Как найти равнодействующую нескольких сил на тело

Формула равнодействующей всех сил в физике

Формула равнодействующей всех сил

Первый закон Ньютона говорит нам о том, что в инерциальных системах отсчета тела могут изменять скорость только, если на них оказывают воздействие другие тела. При помощи силы ($overline{F}$) выражают взаимное действие тел друг на друга. Сила способна изменить величину и направление скорости тела. $overline{F}$ — это векторная величина, то есть она обладает модулем (величиной) и направлением.

Определение и формула равнодействующей всех сил

В классической динамике основным законом, с помощью которого находят направление и модуль равнодействующей силы является второй закон Ньютона:

[overline{F}=moverline{a} left(1right),]

где $m$ — масса тела, на которое действует сила $overline{F}$; $overline{a}$ — ускорение, которое сила $overline{F}$ сообщает рассматриваемому телу. Смысл второго закона Ньютона заключается в том, что силы, которые действуют на тело, определяют изменение скорости тела, а не просто его скорость. Следует знать, что второй закон Ньютона выполняется для инерциальных систем отсчета.

На тело могут действовать не одна, а некоторая совокупность сил. Суммарное действие этих сил характеризуют, используя понятие равнодействующей силы. Пусть на тело оказывают действие в один и тот же момент времени несколько сил. Ускорение тела при этом равно сумме векторов ускорений, которые возникли бы при наличии каждой силы отдельно. Силы, которые оказывают действие на тело, следует суммировать в соответствии с правилом сложения векторов. Равнодействующей силой ($overline{F}$) называют векторную сумму всех сил, которые оказывают действие на тело в рассматриваемый момент времени:

[overline{F}={overline{F}}_1+{overline{F}}_2+dots +{overline{F}}_N=sumlimits^N_{i=1}{{overline{F}}_i} left(2right).]

Формула (2) — это формула равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Равнодействующая сила является искусственной величиной, которую вводят для удобства проведения вычислений. Равнодействующая сила направлена как вектор ускорения тела.

Основной закон динамики поступательного движения при наличии нескольких сил

Если на тело действуют несколько сил, тогда второй закон Ньютона записывают как:

[sumlimits^N_{i=1}{{overline{F}}_i}=moverline{a}left(3right).]

$overline{F}=0$, если силы, приложенные к телу, взаимно компенсируют друг друга. Тогда в инерциальной системе отсчета скорость движения тела постоянна.

При изображении сил, действующих на тело, на рисунке, в случае равноускоренного движения, равнодействующую силу, изображают длиннее, чем сумму сил, которые противоположно ей направлены. Если тело перемещается с постоянной скоростью или покоится, длины векторов сил (равнодействующей и сумме остальных сил), одинаковы и направлены они в противоположные стороны.

Когда находят равнодействующую сил, на рисунке изображают все учитываемые в задаче силы. Суммируют эти силы в соответствии с правилами сложения векторов.

Примеры задач на равнодействующую сил

Читать дальше: формула равнодействующей силы.

Ранее мы уже познакомились с понятием силы и знаем, что она имеет две характеристики: направление и численное значение. В жизни обычно на тело действуют сразу несколько сил.

Например, если рассмотреть ситуацию, когда спускается парашютист, то можно заметить, что на него действуют сразу две силы: и сила тяжести, и сила сопротивления воздуха.

На груз, подвешенный на пружине, тоже действуют две силы — сила тяжести и сила упругости пружины.

В каждом таком случае мы можем заменить несколько сил, действующих на тело, одной. И она будет равноценна по своему действию всем этим силам.

На данном уроке мы узнаем, как называется такая сила и как ее найти.

Равнодействующая сил

Дадим определение. Какую силу называют равнодействующей нескольких сил?

Равнодействующая сил — это сила, которая производит на тело такое же действие, как несколько одновременно действующих сил.

Так же, как и любая сила, равнодействующая является векторной величиной. Она обозначается буквой $vec R$, а ее числовое значение — буквой $R$. Равнодействующая сила измеряется в ньютонах ($Н$).

