Как найти разность чисел с разными знаками

Основные правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

В зависимости от знака различают положительные и отрицательные числа. Их можно расположить на координатной прямой, где началом отсчета будет ноль, который не относится ни к положительным, ни к отрицательным значениям.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Основные правила сложения и вычитания отрицательных чисел:

1. При сложении двух отрицательных чисел, необходимо суммировать их модули, затем перед полученным результатом приписать знак минус.

(-a;+;(-b);=;-;(vert-avert;+;vert-bvert);=;-;(a;+;b))

1. Разность двух отрицательных чисел находится по правилу «минус на минус дает плюс».

((-a);-;(-b);=;(-a);+;b;=;b;-;a)

Сложение чисел с разными знаками

При складывании двух слагаемых, одно из которых с плюсом, а другое — с минусом, необходимо сравнить их модульные значения. От слагаемого с большим модулем нужно отнять слагаемое с меньшим модулем, далее перед полученным результатом поставить знак слагаемого, большего по модульному значению.

Примечание:

Каждая положительная величина имеет противоположный элемент с отрицательным символом. В сумме эти пары образуют 0:

(a;+;(-a);=;a;-;a;=;0)

Вычитание чисел с разными знаками

Вычитание положительных и отрицательных элементов обладает свойством, которое позволяет свести данное действие к сложению:

(а;–;b;=;a;+;(–b))

Расшифровка этой формулы дает следующее правило: 

Вычитание одного числа из другого равно сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Для того, чтобы найти разность двух чисел с разными знаками, необходимо следовать алгоритму суммирования положительной и отрицательной величины: сравнить модули уменьшаемого и вычитаемого, из числа с большим модулем нужно вычесть меньшее модульное значение, затем перед полученным результатом поставить знак большего по значения.

Примеры упражнений

Пример 1.

Сложение двух отрицательных элементов: 

− 89 + (− 125) = − (89 + 125) = − 214

Пример 2.

Вычитание двух отрицательных чисел:

− 134 − (− 357) = − 134 + 357 = 357 − 134 = 223

Пример 3.

Сложение двух чисел с разными знаками:

− 876 + 543

|− 876| > |543|

− 876 + 543 = − (|− 876| − |543|) = − (876 − 543) = − 333

Пример 4.

Вычитание двух элементов с разными знаками:

 678 − 943

|678| < |− 943| 

678 − 943 = − (|− 943| − |678|) = − (943 − 678) = − 265

План урока:

Сложение отрицательных чисел

Сложение чисел с разными знаками

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Сложение  и вычитание отрицательных чисел

Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.

В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали  жить на свободе. Актеры тяжело работали,  но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам нужно понимать, о чем идет речь. Изучив условие, возникает вопрос «Как может быть -15 и -6 монет?». В данном случае выходит, что Буратино и Мальвина должны вернуть Карабасу-Барабасу 15 и 6 монет, поэтому перед данными числами и стоит знак «минус». Получается, кукольные персонажи смогут покинуть театр, когда полностью вернут долг. Для этого необходимо узнать общий размер долга Буратино и Мальвины. Чтобы узнать размер долга, суммируем монеты персонажей -15 и -6. Но как их сложить, когда перед слагаемыми стоит «минус»? В подобных ситуациях применяют правило сложения отрицательных чисел.

Возвращаемся к решению задачи.

Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.

Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.

Источник

Рассмотрим еще одно задание.

Найдите результат сложения -24 и -16.

Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».

-24+(-16)=-(24+16)=-40.

Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».

Сложение чисел с разными знаками

Рассмотрим ситуацию.

Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?

Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.

Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.

Суммируем-3 и 10. Для этого:

• определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
• сравниваем модули, определяя больший: |3|<|10|;
• от большего отнимаем меньший: 10 – 3=7;
• так как по условию 10 – число положительное, то и результат будет числом положительным.

Записывается в таком виде:

-3+10=10 – 3=7.

Выходит, у мальчика стало 7 яблок.

Рассмотрим еще один пример сложения чисел с разными знаками.

Вычислите сумму -28 и 11.

Известные слагаемые имеют разные знаки, то есть -28 является значением отрицательным, а 11–положительным. Чтобы суммировать слагаемые, необходимо воспользоваться ранее рассмотренным алгоритмом. Вначале, определяем модули и сравниваем их.

