Как найти размерность базис линейного пространства

Фундаментальным
вопросом теории линейных пространств
является вопрос о том, можно ли, а если
можно, то как, произвольный вектор
пространства представить в виде линейной
комбинации фиксированного набора
векторов из этого пространства. Далее
мы получим ответ на этот вопрос.

Система
линейно независимых векторов
векторного пространстваназываетсябазисом
этого пространства, если любой вектор
из
может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов этой системы, т.е.
для каждого векторасуществуют вещественные числатакие, что имеет место равенство

.

Это
равенство называется разложением
вектора

по базису
,
а числаназываютсякоординатами
вектора
относительно базиса
(или в базисе)
.

Утверждение

Базисом
линейного пространства решений
одно­родной системы является ее
фундаментальная система реше­ний.

ТЕОРЕМА
(о единственности разложения по базису).
Каждый вектор
пространстваможет быть разложен по базису
единственным
образом, т.е. координаты каждого вектора
в базисе

определяются однозначно.

Главное
значение базиса заключается в том, что
операции сложения векторов и умножения
их на числа при задании базиса превращаются
в соответствующие операции над числами
– координатами этих векторов. А именно,
справедлива следующая

ТЕОРЕМА.
При сложении
двух любых векторов линейного пространства
их координаты (относительно любого
базиса пространства) складываются; при
умножении
произвольного вектора на любое число
все координаты этого вектора умножаются
на.

Типовой
пример

Исследуем
вопрос о базисе пространства
,
введенного ранее при рассмотрении
Типовой примеров векторных пространств.
Покажем, чтоэлементовуказанного пространства образуют базис.

►Во-первых,
эти векторы линейно независимы. Проверка
линейной независимости набора
состоит в определении значений,
при которых возможно равенство

.

Но в
силу только что доказанной теоремы

,

а
последний вектор является нулевым лишь
при условии
.
Во-вторых, всякий векторзаведомо представим в виде линейной
комбинации векторов:и, значит, наборобразует базис. ◄

Векторное
пространство
называется
-мерным,
если в нем существуютлинейно независимых векторов, а любыевекторов уже являются линейно зависимыми.
При этом числоназываетсяразмерностьюпространства.

Размерность
векторного пространства, состоящего
из одного нулевого вектора, принимается
равной нулю.

Размерность
пространства
обычно обозначают символом.

Векторное
пространство
называетсябесконечномерным, если
в нем существует любое число линейно
независимых векторов. В этом случае
пишут.

Выясним
связь между понятиями базиса и размерности
пространства.

ТЕОРЕМА.Если
– векторное пространство размерности,
то любыелинейно независимых векторов этого
пространства образуют его базис.

ТЕОРЕМА.Если векторное пространство
имеет базис, состоящий извекторов, то.

Утверждение

Rⁿ=n.

Типовые примеры

1. Образуют
   ли базис в пространстве R³
   векторы
   ?

►По
определению базис составляют линейно
независимые векторы. Линейная зависимость
(или независимость) определяется исходя
из анализа равенства нулю линейной
комбинации этих векторов:

.

Последнее
векторное уравнение после записи его
по компонентам представляет собой
систему трёх однородных уравнений
относительно
.
Согласно схеме исследования линейной
зависимости векторов вычислим
определитель матрицы, составленной из
координат векторов

Определитель
системы равен нулю, следовательно, она
имеет нетривиальное решение и это
означает, что исходная группа векторов
линейно зависима и не образует базис в
R³. ◄

2.Найти
размерность и один из базисов линейного
пространства решений однородной системы:

►Представленная
система состоит из трёх уравнений и
содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу
системы и упростим её с помощью
элементарных преобразований, сначала
поменяв местами строки 1 и 2, а затем
вычитая новую первую строку, умноженную
на 3 и 4, соответственно из второй и
третьей строк :

Видно,
что ранг матрицы
равен 2. Следовательно, две неизвестные
являются главными, а три — свободными.
Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно
независимых решения. Выберем в качестве
главных.
Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка,
составленный из коэффициентов при этих
неизвестных, отличен от нуля. Система,
соответствующая преобразованной
матрице, имеет вид

Отсюда,
выражая главные неизвестные через
свободные, получим общее решение

Или иначе:

.

Фундаментальная
совокупность решений является базисом
линейного пространства решений исходной
системы и в данном случае имеет вид

Размерность
искомого пространства равна 3.◄

Матрицей
переходаот базисак базисуназывается матрица вида

где
для каждого
в
-ом
столбце стоят координатывекторав базисе.

Утверждение

Координаты
векторав базисеи координатыэтого же вектора в базисесвязаны равенством

где
— матрица перехода от базисак базису.

Утверждение.
Матрица перехода
от базисак бази­суи матрица обратного переходаот базисак базисусвязаны равенством=.

Типовые
примеры

1.Найти координаты векторав базисе,
если известно

►В
соответствии с определением матрица
перехода от базиса
к базисуесть

.

Обозначим
координаты вектора
в базисечерез,
а в базисечерез.
Искомые координатысвязаны с известными координатамиследующим соотношением:

.

Видно,
что для получения координат
необходимо вычислить матрицу, обратную.
Используя стандартную процедуру, имеем

.

Вычислим теперь координаты
:

.
◄

1. Найти матрицу
   перехода от базиса
   к базисупо данным разложениям этих векторов
   в базисе:

.

►Чтобы
построить матрицу
перехода
от базисак базису,
необходимо найти разложение векторовпо базису.
Сделаем это, представивв виде разложения пос неизвестными координатами, которые
требуется определить:

,

или с
учётом вида этих векторов в базисе

.

Откуда для координат
имеем

Теперь,
зная разложение
по,
выпишем матрицу:

.◄

5. Линейные оболочки
и подпространства

Подпространством линейного пространстваназывается множество векторов изтакое, что для любых двух векторовиизи любых двух вещественных чиселилинейная комбинациятакже принадлежит.

Утверждение. Подпространство само
является линейным про­странством.

Линейной оболочкойсистемы векторовназывается множество всех линейных
комбинаций векторов.
Обозначается.

Утверждение. Линейная оболочка системы
векторов является подпространством.

Пересечениемдвух подпространстви
на­зывается множество всех векторов,
принадлежащих одновре­менно и,
и
.
Обозначается
.

