Как найти равноудаленную точку на координатной плоскости

Геометрия

План урока:

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (х_А;у_А) и В(х_B;у_B).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m<5; – 6>. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (х_к; у_к). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (х_к; у_к), коор-ты можно вычислить так:

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Определение координат середины отрезка

Пусть построен вектор АВ, причем известны коор-ты его начала А (х_А; у_А) и его конца B (х_B; у_B). Обозначим буквой С середину отрезка АВ и попытаемся вычислить коор-ты С, которые мы обозначим как (х_C; у_C):

Рассмотрим вектора АС и СВ. Они имеют одинаковую длину, потому что С разбивает АВ пополам. Также АС и СВ коллинеарны, так как они лежат на одной прямой АВ. При этом они и сонаправлены, а значит, эти вектора равны:

Нам удалось выразить коор-ты С через координаты А и В. В итоге можно сформулировать правило:

Например, пусть необходимо найти координаты середины отрезка HK, при этом известны коор-ты его концов: Н(5; – 2) и К(3; 4). Сначала найдем полусумму коор-т х и получим эту же коор-ту у середины:

Итак, точка середины отрезка имеет коор-ты (4; 1). Для наглядности построим отрезок ОК и продемонстрируем, что его середина действительно находится в точке (4; 1):

Вычисление длины вектора и отрезка

Пусть есть произвольный вектор с коор-тами . Отложим его от точки начала координат, после чего из его конца опустим перпендикуляры ОВ и ОС на координатные оси:

Для простоты рассмотрим случай, когда х и у – положительные числа, то есть точка А находится в первой четверти. Тогда длина ОВ будет равна х:

Так как ОСАВ – прямоугольник, то стороны ОС и АВ одинаковы, причем ОС имеет длину, равную коор-те у:

Теперь изучим ∆ОВА. Он прямоугольный, и ОА в нем – гипотенуза, поэтому можно записать теорему Пифагора:

OA 2 = OB 2 + AB 2

Теперь заменим отрезки ОВ и АВ на х и у:

Осталось извлечь квадратный корень:

Мы вывели формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Можно рассмотреть и остальные случаи, когда точка А лежит в другой четверти координатной плоскости или на координатных осях, однако во всех случаях будет получаться одинаковая формула.

Задание. Определите длину вектора с коор-тами:

Решение. Во всех случаях просто возводим каждую коор-ту в квадрат, потом складываем полученные числа и извлекаем из полученной суммы квадратный корень:

Теперь предположим, что имеется две точки с коор-тами (х₁; у₁) и (х₂; у₂). Требуется найти длину отрезка, их соединяющего, то есть расстояние между этими двумя точками. Если принять одну из этих точек, например первую, за начало вектора, а вторую за его конец, то задача сведется к вычислению длины этого вектора. Его коор-ты можно будет высчитать так:

Тогда расстояние между точками (обозначим его как d) будет вычисляться по формуле:

Задание. Определите длину отрезка MP, если известны коор-ты его концов:

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Выведенные нами формулы являются базовыми для расчетов, связанных с коор-тами. До этого мы решали лишь простейшие задачи на использование этих формул, однако в более сложных задачах надо использовать сразу несколько более сложных формул.

Задание. Известны коор-ты трех вершин параллелограмма АВСD: А(4; 1), В(1; 1), С(3; 5). Определите коор-ты четвертой вершины D.

Сначала найдем коор-ты вектора ВС. Мы можем это сделать, так как нам известны коор-ты его начальной и конечной точки:

Так как в параллелограмме противоположные стороны имеют одинаковую длину и при этом параллельны, то вектора ВС и АD равны, то есть имеют одинаковые коор-ты:

Итак, D имеет коор-ты (6; 5).

Задание. В – середина отрезка АС. Известны коор-ты точек: А(2; 4) и В(0; 18). Найдите коор-ты С.

Для начала будем работать только с коор-той х. Так как В – середина АС, то их абсциссы (напомним, так называют координату х точек) связаны соотношением:

Задание. Отрезок MN имеет длину 13. Даны координаты концов отрезка: M(4; 6) и N (х; 1). Найдите величину переменной х.

Нам по условию известно это расстояние для точек M и N, а также известны 3 и 4 коор-т точек. Поэтому надо просто подставить все известные данные в формулу, получить уравнение и решить его:

Далее извлекаем корень из обеих частей, но при этом появляется два различных корня (так обычно и бывает при решении квадратных уравнений):

Ответ: – 8 или 16.

Задание. Расстояние от точки S(2x; – 2) до точки T (6; 4х) составляет 14. Определите величину х.

Решение. Задача во многом аналогично предыдущей, надо подставить в формулу расстояния между точками данные из условия и решить получившееся уравнение:

Решаем это квадратное уравнение через дискриминант:

Ответ: (– 2,6) или 3.

Задание. Найдите коор-ты точки M на рисунке, если точка А имеет коор-ты (4; 2).

Решение. По рисунку видно, что середина отрезка находится в точке О(0; 0). Коор-ты середины отрезка (то есть точки О) и его граничных точек связаны формулами:

Использование признака коллинеарности векторов

На прошлом уроке мы выяснили, что если вектора коллинеарны, то их коор-ты пропорциональны. Это позволяет определить, лежит ли та или иная точка на указанной прямой.

Задание. Даны точки А(1; 2), В(4; 7) и С (10; 17). Определите, лежит ли точка В на прямой АС.

Решение. Если А, В и С принадлежат одной прямой, то любые два вектора, проведенные через эти точки, окажутся коллинеарными друг другу. Если же они НЕ лежат на одной прямой, то наоборот, любые два таких вектора окажутся неколлинеарными. То есть надо составить два вектора, например, АВ и ВС, и проверить их коллинеарность.

Определим коор-ты АВ:

Напомним, что для проверки векторов на коллинеарность надо поделить их коор-ты друг на друга. Если получится одно и то же число, то вектора коллинеарны:

В обоих случаях получилось одинаковое число, значит, вектора коллинеарны.

Ответ: Да, точка B лежит на прямой AC.

Задание. Проверьте, лежат ли точки А(3; 7), В (8; 12) и С(6; 4) на одной прямой.

Решение. Снова вычисляем коор-ты векторов АВ и ВС:

Получились разные числа, следовательно, вектора АВ и ВС не коллинеарны, а потому точки А, В и С никак не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Нет, точки A,B,C не лежат на одной прямой.

Задание. Проверьте, параллельны ли друг другу отрезки АВ и CD, если известны коор-ты: А(1; 1), В(5; 5), С(4; 2), D(6; 4).

Решение. Если отрезки параллельны, то и вектора АВ и CD должны быть коллинеарными. Проверим это также, как мы это делали в двух предыдущих задачах:

Итак, вектора коллинеарны. Означает ли это, что отрезки АВ и CD параллельны? Ещё нет. На самом деле возможно два случая:

1) АВ и CD действительно параллельны;

2) АВ и СD лежат на одной прямой, и тогда их параллельными считать нельзя.

Как же проверить, какой из двух случаев относится к этой задаче? Надо рассмотреть ещё один ВС. Если реализуется второй случай, то он окажется коллинеарен вектору АВ. В первом же случае он будет ему не коллинеарен.

Получили различные числа, значит, АВ и ВС не коллинеарны. Теперь мы можем точно утверждать, что АВ и СD параллельны.

Ответ: Да, отрезки AB и CD параллельны.

Деление отрезка в заданном отношении

Мы уже научились находить коор-ты середины отрезка. Можно сказать, что середина – это точка, которая разбивает отрезок в отношении 1:1, то есть на равные отрезки. А что делать в более сложном случае, если нужно найти точку, разбивающую отрезок в другом отношении, например, в отношении 2:1? Выведем для такого случая формулу.

Пусть точка С разбивает отрезок АВ в некотором отношении так, что отрезок АС в k больше отрезка СВ:

(Примечание. Если отрезок АС меньше СВ, то число k будет меньше единицы.)

Как и обычно, для обозначения коор-т точек используем индексы, совпадающие с обозначением точек: А(x_А; у_А), В(x_В; у_В) и С(x_С; у_С).

Нам также потребуются вектора АСАС; у_АС> и СВСВ; у_СВ>. Так как эти вектора сонаправлены, и АС в k раз длиннее, то

Абсолютно аналогичные образования приведут к такому же выражению для коор-ты у:

Рассмотрим на примерах использование этой формулы.

Задание. На отрезке РM отложена точка K так, что она разбивает РM на отрезки РK и KM в отношении РK:KM = 2:1. Даны коор-ты точек: Р(6; 3) и К (18; 12). Вычислите коор-ты K.

Отношение РК:КМ = 2:1 означает, что отрезок РК в 2 раза длиннее, чем КМ. Это означает, что в формуле

Задание. Точки B (5; – 16) и H(29; 24) соединены отрезком. Точка M на отрезке ВН отмечена так, что ВМ:МН = 3:5. Определите коор-ты точки М.

Решение. Из отношения ВМ:МН = 3:5 вытекает, что ВМ длиннее МН в

то есть фактически ВМ короче МН. То есть при использовании формулы

Рассмотрим ещё несколько более усложненных задач с использованием коор-т.

Задание. Точка K лежит на оси Ох, при этом она равноудалена от точек Е(2; 2) и F(6; 10). Найдите коор-ты К.

Решение. У любой точки, лежащей на оси Ох, коор-та у будет равна нулю, в том числе и у точки К:

Будем обозначать неизвестную коор-ту К как х:

Напомним расстояние между точками можно рассчитать, используя формулу:

Получили иррациональное уравнение. В данном случае можно просто приравнять подкоренные выражения, однако после получения корней надо проверить, нет ли среди них посторонних:

Проверяем, не является ли корень посторонним. Для этого просто подставляем его в уравнение:

Корень действительно подошел, поэтому коор-та х точки К равна 16.

Введение прямоугольной системы координат

Даже если в формулировке задачи коор-ты и вектора прямо не упоминаются, может быть полезным самостоятельно добавить в нее прямоугольную систему координат. Это позволит использовать формулы, используемые в методе коор-т, для решения задачи.

Задание. Докажите, что если в параллелограмме сложить квадраты всех его сторон, то получится то же число, что и при сложении квадратов диагоналей этого параллелограмма.

Решение. Расположим систему коор-т таким образом, одна из сторон параллелограмма находилась на оси Ох, причем одна ее вершина совпадала с началом коор-т, а другая имела положительную коор-ту х:

Пусть вершина А находится в начале коор-т, и тогда она имеет коор-ты (0; 0). Вершина D лежит на Ох, тогда ее ордината равна нулю, а абсциссу обозначим буквой а. Точка В имеет произвольные коор-ты (b; с), коор-ты же точки С можно рассчитать. Сначала заметим, что вектор коор-ты вектора АВ совпадают с коор-тами точки В, так как он является радиус-вектором:

Вектора АВ и DC равны, потому что они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину:

Итак, коор-ты С – это (а + b; с).

Теперь мы должны длину каждой стороны параллелограмма и возвести ее в квадрат. Обратите внимание, что если расстояние между точками рассчитывается по формуле

Задание. В равнобедренном треугольнике длина основания составляет 80 см, а опущенная на нее медиана имеет длину 160 см. Вычислите длины двух других медиан.

Решение. Пусть АВС – рассматриваемый в задаче треугольник, причем АВ – его основание. Расположим систему коор-т так, чтобы ее начало совпадало с точкой, в которой медиана пересекается с основанием:

В этом случае вершина, из которой опущена медиана, будет иметь коор-ты (0; 160), а две другие вершины будут иметь коор-ты (– 40; 0) и (40; 0).

Нам надо найти длину двух других медиан АM и BN. Они одинаковы по длине, поэтому достаточно найти длину только одной из них, например, АМ. Для этого сначала найдем коор-ты М, которая является серединой ВС:

Сегодня мы познакомились с важнейшими формулами, используемыми в методе коор-т, и научились решать некоторые простейшие задачи. В будущем мы узнаем о более сложных задачах, в которых будут фигурировать не только отрезки и многоугольники, но и окружности.

Лучший ответ

еще ответы

ваш ответ

похожие темы

похожие вопросы 5

The distance formula is used to calculate the distance between any two points in a two-dimensional or three-dimensional plane. In other words, it gives the distance between two different locations on a cartesian plane. 

What is the Distance Formula?

It applies the Pythagorean theorem to determine the required distance. Its formula claims that the distance between any two coordinates is equal to the square root of the differences between the x-coordinates and y-coordinates of the points. It is used to evaluate the distance between point to point, point to plane, and plane to plane.

D = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

where,

• D is the distance between the points,
• (x₁, y₁) and (x₂, y₂) are the coordinates.

How to find the equidistant points on the Y-axis?

Consider two points A (a, b) and B (p, q) lying at a distance from each other on a two dimensional plane.

We have to find a point on the y-axis which is equidistant from these points. It is known that any point that lies on y-axis is of the form (0, y).

Suppose C is (0, y). According to the problem we can conclude that,

AC = BC

AC² = BC²

Using distance formula we have,

(0 – a)² + (y – b)² = (0 – p)² + (y – q)²

a² + y² + b² – 2yb = p² + y² + q² – 2yq

2y (q – b) = p² – q² – a² – b²

y = (p² – q² – a² – b²)/2(q – b)

The above value is calculated by substituting the given values of a, b, p and q. This gives us the point required (0, y).  

Sample Problems

Problem 1: Find the point on the y-axis which is equidistant from (-3, 4) and (5, 2).

Solution:

Suppose the required point is (0, y).

Using distance formula we get,

(-3 – 0)² + (4 – y)² = (5 – 0)² + (2 – y)²

9 + 16 + y² – 8y = 25 + 4 + y² – 4y

-8y + 4y – 4 = 0

4y = -4

y = -1

So, the required point is (0, -1).

Problem 2: Find the point on the y-axis which is equidistant from (6, 3) and (4, 1).

Solution:

Suppose the required point is (0, y).

Using distance formula we get,

(6 – 0)² + (3 – y)² = (4 – 0)² + (1 – y)²

36 + 9 + y² – 6y = 16 + 1 + y² – 2y

45 – 6y – 17 + 2y = 0

4y = 28

y = 7

So, the required point is (0, 7).

Problem 3: Find the point on the y-axis which is equidistant from (3, 2) and (8, 4).

Solution:

Suppose the required point is (0, y).

Using distance formula we get,

(3 – 0)² + (2 – y)² = (8 – 0)² + (4 – y)²

9 + 4 + y² – 4y = 64 + 16 + y² – 8y

13 – 4y – 80 + 8y = 0

4y = 67

y = 67/4

So, the required point is (0, 67/4).

Problem 4: Find the point on the y-axis which is equidistant from (5, 1) and (7, 2).

Solution:

Suppose the required point is (0, y).

Using distance formula we get,

(5 – 0)² + (1 – y)² = (7 – 0)² + (2 – y)²

25 + 1 + y² – 2y = 49 + 4 + y² – 4y

26 – 2y – 53 + 4y = 0

2y = 27

y = 27/2

So, the required point is (0, 27/2).

Problem 5: Find the value of x if (0, 3) is equidistant from (x, 5) and (3, 6).

Solution:

Using the distance formula we get,

(x – 0)² + (5 – 3)² = (3 – 0)² + (6 – 3)²

x² + 4 = 9 + 9

x² = 18 – 4

x² = 14

x = ±3.74

Problem 6: Find the value of x if (0, 2) is equidistant from (x, 1) and (5, 2).

Solution:

Using the distance formula we get,

(x – 0)² + (1 – 2)² = (5 – 0)² + (2 – 2)²

x² + 1 = 25 + 0

x² = 25 – 1

x² = 24

x = ±4.89

Problem 7: Find the value of x if (0, 6) is equidistant from (x, 3) and (7, 4).

Solution:

Using the distance formula we get,

(x – 0)² + (3 – 6)² = (7 – 0)² + (4 – 6)²

x² + 9 = 49 + 4

x² = 53 – 9

x² = 44

x = ±6.63

Last Updated :
24 May, 2022

Like Article

Save Article

Условие

Решение

Все решения

Написать комментарий

§ 1. Прямоугольная система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Прямоугольная
   система координат.

Прямая, на которой
выбрано положительное направление
называется осью.

Прямая, на которой
выбрано направление, точка
начало
отсчёта и единичный отрезок, называетсякоординатной
осью (Рис.
1).

Рис. 1.

Координатой
любой точки
данной прямой (в установленной системе
координат) называется число,
если направление от начала координатк точкесовпадает с положительным направлением
оси, и,
в противном случае. Обозначение

.

Две взаимно
перпендикулярные координатные оси, с
общим началом и равными единичными
отрезками, называются прямоугольной
декартовой системой координат (ПДСК).
Одна из осей (горизонтальная) называется
осью абсцисс
,
вторая (вертикальная)осью ординат
.

Плоскость,
на которой введена ПДСК, называетсякоординатной
плоскостью.

Пусть
произвольная
точка плоскости, опустим из точкиперпендикуляры на оси координат, получим
точкиисоответственно (Рис. 2). Пусть точкаимеет координатуна оси абсцисс, точкакоординатуна оси ординат, тогда будем говорить,
что точкаимеет координаты,и обозначать

Прямоугольными
декартовыми координатами
точки
плоскости называется упорядоченная
пара действительных чисели.