Сложение сил, действующих на тело по одной прямой

Если силы направлены в одну сторону

Проведем эксперимент: возьмем два груза (рисунок 1, а), масса которых равна $102 space г$ и $204 space г$, и подвесим их к пружине. Наши грузы имеют вес $1 space Н$ и $2 space Н$ и воздействуют на пружину, из-за чего она растягивается на определенную длину. Сделаем отметку, на какое расстояние вытянулась пружина.

А теперь снимем два груза и подберем один груз, который растянет пружину на такую же длину. Вес этого груза окажется равен $3 space Н$ (рисунок 1, б).

Из опыта можно сделать вывод, что:

1. Равнодействующая сил, направленных по одной прямой в одну сторону, направлена в ту же сторону, что и действующие на тело силы;
2. Модуль равнодействующей сил равен сумме модулей составляющих сил.

Изобразим графически эти силы на рисунке 2. 

Чему равна равнодействующая двух сил, направленных по одной прямой в одну сторону?
Силы, которые мы будем складывать, обозначены буквами $F_1$ и $F_2$. Тогда для всех действующих сил будет иметь место равенство:

$R = F_1 + F_2$.

Если силы направлены в противоположные стороны

Рассмотрим еще один опыт, представленный на рисунке 3.

Поставим гирю на динамометр со столиком (рисунок 3, а). Рассматриваемым телом в данном случае будет сам столик. Гиря весит $5 space Н$, т.е. действует на столик с силой в $5 space Н$, причем эта сила направлена вертикально вниз. 

Теперь привяжем к столику нить и потянем вертикально вверх с силой, равной $2 space Н$ (рисунок 3, б). Динамометр покажет силу $3 space Н$. Эта сила и будет равнодействующей двух сил: $5 space Н$ и $3 space Н$.

1. Если две силы направлены по одной прямой в противоположные стороны, то их равнодействующая будет направлена в сторону той силы, которая больше по модулю.
2. Модуль равнодействующий сил в таком случае равен разности модулей составляющих сил

Изобразить силы можно следующим образом (рисунок 4):

Чему равна равнодействующая двух сил, направленных по одной прямой в противоположные стороны?
Равнодействующая сил равна:

$R = F_2 space − space F_1$.

Как будет двигаться тело под действием двух равных противоположно направленных сил?
Если силы, действующие на тело, будут равны, то мы получим, что равнодействующая сил равна нулю, то есть $R = 0$. Другими словами, в этом случае тело будет покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно.

Как мы уже говорили, когда тело растянет пружину и остановится, это значит, что сила тяжести и сила упругости уравновесили друг друга. В этом случае тело будет находиться в состоянии покоя, например, как на рисунке 1.

Упражнения

Дано:
$m_1 = 70 space кг$
$m_2 = 20 space кг$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$P$ — ?

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$m_о = 90 space кг$
$m_с = 35 space кг$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$P$ — ?

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$F_1 = 330 space Н$
$F_2 = 380 space Н$
$F_3 = 300 space Н$
$F_4 = 400 space Н$

$R — ?$

Показать решение и ответ

Пусть первые два участника тянут канат вправо с силами $F_1$ и $F_2$, другие два — влево с силами $F_3$ и $F_4$.

Скрыть

Дано:
$F_{тяж} = 700 space Н$
$upsilon = const$

$F_с — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Равнодействующая сила и движение тела под действием нескольких сил:

Обычно на любое движущееся тело действует не одно, а сразу несколько окружающих тел. Например, когда тянем брусок по линейке, то брусок взаимодействует и с рукой (сила тяги), и с Землёй (сила тяжести), и с поверхностью линейки (сила трения скольжения, сила реакции опоры). В этом случае общее действие на тело нескольких сил можно заменить равнодействующей силой.

Силу, которая оказывает на тело такое же действие, как и несколько отдельных сил, одновременно приложенных к нему, называют равнодействующей силой.

Равнодействующую силу определяют в зависимости от направлений и значений отдельных составляющих сил.

