Как найти размерность функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

РАЗМЕРНОСТИ ФУНКЦИЯ

— целочисленная функция dна решетке L(т. е. отображение ), удовлетворяющая условиям: 1) d(x+y)+d(xy)=d(x)+d (у).для любых ; 2) если [ х, у] -простой интервал в L, то d(y) = d(x).1. Для решетки, все ограниченные цепи к-рой конечны, существование Р. ф. эквивалентно дедекиндовости этой решетки.

Существует и более общее определение Р. ф. на ор-томодулярной решетке или ортомодулярном частично упорядоченном множестве, где значениями Р. ф. могут быть произвольные действительные числа или даже функции (см. [3]).

Лит.:[1] С к о р н я к о в Л. А., Элементы теории структур, М., 1970; [2] В i r k h о f fG.,Lattice theory, 3 ed., Providence, 1967; [3J К a 1 m b а с h G., Omolattices, L., 1981.

Т. С. Фофанова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
.
1977—1985.

Смотреть что такое «РАЗМЕРНОСТИ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

Функция распределения (статистическая физика) — Статистическая физика … Википедия
Функция распределения (статистическая механика) — Статистическая физика Термодинамика Молекулярно кинетическая теория Статистики Максвелла Больцмана Бозе Эйнштейна · Ферми Д … Википедия
Функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… … Википедия
Функция вероятности — в теории вероятностей наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Содержание 1 Определения 1.1 Функция произвольной вероятности … Википедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция переменных x1,…xn удовлетворяющая уравнению где F неприводимый многочлен от с коэффициентами из нек рого поля K, наз. полем констант. А. ф., заданная над этим полем, наз. А. ф. над полем K. Многочлен часто записывается по степеням… … Математическая энциклопедия
ВЫБОРОЧНАЯ ФУНКЦИЯ — функция аргумента t, однозначно соответствующая каждому наблюдению случайного процесса ; здесь множество элементарных событий. Часто Д используются эквивалентные В. ф. термины реализация , траектория . Случайный процесс характери зустся… … Математическая энциклопедия
Дельта-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Дельта (значения). Схематический график одномерной дельта функции. Дельта функция (или … Википедия
Однородная функция — степени числовая функция такая, что для любого и выполняется равенство: причём называют порядком однородности. Различают также положительно однородные функции, для которых равенство … Википедия
Δ-функция — (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… … Википедия

Источник

Функция — размерность

Cтраница 1

Функции размерности нуль — это константы: 0 и 1, называемые соответственно нулевой и единичной функциями.
[1]

С ( как функция размерности пространства d) была найдена при помощи теории возмущений.
[2]

Пусть для всех функций размерности меньше п алгоритм работает корректно. Рассмотрим выполнение шага В. По теореме 2.4, если функция является бесповторной в бинарном базисном множестве, то только один из векторов uo ui U2 непуст. Таким образом, если это условие не выполняется, то исходная функция не является бесповторной, и этот шаг корректен.
[3]

Требуется найти сумму F функций более низкой размерности, которые могут быть записаны в виде таблиц в не более чем М ячеек памяти ЭВМ, и таких, что ошибка г F — F min. Эта задача приводится к задаче целочисленного линейного программирования.
[4]

Стоимость оборудования для каждой подсистемы является функцией размерности ее задачи управления. Общая стоимость децентрализованной системы определяется числом входящих в нее локальных и координирующих подсистем. Минимизация общих затрат на создание системы достигается при выборе такой иерархической структуры, в которой подобъекты имеют меньшее число внешних связей.
[5]

Разделив потери на успех, получим удельные потери на поиск ( А), поведение которых в функции размерности задачи q показано на рис. 3.3.7 для обоих алгоритмов.
[7]

Определенную таким образом сложность иногда называют временной сложностью в отличие от сложности по памяти, определяющей величину объема памяти, использованного алгоритмом, как функцию размерности задачи.
[8]

Для разрядности 9 максимально возможное число узлов на оси равно 13, т.е. матрица значений функции F ( xyy) имеет размерность 13×13 Варианты с матрицей значений функции размерности 8×8 и 13×13 требуют для счета с разрядностью 8 соответственно 1 мин и 2 мин.
[9]

