Как найти разложение вектора по базису векторов - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Вектор в произвольном линейном пространстве — это некоторый элемент этого пространства.

Замечание 1

Базисом трёхмерного пространства называют некоторые линейно независимые вектора $a, b$ и $c$, если любой вектор $d$ может быть выражен в виде линейной комбинации этих векторов, то есть существуют некоторые вещественные коэффициенты $λ, μ$ и $ν$, причём такие, что будет соблюдаться условие $d= λ cdot a + μcdot b + ν cdot c left( 1 right)$.

Числа $λ, μ$ и $ν$ называются координатами рассматриваемого вектора относительно некоторого базиса $a, b$ и $c$.

В контексте плоскости базисом будет два независимых вектора, лежащих в этой плоскости, а не три, как в объёмном мире.

Любой вектор $d$ имеет лишь единственное разложение по базису векторов, то есть его координаты задаются однозначно через используемый базис.

Определение 1

Аффинными координатами некоторой точки $M$ в пространстве называются координаты точки относительно базиса пространства $a, b$ и $c$ и некоторой точки $O$, которую принимают за начало координат.

Декартова система координат является примером аффиной системы координат, причём базисные вектора в ней принято обозначать не буквами $a, b$ и $c$, а $i, j$ и $k$, представляющими собой направленные ортогональные между собой отрезки, причём длина каждого равна единице.

Для декартовой системы координат формула разложения выглядит так:

$d = X cdot vec{i} + Y cdot vec{j} + Z cdot vec{k}$

Здесь $X, Y$ и $Z$ — координаты вектора, а $ i, j$ и $k$ — базис.

Через базис декартовой системы координат выражается скалярное произведение векторов, заданных в этом пространстве. Для этого их координаты записываются через специальную матрицу.

Пример 1

Докажите, что вектора, $a_1…a_4$, перечисленные ниже, являются базисом пространства $mathbb{R^4}$.

$a_1 = (1; 2; -1: -2)$;
$a_2 = (2; 3 0; -1)$;
$a_3 = (1; 2; 1; 4)$;
$a_4 = (1; 3; -1; 0)$

Решение:

Размерность данного пространства равна 4, а это значит, что для проверки того, являются ли эти вектора базисом, нужно доказать их линейную независимость, то есть доказать, что ранг матрицы, составленной из координат этих векторов как из строчек, равен количеству строк.

Составленная матрица имеет вид:

$A = begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 2 & 3 & 0 & -1 \ 1 & 2 & 1 & 4 \ 1 & 3 & -1 & 0 \ end{pmatrix}$

Преобразуем её к треугольной, для краткости описания выполняемых операций строчки будем записывать (n), здесь $n$ — номер строчки.

1) (4) — (1); (3) — (1); (2) — (1) $cdot 2$:

$begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 6 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ end{pmatrix}$

2) (4) + (2):

$begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 6 \ 0 & 0 & 2 & 5 \ end{pmatrix}$

3) (4) — (3):

$begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 6 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end{pmatrix}$

Приведённая матрица имеет ранг 4, а значит данные вектора образуют базис этого пространства.

«Разложение вектора по базису векторов: формулировка с примерами решения» 👇

Пример 2

Пусть вектор $vec{k}$ можно разложить с использованием базиса $vec{a}$ и $vec{b}$ по формуле
$vec{k}= 5cdot vec{a} – 3 cdot vec{b}$. Каковы его координаты в соответствии с этим базисом?

Решение:

$vec{a}$ и $vec{b}$ — единичные вектора данного двумерного пространства, а это значит, что коэффициенты при них в заданном равенстве и являются координатами в этом базисе:

$vec{k} = (5; — 3)_{{a; b}}$.

Пример 3

Дан базис из трёх векторов $(1; 1; 3), ( -3; 4; 9), (2; -2; 4)$ и вектор $vec{k}=(8; -9; 6)$. Разложите данный вектор по заданному базису.

Решение:

Воспользуемся формулировкой разложения $(1)$:

$k_1 cdot (1; 1; 3) + k_2 cdot ( -3; 4; 9) + k_3 cdot (2; -2; 4) = (8; -9; 6)$;

Для того чтобы узнать координаты в данном базисе, составим расширенную матрицу, действия со строчками будем записывать как в предыдущем примере:

$begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 8 \ -1 & 4 & -2 & -9 \ 3 & 9 & 4 & 6 \ end{array}$

1) (2) — (1); (3) — (1) $cdot 3$:

$begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 8 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 18 & -2 & -18 \ end{array}$;

2) (1) + (2) $cdot 3$; (3) — (2) $cdot 18$:

$begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 5 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & -2 & 0 \ end{array}$;

3) (3) : (-2):

$begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 5 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{array}$;

4) (1) — (3) $cdot 2$:

$begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{array}$;

Координатами вектора $vec{k}$ в заданном базисе будут $(5; — 1; 0)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно разложить вектор по двум базисным векторам, а также разберем пример решения задачи по этой теме.

Принцип разложения вектора
Пример задачи

Принцип разложения вектора

Для того, чтобы разложить вектор b по базисным векторам a₁, …, a_n, требуется определить такие коэффициенты x₁, …, x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁, …, a_n равняется вектору b, то есть:

x₁a₁ + … + x_na_n = b

где x₁, …, x_n – координаты вектора b в базисе a₁, …, a_n

Пример задачи

Разложим вектор b = {16; 1} по двум базисным векторам m = {2; 1} и n = {1; -3}.

Решение:

1. Векторное уравнение выглядит так:

xm + yn = b

2. Представим его в виде системы линейных уравнений:

3. Теперь нужно решить систему. Из второго уравнения получаем:
x = 1 + 3y.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 · (1 + 3y) + y = 16
2 + 6y + y = 16
7y = 14
y = 2

Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7.

Ответ: b = 7m + 2n.

Источник

Пусть

— единичные векторы осей координат, т.е.

и каждый из них одинаково направлен с
координатными осями.
Тройка векторов

называется
координатным
базисом.

Теорема.
Любой вектор пространства можно разложить
по базису
,
т.е. представить
в виде
,
где

— некоторые числа (буквы:

— «мю»,

— «ню»).

Это разложение
единственное.

 Доказательство.
Приложим вектор

к началу координат, обозначим его конец

.
Проведем
через точку

плоскости,
перпендикулярные осям координат. Пусть

,

,

— точки
пересечения этих плоскостей с осями
координат.

Существует
единственная тройка чисел
,
,

таких, что

.

Формула

называется
разложением вектора по координатному
базису.

Числа
,
,

— называются
координатами
вектора

,
т.е. координаты
вектора есть его проекции на соответствующие
координатные оси. В символическом виде
записывают
.

Например, если,
то его
координаты
.

Зная координаты
вектора
,
длину его можно найти по формуле

Если известны
координаты точек

и
,
то координаты вектора равны:
.

Пусть углы вектора

с осями
,
,

соответственно равны
,
,
.
Числа
,
,

называются
направляющими косинусами вектора
.

;
;

;

— основное
свойство направляющих косинусов вектора.

7.4. Действия над векторами, заданными координатами

Пусть векторы

и

заданы своими координатами.

При сложении
(вычитании) векторов их одноименные
координаты складываются (вычитаются),
т.е.

При умножении
вектора на число

координаты его умножаются на это число,
т.е.
.

Если вектор

коллинеарен вектору
,
то можно записать
,
где

— некоторое число, т.е.
,
,
.
Отсюда,
,
,

или

— условие коллинеарности векторов.

7.5. Деление отрезка в данном отношении

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Пусть даны координаты
точек

и
;
и отношение
.
Требуется найти координаты точки
.

Из равенства
векторов следует равенство соответствующих
координат:

Аналогично,

;

В частном случае:

— середина
отрезка, т.е.
.

Пример.
Дан треугольник
,
где
,

,
.

Найти
координаты точки
—
пересечения
биссектрисы угла

со стороной
.


,
,

;

Ответ:
.


§ 8. Скалярное
произведение векторов

8.1. Определение
скалярного произведения

Определение.
Скалярным произведением вектора

на вектор

называется число
(скаляр),
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними.

Обозначается:

или
.

Найдем
проекцию вектора

на вектор

.

Из геометрии
известно
.

Умножим и разделим
левую часть на
:

,
аналогично находим
.

8.2. Свойства
скалярного произведения


Доказательство.

. 

Определение:
Число, равное

,
называется скалярным
квадратом
вектора
.

5.
Скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины
.

 Доказательство.

.

6.
Скалярное произведение базисных
векторов:

8.3. Вычисление
скалярного произведения векторов через
координаты

Теорема. Если

,
то
.

 Доказательство.
Запишем векторы

и

в виде разложения по базису, т.е.

и

.

Тогда

По свойству
скалярного произведения базисных
векторов
:

Таким образом,
.


8.4. Приложения
скалярного произведения векторов

Установление
перпендикулярности ненулевых векторов:

Если

, то

—
условие перпендикулярности

векторов.

2. Вычисление
проекции вектора на вектор:

и

.

3. Определение
угла между векторами:

,
т.е.
.

4. Работа постоянной
силы.

Если
точка перемещается прямолинейно из
положения

в положение

под действием силы
,
то работа по перемещению равна:

Пример 1.
К точке

приложены три силы
.

Вычислить
работу по перемещению точки

в точку
.



— равнодействующая
трех сил.

.


Пример 2.
Дано:
,

,
.

Найти угол между
векторами

и
.

 Так как

или
.

Таким образом,
.


Пример 3.
Найти длину вектора
,
если
,
,.





Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис

Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e[1],e[2]…,e[n] необходимо найти коэффициенты x[1], …, x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]…,e[n] равна вектору b:
x1*e[1]+ … + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x[1], …, x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]…,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Разложение вектора по векторам базиса

Задача 1. Проверьте, образуют ли векторы a1, a2 базис на плоскости

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы линейно независимы, а значит образуют базис.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Вычисляем детерминант составленный из векторов

Определитель равен 13 (не равен нулю) — из этого следует что векторы a1, a2 является базисом на плоскости.

—=================—

Рассмотрим типичные примеры из программы МАУП по дисциплине «Высшая математика».

Задача 2. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трехмерного векторного пространства, и разложить вектор b по этому базису (при решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Сначала рассмотрим систему векторов a1, a2, a3 и проверим определитель матрицы А

построенной на векторах отличных от нуля. Матрица содержит один нулевой элемент, поэтому детерминант целесообразнее вычислять как расписание по первому столбцу или третей строчке.

В рекзультаье вычислений получили что определитель отличен от нуля, следовательно векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Согласно определению векторы образуют базис в R3. Запишем расписание вектора b по базису

Векторы равны, когда их соответствующие координаты равны.
Поэтому из векторного уравнения получим систему линейных уравнений

Решим СЛАУ методом Крамера . Для этого запишем систему уравнений в виде

Главный определитель СЛАУ всегда равен определителю составленному из векторов базиса

Поэтому на практике его не исчисляют дважды. Для нахождения вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место каждого столбца главного определителя. Определители вычисляем по правилу треугольников

Подставим найденые определители в формулу Крамера

Итак, разложение вектора b по базису имеет вид b=-4a1+3a2-a3. Координатами вектора b в базисе a1, a2, a3 будут (-4,3,-1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяем векторы на базис — составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы образуют базис в пространстве. Осталось найти расписание вектора b через данный базис. Для этого записываем векторное уравнение

и преобразуем к системе линейных уравнений

Записываем матричное уравнение

Далее для формул Крамера находим вспомогательные определители

Применяем формулы Крамера

Итак заданный вектора b имеет расписание через два вектора базиса b=-2a1+5a3, а его координаты в базисе равны b(-2,0, 5).

Задача 3. Доказать что векторы a1, a2, a3 образуют базис в пространстве

1) a1 (3;-2;1), a2 (2; -5; 4) , a3 (2; -3; -1)
Решение: Записываем координаты в определитель и применяем правило треугольников для определителя

Поскольку определитель (=35) не равен нулю то векторы образуют базис в пространстве.

2) a1 (1; 1;1), a2 (2; -3; 2) , a3 (3; 4; 1)
Решение: Вычисляем определитель составленный из векторов
Det=1*(-3)*1+1*2*3+1*2*4-(1*(-3)*3+1*2*1+1*2*4)=-3+6+8+9-2-8=10 .
Векторы a1, a2, a3 линейно независимы (Det=10), а значит образуют базис в пространстве.

Теперь Вы знаете как проверить, что векторы образуют базис и сможете без проблем разложить вектор по базису.

Посмотреть материалы:

Длина вектора. Угол между векторами
Разложение вектора по базису
Смешанное произведение векторов
Деление отрезка в заданном отношении
Треугольная пирамида

Источник

На чтение 6 мин. Просмотров 1.4k.

Вы узнаете в этой статье что значит разложить вектор по двум неколлинеарным векторам.

Представление вектора vec{c} в виде vec{c}=x vec{a}+y vec{b}, где векторы vec{a} и vec{b} являются неколлинеарными векторами, называется разложением вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема (о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам)

Теорема. Любой вектор с можно единственным образом представить в виде vec{c}=x vec{a}+y vec{b}, где vec{a} и vec{b} — неколлинеарные векторы, х и у — числа.

Коллинеарные вектора vec{m} и vec{n} — это такие вектора, где один из векторов параллелен другому и связан с ним соотношением

vec{m}=kvec{n}

Доказательство:

Пусть даны векторы vec{c}=overrightarrow{AB}, vec{a} и vec{b}. Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам vec{a} и vec{b}, и обозначим точку C их пересечения. Тогда overrightarrow{AB}=overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}.

К теореме о разложении вектора по двум коллинеарным векторам

Так как векторы vec{a} и overrightarrow{AC} коллинеарные, то существует такое число х, что overrightarrow{AC} =хvec{a}. Векторы vec{b} и overrightarrow{CB} тоже коллинеарные, следовательно, существует такое число у, что overrightarrow{CB} =yvec{b}.

Таким образом, vec{c}=x vec{a}+y vec{b}.

Докажем единственность такого представления вектора с способом от противного. Допустим, что имеется другое разложение вектора, например, такое:

vec{c}=n vec{a}+m vec{b}, тогда два разложения вектора vec{c} можно приравнять:
n vec{a}+m vec{b}=x vec{a}+y vec{b} (если равны левые части равенств, то равны и правые).

Перенесем все в левую часть равенства:

n vec{a}+m vec{b}-x vec{a}-y vec{b}=0
(n-x)vec{a}+(m-y) vec{b}=0
displaystyle vec{a}=frac{y-m}{n-x} vec{b}

То есть векторы vec{a} и vec{b} получаются коллинеарными. А у нас условие — векторы vec{a} и vec{b} — неколлинеарные вектора.

Таким образом, возможно только единственно возможное представление вектора vec{c} в виде vec{c}=x vec{a}+y vec{b}, где векторы vec{a} и vec{b} являются неколлинеарными векторами.

Теорема доказана.

Если вектор vec{c} коллинеарен какому-либо из векторов vec{a} и vec{b}, то либо число x, либо число y равно нулю.

Базис векторов и разложение вектора по базису

В декартовой системе координат Oxy вектор с координатами (x, y) можно разложить по единичным векторам vec{e_1}(1;0) и vec{e_2}(0;1).

Тогда, например, вектор vec{c}(3; -1) можно представить в виде разложения:

vec{c}=x vec{e_1}+y vec{e_2}=3 vec{e_1}-1 vec{e_2}

Действительно:

begin{cases} 3=3 cdot 1+(-1)cdot 0, \ — 1=3 cdot 0+(-1)cdot 1. end{cases}

Система векторов, по которым можно разложить вектор с коэффициентами разложения равными его координатам, называется базисом вектора. Вектора базиса всегда не коллинеарные. Координаты вектора будут верны только в отношении данного базиса.

Однако, это не отменяет тот факт, что вектор можно разложить и по другим векторам, то есть по новому базису. Тогда говорят о переходе к новому базису векторов.

Обычно в декартовой системе координат базисные векторы на плоскости обозначают так: vec{i}(1;0) и vec{j}(0;1).

В пространственной декартовой системе координат базис векторов будет: vec{i}(1; 0; 0), vec{j}(0;1; 0), vec{k}(0;0;1)

В то же время на любых векторах можно построить свою систему отсчета, тогда данные вектора будут считаться базисом этой системы и в этой системе можно найти координаты любого вектора. То есть любой вектор можно разложить по базису, конечно, если при этом базисные вектора не являются коллинеарными.

Примеры разложения вектора

Пример 1. Разложить вектор vec{c}(0; 1) по двум векторам vec{a}(3; 6) и vec{b}(4; 9).

Решение:

Для разложения вектора vec{c} запишем:

vec{c}=x vec{a}+y vec{b}

Нам нужно найти коэффициенты разложения x и y, для этого разложим каждую координату вектора vec{c}:

Для абсциссы: 0=x cdot 3+y cdot 4
Для ординаты: 1=x cdot 6+y cdot 9

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которую решаем:

begin{cases} 3x+4y=0, \ 6x+9y=1. end{cases}

Решая, получаем: displaystyle x=frac{-4}{3} и y=1
И разложение вектора vec{c} будет иметь вид: displaystyle vec{c}=-frac{4}{3} vec{a}+vec{b}

Пример 2. Найти координаты вектора vec{a} в базисе, если известно разложение вектора по базису vec{e_1} и vec{e_2}:

vec{a}=7 vec{e_1}+5 vec{e_2}

Решение: Координаты вектора в базисе векторов vec{e_1} и vec{e_2} будут равны коэффициентам разложения, то есть vec{a}(7; 5)

Ответ: vec{a}(7; 5)

Пример 3. Разложить вектор vec{b}(1; 2) по базису vec{e_1}(2; 3) и vec{e_2}(2; 5).

Решение:

Запишем разложение вектора по базису:

vec{b}=b_1 vec{e_1}+b_2 vec{e_2}

Получим систему уравнений:

begin{cases} 1=2b_1+4b_2, \ 2=2b_1+5b_2. end{cases}

От второго уравнения системы отнимем первое, получим:

begin{cases} 1=b_2, \ 2=2b_1+5b_2. end{cases}

Тогда:

begin{cases} b_2=1, \ b_1=-1,5. end{cases}

И разложение вектора будет иметь вид: vec{b}=-1,5 vec{e_1}+vec{e_2}

Источник