Суммой двух подпространстви
называется множество всех векторов,
представимых в виде,
где,
.
Обозначается
.

Утверждение. Сумма и пересечение
подпространств
и

являются линейными пространствами, и
их размерности связаны равенством

+=+.

Сумма
двух подпространств называется прямой
суммой, если
пересечение этих подпространств состо­ит
только из нулевого вектора.

Типовой пример

Найти размерность и какой-нибудь базис
суммы и пересечения подпространств,
порождённых векторами
.

►Вычислим вначале размерность
подпространств. С этой целью установим,
являются ли линейно независимыми
векторы, порождающие данные подпространства.
Для подпространства
,
порождённого векторами,
равенство нулю линейной комбинации,
эквивалентное системе уравнений,
достигается лишь при условии.
Следовательно, векторылинейно независимы и размерность
подпространстваравна 2:.
Для подпространства,
порождённого векторами,
проводя аналогичный анализ, получим.

Вычислим теперь размерность пересечения
подпространств
и.
По определению векторы, составляющие
пересечение, принадлежат одновременно
обоим подпространствам. Произвольный
векторподпространстваявляется линейной комбинацией базисных
векторов:.
Аналогично для подпространстваимеем,
тогда условие принадлежности пересечению
естьили.

Это условие представляет собой систему
уравнений относительно коэффициентов
.
Составим матрицу системы и упростим её
с помощью элементарных преобразований:

Как видно ранг системы равен 3. Значит
ФСР состоит из одного линейно независимого
вектора. Найдём его, решив систему
уравнений, соответствующих последней
матрице, получим
,

откуда
.

Полагая свободное неизвестное
,
для остальных имеем

.
Итак, пересечение подпространствимеет
один базисный вектор

.

Размерность пересечения
.
Следовательно, в соответствии с равенством

размерность суммы подпространств
.
В качестве базиса суммы подпространств
можно взять, например, векторы,
дополненные вектором.
В линейной независимости векторовубедиться нетрудно.◄

Размерность и базис линейного пространства

Определения размерности и базиса

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Следствие 1. Если — базис пространства , то , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.

В самом деле, для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что включения и выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если — линейно независимая система векторов линейного пространства и любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): , то пространство имеет размерность , а система является его базисом.

В самом деле, в пространстве имеется система линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы . Значит, и — базис .

---

Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства можно дополнить до базиса пространства.

В самом деле, пусть — линейно независимая система векторов n-мерного пространства . Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Любой вектор образует с векторами линейно зависимую систему , так как вектор линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует линейно независимых векторов, то и существует вектор , который не принадлежит . Дополняя этим вектором линейно независимую систему , получаем систему векторов , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что , а это противоречит условию . Итак, система векторов линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Если , то — базис и теорема доказана. Если , то дополняем систему вектором и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство конечномерное. В результате получим равенство , из которого следует, что — базис пространства . Теорема доказана.

---

Замечания 8.4

1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если — базис пространства , то система векторов при любом также является базисом . Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.

2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.

3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.

4. Если множество является линейной оболочкой , то векторы называют образующими множества . Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства , так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора ) без нарушения равенства .

5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.

6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы . Количество базисных векторов определяет размерность пространства. Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.

---

Примеры базисов линейных пространств

Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.

1. Нулевое линейное пространство не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: . Это пространство не имеет базиса.

2. Пространства имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, , а базисом пространства является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что и . Базисом пространства служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в является единичный вектор на прямой. Стандартным базисом в считается базис , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве считается базис , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.

3. Пространство содержит не более, чем , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем столбцов из и составим из них матрицу размеров . Если , то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, . В пространстве не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы

линейно независимы. Следовательно, . Пространство называется n-мерным вещественным арифметическим пространством. Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства . Аналогично доказывается, что , поэтому пространство называют n-мерным комплексным арифметическим пространством.

4. Напомним, что любое решение однородной системы можно представить в виде , где , a — фундаментальная система решений. Следовательно, , т.е. базисом пространства решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства , где — количество неизвестных, а — ранг матрицы системы.

5. В пространстве матриц размеров можно выбрать 6 матриц:

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация

равна нулевой матрице только в тривиальном случае . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. . Следовательно, , а матрицы являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что .

6. Для любого натурального в пространстве многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены линейно независимы, так как их линейная комбинация

равна нулевому многочлену только в тривиальном случае . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства многочленов с действительными коэффициентами. Пространство многочленов степени не выше, чем , конечномерное. Действительно, векторы образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

. Следовательно, .

7. Пространство непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального многочлены , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).

В пространстве тригонометрических двучленов (частоты ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены . Они линейно независимы, так как тождественное равенство возможно только в тривиальном случае . Любая функция вида линейно выражается через базисные: .

8. Пространство действительных функций, определенных на множестве , в зависимости от области определения может быть конечномерным или бесконечномерным. Если — конечное множество, то пространство конечномерное (например, ). Если — бесконечное множество, то пространство бесконечномерное (например, пространство последовательностей).

9. В пространстве любое положительное число , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число . Любое положительное число можно выразить через , т.е. представить в виде , где . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число является базисом.

10. Пусть — базис вещественного линейного пространства . Определим на линейные скалярные функции , положив:

При этом, в силу линейности функции , для произвольного вектора получаем .

Итак, определены элементов (ковекторов) сопряженного пространства . Докажем, что — базис .

Во-первых, покажем, что система линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов и приравняем ее нулевой функции

Подставляя в это равенство , получаем . Следовательно, система элементов пространства линейно независима, так как равенство возможно только в тривиальном случае.

Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию можно представить в виде линейной комбинации ковекторов . Действительно, для любого вектора в силу линейности функции получаем:

т.е. функция представлена в виде линейной комбинации функций (числа — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов является базисом сопряженного пространства и (для конечномерного пространства ).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Линейное (векторное) пространство

1. Понятие линейного пространства

Определение 1.1. Множество R элементов x, y, z, … любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования:

1. Существует правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z=x+y.
2. Существует правило, посредством которого любому элементу x множества R и любому вещественному числу α ставится в соответствие элемент w этого множества, называемый произведением элемента x на число α и обозначаемый w=αx или w=xα.
3. Представленные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:
   1. x+y=y+x (переместительное свойство суммы);
   2. (x+y)+z=x+(y+z) (сочетательное свойство суммы);
   3. существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x.
   4. для любого элемента x существует противоположный элемент элемент x’ такой, что x+x’=0;
   5. 1·x=x для любого x;
   6. λ(μx)=(λμ)x (сочетательное свойство относительно числового множителя);
   7. (λ+μ)x=λx+μx (распределительное свойство относительно числовых множителей);
   8. λ(x+y)=λx+λy (распределительное свойство относительно суммы элементов).

