Как найти равные отрезки в прямоугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Прямоугольник.

Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.

Определение. Прямоугольником
называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

— прямоугольник

Поскольку прямоугольник – это
параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме
того, у него есть ещё свои, особые свойства.

Рассмотрим эти свойства.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I).
У прямоугольника диагонали равны.

Дано: – прямоугольник,

и – диагонали.

Доказать:

Доказательство.

1.
Рассмотрим и .

по признаку равенства
прямоугольных треугольников (или по I
признаку равенства треугольников) все соответствующие стороны
и углы у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II).
У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных
прямоугольных треугольника.

Дано: – прямоугольник,

– диагональ.

Доказать:

Доказательство.

Рассмотрим
и .

по III
признаку равенства треугольников. по определению
прямоугольника. Значит, треугольники и – равные и прямоугольные,
ч.т.д.

Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. У
прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.

2. У
прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3. У
прямоугольника диагонали равны.

4. У
прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных
треугольника.

5. Стороны
прямоугольника являются его высотами.

Выясним теперь, по
каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является
прямоугольником.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I).
Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой
четырёхугольник является прямоугольником.

Дано: – четырёхугольник,

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
четырёхугольник будет прямоугольником, если мы докажем, что четвёртый угол
также равен .

1.
Так как , то . Так как , то .

2. по признаку параллельности прямых.

3.
по признаку параллельности прямых.

4.
Значит, – параллелограмм
(по определению). По свойству углов параллелограмма, .

5.
Итак, – параллелограмм,
у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является
прямоугольником, ч.т.д.

ТЕОРЕМА
(ПРИЗНАК II). Если
у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм является
прямоугольником.

Дано: – параллелограмм,

– диагонали.

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все углы равны
.

1. Рассмотрим и .

по III
признаку равенства прямоугольных треугольников, следовательно, .

2. Так как – параллелограмм, то у него
стороны попарно параллельны, т.е. . и – внутренние односторонние
при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, . Учитывая доказанное
равенство этих углов, получаем, что .

3. По свойству углов параллелограмма, и .

4. Итак, у параллелограмма все углы прямые, значит, он
является прямоугольником (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА
(ПРИЗНАК III). Если
у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм является
прямоугольником.

Дано: – параллелограмм,

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все углы
равны .

1. Т.к.
– параллелограмм, то по
определению, т.е. и .

По свойству углов параллелограмма, .

2. и – внутренние односторонние
при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .

3. Т.к. , то .

4. Итак, , значит, по определению,
параллелограмм является прямоугольником,
ч.т.д.

1. Периметр прямоугольника
равен см, а одна из его сторон
меньше другой на см. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.

2. В прямоугольнике один
из углов, образованных диагоналями, равен . Меньшая сторона
прямоугольника равна см. Найдите диагональ
прямоугольника.

3. В прямоугольнике
перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам,
равны соответственно см и см. Найдите периметр
прямоугольника.

В прямоугольнике диагональ составляет со стороной угол, равный . Найдите больший угол между
диагоналями прямоугольника.

5. В прямоугольнике один
из углов, образованных диагоналями, равен . Диагонали прямоугольника
равны см. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.

6. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Точка – середина стороны . Найдите .

7. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Отрезок является высотой треугольника
. Найдите .

8. В параллелограмме с острым углом диагонали пересекаются в
точке . На отрезках и взяты точки и соответственно, . Докажите, что
четырёхугольник является прямоугольником.

9. В прямоугольнике – точка пересечения
диагоналей, и – высоты треугольников и соответственно, см. Найдите .

10. В четырёхугольнике диагонали пересекаются в
точке . Найдите .

11. В прямоугольнике – точка пересечения
диагоналей, и – перпендикуляры, проведённые
из вершин и к прямой . Известно, что . Найдите .

12. В четырёхугольнике диагонали пересекаются в
точке , . Найдите .

13. В прямоугольнике точки и – середины сторон и соответственно. На прямой взята точка , на прямой – точка . Известно, что . Найдите отношение сторон .

14. На основании равнобедренного треугольника взята точка , а на сторонах и – соответственно точки и , . Найдите .