Если к телу приложены две силы 

Если к телу приложены две силы   и  направленные вдоль одной прямой, но в разные стороны, то, когда больше, чем , их равнодействующая   равна разности этих сил, а её направление совпадает с направлением большей по значению приложенной силы (рис. 88):
      

Если в этом случае , то их равнодействующая равна нулю, т. е. силы и уравновешивают, или компенсируют друг друга. Поэтому покоящееся тело таким и останется, а движущееся будет продолжать двигаться прямолинейно и равномерно с начальной скоростью.

Как будет двигаться тело, если на него будут действовать одновременно несколько сил

Опыт 1. Положим брусок на стол (рис. 89).

На него действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры . Эти силы одинаковы по значению, но противоположны по направлению, поэтому, их равнодействующая, или результирующая сила равна нулю.

Опыт 2. Будем тянуть брусок с помощью нити или динамометра по поверхности стола (рис. 90, а). В этом случае на тело будут действовать такие силы: сила тяжести , сила реакции опоры N, сила тяги  и сила трения .

Если  и , то тело будет двигаться равномерно, т. е. скорость тела не будет изменяться со временем.

Если , а сила тяги  больше силы трения то при движении тела его скорость будет возрастать со временем, т. е. тело будет двигаться неравномерно (рис. 90, б).

• Заказать решение задач по физике

Опыт 3. Толкнём брусок так, чтобы он двигался по поверхности стола. На него будут действовать сила тяжести , сила реакции опоры N и сила трения . Поскольку , то они компенсируют друг друга, и влиять на движение бруска будет только сила трения (рис. 91). Поскольку сила трения всегда направлена против движения, то брусок со временем остановится, что и наблюдаем на опыте.    

В зависимости от значения равнодействующей силы, тело может находиться в состоянии покоя, двигаться равномерно или неравномерно.

Пример решения задачи

Пример №1

Можно ли взвесить брусок весом 8 Н. если имеются только два одинаковых динамометра, рассчитанных на измерение силы 4 Н?

Ответ: можно. Нужно укрепить оба динамометра рядом на одном уровне, а брусок подвесить сразу к обоим крючкам. При условии полного растяжения пружин динамометров к бруску будут приложенные две силы упругости по 4 Н каждая вдоль одной прямой, направленные вверх. Их равнодействующая будет равна 8 Н и уравновесит силу тяжести, действующую на брусок.

Пример №2

Каково назначение насечек на рабочих поверхностях плоскогубцев?

Ответ: за счёт насечек возрастает трение между деталью и рабочими поверхностями плоскогубцев, что обеспечивает надёжное удержание детали во время работы.

Пример №3

Стальное тело массой 50 кг тянут по льду. Какая сила трения возникает при этом?

Дано:

= 50кг

= 9,81

= 0,02

= ?

Решение:

Чтобы определить силу трения, воспользуемся формулой

.     

Ответ:  = 9,81 Н.

Законы сложения сил в механике

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1 ).

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника: от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0 : ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Разложение вектора силы по направлениям

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

• направления 2 -х составляющих сил;
• модуль и направление одной из составляющих сил;
• модули 2 -х составляющих сил.

Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а ).

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную — F 1 → (рисунок 5 в ). В итоге получаем искомую силу F → .

Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б ). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β — F 3 cos γ = F x = 4 — 3 3 2 ≈ — 0 , 6 Н .

Точно также для проекций на ось O Y : — F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 — 2 3 2 ≈ — 0 , 2 Н .

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н .

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):

t g φ = F y F x = 3 — 2 3 4 — 3 3 ≈ 0 , 4 .

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С . На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С . Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н ;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н .

Ответ: F 1 → = 557 Н ; F 2 → = 1155 Н .

Техническая механика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

• 1. Аксиомы и понятие силы статики
• 2. Связи и реакции связей
• 3. Определение равнодействующей геометрическим способом
• 4. Определение равнодействующей аналитическим способом
• 5. Пара сил. Момент силы

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

3. Определение равнодействующей геометрическим способом

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.

Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F₁; F₂; F₃;…; F_n), где n — число сил, входящих в систему.

В соответствии со следствиями из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными к одной точке.

Используя свойство векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил.

При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.

Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называется геометрическим.

Многоугольник сил строится в следующем порядке.

1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпал с началом последующего.

2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.

3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.

Если в системе три силы, образуется треугольник сил.

Геометрическим способом пользуются, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считается абсолютно твердым (отвердевшим).

Задачи решаются в следующем порядке.

1. Определить возможное направление реакций связей.

2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил, в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура).

3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.

4. Для уточнения определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.

Формула равнодействующей всех сил

Первый закон Ньютона говорит нам о том, что в инерциальных системах отсчета тела могут изменять скорость только, если на них оказывают воздействие другие тела. При помощи силы ($overline$) выражают взаимное действие тел друг на друга. Сила способна изменить величину и направление скорости тела. $overline$ — это векторная величина, то есть она обладает модулем (величиной) и направлением.

Определение и формула равнодействующей всех сил

В классической динамике основным законом, с помощью которого находят направление и модуль равнодействующей силы является второй закон Ньютона:

На тело могут действовать не одна, а некоторая совокупность сил. Суммарное действие этих сил характеризуют, используя понятие равнодействующей силы. Пусть на тело оказывают действие в один и тот же момент времени несколько сил. Ускорение тела при этом равно сумме векторов ускорений, которые возникли бы при наличии каждой силы отдельно. Силы, которые оказывают действие на тело, следует суммировать в соответствии с правилом сложения векторов. Равнодействующей силой ($overline$) называют векторную сумму всех сил, которые оказывают действие на тело в рассматриваемый момент времени:

Формула (2) — это формула равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Равнодействующая сила является искусственной величиной, которую вводят для удобства проведения вычислений. Равнодействующая сила направлена как вектор ускорения тела.

Основной закон динамики поступательного движения при наличии нескольких сил

Если на тело действуют несколько сил, тогда второй закон Ньютона записывают как:

$overline=0$, если силы, приложенные к телу, взаимно компенсируют друг друга. Тогда в инерциальной системе отсчета скорость движения тела постоянна.

При изображении сил, действующих на тело, на рисунке, в случае равноускоренного движения, равнодействующую силу, изображают длиннее, чем сумму сил, которые противоположно ей направлены. Если тело перемещается с постоянной скоростью или покоится, длины векторов сил (равнодействующей и сумме остальных сил), одинаковы и направлены они в противоположные стороны.

Когда находят равнодействующую сил, на рисунке изображают все учитываемые в задаче силы. Суммируют эти силы в соответствии с правилами сложения векторов.

Примеры задач на равнодействующую сил

Задание. На материальную точку действуют две силы, направленные под углом $alpha =60<>^circ $ друг к другу. Чему равна равнодействующая этих сил, если $F_1=20 $Н; $F_2=10 $Н?

Решение. Сделаем рисунок.

Силы на рис. 1 складываем по правилу параллелограмма. Длину равнодействующей силы $overline$ можно найти, используя теорему косинусов:

Вычислим модуль равнодействующей силы:

[F=sqrt<<20>^2+<10>^2+2cdot 20cdot 10<cos (60<>^circ ) >>approx 26,5 left(Нright).]

Ответ. $F=26,5$ Н

Задание. На материальную точку действуют силы (рис.2). Какова равнодействующая этих сил?

Решение. Равнодействующая сил, приложенных к точке (рис.2) равна:

Найдем равнодействующую сил $<overline>_1$ и $<overline>_2$. Эти силы направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны, следовательно:

Так как $F_1>F_2$, то сила $<overline>_<12>$ направлена в туже сторону, что и сила $<overline>_1$.

Найдем равнодействующую сил $<overline>_3$ и $<overline>_4$. Данные силы направлены вдоль одной вертикальной прямой (рис.1), значит:

Направление силы $<overline>_<34>$ совпадает с направлением вектора $<overline>_3$, так как $<overline>_3><overline>_4$.

Равнодействующую, которая действует на материальную точку, найдем как:

Силы $<overline>_<12>$ и $<overline>_<34>$ взаимно перпендикулярны. Найдем длину вектора $overline$ по теореме Пифагора: