Как найти разность геометрической прогрессии если известно

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность

Если ты уже читал тему «Арифметическая прогрессия» ты можешь смело пропускать этот блок и переходить к самой сути.

Если нет, то советую ознакомиться, чтобы иметь общее представление о том, что такое прогрессия в целом и с чем ее едят.

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)).

Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называетмя ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).

В нашем случае:

Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии.

Ограничения геометрической прогрессии

Первый член {( displaystyle {{b}_{1}})} не равен ( displaystyle 0) и ( displaystyle mathbf{q}text{ }ne text{ }0).

Эти ограничения не случайны!

Допустим, что их нет, и первый член прогрессии все же равен ( displaystyle 0), а q равно, хм.. пусть ( displaystyle 2), тогда получается:

( displaystyle {{b}_{1}}=0)

( displaystyle {{b}_{1}}=0cdot 2=0…) и так далее.

Согласись, что это уже никакая не прогрессия.

Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если ( displaystyle {{b}_{1}}) будет каким-либо числом, отличным от нуля, а ( displaystyle q=0).

В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.

Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о ( displaystyle q).

Знаменатель геометрической прогрессии

Повторим: ( displaystyle q) – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

Как ты думаешь, каким может быть ( displaystyle q)? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).

Допустим, что ( displaystyle q) у нас положительное. Пусть в нашем случае ( displaystyle q=3), а ( displaystyle {{b}_{1}}=4).

Чему равен второй член ( displaystyle {{b}_{2}}) и ( displaystyle {{b}_{3}})? Ты без труда ответишь, что:

( displaystyle {{b}_{2}}=4cdot 3=12)

( displaystyle {{b}_{3}}=12cdot 3=36)

Все верно. Соответственно, если ( displaystyle q>0), то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.

А что если ( displaystyle q) отрицательное? Например, ( displaystyle q=-3), а ( displaystyle {{b}_{1}}=4). Чему равен второй член ( displaystyle {{b}_{2}}) и ( displaystyle {{b}_{3}})?

Это уже совсем другая история

( displaystyle {{b}_{2}}=4cdot -3=-12)

( displaystyle {{b}_{3}}=-12cdot left( -3 right)=36)

Попробуй посчитать ( displaystyle 4) член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня ( displaystyle -108).

Таким образом, если ( displaystyle q<0), то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на ( displaystyle 100%) отрицательный.

Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.

Теперь немного потренируемся:

Пример 1. Попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:

• ( displaystyle 3;text{ }6;text{ }12;text{ }24;text{ }48;text{ }56ldots )
• ( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
• ( displaystyle -99;text{ }33;text{ }-11ldots )
• ( displaystyle 5;text{ }7;text{ }9;text{ }11;text{ }13ldots ) 
• ( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots ) 
• ( displaystyle 64;text{ }16;text{ }4;text{ }1ldots ) 
• ( displaystyle 2;text{ }4;text{ }8;text{ }18ldots )

Разобрался? Сравним наши ответы:

• Геометрическая прогрессия – 3, 6.
• Арифметическая прогрессия – 2, 4.
• Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями — 1, 5, 7.

Пример 2. Найти 6-й член прогрессии

Вернемся к нашей последней прогрессии ( displaystyle q=-3), а ( displaystyle {{b}_{1}}=4) и попробуем так же как и в арифметической найти ее ( displaystyle 6) член.

Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения:

1-й способ. Последовательно умножаем каждый член на ( displaystyle q).

• ( displaystyle {{b}_{1}}=4)
• ( displaystyle {{b}_{2}}=4cdot left( -3 right)=-12)
• ( displaystyle {{b}_{3}}=-12cdot left( -3 right)=36)
• ( displaystyle {{b}_{4}}=36cdot left( -3 right)=-108)
• ( displaystyle {{b}_{5}}=-108cdot left( -3 right)=324)
• ( displaystyle {{b}_{6}}=324cdot left( -3 right)=-972)

Итак, ( displaystyle 6)-ой член описанной геометрической прогрессии равен ( displaystyle -972).

2-й способ. По формуле, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии.

( displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{6-1}})

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем первый член геометрической прогрессии ( displaystyle {{b}_{1}}) на знаменатель ( displaystyle q) в степени, которая на ( displaystyle 1) единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.

( displaystyle {{b}_{6}}=4cdot {{left( -3 right)}^{6-1}}=4cdot {{left( -3 right)}^{5}}=-972)

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{n-1}}) — уравнение членов геометрической прогрессии, где

• n — порядковый номер члена прогрессии;
• b1 — первый член прогрессии;
• q — знаменатель.

Данная формула верна для всех значений — как положительных, так и отрицательных.

