Как найти растояние между точками координатами


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Представьте расстояние между двумя точками в виде отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Длину этого отрезка можно найти по формуле: √(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}.

Шаги

  1. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 2

    1

    Определите координаты двух точек, расстояние между которыми вы хотите вычислить. Обозначим их Точка 1 (x1,y1) и Точка 2 (x2,y2). Неважно, как именно вы обозначите точки, главное, не перепутать их координаты при расчетах.[1]

    • x1 − это горизонтальная координата (вдоль оси x) Точки 1, а x2 − горизонтальная координата Точки 2. Соответственно, y1 − вертикальная координата (вдоль оси y) Точки 1, и y2 − вертикальная координата Точки 2.
    • Возьмем, например, точки (3,2) и (7,8). Если мы примем, что (3,2) − это (x1,y1), тогда (7,8) − это (x2,y2).

  2. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 1

    2

    Ознакомьтесь с формулой для вычисления расстояния. Эта формула позволяет найти длину прямого отрезка, соединяющего две точки, Точку 1 и Точку 2. Длина этого отрезка равна квадратному корню от суммы квадратов расстояний между точками по горизонтали и вертикали. Проще говоря, это квадратный корень из (x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}.[2]

  3. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 3

    3

    Найдите, чему равны расстояния между точками по горизонтали и вертикали. Расстояние по вертикали найдем в виде разности y2 — y1. Соответственно, расстояние по горизонтали составит x2 — x1. Не волнуйтесь, если в результате вычитания вы получите отрицательное значение. Следующим шагом будет возведение найденных расстояний в квадрат, что в любом случае даст положительное целое число.[3]

    • Найдите расстояние вдоль оси y. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8), где координаты (3,2) соответствуют Точке 1, а координаты (7,8) − Точке 2, находим: (y2 — y1) = 8 — 2 = 6. Это значит, что расстояние между нашими точками по оси y равно шести единицам длины.
    • Найдите расстояние вдоль оси x. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8) получаем: (x2 — x1) = 7 — 3 = 4. Это значит, что по оси x наши точки разделяет расстояние, равное четырем единицам длины.

  4. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 4

    4

    Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 — x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 — y1):

  5. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 5

    5

    Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 — 3) в квадрате равно 36, и (8 — 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.

  6. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 6

    6

    Извлеките квадратный корень из найденной величины. Это последний шаг. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню от суммы квадратов расстояний вдоль оси x и вдоль оси y.[4]

    • Для нашего примера находим: расстояние между точками (3,2) и (7,8) равно корню квадратному из 52, то есть примерно 7,21 единицы длины.

    Реклама

Советы

  • Не страшно, если в результате вычитания y2 — y1 или x2 — x1 у вас получилось отрицательное значение. Поскольку затем разность возводится в квадрат, расстояние все равно будет равно положительному числу.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 89 479 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Расстояние между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = xb — xa;

BC = yb — ya.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC2 + BC2.

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Источник

На этой странице находится все необходимое, чтобы найти расстояние между двумя точками. Просто введите координаты точек и получите ответ и подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов. Кроме того на сайте можно найти координаты середины отрезка.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Формула расстояния между двумя точками на плоскости:

d=sqrt{{(x_b — x_a)}^2 + {(y_b — y_a)^2}}

xa и ya — координаты первой точки A,

xb и yb — координаты второй точки B

Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости сводится к решению треугольника, а точнее — нахождению его гипотенузы. Для этого используется теорема Пифагора. Посмотрите на рисунок.