Возникла задача построения абстрактной теории размерности в рамках такого класса решеток, к-рый включил бы в себя, кроме модулярных решеток проекций факторов типов 1 и П:, и немодулярные решетки проекций факторов остальных типов. Доказано ( см. [5], [6]) существование функции размерности на полной О. Этот класс решеток включает в себя и решетки проекций факторов, и непрерывные геометрии.
[10]

При решении конкретной проблемы, заданной п словами памяти, алгоритм выполняет не более чем конечное количество элементарных операций в силу условия рассмотрения только финитных алгоритмов. Анализ ресурсной эффективности алгоритма может быть выполнен на основе комплексной оценки ресурсов компьютера, требуемых алгоритмом для решения задачи, как функции размерности входа.
[11]

Приводится описание несколько более формального подхода на основе теории поля. Для расчета критических показателей как функций размерности и числа компонент параметра порядка существуют два подхода. Имеются в виду метод графов Рейнмана, развитый впервые Вильсоном [447], и использование уравнения Кэллана — Симанчика.
[12]

Если в представлении (4.1) множество и является пустым, то метод называется методом разделительной декомпозиции. Реализация таких разложений может быть осуществлена различными методами и задача сводится к представлению функций g и / г, которые являются, в некотором смысле, более простыми, например, имеют меньшую размерность. Если не учитывать особенностей базисного множества Б, то задача сводится к представлению функций размерности два и получается представление функции бинарным термом.
[13]

Страницы:

Источник

(все матрицы образуют динейно независимую систему).

2.21. Доказать, что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц М₂₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Линейность данного множества матриц следует из линейности операций умножения матриц на число и сложения матриц, например:

При этом каждая матрица данного подпространства может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 2 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

Для дополнения этого базиса до базиса всего пространства М₂₃ можно выбрать матрицы

(все матрицы образуют динейно независимую систему).

2.22. Найти общий вид матрицы, антиперестановочной (AX=-XA) с данной матрицей . Доказать, что множество матриц Х образует линейное подпространство в пространстве М₂₂ матриц 2-го порядка. Найти его базис и размерность.

Решение:

Проверяем линейность данного множества L матриц:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если матрица антиперестановочная с данной матрицей , то:

т.е. матрица Х может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 2 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

2.23. Образуют ли матрицы базис в пространстве матриц М₂₂?

Решение:

Запишем данные матрицы в каноническом базисе, получим векторы

найдем ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, следовательно, данные матрицы не образуют базис в пространстве матриц М₂₂

2.24. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки системы матриц

Решение:

Запишем данные матрицы в каноническом базисе, получим векторы

найдем ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, следовательно:

1) размерность данной системы матриц равна 3,

2) в качестве базиса их линейной оболочки можно взять первые три матрицы, т.е. (Е₁, Е₂, Е₃).

2.25. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства M_nn. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) множество всех симметрических квадратных матриц порядка n (A^T = A).

2) множество всех кососимметрических квадратных матриц порядка n (A^T = -A).

3) множество всех квадратных вырожденных матриц порядка n (detA = 0).

Решение:

1) При умножении любой симметрической квадратной матрицы порядка n (A^T = A) на любое число получается также симметрическая квадратная матрица порядка n , сумма двух симметрических квадратных матриц порядка n также является симметрической квадратной матрицей порядка n. Следовательно, множество всех симметрических квадратных матриц порядка n является подпространством пространства M_nn.

2) При умножении любой кососимметрической квадратной матрицы порядка n (A^T=-A) на любое число получается также симметрическая квадратная матрица порядка n , сумма двух кососимметрических квадратных матриц порядка n также является кососимметрической квадратной матрицей порядка n. Следовательно, множество всех кососимметрических квадратных матриц порядка n является подпространством пространства M_nn.

3) Определитель суммы двух матриц, определители которых равны нулю, может быть отличен от нуля, например:

Следовательно, множество всех квадратных матриц порядка n, определитель которых равен нулю, не является подпространством пространства M_nn.

2.26. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Решение:

Проверяем линейность заданного множества функций:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

В системе функций только любые две функции линейно независимы, поскольку они связаны соотношением , и любой вектор пространства L может быть представлен в виде линейной комбинации, например, первых двух функций системы, следовательно, эти две функции образуют базис пространства L, размерность которого поэтому равна 2.

2.27. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Решение:

Проверяем линейность заданного множества функций:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Функции линейно независимы: если , то, записывая это равенство для t=-1, t=0 и t=1, получим:

и любой вектор пространства L может быть представлен в виде линейной комбинации этих функций (по определению L), следовательно, эти функции образуют базис пространства L, размерность которого поэтому равна 3.