Как найти член геометрической прогрессии, зная два соседних. Формула в общем виде:

( displaystyle {{b}_{n}}=sqrt{{{b}_{n+1}}cdot {{b}_{n-1}}} ), при ( displaystyle n>2)

Не забывай про условие при ( displaystyle n>2)?

Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать ( displaystyle {{b}_{n}} ), при ( displaystyle n=1). Что получится в этом случае?

Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:

( displaystyle {{b}_{1}}=sqrt{{{b}_{1+1}}cdot {{b}_{1-1}}} )

Соответственно, не забывай это ограничение.

Возьмем, к примеру, простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны ( displaystyle {{b}_{2}}=6) и ( displaystyle {{b}_{4}}=54).

И посчитаем, чему же равно ( displaystyle {{b}_{3}})

( displaystyle {{b}_{3}}=sqrt{6cdot 54}=sqrt{324}=…)

Правильный ответ – ( displaystyle {{b}_{3}}=pm 18)!

Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди ( displaystyle {{b}_{n}} ), зная ( displaystyle {{b}_{n+1}}) и ( displaystyle {{b}_{n-1}})

• ( displaystyle {{b}_{n+1}}=4), ( displaystyle {{b}_{n-1}}=36)
• ( displaystyle {{b}_{n+1}}=-3), ( displaystyle {{b}_{n-1}}=-12)
• ( displaystyle {{b}_{n+1}}=-2), ( displaystyle {{b}_{n-1}}=-32)

Сравни полученные ответы с правильными:

• ( displaystyle {{b}_{n}}=pm 12 )
• ( displaystyle {{b}_{n}}=pm 6 )
• ( displaystyle {{b}_{n}}=pm 8 )

Как найти равноудаленные члены геометрической прогрессии

Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него.

Например, нам необходимо найти ( displaystyle {{b}_{3}} ), а даны ( displaystyle {{b}_{1}} ) и ( displaystyle {{b}_{5}} ). Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу?

Да! Формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.

И она приобретает вид:

( displaystyle {{b}_{n}}=sqrt{{{b}_{n+k}}cdot {{b}_{n-k}}} ), при ( displaystyle k<n, kin N)

То есть, если в первом случае мы говорили, что ( displaystyle k=1), то сейчас мы говорим, что ( displaystyle k) может быть равен любому натуральному числу, которое меньше ( displaystyle n).

Главное, чтобы ( displaystyle k) был одинаков для обоих заданных чисел.

Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!

Как найти неравноудаленные члены геометрической прогрессии

На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.

( displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}cdot {{q}^{2}} )

( displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{5}}cdot q={{b}_{1}}cdot {{q}^{5}} )

( displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}cdot q={{b}_{1}}cdot {{q}^{3}})

Итак, у нас есть ( displaystyle {{b}_{3}}) и ( displaystyle {{b}_{6}}). Посмотрим, что с ними можно сделать?

Предлагаю разделить ( displaystyle {{b}_{6}}) на ( displaystyle {{b}_{3}}). Получаем:

( displaystyle frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=frac{{{b}_{1}}cdot {{q}^{5}}}{{{b}_{1}}cdot {{q}^{2}}}={{q}^{3}})

Подставляем в формулу наши данные:

( displaystyle frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=frac{486}{18}=27)

Следующим шагом мы можем найти ( displaystyle q) – для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.

( displaystyle {{q}^{3}}=27 Rightarrow q=sqrt[3]{27}=3)

А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть ( displaystyle {{b}_{3}}), а найти нам необходимо ( displaystyle {{b}_{4}}), а он, в свою очередь равен:

( displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}cdot q)

Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:

( displaystyle {{b}_{4}}=18cdot 3=54)

Наш ответ: ( displaystyle 54).

Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:

Дано: ( displaystyle {{b}_{3}}=18), ( displaystyle {{b}_{5}}=648)
Найти: ( displaystyle {{b}_{2}})

Сколько у тебя получилось? У меня:

Получим:

( displaystyle {{S}_{n}}q={{b}_{1}}q+{{b}_{2}}q+{{b}_{3}}q+…+{{b}_{n-2}}q+{{b}_{n-1}}q+{{b}_{n}}q)

Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например ( displaystyle {{b}_{2}}={{b}_{1}}q) и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое.

Что у тебя получилось?

( displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{n}}q-{{b}_{1}})

Теперь вырази ( displaystyle {{b}_{n}}) через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:

( displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n-1}}q-{{b}_{1}}={{b}_{1}}{{q}^{n}}-{{b}_{1}})

Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:

( displaystyle {{S}_{n}}(q-1)={{b}_{1}}({{q}^{n}}-1))

Все, что осталось сделать – выразить ( displaystyle {{S}_{n}}):

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}) или ( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q})

Соответственно, в этом случае ( displaystyle qne 1).

