В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Начнем с определения:
Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.
Записать отношение числа a к числу b мы можем как (mathbf{a div b}) или же через дробную черту: (mathbf{frac{a}{b}})
У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:
- может получиться натуральное число
- обыкновенная дробь
- смешанное число
Посмотрим на разные примеры.
Пример 1
Найдем отношение чисел 256 и 8
По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.
(mathbf{256div8=32})
Ответом будет 32.
Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1
В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.
Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:
- если отношение получилось больше 1, значит, первое число больше второго
- если меньше 1, то второе число больше первого
- если отношение оказалось равно 1, значит, числа равны
Пример 2
Найдите отношение 15 к 12
По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.
(mathbf{15div12=frac{15}{12}=frac{5cdot3}{4cdot3}=frac{5}{4}=1frac{1}{4}})
Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.
Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.
Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в (mathbf{1frac{1}{4}}) раза.
Пример 3
Найдем отношение 16 к 24.
Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.
(mathbf{16div24=frac{16}{24}=frac{8cdot2}{8cdot3}=frac{2}{3}})
В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.
Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.
А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в (mathbf{frac{2}{3}}) раза.
Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет (mathbf{frac{2}{3}}) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.
Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.
Пример 4
Есть два числа, 14 и 28
Посчитаем отношение 14 к 28
(mathbf{14div28=frac{14}{28}=frac{14cdot1}{14cdot2}=frac{1}{2}})
И посчитаем отношение 28 к 14
(mathbf{28div14=2})
Как вы видите, получились разные значения.
Как можно заметить, это взаимно обратные числа.
Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.
Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.
Пример 5
Дано, что отношение числа a к числу b равно (mathbf{frac{2}{5}}), найдем отношение b к a
Для этого надо найти обратное число к (mathbf{frac{2}{5}})
(mathbf{1divfrac{2}{5}=frac{5}{2}=2frac{1}{2}})
Значит, отношение b к a равняется (mathbf{2frac{1}{2}})
В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.
Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.
Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.
Пример 6
Отношение числа 10 к числу 30 равно (mathbf{frac{1}{3}})
Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно (mathbf{frac{1}{3}})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.
Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.
Так мы получим число, которое будет частью исходного.
Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него (mathbf{frac{3}{8}})
Перемножив, мы получим:
(mathbf{4cdotfrac{3}{8}=frac{4cdot3}{8}=frac{4cdot3}{4cdot2}=frac{3}{2}=1frac{1}{2}})
А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.
Для этого разделите одно на другое:
(mathbf{1frac{1}{2}div4=frac{3}{2}div4=frac{3}{2cdot4}=frac{3}{8}})
То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.
Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.
Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.
Пример 1
Известно, что некая дробь от числа 10 равна (mathbf{2frac{1}{2}})
Найдем, какая именно это дробь.
Решение:
Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.
Теперь разделим одно на другое и получим ответ.
(mathbf{2frac{1}{2}div10=frac{2cdot2+1}{2}div10=frac{5}{2}div10=frac{5}{2cdot10}=frac{1}{2cdot2}=frac{1}{4}})
Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили (mathbf{2frac{1}{2}}), равняется (mathbf{frac{1}{4}})
Пример 2
Отношение первого числа ко второму равно (mathbf{1frac{1}{5}}), также известно, что первое число равно 6.
Найдем второе число.
Решение:
Мы знаем, что отношение обратно дроби.
Найдем обратное число к (mathbf{1frac{1}{5}})
(mathbf{1div1frac{1}{5}=1divfrac{6}{5}=1cdotfrac{5}{6}=frac{5}{6}})
Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:
(mathbf{6cdotfrac{5}{6}=frac{6cdot5}{6}=5})
Второе число равно 5
Проверка:
Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5
(mathbf{6div5=frac{6}{5}=1frac{1}{5}})
Получилось то же отношение, что и в условии.
Пример 3
Решим похожую задачу:
Отношение числа а к числу b равно (mathbf{1frac{1}{2}})
Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.
Решение:
Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:
(mathbf{1div1frac{1}{2}=1divfrac{3}{2}=frac{2}{3}})
Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.