2.28. Исследовать на линейную независимость систему функций {sint, cost, sin2t}

Решение:

Предположим, что входящие в данную систему функции линейно зависимы, т.е. найдутся такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство . Тогда, записывая это равенство для получим:

Получили противоречие, из чего следует, что данная система функций является линейно независимой.

2.29. Исследовать на линейную независимость систему функций {1, lnt, ln2t}

Решение:

Для доказательства того, что данная система функций является линейно зависимой, достаточно указать такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство .

Рассмотрим , для которых для имеем:

Следовательно, данная система функций является линейно зависимой.

2.30. Исследовать на линейную независимость систему функций {1, cost, cos2t}

Решение:

Получили противоречие, из чего следует, что данная система функций является линейно независимой.

Источник

Теория функций действительного переменного

Эквивалентные множества
Счётные множества
Метрическое пространство
Множества в метрическом пространстве
Сходимость метрического пространства
Непрерывные отображения метрического пространства
Полные метрические пространства
Принцип сжимающихся отображений
Применение принципа сжимающихся отображений
Линейные пространства
Линейные функционалы
Выпуклые множества и функционалы
Нормированные и евклидовы пространства
Непрерывные линейные функционалы
Сопряжённое пространство
Слабая сходимость
Обобщённые функции
Линейные операторы
Компактные операторы
Системы множеств
Мера множеств, измеримые функции
Интеграл Лебега
Теория дифференцирования
Пространства суммируемых функций
Тригонометрические ряды
Ортогональные системы функций
Преобразование Фурье

Введение на некотором множестве метрики (то есть расстояния между элементами этого множества) позволяет ввести понятие сходимости — фундаментальное понятие математического анализа.
В данном разделе мы рассмотрим такие множества, в которых можно ввести фундаментальные понятия алгебры: линейная комбинация, линейная зависимость, базис.
Понятие линейной комбинации, в свою очередь, позволяет говорить о выпуклых множествах и телах — аналогах привычных понятий из геометрии.

Определение[править]

Непустое множество называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Два линейных пространства ${displaystyle ~L_{1}}$ и ${displaystyle ~L_{2}}$ называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если

${displaystyle x_{1},y_{1}in L_{1}}$

${displaystyle x_{2},y_{2}in L_{2}}$

и установлены следующие взаимные соответствия

${displaystyle x_{1}leftrightarrow x_{2},y_{1}leftrightarrow y_{2}}$

то для любого числа должны выполняться соответствия

${displaystyle x_{1}+y_{1}leftrightarrow x_{2}+y_{2}}$

${displaystyle alpha x_{1}leftrightarrow alpha x_{2}}$

Примеры[править]

Примером линейного пространства, является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R2 = { x = x1·i + x2· j}:
x = x1·i + x2· j, y = y1·i + y2· j,
x + y = (x1+ y1)·i + ( x2+ y2)· j, α·x = (αx1)·i + (αx2)· j,
0 = 0·i + 0· j, −x = (−x1)·i +(−x2)· j.
Справедливость остальных аксиом линейного пространства следует из свойств операций сложения и умножения на число действительных чисел.

Линейная зависимость[править]

Система элементов

${displaystyle ~{x_{1},...,x_{n}}}$

линейного пространства называется линейно зависимой, если существуют такие числа

${displaystyle ~a_{1},...,a_{n}}$

не все равные нулю, что имеет место равенство

${displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0}$

Если же это равенство возможно только при

${displaystyle ~a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0}$

то система векторов называется линейно независимой.
Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема является линейно независимой.

Если в линейном пространстве можно найти линейно независимых элементов, а любые элементов являются линейно-зависимыми, то говорят, что пространство имеет размерность . Если же в линейном пространстве можно выбрать любое конечное число линейно независимых элементов, то такое пространство называют бесконечномерным.

Базисом в n-мерном линейном пространстве называется любая система n линейно независимых элементов.

Конечномерные линейные пространства являются основным предметом изучения линейной алгебры, в анализе же, как правило, рассматриваются бесконечномерные линейные пространства.