15. В прямоугольнике – точка пересечения
диагоналей. Точки и – середины сторон и соответственно. Точка делит отрезок в отношении , считая от точки Найдите отношение .

16. Некая прямая,
параллельная основанию равнобедренного треугольника , пересекает стороны и в отношении , считая от точки . Найдите .

17. На диагонали прямоугольника взята точка . Известно, что . Докажите, что .

18. Дан параллелограмм с острым углом . На отрезке , как на диаметре построена
окружность, которая пересекает луч в точке , лежащей вне параллелограмма.
. Найдите расстояние между
прямыми и , если см.

19. На отрезках и в прямоугольнике взяты точки и соответственно, . Докажите, что .

20. Дан параллелограмм с тупым углом . На диагонали , как на диаметре, построена
окружность, пересекающая отрезок в точке – перпендикуляр к прямой . Найдите , если см.

21. Биссектриса одного из
углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины.
Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны
прямоугольника равна см.

22. Периметр прямоугольника
равен см. Найдите сумму расстояний
от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.

23. Постройте
прямоугольник:

а)
по двум сторонам, имеющим общую вершину;

б)
по стороне и диагонали;

в)
по диагонали и углу между диагоналями;

г)
по диагонали и сумме прилежащих сторон.

24. Диагональ прямоугольника равна см. Найдите медиану
треугольника , проведённую к его большей
стороне.

25. Найдите острый угол
между диагоналями прямоугольника, если одна из них делит угол при вершине
прямоугольника в отношении .

26. Периметр прямоугольника
равен см. Найдите стороны
прямоугольника, если одна из них в раз больше другой.

27. Периметр прямоугольника
равен см. Найдите его стороны, если
одна из них на см меньше другой.

28. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите угол между
диагоналями, если .

29. В прямоугольнике проведена диагональ . Известно, что в 2 раза больше, чем . Чему равны эти углы?

30. Одна из сторон
прямоугольника на см больше другой. Найдите
стороны прямоугольника, если его периметр равен см.

31. Меньшая сторона
прямоугольника см, угол между диагоналями
равен . Найдите диагонали
прямоугольника.

32. Дан прямоугольник – точка пересечения его
диагоналей. Докажите, что и – равные равнобедренные
треугольники.

33. Найдите диагонали
прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из
треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен см.

34. Докажите, что отрезок,
соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны,
перпендикулярен этой стороне.

35. В прямоугольнике диагональ в раз больше стороны . Периметр треугольника равен см ( – точка пересечения
диагоналей). Найдите длину диагонали .

36. Из точки , взятой на стороне прямоугольника , опущен перпендикуляр на сторону . Докажите, что
четырёхугольник – прямоугольник.

37. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , его диагональ равна см. Найдите длины отрезков и
.

38. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Докажите, что .

39. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен см, а периметры треугольников
и равны см и см соответственно.

40. Дан прямоугольник – точка пересечения его
диагоналей. Найдите периметр треугольника , если

41. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

42. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

43. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

44. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , сторона равна см, диагональ равна см. Определите вид
треугольника (ответ обоснуйте) и найдите
его периметр.

45. В прямоугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке . Докажите, что треугольник – равнобедренный.

46. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении . Найдите углы треугольника ( – точка пересечения
диагоналей).

47. Найдите диагональ
прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из
треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен см.

48.

В прямоугольнике проведена биссектриса угла . Найдите периметр
прямоугольника, если см, см.

49. Расстояния от точки
пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны см и см. Найдите большую сторону
данного прямоугольника.

50. Диагонали
прямоугольника пересекаются под углом . Найдите угол между
диагональю прямоугольника и его меньшей стороной.

51. В прямоугольнике диагональ в два раза больше стороны . Найдите периметр
треугольника , если расстояние от точки пересечения диагоналей
прямоугольника до стороны равно см.

52. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , образуя тупой угол . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны .

53.

В прямоугольном треугольнике ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе,
проведены прямые и , параллельные катетам и соответственно. Периметр
треугольника равен см, а периметр треугольника равен см. Найдите периметр
треугольника .