Вывод формулы расстояния между двумя точками

Соединив отрезком точки A и B, а также опустив перпендикуляры на оси мы получим треугольник ABC. В этом треугольнике стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB — его гипотенузой. Длины катетов AC и BC найти довольно просто:

AC = xb — xa

BC = yb — ya

Осталось применить теорему Пифагора и получить сторону AB, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и расстоянием между точками A и B:

AB=sqrt{{AC}^2 + {BC^2}}

Подставив вместо отрезков AC и BC их длины, получим итоговую формулу расстояния между двумя точками:

AB=sqrt{{(x_b — x_a)}^2 + {(y_b — y_a)^2}} или d=sqrt{{(x_b — x_a)}^2 + {(y_b — y_a)^2}}

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:

{d=sqrt{{(x_b — x_a)}^2 + {(y_b — y_a)^2} + {(z_b — z_a)^2}}}

xa, ya и za — координаты первой точки A,

xb, yb и zb — координаты второй точки B

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Задача 1

Найдите расстояние между точками А и В, если А(2; 7), В(-2; 7).

Решение

Подставим координаты точек в формулу расстояния между двумя точками на плоскости и вычислим результат:

d=sqrt{{(x_b — x_a)}^2 + {(y_b — y_a)^2}} = sqrt{{(-2 — 2)}^2 + {(7 — 7)^2}} = sqrt{{-4}^2 + {0^2}} = sqrt{16 + 0} = sqrt{16} = 4

Мы получили расстояние между точками и оно равно 4.

Ответ: 4.

Проверим результат с помощью калькулятора .

Источник

Things You Should Know

  • Jot down the coordinates that you’re measuring the distance between.
  • Plug these coordinates into the distance formula: {sqrt (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}).
  • Solve the formula by squaring the differences of the x and y values, adding these differences together, and finding the square root of the remaining sum.

Steps

  1. Image titled Find the Distance Between Two Points Step 2

    1

    Take the coordinates of two points you want to find the distance between. Call one point Point 1 (x1,y1) and make the other Point 2 (x2,y2). It does not terribly matter which point is which, as long as you keep the labels (1 and 2) consistent throughout the problem.[1]

    • x1 is the horizontal coordinate (along the x axis) of Point 1, and x2 is the horizontal coordinate of Point 2. y1 is the vertical coordinate (along the y axis) of Point 1, and y2 is the vertical coordinate of Point 2.
    • For an example, take the points (3,2) and (7,8). If (3,2) is (x1,y1), then (7,8) is (x2,y2).

  2. Image titled Find the Distance Between Two Points Step 1

    2

    Know the distance formula. This formula finds the length of a line that stretches between two points: Point 1 and Point 2. The linear distance is the square root of the square of the horizontal distance plus the square of the vertical distance between two points.[2]
     More simply put, it is the square root of: (x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}

    Advertisement

  3. Image titled Find the Distance Between Two Points Step 3

    3

    Find the horizontal and vertical distance between the points. First, subtract y2 — y1 to find the vertical distance. Then, subtract x2 — x1 to find the horizontal distance. Don’t worry if the subtraction yields negative numbers. The next step is to square these values, and squaring always results in a positive number.[3]

    • Find the distance along the y-axis. For the example points (3,2) and (7,8), in which (3,2) is Point 1 and (7,8) is Point 2: (y2 — y1) = 8 — 2 = 6. This means that there are six units of distance on the y-axis between these two points.
    • Find the distance along the x-axis. For the same example points (3,2) and (7,8): (x2 — x1) = 7 — 3 = 4. This means that there are four units of distance separating the two points on the x-axis.

  4. Image titled Find the Distance Between Two Points Step 4

    4

    Square both values. This means that you will square the x-axis distance (x2 — x1), and that you will separately square the y-axis distance (y2 — y1).

  5. Image titled Find the Distance Between Two Points Step 5

    5

    Add the squared values together. This will give you the square of the diagonal, linear distance between your two points. In the example of the points (3,2) and (7,8), the square of (8 — 2) is 36, and the square of (7 — 3) is 16. 36 + 16 = 52.

  6. Image titled Find the Distance Between Two Points Step 6

    6

    Take the square root of the equation. This is the final step in the equation. The linear distance between the two points is the square root of the sum of the squared values of the x-axis distance and the y-axis distance.[4]

    • To carry on the example: the distance between (3,2) and (7,8) is sqrt (52), or approximately 7.21 units.