Подпространства[править]

Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если оно является пространством по отношению к операциям сложения и умножения на число, определённых в исходном пространстве .
Другими словами, является подпространством , если для любых чисел alpha и :

{displaystyle x,yin L'Rightarrow alpha x+beta yin L'}

Любое пространство можно считать своим подпространством. Кроме того, любое пространство содержит подпространство состоящее из одного — нулевого — элемента (так называемое нулевое подпространство). Подпространство, отличное от всего пространства и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Пересечение двух подпространств ${displaystyle L_{1}}$ и ${displaystyle L_{2}}$ линейного пространства также является подпространством этого пространства. Для доказательства, рассмотрим два произвольных вектора , принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа :

${displaystyle x,yin L_{1}cap L_{2}}$

По определению пересечения множеств:

${displaystyle x,yin L_{1}}$

${displaystyle x,yin L_{2}}$

Следовательно, по определению подпространства линейного пространства:

${displaystyle ax+byin L_{1}}$

${displaystyle ax+byin L_{2}}$

Так как вектор принадлежит и множеству ${displaystyle L_{1}}$ , и множеству ${displaystyle L_{2}}$ , то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

${displaystyle x,yin L_{1}cap L_{2}Rightarrow ax+byin L_{1}cap L_{2}}$

Утверждение доказано.
По индукции можно доказать, что пересечение любого количества подпространств является подпространством.

Пусть ${displaystyle {x_{n}}}$ — произвольное непустое множество элементов линейного пространства . Наименьшее подпространство пространства , содержащее ${displaystyle {x_{n}}}$ называется линейной оболочкой множества ${displaystyle {x_{n}}}$ и обозначается

${displaystyle Lleft({x_{n}}right)}$

Покажем, что линейная оболочка множества существует. Рассмотрим систему всех подпространств, содержащих множество ${displaystyle {x_{n}}}$ , эта система содержит по меньшей мере один элемент — всё пространство , и найдём пересечение всех таких подпространств. Так как пересечение любой системы подпространств снова есть подпространство, то полученное подпространство и будет наименьшим подпространством, содержащим ${displaystyle {x_{n}}}$ .

Линейно-независимая система ${displaystyle {x_{n}}}$ элементов линейного пространства называется базисом Гамеля, если её линейная оболочка совпадает со всем .

Фактор-пространства[править]

Пусть — линейное пространство, а — некоторое его подпространство. Введём следующее отношение эквивалентности: два элемента отнесём к одному классу эквивалентности, если их разность принадлежит подпространству , то есть

{displaystyle xsim yLeftrightarrow x-yin L'}

Легко проверить, что это отношение действительно удовлетворяет аксиомам отношения эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рефлексивность:

так как любое подпространство содержит нулевой элемент, то любой элемент эквивалентен сам себе в указанном смысле.

Симметричность. Рассмотрим два вектора . Пусть

тогда:

так как — подпространство линейного пространства, то оно само является линейным пространством, а значит вместе с любым вектором содержит и обратный к нему.

Транзитивность. Рассмотрим три вектора . Пусть

тогда, по определению подпространства линейного пространства:

с другой стороны

а значит

Классы эквивалентности построенного отношения называются классами смежности(по подпространству ). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством пространства по и обозначается .

В любом фактор-пространстве можно естественным образом ввести операции сложения и умножения на число. Рассмотрим два класса смежности : .
Выберем в каждом из этих классов по одному представителю

и назовём суммой этих классов тот класс, которому принадлежит элемент .
Аналогичным образом определяется и произведение класса на число — класс, которому принадлежит произведение представителя на класса на то это число.
Можно проверить, что определение сложения и умножения на число в фактор-пространстве не зависит от выбора представителей классов. Введённые таким образом операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства, а значит фактор-пространство линейного пространства само является линейным пространством, причём нулевым элементом фактор-пространства является подпространство

Упражнение 1. Докажите, что введённые операции действительно удовлетворяют аксиомам линейного пространства и не зависят от выбора представителей классов смежности.

Размерность фактор-пространства называется коразмерностью подпространства в пространстве .

Если коразмерность некоторого подпространства есть конечное число , то в можно выбрать систему элементов ${displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ таких, что всякий элемент будет иметь единственное представление вида

${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+y}$

где ${displaystyle ~a_{1},...,a_{n}}$ — некоторые числа и .

Упражнение 2. Докажите это утверждение.

Упражнение 3. Докажите, что если размерность пространства равна , а размерность подпространства равна , то размерность фактор-пространства равна .

Решения для упражнений[править]

Упражнение 1.