54. На стороне равностороннего треугольника взята точка так, что сумма расстояний от
неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

55. Периметр прямоугольника
равен см, а его диагональ равна см. Найдите периметр
треугольника .

56.

Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы и углов и делят сторону на три отрезка, длина каждого
из которых равна см.

57. Точка пересечения
диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях см и см. Найдите меньшую сторону
данного прямоугольника.

58. В прямоугольнике диагональ в два раза больше стороны . Найдите острый угол между
диагоналями прямоугольника.

59. Меньшая сторона
прямоугольника равна см. Угол между его
диагоналями равен . Вычислите длину диагонали
прямоугольника.

60. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны , если сторона больше стороны .

61.

В прямоугольнике через точку проведены прямая , параллельная сторонам и , и прямая , параллельная сторонами и . Периметр прямоугольника равен см, а периметр прямоугольника
равен см. Найдите периметр
прямоугольника .

62. На продолжении стороны равностороннего треугольника взята точка так, что разность расстояний
от неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

63. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Периметр треугольника равен см, а периметр треугольника равен см. Найдите периметр
треугольника , если диагональ
прямоугольника равна см.

64.

65. Сумма расстояний от
точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна см. Найдите диагональ данного
прямоугольника.

66. Диагональ прямоугольника образует угол с одной из его сторон.
Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

67. Диагональ
прямоугольника равна см. Угол между его
диагоналями равен . Вычислите длину меньшей
стороны прямоугольника.

68. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , образуя острый угол . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны .

69.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ( – прямой) через точки и , лежащие на гипотенузе,
проведены прямые и , параллельные катету , и прямые и , параллельные катету . Сравните периметры
четырёхугольников и .

70. На основании равнобедренного треугольника взята точка так, что сумма расстояний от
неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

71. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Периметр треугольника равен см, а сторона равна см. Найдите периметр
треугольника .

72.

Биссектрисы углов и прямоугольника пересекаются на стороне в точке . Найдите периметр прямоугольника,
если длина равна см.

73. Сумма расстояний от
точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна см. Найдите периметр данного
прямоугольника.

74. Угол между диагоналями
прямоугольника равен . Найдите угол .

75. В прямоугольнике сторона в два раза меньше диагонали . Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей
прямоугольника до стороны , если периметр треугольника равен см.

76. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны , если сторона меньше стороны .

77.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе,
проведены прямые и , параллельные катетам и соответственно. Найдите
периметр прямоугольника , если катет треугольника равен см.

78. На
продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка так, что разность расстояний
от неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

79. В
прямоугольнике проведена диагональ . Перпендикуляр к диагонали составляет со стороной угол, равный и отсекает от диагонали
отрезок , равный см. Найдите периметр
прямоугольника, если сторона см.

80. Дан прямоугольник со стороной . К диагонали проведён перпендикуляр . Найдите периметр
прямоугольника, если диагональ составляет со стороной угол, равный .

81.

В прямоугольнике – точка пересечения его
диагоналей. Из точки к серединам сторон и проведены отрезки и соответственно. Найдите
периметр прямоугольника.

82.

Биссектриса угла прямоугольника отсекает от стороны отрезки и . Найдите периметр
прямоугольника.

83. В прямоугольнике проведена биссектриса угла . Найдите .

84. В прямоугольнике диагональ составляет с его меньшей
стороной угол . Найдите углы и .

85. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Найдите и меньший угол между
диагоналями, если известно, что .

86.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Меньший угол между
диагоналями равен . Найдите углы треугольника , если известно, что .

87. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Известно, что . Найдите эти углы.

88. В прямоугольнике . Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен .

89. В прямоугольнике из угла проведён луч, который
пересекает сторону в точке так, что и . Найдите стороны прямоугольника,
если известно, что периметр его равен .

90. Диагональ прямоугольника составляет со стороной угол, равный . Перпендикуляр, опущенный из
вершины на эту диагональ отсекает от
неё отрезок . Периметр данного
прямоугольника равен . Найдите стороны

прямоугольника.

91.

Из вершины прямоугольника , с периметром , проведён луч, который
пересекает сторону под углом . Разность отсекаемых отрезков
равна . Найдите стороны
прямоугольника.

