Как найти разность фаз напряжений

Разность фаз напряжения и тока

Условимся под
разностью фаз 
напряжения и тока всегда понимать
разность начальных фаз напряжения _u
и тока _i
{ (а не наоборот):

=_u‑_i. (6.28)

Поэтому на векторной
диаграмме угол 
отсчитывается в направлении от вектора
I
к вектору U
(рис. 6.10). Именно при таком определении
разности фаз угол

равен аргументу комплексного сопротивления.
Угол 
положителен при отстающем токе (_u>_i)
и отрицателен при опережающем токе
(_u<_i).

Разность фаз между
напряжением и током зависит от соотношения
индуктивного и емкостного сопротивлений.
При x_L>x_C
имеем x=x_L—x_C>0
и ток отстает по фазе от напряжения,
=arctg(x/r)>0.
При x_L=x_C
имеем x=0,
=0,
z=r,
ток совпадает по фазе с напряжением,
rLC-цепь
в целом проявляет себя как активное
сопротивление. Это случай так называемого
резонанса в последовательном контуре.
Наконец, при x_L<x_C
имеем x<0,
<0,
ток опережает по фазе напряжение.

Векторные диаграммы
для трех возможных соотношений x_L
и x_C
даны на рис. 6.11. При построении этих
диаграмм начальная фаза тока _i
принята равной нулю. Поэтому 
и _u
равны друг другу.

Рассматривая при
заданной частоте цепь по рис. 6.8 в целом
как пассивный двухполюсник, можно ее
представить одной из трех эквивалентных
схем: при x_L>x_C
как последовательное соединение
сопротивления и индуктивности (r
и x‘_L=x_L—x_C),
при x_L=x_C
как сопротивление r
и при x_L<x_C
как последовательное соединение
сопротивления и емкости (r
и x‘_C=x_C—x_L).
При заданных L
и С
соотношение между x_L,
и x_C
зависит от частоты, а потому от частоты
зависит и вид эквивалентной схемы.

Выше было принято,
что задан ток, а определялись напряжения
на элементах и на входных выводах цепи.
Однако часто бывает задано напряжение
на выводах, а ищется ток. Решение такой
задачи не представляет труда. Записав
по заданным величинам комплексное
напряжение U
и комплексное сопротивление Z,
определим комплексный ток

I=U/Z

и тем самым
действующий ток и начальную фазу тока.

Часто равной нулю
принимается начальная фаза заданного
напряжения: _u=0.
В этом случае, как следует из (6.28),
начальная фаза тока _i
равна и противоположна по знаку разности
фаз ,
т. е. _i=—.

Установленные
выше соотношения между амплитудами и
действующими токами и напряжениями, а
также выражение для сдвига фаз 
позволяют вычислить ток и не прибегая
к записи закона Ома в комплексной форме.
Подробно этот путь решения показан в
примере.

Пример.
К цепи, состоящей из последовательно
соединенных конденсатора и катушки,
приложено напряжение u=100sin5000t
В. Емкость конденсатора С=5
мкФ, сопротивление катушки r=15
Ом, индуктивность L=12
мГн. Найти мгновенные значения тока в
цепи и напряжений на конденсаторе и на
катушке.

Решение.
Схема замещения цепи показана на рис.
6.8.

x_L=L=50001210^‑3=60
Ом;

x_C=1/(С)=1/(5000510^‑6)=40
Ом;

x=x_L‑x_C=60‑40=20
Ом;

;

I_m=U_m/z=100/25=4
А;

tg=20/15; =53°08′;

i=4sin(5000t‑53°08′)
А;

U_Cm=x_CI_m=404=160
В.

Напряжение на
емкости отстает от тока по фазе на 90°,
следовательно,

u_C=160sin(5000t‑143°08′)
В.

Комплексное
сопротивление катушки

Z_КАТ=r+jx_L=15+j60=61,815°58′
Ом.

Комплексная
амплитуда напряжения на выводах катушки

U_КАТm=Z_КАТI_m=61,875°58’4‑53°08’=247,222°50′
В.

Мгновенное
напряжение на катушке

u_КАТ=247,2sin(5000t+22°50′)
В.

Пример.
В цепи, состоящей из последовательно
соединенных конденсатора и катушки,
ток I=2
А, его частота f=50
Гц. Напряжение на выводах цепи U=100
В, катушки U_КАТ=50
В и конденсатора U_С=200
В. Определить сопротивление и индуктивность
катушки и емкость конденсатора.

Решение.
=2f=250=314
рад/с; x_C=U_С/I=100
Ом и С=1/(x_C)=31,8
мкФ.

Полное сопротивление
цепи z=U/I=50
Ом.

Полное сопротивление
катушки z_КАТ=U_КАТ/I=75
Ом;

z²=r²+(x_L‑x_C)²=r²+(x_L)²‑2x_Lx_C+(x_C)²;

z_КАТ²=r²+(x_L)²; z²‑z_КАТ²=‑2x_Lx_C+(x_C)²; x_L=(z_КАТ²+(x_C)²‑z²)/2x_C=65,6
Ом;

L=x_L/=0,209
Гн.