    7. Advertisement

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

  • Question

    How do I find the horizontal distance between (3, 4) and (8, 4)?

    Community Answer

    Subtract 3 from 8 since both are at 4 on the y axis. So distance is: 8-3=5.

  • Question

    What is the distance from the x-axis to (7,-2)?

    Community Answer

    This is an ambiguous question. I will assume you mean the shortest distance. Then, your second point will be (7,0) because the line that goes through (7,0) and (7,-2) is perpendicular to the x-axis. So your answer is 2.

  • Question

    What is the distance between (2, 3) and (-8,12)?

    Community Answer

    Using the distance formula shown in the above article, find the horizontal distance between the two points by subtracting (-8) from 2, which is 10. Then find the vertical distance between the points by subtracting 12 from 3, which is -9. We then add together the squares of those two distances: 3² + (-9)² = 9 + 81 = 90. Find the square root of that sum: √90 = 9.49. That’s the distance (in «units») between the two points.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • It doesn’t matter if you get a negative number after subtracting y2 — y1 or x2 — x1. Because the difference is then squared, you will always get a positive distance in your answer.[5]

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

About This Article

Article SummaryX

To find the distance between two points on a line, take the coordinates of the two points. Label one as Point 1, with the coordinates x1 and y1, and label the other Point 2, with the coordinates x2 and y2. Plug these values into the distance formula, which is the square of X2 minus X1 plus the square of Y2 minus Y1, then the square root of that result. To see the distance formula written out, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 866,608 times.

Did this article help you?

Источник

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ), выполняется по формуле d = √((хА –  хВ)2 + (уА – уВ)2), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(хМ; уМ), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(хМ2 + уМ2).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1.

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: хА = 2;  хВ = -4; уА = -5 и уВ = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), получим:

d = АВ = √((2 – (-4))2 + (-5 – 3)2) = 10.Расстояние между двумя точками на плоскости

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О1, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О1А = О1В = О1С. Пусть искомая точка О1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) найдем:

О1А = √((а – 7)2 + (b + 1)2);

О1В = √((а + 2)2 + (b – 2)2);

О1С = √((а + 1)2 + (b + 5)2).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 2)2 + (b – 2)2),
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 1)2 + (b + 5)2).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 2)2 + (b – 2)2,
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 1)2 + (b + 5)2.

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О1(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и  АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

По формуле d = √((хА –  хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:

АВ = √((а + 5)2 + (0 – 6)2) = √((а + 5)2 + 36).

Получаем уравнение √((а + 5)2 + 36) = 10. Упростив его, имеем

а2 + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а1 = -13; а2 = 3.

Получаем две точки А1(-13; 0) и А2(3; 0).

Проверка:

А1В = √((-13 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.

А2В = √((3 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).Расстояние между двумя точками на плоскости

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на  одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О1(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О1А = О1В.

По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:

О1А = √((0 – 6)2 + (b – 12)2) = √(36 + (b – 12)2);

О1В = √((а + 8) 2 + (b – 10)2) = √(64 + (b – 10)2).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12)2) = √(64 + (b – 10)2) или 36 + (b – 12)2 = 64 + (b – 10)2.

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О1(0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р1 и Р2 (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР1 = МР2, МР1 = а; МР2 = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:

МА = √((-а + 2)2 + (а – 1)2).

Составим уравнение:

√((-а + 2)2 + (а – 1)2) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а1 = 1; а2 = 5.

Получаем две точки М1(-1; 1) и М2(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.Расстояние между двумя точками на плоскости

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) имеем:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6)2).

Составим уравнение:

√((5 – 8) 2 + (b – 6)2) = 5. Упростив его, получим: b2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b1 = 2; b2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М1(5; 2) и М2(5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

 Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти маршрутку на карте онлайн
  • Как найти вероятность в математике игральные кости
  • Call of duty ghosts ошибка disk read error homecoming как исправить
  • Как найти обратное бинарное отношение
  • Как найти робот пылесос в mi home