Пусть ${displaystyle eta _{1},eta _{2}in L/L'}$ — два класса смежности.

Докажем, что сумма классов не зависит от выбора представителей.
Возьмём в каждом классе по два представителя:

${displaystyle x_{1},y_{1}in eta _{1}}$

${displaystyle x_{2},y_{2}in eta _{2}}$

Рассмотрим следующие вектора:

${displaystyle x=x_{1}+x_{2}}$

${displaystyle y=y_{1}+y_{2}}$

и найдём разность между ними

${displaystyle ~x-y=(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})=(x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2})}$

По определению класса смежности

${displaystyle x_{1}-y_{1}in L'}$

${displaystyle x_{2}-y_{2}in L'}$

А так как — подпространство линейного пространства, то и

Таким образом, элементы ${displaystyle x_{1}+x_{2}}$ и ${displaystyle y_{1}+y_{2}}$ принадлежат одному классу смежности, а значит определение суммы для классов смежности действительно не зависит от выбора представителей.

Докажем, что определение умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя.
Пусть дан класс смежности и число .
Выберем двух представителей класса

${displaystyle x_{1},x_{2}in eta }$

Нужно доказать, что вектора

${displaystyle y_{1}=ax_{1}}$

${displaystyle y_{2}=ax_{2}}$

принадлежат одному классу смежности.
Вычислим их разность:

${displaystyle y_{2}-y_{1}=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1})}$

По определению класса смежности

${displaystyle x_{2}-x_{1}in L'}$

но так как является линейным пространством, то

${displaystyle y_{2}-y_{1}=a(x_{2}-x_{1})in L'}$

Таким образом, определение операции умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя.

Докажем теперь, что для фактор-пространства с указанными операциями выполняются свойства линейного пространства.

Начнём с того, что укажем нулевой элемент фактор-пространства.
Нулевым элементом фактор-пространства является подпространство .
Для доказательства этого факта нужно показать, что для любого класса смежности имеет место равенство

Это равенство означает, что существуют такие вектора и , что

или

но так как , то и

а следоватльно они принадлежат одному классу смежности,
а класс ${displaystyle eta _{0}=L'}$ является нулевым элементом фактор пространства.

Для доказательства остальных свойств нужно использовать тот факт, что определение суммы классов смежности и умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя, а представители классов смежности являются элементами линейного пространства.

Упражнение 2.

Пусть фактор пространство имеет размерность , выберем в этом фактор-пространстве базис

${displaystyle eta _{1},...,eta _{n}}$

тогда произвольный класс можно представить в виде линейной комбинации

${displaystyle eta =sum _{j=1}^{n}a_{j}eta _{j}}$

Рассмотрим вектор , выберем в каждом из базисных классов ${displaystyle eta _{j}}$ по одному представителю ${displaystyle x_{j}}$ , тогда, по определению класса смежности фактор-пространства

${displaystyle y=x-sum _{j=1}^{n}a_{j}x_{j}in L'}$

то есть любой вектор действительно представим в виде

${displaystyle x=sum _{j=1}^{n}a_{j}x_{j}+y}$

причём

Упражнение 3.

Если , то и теорема утверждение становится тривиальным.
Будем далее считать, что .

Пусть ${displaystyle e'_{1},...,e'_{k}}$ — базис в пространстве .
Так как размерность пространства равна , то можно так выбрать вектора ${displaystyle x_{1},...x_{n-k}}$ , чтобы система

${displaystyle ~e'_{1},...,e'_{k},x_{1},...,x_{n-k}}$

была линейно независимой.
Вектора ${displaystyle x_{1},...x_{n-k}}$ принадлежат разным классам смежности, причём ни один из этих векторов не лежит в .
Действительно, если ${displaystyle x_{j}}$ и $x_{i}$ принадлежат одному классу смежности, то

${displaystyle x_{j}-x_{i}=yin L'}$

или

${displaystyle x_{j}=x_{i}+sum _{t=1}^{k}a_{t}e'_{t}}$

где ${displaystyle a_{1},...a_{k}}$ — некоторые числа,
то есть система окажется линейно-зависимой.
Аналогично доказывается, что ${displaystyle x_{j}notin L'}$ .
Так как мы указали линейно-независимых векторов, принадлежащих разным классам смежности, то можно найти линейно-независимых классов смежности ${displaystyle eta _{1},...,eta _{n-k}}$ .