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

2. Базис линейного пространства

Определение 2.1. Совокупность линейно независимых элементов пространства R называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства R существуют вещественные чиcла такие, что выполнено равенство

(2.1)

Равенство (2.1) называется разложением элемента x по базису а числа называются координатами элемента x (относительно базиса ).

Докажем, что любой элемент x линейного пространства R может быть разложен по базису единственным образом.

Пусть существует и другое разложение x:

(2.2)

Вычитая (2.1) из (2.2) имеем:

(2.3)

Так как базисные элементы линейно независимы из соотношения (2.3) следует, что

или

Следовательно каждый элемент линейного пространства R может быть разложен по базису единственным образом.

Теорема 2.2. При сложении произвольных двух элементов линейного пространства R их координаты (относительно любого базиса пространства R) складываются, а при умножении любого элемента x на любое число α все координаты x умножаются на α.

Доказательство следует из аксиом 1-8 определения 1.1.

3. Размерность линейного пространства

Рассмотрим произвольное вещественное пространство R.

Определение 3.1. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства R.

Размерность пространства обозначают символом dim.

Определение 3.2. Линейное пространство R называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 3.3. Пусть R является линейным пространствам размерности n (dim R=n). Тогда любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Так как R является n -мерным пространством, то из определения 2.1 следует, что в нем существует совокупность из n линейно независимых элементов . Пусть x — любой элемент из R. Тогда согласно определению 3.1 линейно зависимы, т.е. существуют числа (не все равные нулю) такие, что справедливо равенство

(3.1)

Заметим, что λ₀≠0 т.к. в противном случае из равенства (3.1) следовала, что элементы линейно зависимы. Поделив равенство (3.1) на λ₀ и положив

(3.2)

получим

(3.3)

Из равенства (3.3) следует, что любой вектор из пространства R может быть разложен по элементам и, следовательно, они образуют базис пространства R. ■

Теорема 3.4. Пусть линейное пространство R имеет базис, состоящий из n элементов. Тогда размерность R равна n (dim R=n).

Доказательство. Пусть множество n элементов является базисом пространства R. Достаточно доказать, что любые n+1 элементы этого пространства линейно зависимы. Разложив эти элементы по базису, получим:

(3.4)

где a₁₁, a₁₂,…, a_n+1,n вещественные числа.

Пусть элементы линейно независимы. Перепишем (3.4) в матричном виде:

(3.5)

(3.6)

где, n×n-матрицы(элементы здесь являются вектор-строками),

(3.7)

Так как линейно независимы, матрица A имеет обратную матрицу A^-1. Решив матричное уравнение (3.5) относительно получим :

(3.8)

Подставляя (3.8) в (3.6), получим:

(3.9)

Как видно из уравнения (3.9) можно представить линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы линейно зависимы. ■

4. Замена базиса и преобразование координат

Пусть в пространстве R наряду с исходным базисом имеется другой базис . Векторы этого базиса можно выразить через линейную комбинацию векторов исходного базиса следующим образом:

(4.1)

или

(4.2)

где и матрицы составленные из векторов строк и соответственно (), а матрица P имеет вид:

(4.3)

Матрица P называется матрицей замены базиса на .

В свою очередь, векторы исходного базиса выражаются через векторы нового следующим соотношением:

(4.4)

где

(4.5)

Подставляя (4.2) в (4.4) имеем:

(4.6)

Из (4.6) следует, что QP=E, где E-единичная матрица, а матрицы Q и P взаимно обратные матрицы.

Рассмотрим как изменяются координаты векторов при замене базиса.

Пусть вектор x имеет координаты в базисе и координаты в базисе , тогда

(4.7)

или

(4.8)

Из (4.8) и из (4.2) имеем:

(4.9)

Так как квадратная матрица полного ранга, она имеет обратную матрицу. Умножив левые и правые части уравнения (4.9) на обратную к матрицу получим:

или

(4.10)

Матрица P^T называется матрицей преобразования координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Обратная матрица (P^T)^-1 дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней.

5. Изоморфизм линейных пространств

Определение 5.1. Два произвольных вещественных линейных пространства R и R’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если x, y∈R отвечают x’, y’∊R’ соответственно, то элементу x+y∈R отвечает элемент x’+y’∈R’, а для любого вещественного α, элементу αx∈R отвечает элемент αx’∈R’.

Теорема 5.2. Если пространства R и R’ изоморфны, то они имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Пусть линейные пространства R и R’ изоморфны, и пусть элементам пространства R отвечают элементы пространства R’ соответственно. Допустим элементы линейно независимы. Покажем, что элементы также линейно независимы. Исходя из обратного предположения допустим, что элементы линейно зависимы. тогда один из них можно представить линейной комбинацией остальных элементов:. Но элементам отвечают элементы y в пространстве R, а сумме отвечает сумма . Но последнее означает линейную зависимость элементов . Следовательно линейно независимы. Из линейной зависимости элементов следует линейная зависимость элементов . Следовательно максимальное количество линейно независимых векторов для пространств R и R’ одно и то же, т.е. эти пространства имеют одинаковую размерность. ■

Теорема 5.3. Любые два n-мерных вещественных линейных пространства R и R’ изоморфны.

Доказательство. Выберем базисы и для пространств R и R’ соответственно. Тогда каждый элемент пространства R можно представить линейной комбинацией базисных элементов: . Этому элементу в пространстве R’ поставим в соответствие элемент теми же координатами:. В свою очередь элементу x’ пространства R’ соответствует элемент x пространства R . Отметим, что если элементам x и y пространства R отвечают элементы x’ и y’ пространства R’ соответственно , то исходя из теоремы 2.2 элементу x+y пространства R отвечает элемент x’+y’ пространства R’, а элементу αx отвечает элемент αx’. ■

При проведении научных и прикладных исследование часто создаются модели, в которых рассматриваются точки и/или векторы определенных пространств. Например, в моделях шифров на эллиптических кривых используются аффинные и проективные пространства. К проективным прибегают тогда, когда необходимо ускорить вычисления, так как в формулах манипулирования с точками эллиптической кривой выводимых в рамках проективного пространства отсутствует операция деления на координату, которую в случае аффинного пространства обойти не удается.

Операция деления как раз одна из самых «дорогих» операций. Дело в том, что в алгебраических полях, а соответственно и в группах операция деления вообще отсутствует и выход из положения (когда не делить нельзя) состоит в том, что операцию деления заменяют умножением, но умножают не на саму координату, а на обращенное ее значение. Из этого следует, что предварительно надо привлекать расширенный алгоритм Евклида НОД и кое что еще. Одним словом, не все так просто как изображают авторы большинства публикаций о ЕСС. Почти все, что по этой теме опубликовано и не только в Интернете мне знакомо. Мало того, что авторы не компетентны и занимаются профанацией, оценщики этих публикаций плюсуют авторов в комментариях, т. е. не видят ни пробелов, ни явных ошибок. Про нормальную же статью пишут, что она уже 100500-я и от нее нулевой эффект. Так все пока на Хабре устроено, анализ публикаций делается огромный, но не качества содержания. Здесь возразить нечего — реклама двигатель бизнеса.

Линейное векторное пространство

Изучение и описание явлений окружающего мира с необходимостью приводит нас к введению и использованию ряда понятий таких как точки, числа, пространства, прямые линии, плоскости, системы координат, векторы, множества и др.

Пусть r_<3> = <r1, r2, r3> вектор трехмерного пространства, задает положение одной частицы (точки) относительно начала координат. Если рассматривать N элементов, то описание их положения требует задания 3∙N координат, которые можно рассматривать как координаты некоторого вектора в 3N-мерном пространстве. Если рассматривать непрерывные функции и их совокупности, то приходим к пространствам, размерность которых равна бесконечности. На практике часто ограничиваются использованием лишь подпространства такого бесконечномерного пространства функции координат, обладающего конечным числом измерений.

Пример 1. Ряд Фурье — пример использования пространства функций. Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд Фурье

Его можно трактовать как разложение «вектора» f(x) по бесконечному набору «ортогональных» базисных векторов sinпх

Это пример абстрагирования и распространения понятия вектора на бесконечное число измерений. Действительно, известно, что при -π≤x≤π

Существо дальнейшего рассмотрения не пострадает, если мы отвлечемся от размерности абстрактного векторного пространства – будь — то 3, 3N или бесконечность, хотя для практических приложений больший интерес представляет конечномерные поля и векторные пространства.

Набор векторов r1, r2,… будем называть линейным векторным пространством L, если сумма любых двух его элементов тоже находится в этом наборе и если результат умножения элемента на число С также входит в этот набор. Оговоримся сразу, что значения числа С могут быть выбраны из вполне определенного числового множества Fр – поля вычетов по модулю простого числа р, которое считается присоединенным к L.

Пример 2. Набор из 8 векторов, составленных из n =5 -разрядных двоичных чисел
r0 = 00000, r1 = 10101, r2 = 01111, r3 = 11010, r4 = 00101, r5 = 10110, r6 = 01001, r7 = 11100 образует векторное пространство L, если числа С є {0,1}. Этот небольшой пример позволяет убедиться в проявлении свойств векторного пространства, включенных в его определение.

Суммирование этих векторов выполняется поразрядно по модулю два, т. е. без переноса единиц в старший разряд. Отметим, что если все С действительные (в общем случае С принадлежат полю комплексных чисел), то векторное пространство называют действительным.

Формально аксиомы векторного пространства и записываются так:
r1 + r2 = r2 + r1 = r3; r1, r2, r3 є L – коммутативность сложения и замкнутость;
(r1 + r2) + r3 = r1 + (r2 + r3) = r1 + r2 + r3 – ассоциативность сложения;
ri + r0 = r0 + ri = ri; ∀i, ri, r0 є L–существование нейтрального элемента;
ri +(- ri) = r0, для ∀i существует противоположный вектор (-ri) є L;
1∙ ri = ri ∙1 = ri существование единицы для умножения;
α (β∙ri) = (α∙β)∙ri; α, β, 1, 0 – элементы числового поля F, ri є L; умножение на скаляры ассоциативно; результат умножения принадлежит L;
(α + β) ri = α∙ri + β∙ri; для ∀i, ri є L, α, β – скаляры;
а (ri + rj) = ari + arj для всех а, ri, rj є L;
a∙0 = 0, 0∙ri = 0; (-1) ∙ ri = – ri.

Размерность и базис векторного пространства

При изучении векторных пространств представляет интерес выяснение таких вопросов, как число векторов, образующих все пространство; какова размерность пространства; какой наименьший набор векторов путем применения к нему операции суммирования и умножения на число позволяет сформировать все векторы пространства? Эти вопросы основополагающие и их нельзя обойти стороной, так как без ответов на них утрачивается ясность восприятия всего остального, что составляет теорию векторных пространств.

Оказалось, что размерность пространства самым тесным образом связана с линейной зависимостью векторов, и с числом линейно независимых векторов, которые можно выбирать в изучаемом пространстве многими способами.

Линейная независимость векторов

Набор векторов r1, r2, r3 … rр из L называют линейно независимым, если для них соотношение

выполняется только при условии одновременного равенства

.
Все

, k = 1(1)p, принадлежат числовому полю вычетов по модулю два
F = {0, 1}.
Если в некотором векторном пространстве L можно подобрать набор из р векторов, для которых соотношение

выполняется, при условии, что не все

одновременно, т.е. в поле вычетов оказалось возможным выбрать набор

, k =1(1)р, среди которых есть ненулевые, то такие векторы

называются линейно зависимыми.