В нашем случае на дробь надо делить число b :
(mathbf{8divfrac{2}{3}=8cdotfrac{3}{2}=frac{8cdot3}{2}=4cdot3=12})
Ответ: число a равняется 12
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Теперь научимся находить отношения в задачах.
Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.
Задача 1
Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.
а) Найдите, какая часть улицы освещена.
б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.
Именно это и спрашивается в первом вопросе.
Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:
(mathbf{15div25=frac{15}{25}=frac{3cdot5}{5cdot5}=frac{3}{5}})
Значит, длина освещенного участка составляет (mathbf{frac{3}{5}}) от длины всей улицы.
Во втором вопросе нас спрашивают: «Во сколько раз больше?» — это соответствует отношению большего числа к меньшему.
Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:
(mathbf{25div15=frac{25}{15}=frac{5cdot5}{3cdot5}=frac{5}{3}=1frac{2}{3}})
Что отвечает на вопрос второго пункта.
Ответ: a) (mathbf{frac{3}{5}}), б) (mathbf{1frac{2}{3}})
Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.
То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.
Задача 2
Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.
Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.
Теперь найдем искомое отношение:
(mathbf{frac{350}{2000}=frac{35}{200}=frac{7cdot5}{5cdot40}=frac{7}{40}})
Ответ: (mathbf{frac{7}{40}}).
Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Сегодня вы узнаете о математических фокусах!
Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.
Фокус 1
Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.
Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.
Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.
Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.
Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х
Фокус 2
В нем вы можете угадать День рождения человека.
Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).
Для того чтобы сказать по полученному числу День рождения человека, надо вычесть из числа, названного зрителем, 250 — получится трехзначное или четырехзначное число, где первые одна или две цифры — это день рождения, а последние две — месяц.
В данной публикации мы рассмотрим, какие дроби являются равными, а также как сравнить две дроби с одинаковыми числителями/знаменателями или с разными знаменателями.
- Равные дроби
-
Сравнение простых дробей
- С одинаковыми знаменателями
- С одинаковыми числителями
- С разными знаменателями
- Другие правила сравнения дробей
Равные дроби
Две дроби являются равными, если их числители и знаменатели соответственно равны (пропорционально равны).
Пример: дроби
4/5
и
8/10
равны, т.к. числитель и знаменатель первой дроби в два раза меньше числителя и знаменателя второй дроби.
Равные дроби соответствует:
- одной и той же точке на числовой оси;
- одной и той же десятичной дроби, которая вычисляется путем деления числителя на знаменатель. В нашем случае 4/5 = 8/10 = 0,8.
Сравнение простых дробей
С одинаковыми знаменателями
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, больше та, у которой числитель больше.
Пример:
5/7
>
3/7
, т.к. 5>3.
С одинаковыми числителями
Из двух дробей с одинаковыми числителями, больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример:
6/4
>
6/11
, т.к. 4<11.
С разными знаменателями
Для того, чтобы иметь возможность сравнить дроби с разными знаменателями, для начала их нужно привести к общему знаменателю, после чего их уже можно сравнить по одинаковому знаменателю.
Пример: сравним дроби
3/8
и
2/16
.
В данном случае нам нужно представить первую дробь со знаменателем 16 путем умножения числителя и знаменателя на число 2.
Теперь у нас имеются две дроби с одинаковыми знаменателями, которые мы можем сравнить по соответствующему правилу, рассмотренному выше.
Другие правила сравнения дробей
1. Любая правильная дробь меньше 1.
2. Любая неправильная дробь больше 1.
Пример:
8/3
>1, т.к.
8/3
=2
2/3
>1.
3. Любая неправильная дробь всегда больше правильной, что следует из правил 1 и 2 выше.
Составление и решение пропорций в математике
Пропорции — что это в математике
Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?
Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.
Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.
Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.
Другой вариант записи ответа отмечают в виде десятичной дроби и процентов: 3 5 = 0 , 6 или 60%.
Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.
Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.
Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.
В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.
Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.
Пропорцией называют равенство двух отношений.
Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.
Можно ли составить из этих выражений пропорцию?
Найдем значения каждого из отношений:
3 , 8 : 2 = 1 , 9 ; 5 , 7 : 3 = 1 , 9 .
Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.
Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.
Такое равенство называется пропорцией.
Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.
С помощью буквенных символов пропорцию можно записать так: a : b = c : d или a b = c d .
Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».
Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.
Числа b и c — средними членами пропорции.
Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.
Крайние члены пропорции — 42 и 7.
Средние члены пропорции — 6 и 49.
Определите средние члены пропорции 25 5 = 35 7 .
Средние члены пропорции — 5 и 35.
Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.
Основное свойство пропорции, правило
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:
Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Произведение крайних членов равно произведению 6 и 3. Получим 6 * 3 = 18 .
Произведение средних членов равно произведению 2 и 9. Получим 2 * 9 = 18 .
Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.
Обратное утверждение тоже верно:
Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.
Пропорция 60:12=10:2 верна, потому что 60 * 2 = 12 * 10 = 120 .
Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.
Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.
Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.
Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.
По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.
Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Получим 4 , 8 * 2 , 5 = b * 8 .
b = 4 , 8 * 2 , 5 : 8 ;
Составление и решение пропорций
Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.
Слово «относится» заменяем на знак деления.
Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.
Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.
6 : 18 = 9 : 27 ; 1 3 = 1 3 , получили верную пропорцию.
Запишите пропорцию и проверьте ее: отношение 2 к 1 4 равно отношению 3 к 1 15 .
Записываем отношения: 2 1 4 и 3 1 15 .
Составляем пропорцию: 2 1 4 = 3 1 15 .
Проверяем, верна ли пропорция.
Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
2 * 1 15 ≠ 1 4 * 3 ; 2 15 ≠ 3 4 . Условие равенства произведений не выполнилось, значит, пропорция не верна.
Определите, верна ли пропорция: 1 , 4 0 , 7 = 3 , 4 1 , 7 .
Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.
Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:
1 , 4 * 1 , 7 = 2 , 38 ; 0 , 7 * 3 , 4 = 2 , 38 .
Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
1 , 4 * 1 , 7 = 0 , 7 * 3 , 4 ; 2 , 38 = 2 , 38 .
Вывод: пропорция верна.
Примеры уравнений с решением для 6 класса
Решите уравнение: 8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 .
Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.
8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 ; 8 , 8 * 0 , 12 = 4 2 5 * n . Из равенства выражаем n : n = 8 , 8 * 0 , 12 4 2 5 Представим смешанное число 4 2 5 в виде десятичной дроби. Для этого приведем дробную часть смешанного числа к дроби со знаменателем 10 : домножим числитель и знаменатель 2 . 4 2 5 = 4 2 * 2 н а 5 * 2 = 4 4 10 . Такое смешанное число записываем в виде десятичной дроби, отделяя целую часть запятой: 4 4 10 = 4 , 4 . Тогда n = 8 , 8 * 0 , 12 4 , 4 . Сокращаем получившуюся дробь: 0 , 12 и 4 , 4 делятся на 4 . n = 8 , 8 * 0 , 03 1 , 1 ; 8 , 8 и 1 , 1 делятся на 1 , 1 . n = 8 * 0 , 03 1 ; n = 0 , 24 .
Найдите неизвестный член пропорции: 1 1 2 : 2 1 4 = 6 : m .
Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.
1 1 2 * m = 2 1 4 * 6 . И выражаем m : m = 2 1 4 * 6 : 1 1 2 . Переводим смешанные числа в неправильные дроби: m = 2 * 4 + 1 4 * 6 : 1 * 2 + 1 2 ; m = 9 4 * 6 : 3 2 . Натуральное число переводим в обыкновенную дробь со знаменателем 1 и умножаем на первую дробь: m = 9 4 * 6 1 : 3 2 ; m = 9 * 6 4 * 1 : 3 2 . Чтобы разделить обыкновенные дроби, нужно домножить дробь на взаимно обратную данной: m = 9 * 6 4 * 1 * 2 3 ; m = 9 * 6 * 2 4 * 1 * 3 . Сокращаем получившееся выражение. 4 и 2 делятся нацело на 2 . 9 и 3 делятся нацело на 3 . m = 3 * 6 * 1 2 * 1 * 1 . Для чисел 6 и 2 общий делитель 2 : m = 3 * 3 * 1 1 * 1 * 1 ; m = 9 .
Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.
По основному свойству пропорции получим: 0 , 25 * 3 = x * 3 , 75 .
x = 0 , 25 * 3 : 3 , 75 ; x = 0 , 75 : 3 , 75 . Делить на десятичную дробь нельзя. Преобразуем ее в натуральное число.
После запятой в дроби 3 , 75 два знака, значит, нужно домножить ее на единицу с таким оличеством нулей. Это сто.
Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.
x = 0 , 75 * 100 : 3 , 75 * 100 ; x = 75 : 375 ; x = 0 , 2 .
Найдите неизвестное: k : 3 1 2 = 0 , 4 : 2 4 5
Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.
По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Получим: k * 2 4 5 = 3 1 2 * 0 , 4 .
Выразим k : k = 3 1 2 * 0 , 4 : 2 4 5 .
Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: 0 , 4 = 4 10 . Эта дробь сократима: числитель и знаменатель делятся на 2 нацело: 4 10 = 4 : 2 10 : 2 = 2 5 .
Записываем полученное выражение:
k = 3 1 2 * 2 5 : 2 4 5 .
1 действие — умножение.
Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
3 1 2 * 2 5 = 3 * 2 + 1 2 * 2 5 = 7 2 * 2 5 = 7 * 2 2 * 5 .
Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.
2 действие — деление.
Теперь делим полученное число на 2 4 5 .
Смешанное число переводим в неправильную дробь.
Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.
7 5 : 2 4 5 = 7 5 : 2 * 5 + 4 5 = 7 5 : 14 5 = 7 5 * 5 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 14 = 1 2 = 0 , 5 .
Решение уравнений с дробями
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
- Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
- Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
- Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
-
Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
- Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-uravnenij-s-drobyami
http://urok.1sept.ru/articles/559882
Содержание:
- Равные дроби
- Принципы сравнения дробей
- Сравнение дробей с разными знаменателями
Равные дроби
Пример
Задание. Найти при каком значении $x$ и $y$ дроби $frac{x}{3}$ и $frac{4}{y}$ будут равны.
Решение. Заданные дроби равны, то есть $frac{x}{3}=frac{4}{y}$ , если равны их числители и знаменатели
соответственно. А тогда имеют место следующие равенства:
$x=4$ $3=y$ или $x=4$ $y=3$
Ответ. $x=4, y=3$
Две дроби считаются равным, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой.
Например. Дроби $frac{3}{4}$ и
$frac{6}{8}$ равны, так как две длины, из которых одна составляет $frac{3}{4}$ м, а вторая — $frac{6}{8}$ м, равны (рис 1).
Принципы сравнения дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.
Например. $frac{7}{18}>frac{5}{18}$ , так как $7>5$
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.
Например. $frac{7}{3}>frac{7}{6}$, так как $3<6$ .
Любая правильная дробь меньше 1.
Например. $frac{4}{5} < 1$
Неправильная дробь, числитель которой равен знаменателю, равна 1.
Например. $frac{3}{3}=1, frac{7}{7}=1$
Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше 1.
Например. $frac{7}{6}>1$
Любая правильная дробь меньше произвольной неправильной дроби.
Например. $frac{4}{5}<frac{5}{4}$
В общем случае дроби по величине сравниваются следующим образом. Умножают числитель первой дроби на
знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. И сравнивают полученные произведения. Если первое
из этих произведений больше/равно/меньше второго, то соответственно и первая дробь больше/равно/меньше второй.
Например. $frac{5}{6}>frac{7}{9}$ , так как $5 cdot 9>6 cdot 7 Leftrightarrow 45>42$
Сравнение дробей с разными знаменателями
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю. Для этого
приводят либо к общему знаменателю, либо числитель и знаменатель первой дроби домножают на знаменатель второй и наоборот,
числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. И далее дроби сравнивать как дроби с одинаковым знаменателем
(описано выше).