А что если ( displaystyle q=1)? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при ( displaystyle q=1). Что она из себя представляет?

Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:

( displaystyle {{S}_{n}}=n{{b}_{1}})

Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из ( displaystyle 5) членов.

Допустим, ( displaystyle {{b}_{1}}=1), а ( displaystyle q=frac{1}{2}), тогда:

• ( displaystyle {{b}_{2}}=1cdot frac{1}{2}=frac{1}{2})
• ( displaystyle {{b}_{3}}=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4})
• ( displaystyle {{b}_{4}}=frac{1}{4}cdot frac{1}{2}=frac{1}{8})
• ( displaystyle {{b}_{5}}=frac{1}{8}cdot frac{1}{2}=frac{1}{16})

Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в ( displaystyle frac{1}{2}) раза, но будет ли какое-либо число ( displaystyle {{b}_{n}}=0)?

Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула ( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{n-1}}) приобретает следующий вид:

( displaystyle {{b}_{n}}=1cdot {{left( frac{1}{2} right)}^{n-1}}={{left( frac{1}{2} right)}^{n-1}})

На графиках нам привычно строить зависимость ( displaystyle x) от ( displaystyle y), поэтому:

( displaystyle {{b}_{n}}=y(x)),
( displaystyle {{left( frac{1}{2} right)}^{n-1}}={{left( frac{1}{2} right)}^{x-1}})

Суть выражения не изменилась.

В первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера.

А во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за ( displaystyle y), а порядковый номер обозначили не как ( displaystyle n), а как ( displaystyle x).

Все, что осталось сделать – построить график. Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:

Видишь?

Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая.

Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата ( displaystyle x) и ( displaystyle y):

Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при ( displaystyle q=2), если первый ее член также равен ( displaystyle 1).

Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?

Справился? Вот какой график получился у меня:

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:

А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}) или ( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q})

К чему у нас стремится ( displaystyle {{q}^{n}})? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю.

То есть при ( displaystyle nto infty ), ( displaystyle {{q}^{n}}) будет почти равно ( displaystyle 0), соответственно, при вычислении выражения ( displaystyle 1-{{q}^{n}}) мы получим почти ( displaystyle 1).

В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна ( displaystyle 1).

История возникновения геометрической прогрессии

Еще в древности итальянский математик Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли.

Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?

В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: ( displaystyle 1,text{ }2,text{ }4,text{ }8,text{ }16…)

Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие.

Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк под сложные проценты, или при оценке скорости распространения гриппа (или коронавируса), или при… создании финансовых пирамид!

Интересно? Давай разбираться.

Как быстро Вася заразит весь класс гриппом

Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе ( displaystyle 31) человек.

Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?

Решение:

Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть ( displaystyle 1) человек. ( displaystyle 2)-ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода.

Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А.

Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:

( displaystyle begin{array}{l}{{b}_{1}}=1\q=2\{{S}_{n}}=31end{array})

Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1})

( displaystyle 31=frac{1({{2}^{n}}-1)}{2-1}={{2}^{n}}-1)

( displaystyle begin{array}{l}{{2}^{n}}=31+1\{{2}^{n}}=32\{{2}^{n}}={{2}^{5}}\n=5end{array})

Весь класс заболеет за ( displaystyle 5) дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось?

Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по ( displaystyle 3) человека, а в классе училось ( displaystyle 26) человек.

Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя ( displaystyle 3) дня.

Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь.

В нашем случае, если представить, что класс изолирован, ( displaystyle 16) человек из ( displaystyle 31) замыкают цепочку (( displaystyle 51,6%)).

Таким образом, если бы ( displaystyle 31) человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то ( displaystyle 16) человек (( displaystyle {{b}_{5}}={{b}_{1}}{{q}^{4}}) или в общем случае ( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n}})) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.

Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.

Легенда о Сете, создателе шахмат

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски ( displaystyle 1) пшеничное зерно, за вторую ( displaystyle 2) пшеничных зерна, за третью ( displaystyle -4), за четвертую ( displaystyle -8) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все ( displaystyle 64) клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать.

Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил ( displaystyle 1) пшеничное зерно, за вторую ( displaystyle 2), за третью ( displaystyle -4), за четвертую ( displaystyle -8) и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии.

Чему равно ( displaystyle q) в этом случае? Правильно.

( displaystyle q=frac{2}{1}=frac{4}{2}=frac{8}{4}=2)

Всего клеток шахматной доски ( displaystyle 64). Соответственно, ( displaystyle n=64).

Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{1({{2}^{64}}-1)}{2-1}={{2}^{64}}-1)

Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем ( displaystyle {{2}^{64}}), используя свойства степени:

( displaystyle {{2}^{64}}={{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{4}})

Раскроем далее значения ( displaystyle {{2}^{10}}) и ( displaystyle {{2}^{4}}). Как ты знаешь, ( displaystyle {{2}^{10}}=1024), а ( displaystyle {{2}^{4}}=64).

Подставим данное значение в предыдущее выражение:

( displaystyle {{2}^{64}}=1024cdot 1024cdot 1024cdot 1024cdot 1024cdot 1024cdot 64)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет ( displaystyle 18~ 446~ 744~ 073~ 709~ 551~ 615).

То есть:

( displaystyle 18) квинтильонов ( displaystyle 446) квадрильонов ( displaystyle 744) триллиона ( displaystyle 73) миллиарда ( displaystyle 709) миллионов ( displaystyle 551) тысяч ( displaystyle 615).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара ( displaystyle 4) м и ширине ( displaystyle 10) м длина его должна была бы простираться на ( displaystyle 300text{ }000text{ }000) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее ( displaystyle 10) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать ( displaystyle 18) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

Задачи на вычисление сложных процентов

Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.

Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления – простым и сложным.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под ( displaystyle 10%), то ( displaystyle 10%) зачислятся только в конце года.

Соответственно, к окончанию вклада мы получим ( displaystyle 110) рублей.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада.

Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

Допустим, что мы кладем все те же ( displaystyle 100) рублей по ( displaystyle 10%) годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?

( displaystyle 1) месяц — ( displaystyle 100cdot left( 1+frac{10}{100cdot 12} right))

Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.

Мы принесли в банк ( displaystyle 100) рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших ( displaystyle 100) рублей плюс процентов по ним, то есть:

Мы можем вынести ( displaystyle 100) за скобку и тогда мы получим:

( displaystyle 100+100cdot x%=100cdot left( 1+x% right))

Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами

В условии задачи нам сказано про ( displaystyle 10%) годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем ( displaystyle 100) на ( displaystyle 10) – мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:

( displaystyle 10%=frac{10}{100})

Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число ( displaystyle 12)? Очень просто!

Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО.

Как ты знаешь, в году ( displaystyle 12) месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц ( displaystyle 12) часть от годовых процентов:

( displaystyle 10% ежегодно =frac{10}{100cdot 12} ежемесячно)

Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.

Справился? Давай сравним результаты:

( displaystyle 10% ежегодно =frac{10}{100cdot 365} ежедневно)

Молодец!

Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.

Вот, что получилось у меня:

( displaystyle 100cdot left( 1+frac{10}{100cdot 12} right)cdot left( 1+frac{10}{100cdot 12} right))

Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию.

Напиши, чему будет равен ее ( displaystyle 12) член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце ( displaystyle 12) месяца.

Сделал? Проверяем!

Еще один тип задач на сложные проценты (о прибыли)

Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал ( displaystyle 5000) долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет ( displaystyle 100%) от капитала предыдущего года.

Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Думаю, ты уже знаешь, как и что считать, но на всякий случай распишу подробно:

( displaystyle {{b}_{1}}=5000) — капитал компании «Звезда» в 2000 году.
( displaystyle {{b}_{2}}=5000cdot left( 1+frac{100%}{100} right)=5000cdot left( 1+1 right)=5000cdot 2=10000) — капитал компании «Звезда» в 2001 году.
( displaystyle {{b}_{3}}=5000cdot left( 1+frac{100%}{100} right)cdot left( 1+frac{100%}{100} right)=5000cdot 4=20000) — капитал компании «Звезда» в 2002 году.
( displaystyle {{b}_{4}}=5000cdot left( 1+frac{100%}{100} right)cdot left( 1+frac{100%}{100} right)cdot left( 1+frac{100%}{100} right)=5000cdot 8=40000) — капитал компании «Звезда» в 2003 году.

Либо мы можем написать кратко:

( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{n-1}})

Для нашего случая:

( displaystyle {{b}_{1}}=5000)

( displaystyle n=4) — 2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.
( displaystyle q =2) — увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.

Соответственно:

( displaystyle {{b}_{2003 года}}=5000cdot 2{{ }^{4-1}}=5000cdot {{2}^{3}}=5000cdot 8=40000) рублей

Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на ( displaystyle 12), ни на ( displaystyle 365), так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО.

То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.

Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Экономические задачи на вклады очень часто требуют знания геометрической прогрессии.

Эти задачи требуют также очень подробного и чёткого описания решения.

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!

В этом видео мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

ЕГЭ №17. Экономическая задача. Вклады

Печать страницы

Прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение («progression», что означает «движение вперед»), был введен римским математиком Боэцием в 6 веке.

Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.