-28=|28|;

11=|11|;

28>11.

Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:

-28+11=-(28-11)=-17.

Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:

любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.

Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.

Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:

-150+50=-(150-50)=-100.

Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:

При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.

-150=|150|;

-100=|100|.

150>100;

-150<-100.

Действительно, при сложении с отрицательным числом уменьшаемое стало только меньше.

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Мы уже знаем, как выполнять сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, но хочется сказать, что именно в этом разделе математики, большую роль играют противоположные числа. Для тех, кто забыл, напоминаем, какие числовые значения называются противоположными:

Если два числа отличаются только знаком, то они являются противоположными:-13 и 13, 141 и -141, 1000 и -1000.

Чтобы понять, какие правила необходимо соблюдать при выполнении вычитания чисел с разными знаками, давайте разберем задание.

Определите, чему будет равно значение выражения: от -510 отнять +210.

На первый взгляд задание очень простое и не вызывает никаких проблем. Но стоит записать разность в виде выражения:

-510-(+210)

Сразу возникает вопрос «Как вычитать, если уменьшаемое со знаком «минус», а вычитаемое со знаком «плюс»?».Чтобы решение подобных выражений не вызывало у вас трудностей, возьмите на заметку правило:

Чтобы выполнить вычитание чисел с разными знаками, нужно уменьшаемое оставить без изменений и прибавить к нему число, противоположное вычитаемому.

Например: -5-(+2).

Минус пять оставляем без изменений. Вычитаемое +2, а противоположное ему -2. Складываем уменьшаемое(-5) и число противоположное вычитаемому(-2): -5+(-2).

По правилу сложения отрицательных чисел, складываем модули(5+2) и ставим знак «-»:

-5+(-2)=-(5+2)=-7

Учитывая данное правило, получается, что к уменьшаемому(-510) необходимо прибавить значение,противоположное вычитаемому(210), таким числом будет -210:

Запишем выражение:

-510-(+210)=-510+(-210). Чтобы вычислить полученное выражение нужно сложить отрицательные значения, согласно правилу сложения отрицательных чисел:

-510-(+210)=-510+(-210)=-(510+210)=-720.

Вычисления окончены.

Источник

Рассмотрим следующее задание.

Найдите значение выражения: -248+248.

Используем правило сложения значений с разными знаками.

-248=|248|;

248=|248|;

248 – 248=0.

Следовательно, при сложении противоположных числовых значений в результате всегда будет 0.

Зная правило вычитания отрицательных чисел, можем сделать вывод, что знаки, стоящие перед скобками, могут менять знак числа, находящегося в скобках.

К примеру, в выражении 19-(-4), при вычислении используем правило, согласно которого, к уменьшаемому прибавляем, число противоположное вычитаемому, то есть знак вычитаемого «-» меняем на противоположный «+». Получим:

Запомни! Если перед скобкой в математическом выражении стоит знак «минус», то знак числа в скобках меняется на противоположный.

Ну а сейчас, разберем задание, в котором перед скобкой стоит знак «плюс».

Вычисли: -36+(-7).

В этом задании воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел– сложим модули числовых значений, а перед суммой поставим знак «минус»:

Мы видим, что «плюс» перед скобкой никак не повлиял на знак числа, стоящего в скобках. Запомни! Если перед скобками стоит «плюс», то знак числового значения, стоящего в скобках никак не меняется.

В выполнении рассматриваемых действий нет ничего сложного. Главное запомнить основные требования и придерживаться их в процессе любых вычислений! Если сразу запомнить все правила не получается, заходи на сайт 100уроков.ru и мы всегда с удовольствием напомним нужное правило или алгоритм.

Минутка истории

История математики утверждает, что человечество длительное время не принимало ряд отрицательных числовых значений. Данный вид чисел, казался непонятным и ненужным. Привычных нам знаков «плюс» и «минус» просто не существовало. Если возникала необходимость в записи отрицательно числа, то его записывали следующим образом «долг в 30 монет». И лишь математики Древней Индии и Китая, выполняли записи отрицательных чисел без употребления слова «долг», а просто использовали черные чернила, вместо синих.

Только в 3 веке греческий ученый Диофант, стал обозначать знак «минус» вот таким символом   .