Соседние файлы в папке Некие лекции по элтеху

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

«Любое
препятствие

преодолевается
настойчивостью».

Леонардо
да Винчи

Задача
1.
В цепь переменного тока включена катушка с индуктивностью 75 мГн. Найдите
действующее значение напряжения на данном участке цепи, если действующее
значение силы тока равно 2 А, а частота колебаний равна 50 Гц.

Ответ:
47 В.

Задача
2.
В цепь переменного тока включены резистор с сопротивлением 20 Ом и
конденсатор с ёмкостью 10 мкФ. Известно, что напряжение на конденсаторе
изменяется по закону ,
а амплитудный ток, протекающий по данному участку равен 5 А.
Какое напряжение покажет вольтметр, указанный на схеме?

Ответ:
79 В.

Задача
3.
Дана цепь переменного тока со следующими параметрами: активное сопротивление
равно 20 Ом, индуктивность равна 15 мГн, электроёмкость конденсатора равна
55 мкФ, частота равна 50 Гц, амплитудное напряжение равно 220 В.
Найдите амплитудные токи, протекающие в каждом элементе цепи, а также суммарный
ток.

Задача
4.
Конденсатор и катушка индуктивности последовательно подключены к источнику
переменного напряжения. Частоту колебаний увеличивают от 50 Гц до 80 Гц. Как
изменится значение амплитудного тока? Резонансная частота колебаний равна 70
Гц.

Ответ:
амплитудный ток увеличится в 6,67 раза.

Задача
5.
В цепь переменного тока последовательно включен резистор с сопротивлением 10
Ом, катушка и конденсатор с ёмкостью 200 нФ. Известно что при частотах 1 кГц и
1,5 кГц в цепи наблюдаются одинаковые амплитудные токи. Найдите индуктивность
катушки и разность фаз между током и напряжением при указанных частотах.

Starting from the Laplace domain, the voltage across the resistor is given by:
$$V_R(s)=frac{1}{sL+R}V_{in}(s) Rightarrow frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}=frac{1}
{sL+R} = H(s)$$ It can be seen that, as expected, the RL circuit is a stable linear system, since the (real) pole is in the left half plane.

Converting to the Fourier domain by substituting $s=jomega$ (since we are only interested in the steady state response):
$$Rightarrow H(jomega)=frac{1}{jomega{L}+R}$$

Since $H(jomega)$ represents the transfer function of a stable linear system, the response to a general input $x(t)=Acos(omega {t} + phi)$ is given by:

$$y(t)=Avert H(jomega)vert cos[omega {t} + phi + angle{H(jomega)}]$$

Therefore, for an input voltage given by
$$v_{in}(t)=86+frac{400}{pi}cdotsum_{text{n}=1}^inftyfrac{sinleft(200picdottext{n}cdot tright)}{text{n}}$$
and using the superposition principle, the voltage across the resistor is given by:
$$v_R(t)=86 + sum_{n=1}^infty {frac{400}{npi} frac{R}{sqrt{R^2+omega_n^2 L^2}} sin Big[200pi {n} {t} — tan^{-1}left( frac{omega_n L}{R} right) Big]}$$
where $$vert H(jomega)vert = frac{R}{sqrt{R^2+omega_n^2 L^2}}$$

Now, since the voltage and current across a resistor are in phase, the current through the resistor is $$i_R(t)= frac{86}{R} + sum_{n=1}^infty {frac{400}{npi} frac{1}{sqrt{R^2+omega_n^2 L^2}} sin Big[200pi {n} {t} — tan^{-1}left( frac{omega_n L}{R} right) Big]}$$

The instantaneous power dissipated by the resistor is:
$$p(t)=i_R(t)cdot v_R(t)$$
The average power dissipated by the resistor is $$ Rightarrow P_{avg}=frac{1}{T}int_0^T{i_R(t)cdot v_R(t)}mathrm{d}t=frac{1}{T}int_0^T{frac{v_R^2(t)}{R}}mathrm{d}t = frac{1}{R}Big[ frac{1}{T}int_0^T{v_R^2(t)}mathrm{d}t Big]=frac{V_{RMS}^2}{R}$$

Finally (with some careful algebra):
$$V_{RMS}^2= 86^2 + frac{1}{2}sum_{n=1}^infty {left(frac{400}{npi} frac{R}{sqrt{R^2+omega_n^2 L^2}}right)^2} $$

Substituting $R=20Omega$, $L=25mmathrm{H}$ and $omega_n = 200pi {n}$, gives the average power as:
$$P_{avg} = frac{V_{RMS}^2}{R} = frac{86^2}{20} +frac{1}{2}{frac{1}{20}sum_{n=1}^infty left(frac{400}{npi} frac{20}{sqrt{20^2+{200^2pi^2 {n^2}} times left(25times 10^{-3}right)^2}}right)^2} $$
Simplifying gives:
$$P_{avg} = frac{1849}{5} + sum_{n=1}^infty {10left( frac{400}{npi sqrt{400 + 25pi^2 n^2} } right)^2}=frac{17422}{15}-500cothleft(4right) approx 661.131W$$