Например,

(числа Мерсенна)

Последовательность также может задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Например, первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Тогда получаем последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)

Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d = 0 ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁ и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

• a_n = a₁ + d · (n−1) — формула n-го члена,

Пример: найдите члены а₈, а₁₀₀₀ арифметической прогрессии, у которой а₁ = -2, d = 5

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

а₈ = a₁ + d · (8 −1) = -2 + 7 · 5 = 33.

а₁₀₀₀ = a₁ + d · (1000 −1) = -2 + 999 · 5 = 4993.

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

• 

Пример: определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с a₁ = 1 и d = 2

Например, сумма первых пяти нечетных чисел:

Можно убедиться, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

• — свойство n-го члена.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если q > 0, то прогрессия считается знакоположительной, при q < 0 – знакопеременной.

Если |q |>1, прогрессия возрастающая, если |q | <1 – убывающая. Заметим, что при q < 0 сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если b₁ — первый член прогрессии (b₁ ≠ 0), а q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0), то справедливы следующие формулы:

• b_n = b_{1 ·} q ^{n -1} формула n-го члена

Пример: найдите b₄, b₁₁ геометрической прогрессии, если b₁ = 3, q = 2

Решение:

По формуле найдем:

b₄ = b_{1 ·} q ^{4 — 1}= 3 · 2 ³ = 24,

b₁₁ = b_{1 ·} q ^{11 — 1}= 3 · 2 ¹⁰ = 3072.

• — формула суммы n первых членов;

Пример: найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой b₁ = 2, q = 3

Решение:

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

• — свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле

Замечание:

Формула n-го члена прогрессии:

• арифметической:a_n = a₁ + d · (n − 1)
• геометрической: b_n = b_{1 ·} q ^{n — 1}

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.

Сложные проценты

Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.

Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.

Сложный процент — это проценты с процентов.

У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.

Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.

Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S₁ после начисления процентов можно посчитать так:

В следующем году полученную сумму снова увеличим на тот же процент. Тогда можем записать верное равенство:

Аналогично мы можем посчитать полученную сумму еще через год:

Таким образом, если периодов n, то можем записать формулу вычисления сложных процентов:

начисление процентов (%) на сумму S через n периодов.

Тогда последовательность остатков долга будет следующей:

Видим, что это геометрическая прогрессия.

Итак, Саша размещает свои 1000 рублей на счете и получает ежегодно 7% дохода. Давайте посчитаем, сколько он получит за три года? В данном случае S = 1000, % = 7, n = 3, – общая сумма, получаемая по формуле сложного процента:

Счет Пети – тоже 7%-ный, но процент у него простой. Какие деньги заработает за три года Петя? В первый год он получит 70 рублей, столько же – во второй и в третий. Таким образом, проценты составят 3 · 70 = 210 рублей, итого общая сумма на счете — 1210 рублей. Инвестиционное решение Саши, очевидно, выгоднее.

Прогрессия — это последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Содержание:

Числовая последовательность

В жизни мы часто встречаемся с функциями, областью определения которых является множество натуральных чисел. Например, стоимость проезда в пригородном транспорте зависит от дальности поездки и задается функцией

Функция стоимости проезда задана таблично, областью определения функции является множество натуральных чисел В таком случае говорят, что рассматривается функция натурального аргумента, или числовая последовательность.

Примером числовой последовательности является последовательность положительных четных чисел: 2; 4; 6; 8; … . Число 2 — первый член последовательности, число 4 — второй и т. д. Ясно, что на 5-м месте будет число 10 (пятый член последовательности), а на 100-м — число 200 (сотый член последовательности).

Еще один пример — последовательность чисел, обратных натуральным числам: На месте запишется число которое является членом данной последовательности.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными. Например, последовательность двузначных чисел 10; 11; …; 99 является конечной, так как содержит конечное число членов. А последовательность нечетных натуральных чисел — бесконечная.

Определение числовой последовательности

Определение:

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.

Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: — первый член последовательности, — второй член последовательности, член последовательности. Последовательность с членом обозначается Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность имеет вид

Если — последовательность нечетных натуральных чисел

Последовательности, так же как и функции, могут быть заданы различными способами.

Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы ее члена. Например, последовательность четных натуральных чисел можно задать с помощью формулы а последовательность чисел, обратных натуральным числам, задается формулой

С помощью формулы члена можно найти любой член последовательности.

Например, пусть последовательность задана формулой тогда

Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы члена, нужно вместо п подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).

Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ (от лат. recurrentis — возвращающийся). Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.

Например, условия и определяют бесконечную последовательность: т. е.

Пример №1

Найдите несколько членов последовательности где

Решение:

Запишем несколько членов этой последовательности в ряд: 1; 1; 2; 3; 5; … .