Источник

Содержание

Признаки равенства прямоугольников
I признак равенства прямоугольников
II признак равенства прямоугольников
III признак равенства прямоугольников
IV признак равенства прямоугольников
Прямоугольник — это одна из основ геометрии
Прямоугольник — это.
Признаки прямоугольника
Диагонали прямоугольника
Свойства прямоугольника
Периметр и площадь
Комментарии и отзывы (5)
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольник (понятие, определение):
Свойства прямоугольника:
Признаки прямоугольника:
Формулы прямоугольника:
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
О Второй индустриализации

Признаки равенства прямоугольников

Признаки равенства прямоугольников — это признаки, c
помощью которых можно доказать, что прямоугольники равны.

В этой статье мы рассмотрим и докажем четыре признака
равенства прямоугольников. С помощью этих признаков
можно доказать, равенство двух и более геометрических
фигур — в данном случае прямоугольников.

I признак равенства прямоугольников

Формулировка первого признака равенства
прямоугольников:

Если две неравных стороны одного прямоугольника
соответственно равны двум неравным сторонам другого
прямоугольника, то такие прямоугольники равны.

Докажем, что прямоугольники ABDC и EFPH,
изображенные на рисунке 1 равны между собой.

Доказательство первого признака равенства
прямоугольников:

Рассмотрим прямоугольники ABDC и EFPH, в которых
AB = EF, AC = EH. Докажем, что прямоугольники
ABDC и EFPH равны.
AB = EF, значит сторону AB можно наложить на сторону
EF так, что сторона AB совместится со стороной EF.
AC = EH, значит сторону AC можно наложить на сторону
EH так, что сторона AC совместится со стороной EH.
Итак, прямоугольники ABDC и EFPH полностью совместятся,
значит они равны — ч.т.д.

II признак равенства прямоугольников

По сумме квадратов двух неравных сторон.

Формулировка второго признака равенства
прямоугольников:

Если сумма квадратов двух неравных сторон одного прямоугольника
соответственно равна сумме квадратов двух неравных сторон
другого прямоугольника, то они равны.

Докажем, что прямоугольники ABDC и EFPH, изображенные
на рисунке 2 равны между собой.

Доказательство второго признака равенства
прямоугольников:

Рассмотрим ABDC и EFPH, в которых AB² + ВD² = EF² + FP².
Докажем, что прямоугольники ABDC и EFPH равны.
AB ²+ ВD² = EF² + FP², значит стороны AB и BD можно наложить
на стороны EF и FP, так что: сторона AB совместится со стороной EF,
сторона BD совместится со стороной FP.
Итак, прямоугольники ABDC и EFPH полностью совместятся,
значит они равны — ч.т.д.

III признак равенства прямоугольников

По диаметру описанной окружности.

Формулировка третьего признака равенства
прямоугольников:

Если диаметр описанной окружности одного прямоугольника
соответственно равен диаметру описанной окружности другого
прямоугольника, то такие прямоугольники равны.

Докажем, что прямоугольники ABDC и EFPH, изображенные
на рисунке 3 равны между собой.

Доказательство третьего признака равенства
прямоугольников:

Рассмотрим ABDC и EFPH, в которых CB = HE. Докажем,
что прямоугольники ABDC и EFPH равны.
CB = HE, значит диаметры СВ и HE можно наложить друг
на друга так, что они совместятся: диаметр СВ совместится
с диаметром HE.
Итак, прямоугольники ABDC и EFPH полностью совместятся,
значит они равны — ч.т.д.

IV признак равенства прямоугольников

По равным и параллельным противоположным сторонам.

Формулировка четвертого признака равенства
прямоугольников:

Если противоположные стороны одного прямоугольника соответственно
параллельны и равны противоположным сторонам другого прямоугольника,
то такие прямоугольники равны.

Докажем, что прямоугольники ABDC и EFPH, изображенные
на рисунке 4 равны между собой.

Доказательство четвертого признака равенства
прямоугольников:

Рассмотрим прямоугольники ABDC и EFPH, в которых
AB = EF, AC = EH и AB ∥ EF, AC ∥ EH. Докажем, что
прямоугольники ABDC и EFPH равны.
AB = EF и AB ∥ EF, значит сторону AB можно наложить на
сторону EF так, что сторона AB совместится со стороной EF.
AC = EH и AC ∥ EH, значит сторону AC можно наложить на
сторону EH так, что сторона AC совместится со стороной EH.
Итак, прямоугольники ABDC и EFPH полностью совместятся,
значит они равны — ч.т.д.

В этой статье мы доказали равенство прямоугольников по всем четырем признакам.

Двум неравным сторонам.
Сумме квадратов двух неравных сторон.
Диаметру описанной окружности.
Равным и параллельным противоположным сторонам.

Источник

Прямоугольник — это одна из основ геометрии

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.

Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.

Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».

Прямоугольник — это.

Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).

У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.

То есть выглядит это так:

Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.

У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.

У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.

Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.

Признаки прямоугольника

Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.

В случае с прямоугольником их всего три:

Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.

» alt=»»>

Диагонали прямоугольника

Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.

Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».

В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:

Свойства прямоугольника

К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:

является параллелограммом

У прямоугольника равны противоположные стороны.

Периметр и площадь

Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.

Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:

Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:

К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.

Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Главная основа геометрии — это все же треугольник. Через него можно построить любую фигуру и доказать любую теорему.

Прямоугольник отличается от квадрата, этому учат в школе в младших классах. Квадрат — это одинаковая длина соединяющих углов, если я правильно выражаюсь, а прямоугольник формы может быть: телефон, звуковые колонки, паспорт и прочее.

Не согласен с утверждением, что раз один угол прямой, то перед нами точно прямоугольник, всё же прямоугольник — это когда все противоположные стороны параллельны друг другу, а если только один угол прямой, то там и трапеция может быть.

Я бы сказала, что прямоугольник — это основа архитектуры. Все здания так или иначе используют эту фигуру в своем дизайне.

Вот за что я люблю прямоугольники, так за то, что площадь его легко найти, да и периметр, вот с трапецией сложнее, увы, но те же земельные участки больше трапеции, отсюда и земельные споры.

Источник

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.

Рис. 1. Прямоугольник

В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.

Рис. 5. Прямоугольник

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника .

Рис. 7. Прямоугольник

8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).

Рис. 8. Прямоугольник

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.

12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.

Признаки прямоугольника:

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Формулы прямоугольника:

Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

Формула диагонали прямоугольника:

Формулы периметра прямоугольника:

Формулы площади прямоугольника:

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (106 595)
Экономика Второй индустриализации России (102 621)
Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (27 972)
Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (25 128)
Метан, получение, свойства, химические реакции (24 601)
Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (22 269)
Крахмал, свойства, получение и применение (21 284)
Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (20 768)
Целлюлоза, свойства, получение и применение (20 059)
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (19 306)

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

Все категории
экономические
43,662
гуманитарные
33,654
юридические
17,917
школьный раздел
611,985
разное
16,905

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Источник

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

Кроме этого:

1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
2. Все углы прямоугольника прямые.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
4. Диагонали прямоугольника равны.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

Подставляя (3) в (2), получим:

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:

Ответ:

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

Действительно.

Тогда

Имеем ( small sqrt{D} <2d ,) ( small P > 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Источник

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение)

Видеоурок “Прямоугольник“

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Формулы прямоугольника

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Рис. 1. Прямоугольник

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

@ https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

AB || CD, BC || AD

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

AB = CD, BC = AD

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

Рис. 5. Прямоугольник

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

AC = BD

7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рис. 7. Прямоугольник

△ABD = △BCD, △ABC = △ACD

Рис. 8. Прямоугольник

AC² = AD²+ CD²

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Рис. 9. Прямоугольник

AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2

Рис. 10. Прямоугольник

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

Рис. 11. Квадрат

AВ = ВC = AD = CD

Признаки прямоугольника:

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Формулы прямоугольника:

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

Формула диагонали прямоугольника:

d = 2R.

Формулы периметра прямоугольника:

P = 2a + 2b,

P = 2(a + b).

Формулы площади прямоугольника:

S = a · b.

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Видео https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Коэффициент востребованности
5 398

Источник