Как найти равносторонний треугольник 7 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение)

Свойства равностороннего треугольника

Признаки равностороннего треугольника

Формулы равностороннего треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АK = BF = CD

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Формула радиуса описанной окружности (R):

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
21 630

Источник

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника
Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Пример задачи

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
AD = DB
∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

A triangle is a three-sided polygon that has three edges, three vertices, and three interior angles. If XYZ is a triangle, X, Y, and Z are its vertices; XY, YZ, and ZX are its sides; and X, Y, and ∠X, ∠Y<, and ∠Z are its three interior angles. According to the angle-sum property, the sum of the three interior angles of any triangle is 180°. Based on the side lengths and angle measurements of triangles, they are classified into different types. We have scalene triangles, isosceles triangles, and equilateral triangles, which are three types of triangles that are classified depending on the side lengths of a triangle, while acute-angled triangles, right-angled triangles, and obtuse-angled triangles are three types of triangles that are classified based on the interior angle measurements of a triangle. In this article, we learn about an equilateral triangle, its properties, and its formulas.

What is an Equilateral Triangle?

An equilateral triangle is defined as a triangle that has three equal side lengths and three equal interior angles that measure 60° each. In the word “equilateral,” “equi” means equal, and “lateral” means sides. Since the three sides of an equilateral triangle are equal, it is considered a regular polygon. In the figure given below, ∆ABC is an equilateral triangle with equal sides that measures “a” unit, i.e., AB = BC = AC = a. We can also observe that the three interior angles of the ∆ABC measure 60°, i.e., ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

Properties of Equilateral Triangles

The following are some important characteristics of an equilateral triangle:

All three side lengths of an equilateral triangle always measure the same.
The three interior angles of an equilateral triangle are congruent and equal to 60°.
According to the angle sum property, the sum of the interior angles of an equilateral triangle is always equal to 180°.
Equilateral triangles are considered regular polygons since their three side lengths are equal.
The perpendicular drawn from any vertex of an equilateral triangle bisects the opposite side into two halves. The perpendicular also bisects the angle at the vertex from which it is drawn into 30° each.
In an equilateral triangle, the orthocenter and centroid are at the same point.
The median, angle bisector and altitude for all sides of an equilateral triangle are the same.
The area of an equilateral triangle is √3/4 a², where “a” is the side length of the triangle.
The perimeter of an equilateral triangle is 3a, where “a” is the side length of the triangle.

Equilateral Triangle Formulas

The height, perimeter, and area are the three basic formulas of an equilateral triangle, which are discussed below.

Height of an Equilateral Triangle

The height or altitude of an equilateral triangle is equal to √3a/2, where “a” is the side length of the triangle. It can be determined by using the Pythagorean formula. In the figure given below, ∆ABC is an equilateral triangle with equal sides that measures “a” unit. We can observe that a perpendicular is drawn from the vertex A to the opposite side BC, bisecting it into two halves at point D. ABD and ADC are two equal right angles. The length of AD is the height of the given triangle ∆ABC.

The Height of an Equilateral Triangle = √3a/2

where “a” is the side length of the triangle.

Perimeter of an Equilateral Triangle

The perimeter of an equilateral triangle is equal to the sum of its three side lengths. We know that all three sides of an equilateral triangle are equal. So, the perimeter of an equilateral triangle is 3a, where “a” is the side length of the triangle.

In the figure given above, ∆ABC is an equilateral triangle with equal sides that measures “a” unit.

So, the perimeter of an equilateral triangle (P) = (AB + BC + AC) units

(P) = a + a + a = 3a units

Perimeter of an equilateral triangle (P) = 3a units

where “a” is the side length of the triangle.

Learn in detail, Perimeter of a Triangle

Area of an Equilateral Triangle

The total region bounded by the three sides of a triangle in a two-dimensional plane is known as the area of a triangle. The area of an equilateral triangle is √3/4 a², where “a” is the side length of the triangle.

Area of an Equilateral Triangle = √3/4 a²

where “a” is the side length of the triangle.

Learn in detail, Area of a Triangle

Area of an Equilateral Triangle using Heron’s Formula

We know that the area of a triangle can be calculated using Heron’s formula if all its three side lengths are given. In the figure given above, ∆ABC is an equilateral triangle with equal sides that measures “a” unit.

