Как найти разность дробей в квадрате

Алгебраические дроби складывают и вычитают по
правилам сложения и вычитания
обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним.
При сложении дробей в полученном числителе
приведем подобные.

Вычитание алгебраических дробей

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби
«(a − b)».
Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем
правило раскрытия скобок.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на
правила приведения к общему знаменателю
обыкновенных дробей.
.

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем
   НОК
   (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка
   делится на каждый числовый коэффициент).
   Для «15» и «3» — это «15».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях.
   В знаменателях «15a» и «5» есть только
   один одночлен — «а».
3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?»
Ответ — на «5a».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a»
и числитель, и знаменатель.

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через
«домики».

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

---

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.

   Важно!
   

   Многочлены необходимо рассматривать целиком!
   Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)».
Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать
формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p² − 36)». Очевидно, что к нему можно
применить формулу разности квадратов.

После разложения многочлена «(p² − 36)» на произведение
многочленов
«(p + 6)(p − 6)»
видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)».
Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель
«а» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в
обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а».
Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью,
нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Определение

Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.

Примеры алгебраических дробей:

Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.

Сокращение алгебраической дроби

Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.

Пример №1. Сократим дробь:

В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:

Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.

Пример №2. Сократим дробь:

Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на  m⁵:

Пример №3. Сократим дробь:

В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).

Пример №4. Сократим дробь:

Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m²– n²=(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем

При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).

Пример №5. Выполним сложение дробей:

Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.

Пример №6. Выполним вычитание дробей:

В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Алгоритм действий

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:

1. найти общий знаменатель, который может состоять из таких множителей, как числа, степени, многочлены и т.д.
2. Найти дополнительный множитель к каждой дроби.
3. Умножить каждый числитель на его дополнительный множитель.
4. Выполнить сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.
5. При необходимости сократить полученную дробь.

Пример №7. Выполнить сложение дробей:

Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.

Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.

Пример №8. Выполнить вычитание дробей:

Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а² – с²=(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).

Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).

Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).

Умножение алгебраических дробей

Алгоритм действий

Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.

Пример №9. Выполнить умножение дробей:

Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.

Пример №10. Выполнить умножение дробей:

Здесь в числителях и знаменателях  – многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем  их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.

Деление алгебраических дробей

Алгоритм действий

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.

Пример №11. Выполнить деление дробей:

Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.

 

Алла Василевская | Просмотров: 8.3k

Факт 1.
(bullet) Множество натуральных чисел (mathbb{N}) – это числа (1,
2, 3, 4 ) и т.д.
(bullet) Множество целых чисел (mathbb{Z}) состоит из натуральных чисел, противоположных им ((-1, -2, -3 ) и т.д.) и нуля (0).
(bullet) Рациональные числа (mathbb{Q}) – числа вида (dfrac ab), где (ain mathbb{Z}), (bin mathbb{N}).
 
Таким образом, существует включение: (mathbb{N}) содержится в (mathbb{Z}), а (mathbb{Z}) содержится в (mathbb{Q}).
 

Факт 2.
(bullet) Правила сложения дробей: [begin{aligned} &dfrac ab+dfrac cb=dfrac{a+c}b\[2ex]
&dfrac ab+dfrac cd=dfrac{ad+bc}{bd}end{aligned}] Пример: (dfrac {31}6+dfrac {67}6=dfrac{31+67}6=dfrac{98}6)
 
(bullet) Правила умножения дробей: [dfrac abcdot dfrac cd=dfrac{ac}{bd}] Пример: (dfrac 47cdot dfrac{14}5=dfrac{4cdot 14}{7cdot 5})
 
(bullet) Правила деления дробей: [dfrac ab: dfrac cd=dfrac abcdot dfrac dc] Пример: (dfrac 45 :dfrac 67=dfrac 45cdot dfrac 76)
 

Факт 2.
(bullet) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:
 
(begin{aligned} &dfrac{98}6=dfrac{49cdot
2llap{/}}{3cdot
2llap{/}}=dfrac{49}3\[2ex]
&dfrac{4cdot 14}{7cdot 5}=dfrac{4cdot 2cdot
7llap{/}}{7llap{/}cdot
5}=dfrac 85\[2ex]
&dfrac{4cdot 7}{5cdot 6}=dfrac {2llap{/}cdot 2cdot 7}{5cdot
3cdot
2llap{/}}=dfrac{14}{15}end{aligned})
 
(bullet) Если (dfrac ab) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель (b) делится только на числа (2) и (5).
Пример: дробь (dfrac2{65}) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как (65=5cdot 13), то есть (dfrac2{65}=0,0307…)
дробь (dfrac3{160}) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как (160=2^5cdot 5), то есть (dfrac3{160}=0,01875).
 

Факт 3.
(bullet) Формулы сокращенного умножения:
(blacktriangleright) Квадрат суммы и квадрат разности: [(a+b)^2=a^2+2ab+b^2] [(a-b)^2=a^2-2ab+b^2]

(blacktriangleright) Куб суммы и куб разности: [(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3quad {small{text{или}}}quad
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)] [(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3quad {small{text{или}}}quad
(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
(13^3+3cdot 13^2cdot 7+3cdot 13cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000)

(blacktriangleright) Разность квадратов: [a^2-b^2=(a-b)(a+b)]

(blacktriangleright) Сумма кубов и разность кубов: [a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)] [a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов (a^2+b^2).
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

(dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=
dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2cdot2^2+2^4)}
{7^4+(7cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45)
 

Факт 4.
(bullet) Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений: [begin{aligned}
&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\[2ex]
&(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\[2ex]
&{small{text{и т.д.}}}end{aligned}]

Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами

Теория

1.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Задания

1.	Сложение (вычитание) дробей с целыми знаменателями Сложность: лёгкое	2
2.	Сложение дробей (противоположные знаменатели) Сложность: лёгкое	2
3.	Сложение или вычитание дробей (раскрытие скобок) Сложность: лёгкое	3
4.	Сумма алгебраических дробей, знаменатели равны или противоположны Сложность: среднее	3
5.	Вычитание дробей (разность квадратов) Сложность: среднее	3
6.	Вычитание или сложение дробей (квадрат бинома) Сложность: среднее	3
7.	Значение выражения (разность кубов, противоположные знаменатели) Сложность: сложное	6
8.	Сложение или вычитание трёх дробей (разность квадратов, квадрат бинома) Сложность: сложное	4
9.	Неизвестный числитель Сложность: сложное	4

Тесты

1.

Тренировка по теме Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями Сложность: лёгкое

5

Материалы для учителей

1.

Методическое описание