили за х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -2 противоречит условию задачи. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

Итак, мы разобрались, как решать задачи на движения. В ЕГЭ 2023 помимо задач на движение могут содержаться и другие текстовые задачи: на смеси и сплавы, на работу, на проценты. О том, как их решать, вы можете узнать на нашем сайте, а также .

Источник

Формулы. Вычисление по формулам. Решение текстовых задач (на движение, на проценты и т.д.)

В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные величины:
S — расстояние (пройденный путь),
t — время движения и
V — скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.
Расстояние – это произведение скорости на время движения; S = V t
Скорость – это расстояние, которое тело проходит за единицу времени;
Скорость — это частное от деления расстояния на время движения; V = S / t
Время – это частное от деления расстояния на скорость движения t = S / V

Какие могут быть ситуации?
Ситуация первая.
Два объекта движение начинают одновременно навстречу друг другу. Встречное движение.
Ситуация вторая.
Два объекта движение начинают одновременно в противоположных направлениях. Движение в противоположных направлениях из одного пункта
Ситуация третья.
Два объекта движение начинают одновременно в одном направлении.
При решении этих задач надо использовать понятия «скорость сближения» и « скорость удаления».

Задача №1.
В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?
1-ый способ:
1) 72 + 68 =140 (км /ч.) – скорость сближения таксистов.
2)140×2 = 280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
3) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

2 – й способ решения.
1)72 × 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.
2) 68 × 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.
3)144+ 136 =280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
4) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

Задача № 2
Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?
Решение.
1)80×2=160(км) -прошёл скорый поезд за 2 часа.
2)720-160=560(км) -осталось пройти поездам.
3)80+60=140(км/ч) -скорость сближения 2 поездов.
4)560:140=4(ч) -был в пути пассажирский поезд.
Ответ:4часа.

Задача № 3.
Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч, а скорость другого автобуса 72 км /ч. Первый автобус до встречи проехал 135км.
Найдите расстояние между пунктами.
Решение.
1-ый способ: .
1) 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2)72×3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.
3) 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.

2 – й способ решения.
1)135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2)45 +72 = 117 (км/ ч.). – скорость сближения автобусов .
3)117 × 3 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.

Что такое скорость сближения?
Задача № 4.
Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч. Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?
Решение.
1 –й способ решения.
1)50 × 5 = 250 (км) – проедет машина до встречи.
2)70 × 5 = 350 (км) – проедет автобус до встречи.
3) 250 + 350 = 600 (км) — на такое расстояние они приблизятся друг к другу.
4) 740 -600 = 140 (км) — такое расстояние будет между ними через 5 часов.
Ответ: 140 км.

2 – й способ решения.
1)50 + 70 = 120 (км /ч.) – скорость сближения автобуса и машины.
2)120 × 5 = 600 (км) – на такое расстояние они приблизятся друг к другу.
3) 740 – 600 = 140 (км) – такое расстояние будет между ними через 5 часов.
Ответ: 140 км.

Задача №5.
Две гоночные машины выехали навстречу друг другу. Расстояние между ними было 660 км. Одна ехала со скоростью 100 км/ч, а другая 120 км/ч. Через какое время они встретятся?
Решение.
1)100+120=220(км/ч)- скорость сближения машин .
2)660:220=3(ч) -через такое время встретятся гоночные машины.
Ответ: через 3 часа.

Задача № 6.
Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч., а другого – 54 км ч. Какое расстояние будет между тиграми через 2 часа?
Решение.
1-ый способ:
1)48 × 2 = 96 (км) – пробежит один тигр за 2 часа.
2)54 × 2 = 108 (км) – пробежит другой тигр за 2 часа.
3)96 + 108 = 204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.
Ответ: 204 км.

2 – й способ
1)48 + 54 =102 (км /ч.) – скорость удаления тигров.
2)102 × 2 =204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.
Ответ: 204 км.

Задача № 7.
Максат и Нурдаулет вышли из школы со скоростью 50 м/мин. Рома вышел вслед за ними через 6 минут со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут Рома догонит Максата и Нурдаулета?
Решение.
1) 80 — 50 = 30 (км /ч.) –скорость сближения мальчиков.
2)50 × 6 = 300 (км) – такое расстояние было между мальчиками перед выходом из школы Ромы.
3)300 : 30 = 10 (мин.) – через такое время Рома догонит друзей.
Ответ: через 10 мин.

ИТОГИ:
1) При решении задач на движении двух объектов применяются понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».
2)При решении задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях скорость сближения и скорость удаления находятся сложением скоростей движущихся объектов.
3)При решении задач на движение в одном направлении скорость сближения и скорость удаления находятся вычитанием скоростей движущихся объектов.

Решение задач на проценты

Найдем 20% от 300 :
1-ый способ: 20% от 300 =300:100×20 = 60 ;
2-ой способ: 20% от 300 = 0,20 ×300 = 60 .

Задача №1
В классе 25 учеников, 40% (сорок процентов) из них девочки. Сколько девочек в классе?
Решение:
25:100 × 40 = 10 девочек ; или 25 × 0,40 = 10 девочек ;
Ответ: в классе 10 девочек.

Задача №2
В саду растет 5 кустов желтых роз. Это составляет 25% от всех роз в саду.
Сколько кустов роз в саду?
Решение:
5:25 ×100 = 20 кустов роз; или 5 : 0,25 = 20 кустов роз;
Ответ : в саду растет 20 кустов роз.

Задача №3
На стоянке стоит 40 машин, 8 из них фирмы Рено. Какой процент машин фирмы Рено от всех стоящих на стоянке?
Решение:
8 :40 ×100 = 20 % .
Ответ: на стоянке 20% машин фирмы Рено.

Вопросы к конспектам

Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 50 км. Начав бег на 30 мин позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, больше предполагавшейся на 5 км/ч и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.

На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если его длину уменьшить на 15% а ширину увеличить на 20%

Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%?

Турист прошел по проселочной дороге 6 км и по шоссе 3 км, затратив на весь путь 2ч. По шоссе он прошел со скоростью на 2 км/ч больше, чем по проселочной дороге. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге?

Автомобиль за 4 часа проезжает путь в 240 км. Если скорость автомобиля увеличится на 20 км/ч, то за сколько часов он проедет тот же путь?

В аэропорту ждут прибытия самолета 1200 пассажиров. 45% из них мужчины. 15% общего числа женщин и детей составляют дети. Найдите число мужчин и число детей?

Пассажир в метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24с. Если пассажир идет с той же скоростью по неподвижному эскалатору, то он спустится за 42с. За сколько секунд он спустится стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Сколько воды нужно добавить к 54 кг 5%-го раствора соли в воде, чтобы получить 3%-ый раствор?

Скорость моторной лодки по течению реки равна 10,2 км/ч, а против течения реки 7,8км/ч. Найдите скорость течения реки.

Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки в 2,5 раза больше. Найдите расстояние, которое проплыла лодка против течения за 3 часа

Сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличится периметр квадрата?

Источник