Пример 3. На плоскости два вектора

= <0, 1>^T и

= <1, 0>^T являются линейно независимыми, так как в соотношении (T-транспонирование)

невозможно подобрать никакой пары чисел

коэффициентов не равных нулю одновременно, чтобы соотношение было выполнено.
Три вектора

= <0, 1>^T,

= <1, 0>^T,

= <1, 1>^T образуют систему линейно зависимых векторов, так как в соотношении

равенство может быть обеспечено выбором коэффициентов

, не равных нулю одновременно. Более того, вектор

является функцией

и

(их суммой), что указывает на зависимость

от

и

. Доказательство общего случая состоит в следующем.

Пусть хотя бы одно из значений

, k = 1(1)р, например,

, а соотношение выполнено. Это означает, что векторы

, k = 1(1)р, линейно зависимы

Выделим явным образом из суммы вектор r_р

Говорят, что вектор r_р является л и н е й н о й комбинацией векторов

или r_р через остальные векторы выражается линейным образом, т.е. r_р линейно зависит от остальных. Он является их функцией.

На плоскости двух измерений любые три вектора линейно зависимы, но любые два неколлинеарных вектора являются независимыми. В трехмерном пространстве любые три некомпланарных вектора линейно независимы, но любые четыре вектора всегда линейно зависимы.

Зависимость/независимость совокупности {

} векторов часто определяют, вычисляя определитель матрицы Грама (ее строки скалярные произведения наших векторов). Если определитель равен нулю, среди векторов имеются зависимые, если определитель отличен от нуля — векторы в матрице независимы.

Определителем Грама (грамианом) системы векторов

в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где

— скалярное произведение векторов

и

.

Размерность и базис векторного пространства

Размерность s = d (L) пространства L определяется как наибольшее число векторов в L, образующих линейно независимый набор. Размерность – это не число векторов в L, которое может быть бесконечным и не число компонентов вектора.

Пространства, имеющие конечную размерность s ≠ ∞, называются конечномерными, если
s = ∞, – бесконечномерными.

Ответом на вопрос о минимальном числе и составе векторов, которые обеспечивают порождение всех векторов линейного векторного пространства является следующее утверждение.

Любой набор s линейно независимых векторов в пространстве L образует его б а з и с. Это следует из того, что любой вектор

линейного s-мерного векторного пространства L может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Зафиксируем и обозначим символом

, i = 1(1)s, один из наборов, образующих базис пространства L. Тогда

Числа r_ki, i = 1(1)s называются координатами вектора

в базисе

, i = 1(1)s, причем r_ki = (

,

).
Покажем единственность представления

. Очевидно, что набор

,

является зависимым, так как

, i = 1(1)s – базис. Другими словами, существуют такие

не равные одновременно нулю, что

.
При этом пусть

, ибо если

, то хоть одно из

, было бы отлично от нуля и тогда векторы

, i = 1(1)s, были бы линейно зависимы, что невозможно, так как это базис. Следовательно,

Полагая

, будем иметь
Используя прием доказательства «от противного», допустим, что записанное представление

не единственное в этом базисе и существует другое

Тогда запишем отличие представлений, что, естественно, выражается как

Очевидно, что правая и левая части равны, но левая представляет разность вектора с самим собой, т. е. равна нулю. Следовательно, и правая часть равна нулю. Векторы

, i = 1(1)s линейно независимы, поэтому все коэффициенты при них могут быть только нулевыми. Отсюда получаем, что

а это возможно только при

Выбор базиса. Ортонормированность

Векторы называют нормированными, если длина каждого из них равна единице. Этого можно достичь, применяя к произвольным векторам процедуру нормировки.

Векторы называют ортогональными, если они перпендикулярны друг другу. Такие векторы могут быть получены применением к каждому из них процедуры ортогонализации. Если для совокупности векторов выполняются оба свойства, то векторы называются ортонормированными.

Необходимость рассмотрения ортонормированных базисов вызвана потребностями использования быстрых преобразований как одно –, так и многомерных функций. Задачи такой обработки возникают при исследовании кодов, кодирующих информационные сообщения в сетях связи различного назначения, при исследовании изображений, получаемых
посредством автоматических и автоматизированных устройств, в ряде других областей, использующих цифровые представления информации.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного
пространства V называется его базисом.

Теорема. Каждый вектор х линейного n-мерного векторного пространства V можно представить, притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Векторное пространство V над полем F обладает следующими свойствами:
0·х = 0 (0 в левой части равенства – нейтральный элемент аддитивной группы поля F; 0 в правой части равенства – элемент пространства V, являющийся нейтральным единичным элементом аддитивной группы V, называемый нулевым вектором);
(– 1)·х = –х; –1є F; x є V; –x є V;
Если α·х = 0єV, то при х ≠ 0 всегда α = 0.
Пусть Vn(F) – множество всех последовательностей (х1, х2, …, хn) длины n с компонентами из поля F, т.е. Vn(F) ={x, таких, что х = (х1, х2, …, хn), хi є F;
i =1(1)n }.

Сложение и умножение на скаляр определяются следующим образом:
x + y =(x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn);
α·х = (α·х1, α·х2,…, α·хn), где у = (у1, у2,…, уn),
тогда Vn(F) является векторным пространством над полем F.

Пример 4. В векторном пространстве rо = 00000, r1 = 10101, r2 = 11010, r3 = 10101 над полем F2 = {0,1} определить его размерность и базис.
Решение. Сформируем таблицу сложения векторов линейного векторного пространства

В этом векторном пространстве V= {rо,r1,r2,r3} каждый вектор в качестве противоположного имеет самого себя. Любые два вектора, исключая rо, являются линейно независимыми, в чем легко убедиться
c1·r1 + c2·r2 = 0; c1·r1 + c3·r3 = 0; c2·r2 + c3·r3 = 0;

Каждое из трех соотношений справедливо только при одновременных нулевых значениях пар коэффициентов сi, сj є {0,1}.

При одновременном рассмотрении трех ненулевых векторов один из них всегда является суммой двух других или равен самому себе, а r1+r2+r3=rо.

Таким образом, размерность рассматриваемого линейного векторного пространства равна двум s = 2, d(L) = s = 2, хотя каждый из векторов имеет пять компонентов. Базисом пространства является набор (r1, r2). Можно в качестве базиса использовать пару (r1, r3).

Важным в теоретическом и практическом отношении является вопрос описания векторного пространства. Оказывается, любое множество базисных векторов можно рассматривать как строки некоторой матрицы G, называемой порождающей матрицей векторного пространства. Любой вектор этого пространства может быть представлен как линейная комбинация строк матрицы G ( как, например, здесь).

Если размерность векторного пространства равна k и равна числу строк матрицы G, рангу матрицы G, то очевидно, существует k коэффициентов с q различными значениями для порождения всех возможных линейных комбинаций строк матрицы. При этом векторное пространство L содержит q^k векторов.

Множество всех векторов из ℤpn с операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр из ℤp есть линейное векторное пространство.

Определение. Подмножество W векторного пространства V, удовлетворяющее условиям:
Если w1, w2 є W, то w1+ w2 є W,
Для любых α є F и w є W элемент αw є W,
само является векторным пространством над полем F и называется подпространством векторного пространства V.

Пусть V есть векторное пространство над полем F и множество W ⊆ V. Множество W есть подпространство пространства V, если W по отношению к линейным операциям, определенным в V, есть линейное векторное пространство.

Таблица. Характеристики векторных пространств

Компактность матричного представления векторного пространства очевидна. Например, задание L векторов двоичных 50-разрядных чисел, среди которых 30 векторов образуют базис векторного пространства, требует формирования матрицы G[30,50], а описываемое количество векторов превышает 10⁹, что в поэлементной записи представляется неразумным.

Все базисы любого пространства L разбиваются подгруппой Р невырожденных матриц с det G > 0 на два класса. Один из них (произвольно) называют классом с положительно ориентированными базисами (правыми), другой класс содержит левые базисы.

В этом случае говорят, что в пространстве задана ориентация. После этого любой базис представляет собой упорядоченный набор векторов.

Если нумерацию двух векторов изменить в правом базисе, то базис станет левым. Это связано с тем, что в матрице G поменяются местами две строки, следовательно, определитель detG изменит знак.

Норма и скалярное произведение векторов

После того как решены вопросы о нахождении базиса линейного векторного пространства, о порождении всех элементов этого пространства и о представлении любого элемента и самого векторного пространства через базисные векторы, можно поставить задачу об измерении в этом пространстве расстояний между элементами, углов между векторами, значений компонентов векторов, длины самих векторов.

Действительное или комплексное векторное пространство L называется нормированным векторным пространством, если каждый вектор r в нем может быть сопоставлен действительному числу || r || – модулю вектора, норме. Единичный вектор – это вектор, норма которого равна единице. Нулевой вектор имеет компонентами нули.

Определение. Векторное пространство называется унитарным, если в нем определена бинарная операция, ставящая каждой паре ri, rj векторов из L в соответствие скаляр. В круглых скобках (ri, rj) записывается (обозначается) скалярное или внутреннее произведение ri и rj, причем
1. (ri, rj) = ri ∙ rj;
2. (ri, rj) = (rj ∙ ri)*, где * указывает на комплексное сопряжение или эрмитову симметрию;
3. (сri, rj) = с(ri ∙ rj) – ассоциативный закон;
4. (ri + rj, rk) = (ri ∙ rk)+ (rj ∙ rk)– дистрибутивный закон;
5. (ri, rk) ≥ 0 и из (ri, rj ) = 0 следует ri = 0.

Определение. Положительное значение квадратного корня называют нормой (или длиной, модулем) вектора ri. Если = 1, то вектор ri называют нормированным.

Два вектора ri, rj унитарного векторного пространства L взаимно ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (ri, rj) = 0.

При s = 3 в линейном векторном пространстве в качестве базиса удобно выбирать три взаимно перпендикулярных вектора. Такой выбор существенно упрощает ряд зависимостей и вычислений. Этот же принцип ортогональности используется при выборе базиса в пространствах и других размерностей s > 3. Использование введенной операции скалярного произведения векторов обеспечивает возможность такого выбора.

Еще большие преимущества достигаются при выборе в качестве базиса векторного пространства ортогональных нормированных векторов – ортонормированного базиса. Если не оговорено специально, то далее всегда будем считать, что базис еi, i = 1(1)s выбран именно таким образом, т.е.

, где ij — символ Кронекера (1823 — 1891).

В унитарных векторных пространствах такой выбор всегда реализуем. Покажем реализуемость такого выбора.

Определение. Пусть S = {v1, v2,…, vn} есть конечное подмножество векторного пространства V над полем F.
Линейная комбинация векторов из S есть выражение вида а1∙v1 + а2∙v2 +…+ аn∙vn, где каждое аi ∊ F.

Оболочка для множества S (обозначение {S}) есть множество всех линейных комбинаций векторов из S. Оболочка для S есть подпространство пространства V.

Если U есть пространство в V, то U натянуто на S (S стягивает U), если {S}=U.
Множество векторов S линейно зависимо над F, если в F существуют скаляры а1, а2,…, аn, не все нули, для которых а1∙v1+ а2∙v2 +…+ аn∙vn = 0. Если таких скаляров не существует, то множество векторов S линейно независимо над F.

Если векторное пространство V натянуто на линейно независимую систему векторов S (или система S стягивает пространство V), то система S называется базисом для V.

Приведение произвольного базиса к ортонормированному виду

Пусть в пространстве V имеется не ортонормированный базис ē _i, i = 1(1)s. Обозначим норму каждого вектора базиса символом

Известно следующее утверждение [11]. Если ē _i, i = 1(1)s – произвольная конечная или счетная система линейно независимых векторов в унитарном векторном пространстве, то существует ортонормированная система ē _i, i = 1(1)s, порождающая то же самое линейное пространство (многообразие).

В основу процедуры приведения базиса к ортонормированному виду положен процесс ортогонализации Грама — Шмидта, который в свою очередь, реализуется рекуррентными формулами

В развернутом виде алгоритм ортогонализации и нормирования базиса содержит следующие условия:

Делим вектор ē ₁, на его норму; получим нормированный вектор ē _i=ē ₁/(||ē ₁ ||);
Формируем V2 = ē ₂ — (ē ₁, ē ₂)e ₁ и нормируем его, получим е ₂. Ясно, что тогда
(е1, е2) ~ (е1, е2) – (е1, ē ₂)( е1, е1) = 0;
Построив V3 = ē ₃– (e1, ē ₃)e1 – (e2, ē ₃) e2 и нормируя его, получим е3.