So, AB = BC = CA = a

We know that,

where “s” is the semi-perimeter and s = (a + b + c)/2,
a, b, and c are the side lengths of the triangle.

Here, a = b = c = a

So, s = (a + a + a)/2 = 3a/2

Now, substitute the values in the formula.

$A = sqrt{frac{3a}{2}(frac{3a}{2}-a)(frac{3a}{2}-a)(frac{3a}{2}-a)}$

$A = sqrt{frac{3a}{2}(frac{a}{2})(frac{a}{2})(frac{a}{2})}$

$A = sqrt{(frac{3a^{4}}{16})}$

A = (√3/4) a²

Hence,

Area of an Equilateral Triangle = √3/4 a²

where “a” is the side length of the triangle.

Learn in detail, Heron’s Formula

Differences between Scalene, Isosceles, and Equilateral Triangles

Scalene Triangle	Isosceles Triangle	Equilateral Triangle
All three side lengths of a scalene triangle are always unequal.	There will be at least two equal side lengths in an isosceles triangle.	All three side lengths of an equilateral triangle always measure the same.
All three interior angles of a scalene triangle are always unequal.	The interior angles opposite the equal sides of an isosceles triangle are equal.	The three interior angles of an equilateral triangle are congruent and equal to 60°.

Solved Examples on Equilateral Triangles

Example 1: Determine the area of an equilateral triangle whose side length is 10 units.

Solution:

Given data:

Side length (a) = 10 units

We know that,

The Area of an Equilateral Triangle = √3/4 a²

A = √3/4 × (10)²

A = √3/4 × 100

A = 25√3 square units ≈ 43.301 square units

Hence, the area of the given equilateral triangle is approximately equal to 43.301 square units.

Example 2: Determine the height of an equilateral triangle whose side length is 8 cm.

Solution:

Given data:

Side length (a) = 8 cm

We know that,

The Area of an Equilateral Triangle = √3a/2

A = √3/2 × 8

A = 4√3 cm ≈

A = 25√3 square units ≈ 6.928 cm

Hence, the height of the given equilateral triangle is approximately equal to 6.928 cm.

Example 3: Determine the perimeter of an equilateral triangle whose side length is 13 cm.

Solution:

Given data:

Side length (a) = 13 cm

We know that,

The perimeter of an equilateral triangle (P) = 3a units

P = 3 × 13 = 39 cm.

Hence, the perimeter of the given equilateral triangle is 39 cm.

Example 4: What is the area of an equilateral triangle if its perimeter is 36 cm?

Solution:

Given data:

The perimeter of an equilateral triangle (P) = 36 cm

We know that,

The perimeter of an equilateral triangle (P) = 3a units

⇒ 3a = 36

⇒ a = 36/3 = 12 cm

We know that,

The Area of an Equilateral Triangle = √3/4 a²

A = √3/4 × (12)²

A = √3/4 × 144

A = 36√3 sq. cm

Hence, the area of the given equilateral triangle is 36√3 sq. cm.

FAQs on Equilateral Triangles

Q1: What is an Equilateral Triangle?

Answer:

An equilateral triangle is defined as a triangle that has three equal side lengths and three equal interior angles that measure 60° each.

Q2: What is the formula to find the height of an equilateral triangle?

Answer:

The height or altitude of an equilateral triangle is equal to √3a/2, where “a” is the side length of the triangle.

Q3: What is the perimeter of an equilateral triangle?

Answer:

The perimeter of an equilateral triangle is equal to the sum of its three side lengths. We know that all three sides of an equilateral triangle are equal. So, the perimeter of an equilateral triangle is 3a, where “a” is the side length of the triangle.

Q4: What is the formula to find the area of an equilateral triangle?

Answer:

Area of an equilateral triangle is √3/4 a², where “a” is the side length of the triangle.

Q5: How to determine the side of an equilateral triangle if its height is given?

Answer:

We know that the three side lengths of an equilateral triangle are equal. The formula to determine the height of an equilateral triangle is √3a/2, where “a” is the side length of the triangle. So, when we simplify it, we get a = 2h/√3.

Q6: Why is an equilateral triangle considered to be a regular polygon?

Answer:

Since the three side lengths and three angles of an equilateral triangle are equal, it is considered a regular polygon or a regular triangle.

Источник

Альфашкола
Уроки по математике
Планиметрия
Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник. — онлайн урок

Тема: Равносторонний треугольник 7 класс. В данном уроке дано определение равностороннего треугольника, определена градусная мера углов равностороннего треугольника, определены: длина высоты в равностороннем треугольнике, длина медианы в равностороннем треугольнике, длина биссектрисы в равностороннем треугольнике. Равносторонний треугольник и окружность: радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности. Рассмотрена формула нахождения площади равностороннего треугольника.

Отзывы:

Прекрасный Преподаватель, хороший подход к новым ученикам

Спасибо за урок, очень понравилось как доносилась информация. Везде бы таких преподавателей!

Уроки проходят быстро и интересно

Похожие уроки

Источник

В этой статье описаны все свойства, правила и определения равностороннего треугольника.

Математика — любимый предмет многих школьников, особенно тех, у которых получается решать задачи. Геометрия — это также интересная наука, но не все дети могут понять новый материал на уроке. Поэтому им приходится дорабатывать и доучивать дома. Давайте повторим правила равностороннего треугольника. Читайте ниже.

Все правила равностороннего треугольника: свойства

В самом слове «равносторонний» скрывается определение этой фигуры.

Определение равностороннего треугольника: Это треугольник, у которого все стороны равны друг другу.

Из-за того, что равносторонний треугольник – это в некотором роде равнобедренный треугольник, у него появляются признаки последнего. Например, в этих треугольниках биссектриса угла является еще медианой и высотой.

Вспомним: Биссектриса — луч, делящий угол пополам, медиана – луч, выпущенный из вершины, делящий противолежащую сторону пополам, а высота — это перпендикуляр, исходящий из вершины.

Вторым признаком равностороннего треугольника является то, что все его углы равны между собой и каждый из них имеет градусную меру в 60 градусов. Вывод об этом можно сделать из общего правила о сумме углов треугольника, равной 180 градусам. Следовательно, 180:3=60.

Следующее свойство: центром равностороннего треугольника, а также вписанной в него и описанной около него окружностей является точка пересечения всех его медиан (биссектрис).

Четвертое свойство: радиус описанной около равностороннего треугольника окружности превышает в два раза радиус вписанной окружности в эту фигуру. Убедиться в этом можно, посмотрев на чертеж. ОС является радиусом описанной около треугольника окружности, а ОВ1 — радиусом вписанной. Точка О — место пересечения медиан, значит, разделяет ее как 2:1. Из этого делаем вывод, что ОС = 2ОВ1.

Пятым свойством является то, что в этой геометрической фигуре легко посчитать составляющие элементы, если в условии указана длина одной стороны. При этом чаще всего используется теорема Пифагора.

Шестое свойство: площадь такого треугольника вычисляется по формуле S=(а^2*3) /4.
Седьмое свойство: радиусы окружности, описанной около треугольника, и окружности, вписанной в треугольник, соответственно равны
R = (a3) /3 и r = (a3) /6.

Рассмотрим примеры задач:

Пример 1:

Задача: Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 7 см. Найдите высоту треугольника.

Решение:

Радиус вписанной окружности связан с последней формулой, следовательно, OM = (BC3) /6.
BC = (6 * OM) /3 = (6*7) /3 = 143.
AM = (BC3) /2; AM = (143*3) /2 = 21.
Ответ: 21 см.

Эту задачу можно решить по-другому:

Исходя из четвертого свойства, можно сделать вывод, что ОМ = 1/2 АМ.
Следовательно, если ОМ равно 7, то АО равно 14, а АМ равно 21.

Пример 2:

Задача: Радиус описанной около треугольника окружности равен 8. Найдите высоту треугольника.

Решение:

Пусть АВС – равносторонний треугольник.
Как и в предыдущем примере, можно идти двумя путями: более простым – АО = 8 => ОМ =4. Тогда АМ = 12.
И более длинным – чтобы найти АМ через формулу. АМ = (АС3) /2 = (83*3) /2 = 12.
Ответ: 12.

Как видите, зная свойства и определение равностороннего треугольника, вы сможете решить любую задачу по геометрии по этой теме.

Видео: Геометрия Равносторонний треугольник

Источник