Привычные нам знаки «+» и «-» появились в Германии в конце 15 века. Чешский ученый Ян Видман, отразил данные знаки в своей книге-пособии, помогающей подсчитывать прибыль и убытки чешским купцам. Стоит заметить, что данная книга была написана от руки и имела огромную популярность среди богатых людей того времени.

Математика

6 класс

Урок № 24

Разность целых чисел. Часть 2

Перечень рассматриваемых вопросов:

– правила вычитания целых чисел разного знака и одного знака;

– выполнение числовых подстановок в разность и вычисление соответствующих им значений;

– выполнение числовых подстановок в разность одного знака и разных знаков, записанных с помощью букв, вычисление соответствующих им значений;

– проведение несложных исследований, связанных с законами разности нескольких целых чисел.

Тезаурус

Разностью двух целых чисел называется целое число, которое в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Вычитание целых чисел с одинаковыми знаками сводится к сложению целых чисел с разными знаками.

Вычитание целых чисел с разными знаками сводится к сложению целых чисел с одинаковыми знаками.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлом уроке мы узнали, что называется разностью целых чисел.

Разность целых чисел a и b обозначается как

a – b

а – уменьшаемое

b – вычитаемое

Вычитание целых чисел с одинаковыми знаками сводится к сложению целых чисел с разными знаками.

Сегодня мы сформулируем правила вычитания целых чисел с разными знаками.

Сформулируем правило вычитания положительного числа и отрицательного.

Чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно сложить модули уменьшаемого и вычитаемого.

a – (– b) = |а| + |b| = а + b

Докажем это.

a – (– b) = a + (– (– b)) = а + b

Выполним вычитание целых чисел

26 – (–17)

Решение:

26 – (– 17) = |26|+|– 17| = 26 + 17 = 43

Сформулируем правило вычитания из отрицательного числа положительного числа.

Чтобы вычесть из отрицательного числа положительное число, нужно сложить модули уменьшаемого и вычитаемого и поставить перед суммой знак минус.

(– a) – b = – (|a| + |b|)

Докажем это.

(– a) – b = (– a) + (– b) = – (|a| + |b|) = – (a + b)

Выполним вычитание целых чисел

(– 43) – 14

Решение

(– 43) – 14 = – (|– 43| + |14|) = – (43 + 14) = – 57

Значит, вычитание целых чисел с разными знаками сводится к сложению целых чисел с одинаковыми знаками.

Для упрощения записи, у положительных уменьшаемого и вычитаемого опускают скобки и знак плюс.

Например,

+ 7 – (+ 3) = 7 – 3

– 7 – (+ 3) = – 7 – 3

+ 7 – (– 3) = 7 – (– 3)

Таким образом, на этом уроке мы сформулировали правила вычитания.

Рассмотрели, как вычитаются числа с разными знаками.

Научились находить значения выражений, используя эти правила.

Дополнительный материал

Мы изучили правила сложения и вычитания целых чисел.

На их основе сформулируем правила знаков, которые будем применять для упрощения выражений.

Правила знаков

Прибавление положительного числа – есть прибавление:

+ (+) = +

Прибавление отрицательного числа – есть вычитание:

+ (–) = –

Вычитание положительного числа – есть вычитание:

– (+) = –

Вычитание отрицательного числа – есть прибавление:

– (–) = +

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие соотношения должны быть между уменьшаемым и вычитаемым, если оба они – положительные числа?

a – b < 0

a – b > 0

Варианты ответов:

a > b

a < b

Решение. Рассуждаем так, если разность положительных чисел a и b меньше нуля (a – b < 0), т. е. отрицательное число, значит, по определению разности, чтобы получить уменьшаемое a, нам надо сложить вычитаемое b с отрицательным числом. Другими словами, чтобы получить a, нам надо уменьшить b. Значит, a < b.

Правильный ответ:

a – b < 0 – a < b

a – b > 0 – a > b

Тип 2. Вставьте в текст нужные слова.

Вычитание целых чисел с разными знаками сводится к … целых чисел с … знаками.

Варианты слов для вставки:

разными

сложению

одинаковыми

вычитанию

Для решения обратитесь к материалам сегодняшнего урока.

Правильный ответ.

Вычитание целых чисел с разными знаками сводится к сложению целых чисел с одинаковыми знаками.

Сложение и вычитание целых чисел

• Сложение
• Вычитание

Сложение

При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Вычитание

Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.

Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.