Для него имеем сразу же (е1, е3) = (е2, е3) = 0.
Продолжая такой процесс, получим ортонормированный набор ē _i, i = 1(1)s. Этот набор содержит линейно независимые векторы, поскольку все они взаимно ортогональны.
Убедимся в этом. Пусть выполняется соотношение

Если набор ē _i, i = 1(1)s зависимый, то хотя бы один сj коэффициент не равен нулю сj ≠ 0.

Умножив обе части соотношения на еj, получаем
(ej, c1∙e1 ) + (ej, c2∙e2 )+ …+ ( ej, cj∙ej ) +…+ ( ej, cs∙rs ) = 0.
Каждое слагаемое в сумме равно нулю как скалярное произведение ортогональных векторов, кроме (ej ,cj∙ej), которое равно нулю по условию. Но в этом слагаемом
(ej, ej) = 1 ≠ 0, следовательно, нулем может быть только cj.
Таким образом, допущение о том, что cj ≠ 0 неверно и набор является линейно независимым.

Пример 5. Задан базис 3-х мерного векторного пространства:
{<-1, 2 ,3, 0>,<0, 1, 2, 1>,<2,-1,-1,1>}.
Скалярное произведение определено соотношением:
(<x1,x2,x3,x4>,<y1,y2,y3,y4>) = x1∙y1+x2∙y2+x3∙y3+x4∙y4.
Процедурой ортогонализации Грама — Шмидта получаем систему векторов:
а1 = <-1, 2, 3, 0>; a2 = <0, 1, 2, 1>-4<-1, 2, 3,0>/7=<4,-1, 2, 7>/7;
a3 =<2, -1, -1, 1>+½<-1, 2, 3, 0> — <4, -1, 2, 7>/5 =<7, 2, 1, -4>/10.
(a1,a2)= (1+4+9+0) = 14;
a1 ^E =a1/√14;
a2-(a1^E,a2)∙a1^E=a2-(8/√14)(a1/√14)=a2 — 4∙a1/7;
Третий вектор читателю предлагается обработать самостоятельно.

Нормированные векторы получают вид:
a1 ^E =a1/√14;
a2 ^E =<4, -1, 2, 7>/√70;
a3 ^E =<7, 2, 1,-4>/√70;

Ниже в примере 6 дается подробный развернутый процесс вычислений получения ортонормированного базиса из простого (взятого наугад).

Пример 6. Привести заданный базис линейного векторного пространства к ортонормированному виду.
Дано: векторы базиса

Подпространства векторных пространств

Структура векторного пространства

Представление объектов (тел) в многомерных пространствах весьма непростая задача. Так, четырехмерный куб в качестве своих граней имеет обычные трехмерные кубы, и в трехмерном пространстве может быть построена развертка четырехмерного куба. В некоторой степени «образность» и наглядность объекта или его частей способствует более успешному его изучению.

Сказанное позволяет предположить, что векторные пространства можно некоторым образом расчленять, выделять в них части, называемые подпространствами. Очевидно, что рассмотрение многомерных и тем более бесконечномерных пространств и объектов в них лишает нас наглядности представлений, что весьма затрудняет исследование объектов в таких
пространствах. Даже, казалось бы, такие простые вопросы, как количественные характеристики элементов многогранников (число вершин, ребер, граней, и т. п.) в этих пространствах решены далеко не полностью.

Конструктивный путь изучения подобных объектов состоит в выделении их элементов (например, ребер, граней) и описании их в пространствах меньшей размерности. Так четырехмерный куб в качестве своих граней имеет обычные трехмерные кубы и в трехмерном пространстве может быть построена развертка четырехмерного куба. В некоторой степени
«образность» и наглядность объекта или его частей способствует более успешному их изучению.

Если L – расширение поля К, то L можно рассматривать как векторное (или линейное) пространство над полем К. Элементы поля L (т. е. векторы) образуют по сложению абелеву группу. Кроме того, каждый «вектор» а є L может быть умножен на «скаляр» r є K, и при этом произведение ra снова принадлежит L (здесь ra – просто произведение в смысле операции поля L элементов r и а этого поля). Выполняются также законы
r∙(a+b) = r∙a+r∙b, (r+s)∙a = r∙a + r∙s, (r∙s)∙a = r∙(s∙a) и 1∙а = а, где r,s є K, a,b є L.

Сказанное позволяет предположить, что векторные пространства можно некоторым образом расчленять, выделять в них части, называемые подпространствами. Очевидно, что основным результатом при таком подходе является сокращение размерности выделяемых подпространств. Пусть в векторном линейном пространстве L выделены подпространства L1 и L2. В качестве базиса L1 выбирается меньший набор еi, i = 1(1)s1, s1 < s, чем в исходном L.

Оставшиеся базисные векторы порождают другое подпространство L2, называемое «ортогональным дополнением» подпространства L1. Будем использовать запись L = L1 + L2. Она означает не то, что все векторы пространства L принадлежат либо L1, либо L2,, а то, что любой вектор из L можно представить в виде суммы вектора из L1 и ортогонального ему вектора из L2.
Разбивается не множество векторов векторного пространства L, а размерность d(L) и набор базисных векторов. Таким образом, подпространством L1 векторного пространства L называется множество L1, его элементов (меньшей размерности), само являющееся векторным пространством относительно введенных в L операций сложения и умножения на число.

Каждое линейное векторное подпространство Li – содержит нулевой вектор и вместе с любыми своими векторами содержит и все их линейные комбинации. Размерность любого линейного подпространства не превосходит размерности самого исходного пространства.

Пример 7. В обычном трехмерном пространстве подпространствами являются все прямые (размерность s =1) линии, плоскости (размерность s = 2), проходящие через начало координат. В пространстве Рn многочленов степени не выше n подпространствами будут, например, все Рk при k < n, так как складывая и умножая на числа многочлены степени, не выше k, снова будут получаться такие же многочлены.

Однако, каждое из пространств Рп содержится в качестве подпространств в пространстве Р всех многочленов с вещественными коэффициентами, а это последнее является подпространством пространства С непрерывных функций.

Матрицы одинакового типа над полем действительных чисел также образуют линейное векторное пространство, так как для них выполняются все аксиомы векторных пространств. Векторное пространство L2 наборов длины n, каждый из которых ортогонален подпространству L1 наборов длины п, образует подпространство L2, называемое нулевым пространством для L1. Другими словами, каждый вектор из L2 ортогонален каждому вектору из L1 и наоборот.