Полученную последовательность чисел называют последовательностью Фибоначчи по имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180—1240).

Формула n-го члена последовательности

Пример №2

Последовательность задана формулой члена Найдите:

Решение:

Пример №3

Последовательность задана формулой члена Является ли членом этой последовательности число:

а) -2; б) -7?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно определить, имеет ли натуральные корни уравнение:

а) значит, число -2 не является членом последовательности;

б) значит, число -7 является членом последовательности с номером 5.

Пример №4

Для каких членов последовательности заданной формулой члена выполняется неравенство ?

Решение:

Подставим в неравенство выражение для члена, получим Решение полученного квадратного неравенства есть отрезок [-4; 1], выберем из этого отрезка только натуральные числа, получим . Значит, данное неравенство выполняется только для первого члена последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности

Пример №5

Запишите 5 первых членов последовательности , если

Решение:

Пример №6

Запишите несколько первых членов последовательности , если

Задайте эту последовательность формулой члена.

Решение:

Получим следующую последовательность: 8; -8; 8; -8; …. На нечетных местах этой последовательности стоят члены, равные числу 8, а на четных — числу -8, значит, формула члена имеет вид

Арифметическая прогрессия

Рассмотрим задачу. В горной местности температура воздуха летом при подъеме на каждые 100 м в среднем понижается на 0,7 °С. У подножия горы температура равна 26 °С. Найдите температуру воздуха на высоте 100 м; 200 м; 300 м.

Решение:

Температура воздуха на высоте 100 м равна 26 °С — 0,7 °С = 25,3 °С. На высоте 200 м температура будет равна 25,3 °С — 0,7 °С = 24,6 °С, а на высоте 300 м — 24,6 °С — 0,7 °С = 23,9 °С.

Ответ: 25,3 °С; 24,6 °С; 23,9 °С.

Решая задачу, мы получили последовательность 26; 25,3; 24,6; … . Каждый член этой последовательности равен предыдущему, сложенному с числом -0,7. Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются арифметическими прогрессиями (от лат. progression — движение вперед).

Определение арифметической прогрессией

Определение:

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е.

Число называется разностью арифметической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать арифметическую прогрессию , достаточно задать ее первый член и разность

Например, если то получится арифметическая прогрессия 3; 7; 11; 15; … .

Если то арифметическая прогрессия имеет вид 2; -1; -4; -7; -10; … .

Если то все члены арифметической прогрессии равны между собой: -7; -7; -7; -7; … .

Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена арифметической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — арифметическая прогрессия с разностью то, используя определение, получим верные равенства:

Сложим эти равенства:

После упрощения получим:

Так как число слагаемых равно , то равенство примет вид

Получили формулу члена арифметической прогрессии

Формула члена арифметической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член , номер члена и разность прогрессии

Пример №7

Последовательность — арифметическая прогрессия, Найдите 100-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 249,5.

Пример №8

Последовательность — арифметическая прогрессия, Является ли членом этой прогрессии число: а) 168; б) 201?

Решение:

а) По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение Решив его, получим, что — корень уравнения. Так как 67 — натуральное число, то число 168 является членом этой прогрессии с номером 67.

б) Подставим значения в формулу члена и получим уравнение Решим его: Так как корень уравнения 80,2 — не натуральное число, то число 201 не является членом этой прогрессии.

Ответ: а) число 168 является членом этой прогрессии; б) число 201 не является членом этой прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним)

членов, т. е. при

при

Доказательство. В арифметической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий члены, т. е. и :

Найдем их среднее арифметическое:

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним) членов, то последовательность является арифметической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, т. е. . Тогда ,

значит, разность каждого ее члена с предыдущим членом есть одно и то же число. Обозначим его получим при любом натуральном , следовательно, Значит, по определению последовательность — арифметическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством арифметической прогрессии:

числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Пример №9

Проверьте, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее арифметическое этих членов:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии последовательность является арифметической прогрессией.

Решение арифметической прогрессии

Пример №10

Последовательность 2; 12; 22; … является арифметической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является арифметической прогрессией, то найдем ее разность Тогда каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с числом 10: 2; 12; 22; 32; 42;….

Пример №11

Известны члены арифметической прогрессии: Найдите разность этой прогрессии.

Решение:

Найдем разность арифметической прогрессии:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Пример №12

Последовательность — арифметическая прогрессия. Найдите двадцатый член прогрессии, если

Решение:

По формуле члена арифметической прогрессии получим:

Пример №13

Запишите формулу члена для арифметической прогрессии -15,5; -14,9; -14,3; … и найдите ее двадцатый член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной арифметической прогрессии, подставив в формулу значения для и :

Подставим в формулу члена данной арифметической прогрессии и найдем ее двадцатый член:

Пример №14

В арифметической прогрессии известно, что Число 16 является членом этой прогрессии. Найдите его номер.