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Сравнить дроби
$frac{3}{4}$ и $frac{5}{7}$
Решение. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого
числитель и знаменатель
первой дроби домножим на 7 (знаменатель второй дроби); а числитель и знаменатель второй дроби — на 4, будем иметь:
$frac{3 cdot 7}{4 cdot 7}$ и $frac{5 cdot 4}{7 cdot 4}$
$frac{21}{28}$ и $frac{20}{28}$
Первая дробь больше: $frac{21}{28}>frac{20}{28} Leftrightarrow frac{3}{4}>frac{5}{7}$ , так как ее числитель $21 > 20$
Ответ. $frac{3}{4}>frac{5}{7}$
Читать следующую тему: основное свойство дроби.
Действия с дробями регулируются основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
2/5 = 4/10, т.к. 2 ∙ 2/5 ∙ 2
Равные дроби по сути являются записью одного и того же числа.
Сравним, 2/5 = 0,4 и 4/10 = 0,4.
Числа, которые мы можем записать в виде дробей, называются рациональными числами, множество которых обозначается латинской буквой Q. Вспомним, что любое целое число мы можем записать в виде дроби: 4 = 4/1, следовательно, любое целое число рационально. Иными словами, множество целых чисел Z – это подмножество Q, или Z принадлежит Q.
Итак, умножим дробь на 5: 1/5 ∙ 5 = 1 ∙ 5/5 ∙ 5 = 5/25.
Разделим дробь на 3: 33/21 : 3 = 33 : 3/21 : 3 = 11/7 = 14/7.
Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называется приведение дроби к знаменателю.
Например: если дробь 3/4 мы умножим на 2 и получим 6/8, то мы скажем, что мы привели дробь 3/4 к знаменателю 8, причем число 2 называется дополнительным множителем.
Приведем дробь 4/5 к знаменателю 30.
1. Найдем дополнительный множитель: 30 : 5 = 6. Итак, наш дополнительный множитель 6.
2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 6: 4 ∙ 6/5 ∙ 6 = 24/30.
Итак, наша дробь 24/30.
Основываясь на главном свойстве дроби, мы приходим к понятию «сокращение дроби». Сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель (отличный от единицы).
Рассмотрим дробь 15/20. Число 5 для чисел 15 и 20 является общим делителем. Значит, и числитель, и знаменатель дроби можно разделить на общий делитель дроби 5. Получим: 15 : 5/20 : 5 = 3/4.
Наибольшим общим делителем называется наибольшее число, на которое можно сократить дробь. Например, дробь 30/45 можно сократить на 3 и 5, но наибольшим числом, на которое можно сократить нашу дробь, является число 15: 30 : 15 / 45 : 15 = 2/3.
Бывает так, что числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, кроме единицы; такую дробь мы называем несократимой, а числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы, называют взаимно простыми.
Приведение дробей к общему знаменателю позволяет сравнивать дроби с разными знаменателями. Иными словами, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо:
1. привести дроби к общему знаменателю;
2. сравнить числители получившихся дробей.
Рассмотрим пример 3/5 ??? 4/7.
1. Приведем дроби к общему знаменателю 35. Для этого домножим первую дробь на 7 (и числитель, и знаменатель), а вторую (и числитель, и знаменатель) на 5. Получим: 21/35 ??? 20/35.
2. Сравним числители получившихся дробей: 21 больше 20, следовательно, 3/5 > 4/7.
Рассмотрим пример: 6/9 ??? 8/12.
Общим знаменателем наших дробей будет число 9 ∙ 12. Но, чтобы облегчить решение примера, нужно заметить, что наши дроби можно сократить (6/9 на 3, 8/12 на 4): 2/3 ??? 2/3, т.е. 2/3 = 2/3, следовательно, 6/9 = 8/12. Как видим, в таком случае нам понадобилось гораздо меньше времени на установление равенства дробей.
Закрепим материал и докажем неравенство: 123/800 > 1/8.
1. Приведем дроби к общему знаменателю 800. Домножим вторую дробь на 100 и получим 100/800.
2. Итак, наши дроби для сравнения 123/800 и 100/800.
3. Т.к. 123/800 > 100/800, то и 123/800 > 1/8. Следовательно, неравенство верно, что нам и требовалось доказать.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.