1. Расстояние между
   двумя точками.

Расстояние между
точками
ивычисляется по формуле:

. (1)

1. Деление отрезка
   в данном отношении.

Пусть на плоскости
дан произвольный отрезок
и пустьлюбая
точка этого отрезка, отличная от точки(Рис. 3).

Число,
определяемое равенством

,
(2)

называется
отношением,
в котором точка
делит отрезок.

Координаты точки
по данному отношениюи данным координатам точекиможно найти по формулам

, . (3)

В частности, при
делении отрезка пополам, т. е. при
,
получаем формулы для нахождения координат
середины отрезка:

, . (4)

Используя равенства
(3) можно получить формулы для нахождения
координат точки пересечения медиан
треугольника
,
если,,:

, .

1. Площадь
   треугольника.

Площадь треугольника
с вершинами
,,равна:

Выражение вида
равнои называется определителем второго
порядка.

Задача 1. Найти
точку, удалённую на 13 единиц, как от
точки
,
так и от оси.

Решение.
Пусть
искомая
точка. Так как точкаудалена от осина 13 единиц, то её абсциссаили.
Следовательно, получим две точкии.
Найдём вторую координату.

По условию задачи,
расстояние
.
По формуле (2) имеем,

,

.

Возведем в квадрат
обе части равенств:

,

(невозможно).

Отсюда,

или
.

Таким образом,
получили две точки
и.

Задача 2. Даны
три вершины параллелограмма
,,.
Определить четвёртую вершину,
противоположную.

Решение.
Пусть
точка
пересечения диагоналей данного
параллелограмма (Рис. 4) Тогда по свойству
параллелограмма, она делит его диагонали
пополам, т. е.исередина.
Из (4)

,

,

Таким образом,
точка
.
Аналогично,является серединой диагонали.
Так как

, ,

то имеем,

, .

Итак, четвёртая
вершина параллелограмма
.

Задача 3. Даны
вершины треугольника
,,.
Найти длину его медианыи биссектрисы(Рис.5).

Решение.
Пусть
медиана
треугольника.
Тогда из определения медианы следует,
что точкасередина
отрезка.
Вычислим координаты точки,
используя формулы (4):

,

.

Итак, точка
.

Найдём длину
медианы по формуле расстояния между
двумя точками (2):

.

Таким образом,
длина медианы
равна.

Пусть
биссектриса
внутреннего угла треугольникапри вершине.
Воспользуемся следующим свойством
биссектрисы треугольника: биссектриса
делит противолежащую сторону в отношении
пропорциональном прилежащим сторонам,
т. е.

.

Вычислим длины
сторон
ипо формуле (2):

,

.

Таким образом,

.

Координаты точки
определим по формулам (3):

,

.

Итак, точка
.
Найдём длину биссектрисы:

.

Задачи для
самостоятельного решения.

Задача 4.
Где расположены точки имеющие: 1) равные
абсциссы; 2)
равные ординаты; 3) равные координаты.

Задача 5. Определить
координаты точки, симметричной точке
относительно оси абсцисс; относительно
оси ординат, если 1);
2).

Задача 6. Построить
треугольник
.
Доказать, что он прямоугольный, если:

1)
,,;

2)
,,.

Задача 7.
На оси ординат найти точку равноудалённую
от точек
и,
если:

1)
,;

2)
,.

Задача 8.
Найти центр и радиус окружности, описанной
около треугольника
,
если:

1)
,,;

2)
,,.

Задача 9.
Даны две смежные вершины параллелограмма
,и точка пересечения его диагоналей.
Определить две другие вершины, если:

1)
,,;

2)
,,.

Задача 10.
Отрезок, ограниченный точками
,,
разделён на равные части. Определить
координаты точек деления, если:

1)
,,
на три части;

2)
,,
на четыре части.

Задача 11.
Дан треугольник
.
Найти длину медианыи длину биссектрисы,
если

1)
,,;

2)
,,.

Задача 12.
Вычислить площадь треугольника с
вершинами
,,.

Задача 13.
Показать, что точки лежат на одной прямой
,,.

Задача 14^*.
Даны две вершины
итреугольникаи точкапересечения его медиан. Определить
координаты вершины.

Задача 15^*.
Отрезок
разделён точкамиина три равные части. Найти координаты
концов отрезка.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #