Как найти размах числового набора

Была ли эта статья полезной?

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

1. Алгебра
2. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Наибольшее и наименьшее значение, размах числового набора.
  7 класс Урок 13
  07.01.2023
  Описательная статистика

• 

  2 слайд

  07.01.2023
  2
  Повторение
  1. Среднее арифметическое числового массива равно 5,1. Найдите новое среднее арифметическое, если все числа массива:
  а) увеличить в 10 раз;
  б) уменьшить в 3 раза;
  в) увеличить на 1,9.
  2. В числовом массиве 10 чисел, а их среднее равно 99. Найдите новое среднее арифметическое, если:
  а) какое-то одно число массива увеличить на 1;
  б) какое-то одно число массива увеличить на 5;
  в) два каких-то числа уменьшить на 20;
  г) первое число увеличить на 3, а второе число уменьшить на 5. д) к массиву добавить число 121;
  е) из массива удалить число 27.
  Ответы: 1. а) 51; б) 1,7; в) 7.
  2. а) 99,1; б) 99,5; в) 95; г) 98,8; д) 101; е) 107.

• 

  3 слайд

  3
  Наименьшее и наибольшее значения.
  Отрезок (интервал) значений, размах числового набора
  В любом конечном наборе чисел всегда есть наименьшее и наибольшее значения. Иногда их называют минимальным и максимальным значениями или даже короче – минимум и максимум. Иногда для удобства пользуются обозначениями min и max .
  Разность между наибольшим и наименьшим значением называется размахом числового набора.
  Размах равен длине отрезка, на котором располагаются все значения. Такой отрезок называют интервалом значений.

• 

  4 слайд

  Пример 1. Дан набор чисел. Найти наибольшее и наименьшее значения и размах.
  1 3 2 1 45 3 2 7 5 4 3 2 2.

  4
  Даже не упорядочивая числа, мы видим, что min =1, а max = 7 . Значит, размах равен 7 -1 = 6 .
  Пример 2. В наборе данных наименьшее значение равно 6, а наибольшее равно 13. Найдите длину интервала значений.
  Решение: 13 — 6 = 7 .

• 

  5 слайд

  Пример 3 Рассмотрите пример из учебника. Ответьте на вопросы
  5

• 

  6 слайд

  Пример 4. Дан набор из 5 чисел, которые все равны между собой:
  4 4 4 4 4.
  Наименьшее значение равно 4, наибольшее значение тоже равно 4. Более того, все средние (арифметическое, геометрическое, гармоническое3, меди ана и т.п.) равны между собой и равны числу 4. Размах равен 0.

  6

• 

  7 слайд

  7
  Пример 5.
  При определении фарватера судоходной реки производится промер глубин. Затем на основе промеров находят показатель, который называется гарантированная глубина судового хода. Если судно имеет осадку меньше гарантированной глубины, то оно может пройти по фарватеру.
  В таблице 1 дан массив результатов промеров глубин на некотором участке фарватера реки.

  Табл. 1. Глубины на фарватере реки
  .
  а) Какую меру следует использовать для определения гарантированной глубины?
  б) Предложите способ, как определить гарантированную глубину на основе этих данных

• 

  8 слайд

  8
  Пример 6. При проектировании зданий нужно учитывать ветровую нагрузку, которая характерна для данной местности. Ветровая нагрузка – это давление воздуха на вертикальную стену сооружения при ветре. Чем скорость ветра выше, тем больше ветровая нагрузка. Приблизительное соответствие между скоростью ветра в м/с и давлением ветра в паскалях6 (Па) показано в табл. 2.
  Табл. 2. Давление ветра в зависимости от скорости ветра
  В таблице 3 показаны результаты измерения максимальных скоростей ветра в Великом Новгороде за период с 1949 по 1963 годы по месяцам. Рассмотрите таблицы 2 и 3 и ответьте на вопросы.
  а) Какую меру ветрового давления следует использовать для определения прочности сооружения при проектировании?
  б) Определите, на какое ветровое давление нужно рассчитывать сооружения в Великом Новгороде, опираясь на данные наблюдений 1949 – 1963 г.

• 

  9 слайд

  9
  в) Можно ли использовать данные таблицы 3 в наше время или Т требуется регулярное обновление наблюдений над скоростью ветра?

• 

  10 слайд

  Пример 7. В фигурном катании применяется специальная система оценивания элементов (прыжков, вращений). Каждый элемент имеет базовую стоимость в баллах. Чем труднее элемент, тем выше его базовая стоимость. После выступления фигуриста 9 судей ставят ему оценки за каждый элемент. Оценки ставятся по 11-балльной шкале (от –5 до +5 баллов). Затем итоговая оценка фигуриста за элементы вычисляется по следующему алгоритму:
  из массива, в котором девять оценок, удаляется одна наименьшая и одна наибольшая оценка за каждый элемент, остается семь оценок за элемент;
  семь оставшихся оценок усредняются: вычисляется их среднее арифметическое;
  получившееся среднее прибавляется к базовой стоимости. Получается оценка за элемент.
  оценки за все отдельные элементы складываются. Результат является итоговой оценкой выступления фигуриста за элементы катания.
  На соревнованиях выступал фигурист Петров и в ходе своего выступления выполнил несколько элементов. В таблице показаны базовые стоимости этих элементов и оценки судей.
  10
  Нетипичность (ненадежность) наибольших и наименьших значений

• 

  11 слайд

  Табл.4. Базовые стоимости элементов и оценки судей

  11
  а) Пользуясь описанным алгоритмом, вычислите оценку за четверной тулуп.
  б) Как вы думаете, почему было введено правило об удалении наибольшей и наименьшей оценок?
  6,7 + -1-1-1-1-1-1-1 = 6,7 -1 = 5,7 .
  7

• 

  12 слайд

  Выводы и итоги урока.
  Существуют важные виды данных, где нужно знать наибольшее и наименьшее значение.
  Такие показатели важны не только в спорте. Мы видели примеры с глубинами реки и с ветровым давлением на стены сооружений.
  Размах – простейшая мера рассеивания данных – равен разности между наибольшим и наименьшим значением.
  Он показывает длину интервала значений.
  Наименьшее и наибольшее значение в числовом массиве часто являются наименее надежными, нетипичными или даже ошибочными значениями.
  Поэтому нужно с осторожностью включать их в расчеты, а иногда вовсе удалять, как это делают судьи в фигурном катании.

  12

• 

  13 слайд

  Домашнее задание
  Изучить §15 с.64-67,
  ответить на вопросы1-3,
  Выполнить № 106, 107, 108.
  07.01.2023
  13

• 

  14 слайд

  Спасибо за урок!
  До встречи на следующем!
  07.01.2023
  14

Краткое описание документа:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА. 7 КЛАССУрок 13. Наибольшее и наименьшее значение, размах числового набора Цель урока. Сформировать представление об отрезке, на котором сосредоточены числа данного массива; о случаях, когда наименьшее или наибольшее значение являются естественной мерой. Учащиеся должны понять, что во многих случаях минимум и максимум являются наименее надежными показателями, подверженными сильной случайной изменчивости.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 265 127 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

План урока:

Понятие выборки и генеральной совокупности

Среднее арифметическое выборки

Упорядоченный ряд и таблица частот

Размах выборки

Мода выборки

Медиана выборки

Ошибки в статистике

Понятие выборки и генеральной совокупности

Слово статистика, образованное от латинского status(состояние дел), появилось только в 1746 году, когда его употребил немец Готфрид Ахенвалль. Однако ещё в Древнем Китае проводились переписи населения, в ходе которых правители собирали информацию о своих владениях и жителях, проживающих в них.

В основе любого статистического исследования лежит массив информации, который называют выборкой данных. Покажем это на примере. Пусть в классе, где учится 20 учеников, проводился тест по математике, содержавший 25 вопросов. В результате учащиеся показали следующие результаты:

Ряд чисел, приведенный во второй строке таблицы (12, 19, 19, 14, 17, 16, 18, 20, 15, 25, 13, 20, 25, 16, 17, 12, 24, 13, 21, 13), будет выборкой. Также ее могут называть рядом данных или выборочной совокупностью.

В примере с классом выборка состоит из 20 чисел. Эту величину (количество чисел в ряду) называют объемом выборки. Каждое отдельное число в ряду именуют вариантой выборки.

В примере со школьным классом в выборку попали все его ученики. Это позволяет точно определить, насколько хорошо учащиеся написали математический тест. Однако иногда необходимо проанализировать очень большие группы населения, состоящие из десятков и даже сотен миллионов человек. Например, необходимо узнать, какая часть населения страны курит. Опросить каждого жителя государства невозможно, поэтому в ходе исследования опрашивают лишь его малую часть. В этом случае статистики выделяют понятие генеральная совокупность.

Так, если с помощью опроса 10 тысяч человек ученые делают выводы о распространении курения в России, то все российское население будет составлять генеральную совокупность исследования, а опрошенные 10 тысяч людей вместе образуют выборку.

Среднее арифметическое выборки

Сбор информации о выборке является лишь первой стадией статистического исследования. Далее ее необходимо обобщить, то есть получить некоторые цифры, характеризующие выборку. Самой часто используемой статистической характеристикой является среднее арифметическое.

Другими словами, для подсчета среднего арифметического необходимо просто сложить все числа в ряде данных, а потом поделить получившееся значение на количество чисел в ряде. Так, в примере с тестом по математике (таблица 1) средний балл учащихся составит: (12+19+19+14+17+16+18+20+15+25+13+20+25+16+17+12+24+13+21+13):20=

= 349:20 = 17,45.

Среднее арифметическое позволяет одним числом характеризовать какое-либо качество всех объектов группы. Чем больше средний балл учащихся в классе, тем выше их успеваемость. Чем меньше среднее количество голов, пропускаемых футбольной командой за один матч, тем лучше она играет в обороне. Если средняя зарплата программистов в городе составляет 90 тысяч рублей, а дворников – 25 тысяч рублей, то это значит, что программисты значительно более востребованы на рынке труда, а потому при выборе будущей профессии лучше предпочесть именно эту специальность.

Упорядоченный ряд и таблица частот

В ряде данных в таблице 1 числа приведены в произвольном порядке. Перепишем ряд так, чтобы все числа шли в неубывающем порядке, то есть от самого маленького к самому большому:

12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.

Такую запись называют упорядоченным рядом данных.

Его характеристики ничем не отличаются от изначальной выборки, однако с ним удобнее работать. С его помощью можно видеть, что ни одному ученику не удалось набрать 22 или 23 балла на тесте, но сразу двое учащихся дали 25 правильных ответов. На основе упорядоченного ряда данных несложно составить таблицу частот, в которой будет указано, как часто та или иная варианта выборки встречается в ряде. Выглядеть она будет так:

При составлении этой таблицы мы исключили из нее те варианты количества набранных баллов, частота которых равна нулю (от 0 до 12, 22 и 23).Заметим, что сумма чисел в нижней строке таблицы частот должна равняться объему выборки. Действительно,

2+3+1+1+2+2+1+2+2+1+1+2 = 20.

С помощью таблицы частот можно быстрее посчитать среднее арифметическое выборки. Для этого каждую варианту надо умножить на ее частоту, после чего сложить полученные результаты и поделить их на объем выборки:

(12•2+13•3+14•1+15•1+16•2+17•2+18•1+19•2+20•2+21•1+24•1+25•2):20 =

(24+39+14+15+32+34+18+38+40+42+24+50):20 = 349:20 = 17,45.

Размах выборки

Следующий важная характеристика ряда данных – это размах выборки.

Если выборка представлена в виде упорядоченного ряда данных, то достаточно вычесть из последнего числа ряда первое число. Так, размах выборки результатов теста в классе равен:

25 – 12 = 13,

так как самые лучшие ученики смогли решить все 25 заданий, а наихудший учащийся ответил правильно только на 13 вопросов.

Размах выборки характеризует стабильность, однородность исследуемых свойств. Например, пусть два спортсмена-стрелка в ходе соревнований производят по 5 выстрелов по круговой мишени, где за попадание начисляют от 0 до 10 очков. Первый стрелок показал результаты 8, 9, 9, 8, 9 очков. Второй же спортсмен в своих попытках показал результаты 7, 10, 10, 6, 10. Средние арифметические этих рядов равны:

(8+9+9+8+9):5 = 43:5 = 8,6;

(7+10+10+6+10):5 = 43:5 = 8,6.

Получается, что в среднем оба стрелка стреляют одинаково точно, однако первый спортсмен демонстрирует более стабильные результаты. У его выборки размах равен

9 – 8 = 1,

в то время как размах выборки второго спортсмена равен

10 – 6 = 4.

Размах выборки может быть очень важен в метеорологии. Например, в Алма-Ате и Амстердаме средняя температура в течение года почти одинакова и составляет 10°С. Однако в Алма-Ате в январе и феврале иногда фиксируются температуры ниже -30°С, в то время как в Амстердаме за всю историю наблюдений она никогда не падала ниже -20°С.

Мода выборки

Иногда важно знать не среднее арифметическое выборки, а то, какая из ее вариант встречается наиболее часто. Так, при управлении магазином одежды менеджеру не важен средний размер продаваемых футболок, а необходима информация о том, какие размеры наиболее популярны. Для этого используется такой показатель, как мода выборки.

В примере с математическим тестом сразу 3 ученика набрали по 13 баллов, а частота всех других вариант не превысила 2, поэтому мода выборки равна 13. Возможна ситуация, когда в ряде есть сразу две или более вариант, которые встречаются одинаково часто и чаще остальных вариант. Например, в ряде

1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

варианты 3 и 5 встречаются по три раза. В таком случае ряд имеет сразу две моды – 3 и 5, а всю выборку именуют мультимодальной. Особо выделяется случай, когда в выборке все варианты встречаются с одинаковой частотой:

6, 6, 7, 7, 8, 8.

Здесь числа 6, 7 и 8 встречаются одинаково часто (по два раза), а другие варианты отсутствуют. В таких случаях говорят, что ряд не имеет моды.

Медиана выборки

Иногда, например, при расчете средней зарплаты, среднее арифметическое не вполне адекватно отражает ситуацию. Это происходит из-за наличия в выборке чисел, очень сильно отличающихся от среднего. Так, из-за огромных зарплат некоторых начальников большинство рядовых сотрудников компаний обнаруживают, что их зарплата ниже средней. В таких случаях целесообразно использовать такую характеристику, как медиану ряда. Это такое значение, которое делит ряд данных пополам. В упорядоченном ряде 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25 медианой будет равна 12, так как именно она находится в середине ряда:

Однако таким образом можно найти только медиану ряда, в котором находится нечетное количество чисел. Если же их количество четное, то за медиану условно принимают среднее арифметическое двух средних чисел. Так, для ряда 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25, 30, содержащего 12 чисел, медиана будет равна среднему значению 12 и 15, которые занимают 6-ое и 7-ое место в ряду:

Вернемся к примеру с математическим тестом в школе. Так как его сдавали 20 учеников, а 20 – четное число, то для расчета медианы следует найти среднее арифметическое 10-ого и 11-ого числа в упорядоченном ряде

12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.

Эти места занимают числа 17 и 17 (выделены жирным шрифтом). Медиана ряда будет равна

(17+17):2 = 34:2 = 17.

Три приведенные основные статистические характеристики выборки, а именно среднее арифметическое, мода и медиана, называются мерами центральной тенденции. Они позволяют одним числом указать значение, относительно которого группируются все числа ряда.

Рассмотрим для наглядности ещё один пример. Врач в ходе диспансеризации измерил вес мальчиков в классе. В результате он получил 10 значений (в кг):

39, 41, 67, 36, 60, 58, 46, 44, 39, 69.

Найдем среднее арифметическое, размах, моду и медиану для этого ряда.

Решение. Сначала перепишем ряд в упорядоченном виде:

36, 39, 39, 41, 44, 46, 58, 60, 67, 69.

Так как в ряде 10 чисел, то объем выборки равен 10. Найдем среднее арифметическое. Для этого сложим все числа в ряде и поделим их на объем выборки (то есть на 10):

(36+39+39+41+44+46+58+60+67+69):10 =

= 499:10 = 49,9 кг.

Размах выборки равен разнице между наибольшей и наименьшей вариантой в ней. Самый тяжелый мальчик весит 69 кг, а самый легкий – 36 кг, а потому размах ряда равен

69 – 36 = 33 кг.

В упорядоченном ряде только одно число, 39, встречается дважды, а все остальные числа встречаются по одному разу. Поэтому мода ряда будет равна 39 кг.

В выборке 10 чисел, а это четное число. Поэтому для нахождения медианы надо найти два средних по счету значение найти их среднее. На 5-ом и 6-ом месте в ряде находятся числа 44 и 46. Их среднее арифметическое равно

(44+46):2 = 90:2 = 45 кг.

Поэтому и медиана ряда будет равна 45 кг.

Ошибки в статистике

Статистика является очень мощным инструментом для исследований во всех областях человеческой деятельности. Однако иногда ее иронично называют самой точной из лженаук. Известно и ещё одно высказывание, приписываемое политику Дизраэли, согласно которому существует просто ложь, наглая ложь и статистика. С чем же связана такая репутация этой дисциплины?

Дело в том, что некоторые люди и организации часто манипулируют данными статистики, чтобы убедить других в своей правоте или преимуществах товара, которые они продают. Требуются определенные навыки, чтобы правильно пользоваться статистикой. Одна из самых распространенных ошибок – это неправильный выбор выборки.

В 1936 году перед президентскими выборами в США был проведен телефонный опрос, который показал, что с большим преимуществом победу должен одержать Альфред Лендон. Однако на выборах Франклин Рузвельт набрал почти вдвое больше голосов. Ошибка была связана с тем, что в те годы телефон могли позволить себе только богатые люди, которые в большинстве своем поддерживали Лендона. Однако бедные люди (а их, конечно же, больше, чем богатых) голосовали за Рузвельта.

Ещё один пример – это агитация в конце XIX века в США к службе на флоте. Пропагандисты в своей рекламе указывали, что, согласно статистике, смертность на флоте во время войны (испано-американской) составляет 0,09%, в то время как среди населения Нью-Йорка она равнялась 0,16%. Получалось, что служить на флоте в военное время безопаснее, чем жить мирной жизнью. Однако на самом деле причина таких цифр заключается в том, что во флот всегда отбирали молодых мужчин с хорошим здоровьем, которые не могли умереть от «старческих» болезней, в то время как в население Нью-Йорка входят больные и старые люди.

При указании среднего значения исследователь может использовать разные характеристики – среднее арифметическое, медиана, мода. При этом почти всегда среднее арифметическое несколько больше медианы. Именно поэтому большинство людей, узнающих о средней зарплате в стране, удивляются, так как они столько не зарабатывают. Правильнее ориентироваться на медианную зарплату.

Ну и наконец, нельзя забывать, что любая статистика может показать только корреляцию между двумя величинами, но это не всегда означает причинно-следственную связь. Так, известно, что чем больше в городе продается мороженого, тем больше в это же время людей тонет на пляжах. Означает ли это, что поедание мороженого увеличивает риск во время плавания? Нет. Дело в том, что оба этих показателя, продажи мороженого и количество утонувших, зависят от третьей величины – температуры в городе. Чем жарче на улице, тем большее количество людей ходят на пляж и тем больше мороженого продается в магазинах.