Решение:

Так как то По условию Воспользуемся формулой тогда

Пример №15

В арифметической прогрессии Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Решение:

По условию

Решим систему уравнений

Вычтем из второго уравнения первое, получим откуда Подставим в первое уравнение системы, получим

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример №16

Найдите восьмой член арифметической прогрессии если

Решение:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии т. е.

Пример №17

При каком значении последовательность является арифметической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим задачу. Двое друзей решили улучшить знание английского языка и каждый день учить на 3 новых слова больше, чем в предыдущий. Сколько слов выучит каждый из друзей за 10 дней, если они начнут с одного слова?

Для решения этой задачи нужно найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии у которой

Возникает вопрос: как найти эту сумму, не вычисляя всех десяти членов прогрессии?

В общем виде эта задача приводит к необходимости вывода формулы суммы первых членов арифметической прогрессии:

Для того чтобы вывести эту формулу, докажем свойство: суммы двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равны сумме первого и последнего ее членов, т. е.

В общем виде:

Доказательство:

Преобразуем слагаемые в левой части равенства, воспользовавшись формулой члена:

Тогда получим:

С помощью доказанного свойства найдем, например, сумму всех натуральных чисел от 1 до 50.

Натуральные числа от 1 до 50 составляют арифметическую прогрессию 1; 2; 3; …; 50. Первый член этой прогрессии равен 1, последний равен 50. Всего в этой прогрессии 50 членов.

Поскольку то и и и (рис. 94), то искомая сумма равна

Обозначим через и запишем эту сумму дважды: с первого члена до и с члена до первого:

Сложим эти два равенства и получим:

По свойству заменим каждую сумму в скобках на

Число всех таких пар сумм равно значит, удвоенная искомая сумма равна:

т. е. — формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

Идея такого доказательства принадлежит выдающемуся немецкому математику К. Гауссу (1777—1855).

Формулу суммы первых членов арифметической прогрессии можно записать и в другом виде. Для этого по формуле члена арифметической прогрессии выразим через и и получим:

Если известен первый член прогрессии и разность, то удобно использовать формулу

Применим эту формулу к задаче о количестве выученных иностранных слов и получим: Каждый из друзей выучил по 145 новых слов.

Пример №18

Найдите сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии 3; 7; 11; 15; … .

Решение:

В этой прогрессии первый член равен 3, а разность Применим формулу суммы

для и получим:

Ответ: 5050.

Пример №19

В арифметической прогрессии Найдите сумму 85 первых членов арифметической прогрессии.

Решение:

Применим формулу суммы и получим:

Ответ: 1785.

Пример №20

Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен -2, а разность прогрессии равна 0,4.

Решение:

Воспользуемся формулой

так как то

Пример №21

Найдите сумму 4 + 7 + 10+ … + 100, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии.

Решение:

Последовательность 4, 7, 10, …, 100 является арифметической прогрессией, в которой По формуле члена арифметической прогрессии найдем количество членов этой прогрессии:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии п и найдем искомую сумму:

Пример №22

Найдите количество членов арифметической прогрессии, зная, что их сумма равна 430, первый член прогрессии равен -7, а разность прогрессии равна 3.

Решение:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии Так как ,то составим и решим уравнение:

Так как — натуральное число, то

Пример №23

В арифметической прогрессии Найдите сумму членов этой прогрессии с четвертого по семнадцатый включительно.

Решение:

Найдем и Поскольку то составим систему уравнений

Решим полученную систему способом сложения:

Тогда

Примем четвертый член данной прогрессии за первый член некоторой другой прогрессии, тогда семнадцатый член данной прогрессии станет четырнадцатым (17 — 4 + 1 = 14) членом новой прогрессии. Искомая сумма равна:

Пример №24

Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5.

Решение:

Первое число в последовательности всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5, — это число 18. Каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с числом 26. Последнее четное число, которое при делении на 13 дает в остатке 5, — это число 278. Поскольку рассматриваются только четные числа, то разность прогрессии равна 26. Найдем номер числа прогрессии, равного 278: откуда

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим задачу. Вкладчик положил в банк 1000 р. на

депозит, по которому сумма вклада увеличивается ежегодно на 5 %. Какая сумма будет у него через 1 год, 2 года, 6 лет?

Решение:

Начальная сумма в 1000 р. через год увеличится на 5 % и составит 105 % от 1000 р. Найдем 105 % = 1,05 от 1000 р.: 1000 • 1,05 = 1050 (р.).

Через два года сумма вклада станет равной (р.), через три года — (р.) и т. д. Получим числовую последовательность:

Через шесть лет сумма будет равна

Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются геометрическими прогрессиями.