Оба подпространства L1 и L2 являются подпространствами векторного пространства L наборов длины п. В теории кодирования [4] каждое из подпространств L1 и L2 порождает линейный код, двойственный по отношению к коду, порожденному другими подпространства-ми. Если L1 есть (п, k)-код, то L2 — это (п, п – k)-код. Если код является векторным пространством строк некоторой матрицы, то двойственный к нему код — нулевое пространство этой матрицы и наоборот.

Важным вопросом при изучении векторных пространств Vn является установление их структуры (строения). Другими словами, интерес представляют элементы, их совокупности (подпространства размерности 1<k<п ), а также их отношения (упорядоченность, вложенность и т.п.). Будем считать заданным векторное пространство Vn над конечным полем GF(q), образованным q = р r элементами, где р — простое число, r — целое.
Известны следующие результаты.

Количества подпространств векторного пространства

Приведем следующее обоснование. Каждый вектор v1 ≠ 0 из системы k линейно независимых ( v1,v2,…,vk ) векторов может быть выбран qⁿ – 1 способами. Следующий вектор v2 ≠ 0 не может быть выражен линейно через v1, т.е. может быть выбран qⁿ – q способами и т.д.

Последний вектор vk ≠ 0 также линейно не выражается через предыдущие выбранные векторы v1,v2,…,vk и, следовательно, может быть выбран qⁿ – q^k – 1 способами. Общее число способов для выбора совокупности векторов v1,v2,…,vk, таким образом, определится как произведение числа выборов отдельных векторов, что и дает формулу (1). Для случая, когда k = п, имеем wп = wn, n и из формулы (I) получаем формулу (2).

Важные обобщающие результаты о размерностях подпространств.
Совокупность всех наборов длины n, ортогональных подпространству V1 наборов длины n, образует подпространство V2 наборов длины n. Это подпространство V2 называется нулевым пространством для V1.
Если вектор ортогонален каждому из векторов, порождающих подпространство V1, то этот вектор принадлежит нулевому пространству для V1.
Примером (V1) может служить множество 7-разрядных векторов порождающей матрицы (7,4)-кода Хемминга, с нулевым подпространством (V2) 7-разрядных векторов, образующих проверочную матрицу этого кода.

Если размерность подпространства (V1) наборов длины n равна k, то размерность нулевого подпространства (V2) равна n — k.

Если V2 — подпространство наборов длины n и V1 — нулевое пространство для V2, то (V2) — нулевое пространство для V1.

Пусть U∩V обозначает совокупность векторов, принадлежащих одновременно U и V, тогда U∩V является подпространством.

Пусть U⊕V обозначает подпространство, состоящее из совокупности всех линейных комбинаций вида au +bv, где u є U, v є V, a b — числа.

Сумма размерностей подпространств U∩V и U⊕V равна сумме размерностей подпространств U и V.

Пусть U2 — нулевое подпространство для U1, а V2 -нулевое пространство для V1. Тогда U2∩V2 является нулевым пространством для U1⊕V1.

Заключение

В работе рассмотрены основные понятия векторных пространств, которые часто используются при построении моделей анализа систем шифрования, кодирования и стеганографических, процессов, протекающих в них. Так в новом американском стандарте шифрования использованы пространства аффинные, а в цифровых подписях на эллиптических кривых и аффинные и
проективные (для ускорения обработки точек кривой).

Об этих пространствах в работе речь не идет (нельзя валить все в одну кучу, да и объем публикации я ограничиваю), но упоминания об этом сделаны не зря. Авторы, пишущие о средствах защиты, об алгоритмах шифров наивно полагают, что понимают детали описываемых явлений, но понимание евклидовых пространств и их свойств без всяких оговорок переносится в другие пространства, с другими свойствами и законами. Читающая аудитория вводится в заблуждение относительно простоты и доступности материала.

Создается ложная картина действительности в области информационной безопасности и специальной техники (технологий и математики).

В общем почин мною сделан, насколько удачно судить читателям.

Литература

1. Авдошин С.М., Набебин А.А. Дискретная математика. Модулярная алгебра, криптография, кодирование. — М.: ДМК Пресс, 2017. -352 с.
2. Акимов О.Е. Дискретная математика.Логика, группы, графы- М.: Лаб.Баз. Зн., 2001. -352 с.
3. Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика.- М.: Вильямс, 2003. -960 с.
4. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. -М.: Мир,1971.- 478 с.
5. Ваулин А.Е. Дискретная математика в задачах компьютерной безопасности. Ч 1- СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2015. -219 с.
6. Ваулин А.Е. Дискретная математика в задачах компьютерной безопасности. Ч 2- СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2017. -151 с.
7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.-М.: Мир,1985.- 352 с.
7. Грэхем Р., Кнут Д., Пташник О. Конкретная математика.Основание информатики.-М.: Мир,1998.-703 с.
9. Елизаров В.П. Конечные кольца.- М.: Гелиос АРВ,2006. — 304 с.
Иванов Б.Н. Дискретная математика: алгоритмы и программы-М.: Лаб.Баз. Знаний., 2001. -280 с.
10. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения-М.: Вузовская книга, 2000.-280 с.
11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1973.-832 с.
12. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т.1 -М.: Мир,1988. — 430 с.
13. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т.2 -М.: Мир,1988. — 392 с.
14. Ляпин Е.С., АйзенштатА.Я., Лесохин М.М., Упражнения по теории групп.- М.: Наука,1967.-264 с.
15. Муттер В.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации. -Л. Энергоатомиздат,1990.- 288 с.
16. Набебин А.А.Дискретная математика.- М.: Лаб.Баз. Знаний., 2001. -280 с.
17. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов.- СПб.: Питер, 2000. -304 с.
18. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства.-М.: Наука,1966.-648 с.
18. Холл М. Теория групп.-М.: Изд. ИЛ, 1962.- 468 с.
19. Шиханович Ю.А. Группы, кольца, решётки. — СПб.: Кирцидели,2006. — 368 с.
20. Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях: В 2-х ч Ч.2.-Мн.: Выш. шк., 1987. -256 с.
21. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел.- Минск: Дизайн ПРО, 2000. -240 с.