Определение геометрической прогрессии

Определение:

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно задать ее первый член , и знаменатель

Например, если то получится геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; … .

Если то получится геометрическая прогрессия, знаки членов у которой чередуются, так как знаменатель прогрессии является отрицательным числом: 3; -6; 12; -24; … .

Если то геометрическая прогрессия имеет

вид

Если то все члены геометрической прогрессии равны между собой: 3; 3; 3; 3; … .

Чтобы вычислить любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена геометрической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — геометрическая прогрессия и — ее знаменатель, то по определению верны равенства:

Перемножим эти равенства между собой:

Разделим обе части равенства на произведение и получим

Так как число множителей равно то равенство примет вид

Получили формулу члена геометрической прогрессии.

Формула члена геометрической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии.

Пример №25

Последовательность — геометрическая прогрессия, Найдите 8-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 4374.

Пример №26

Последовательность — геометрическая прогрессия, Является ли число 320 членом этой прогрессии?

Решение:

По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение

Решим это уравнение:

Так как 8 — натуральное число, то число 320 является членом этой прогрессии с номером 8.

Ответ: число 320 является членом этой прогрессии.

• Заказать решение задач по высшей математике

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е. при

или при

Доказательство:

В геометрической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий (соседние) члены, т. е. и :

Найдем среднее пропорциональное (среднее геометрическое) соседних с членов геометрической прогрессии. Для этого перемножим равенства и получим:

Выполним преобразования в правой части равенства:

откуда получим, что

или

Справедливо и обратное утверждение:

• если в последовательности чисел, отличных от нуля, модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, то последовательность является геометрической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов, т. е. .

Тогда значит, т. е. частное от деления каждого члена последовательности на предшествующий ему член есть одно и то же число, отличное от нуля. Обозначим его получим при любом натуральном следовательно, Значит, по определению последовательность — геометрическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством геометрической прогрессии:

• числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов:

Пример №27

Проверьте, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее пропорциональное этих членов:

По характеристическому свойству геометрической прогрессии последовательность является геометрической прогрессией.

Решение геометрической прогрессии

Пример №28

Последовательность 2; 10; 50; … является геометрической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является геометрической прогрессией, то найдем ее знаменатель Тогда каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на число 5: 2; 10; 50; 250; 1250; 6250; ….

Пример №29

Известны члены геометрической прогрессии:

Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Так как знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему, то

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Пример №30

Последовательность — геометрическая прогрессия. Найдите пятый член этой прогрессии, если

Решение:

По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №31

Запишите формулу члена для геометрической прогрессии -216; 36; -6; … и найдите ее седьмой член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной геометрической прогрессии, подставив в формулу значения для и

Подставим в формулу члена данной геометрической прогрессии и найдем ее седьмой член:

Пример №32

Найдите номер члена геометрической прогрессии 0,1; 0,3; …, равного 218,7.

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Известно, что По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №33

Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии если

Решение:

По условию

Составим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое и получим:

Подставим это значение в первое уравнение системы и получим

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример №34

Найдите сорок девятый член геометрической прогрессии, если сорок восьмой ее член равен 4, а пятидесятый ее член равен 9.

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии и получим Тогда или

Пример №35

При каком значении последовательность является геометрической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является геометрической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Немало легенд связано с геометрической прогрессией.

Наиболее известная из них рассказывает об изобретателе шахмат.

По легенде, когда создатель шахмат показал свое изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зерен на каждой следующей клетке (рис. 96).

Правитель быстро согласился и приказал казначею выдать мудрецу нужное количество зерна. Однако когда казначей показал расчеты, то оказалось, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять все пшеницей.

Число зерен, которое попросил мудрец, равно сумме членов геометрической прогрессии т. е.

Выведем формулу, по которой можно находить сумму первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим сумму первых членов геометрической прогрессии через тогда:

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии и получим:

Вычтем из второго равенства первое и получим:

т. e. Выразим из этого равенства при и получим формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Если то все члены прогрессии равны первому члену, и сумму первых прогрессии членов такой геометрической прогрессии можно найти по формуле

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Вычислим по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии число зерен, которое запросил в награду мудрец, т. е. сумму

Первый член геометрической прогрессии знаменатель количество членов прогрессии равно 64.

Тогда

Такого количества пшеницы человечество не собрало за всю свою историю.

Пример №36

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии в которой

Решение:

Применим формулу суммы для

получим

Ответ: 511,5.

Пример №37

Найдите сумму двенадцати первых членов геометрической прогрессии 3; -6; 12; -24; … .

Решение:

Подставим в формулу значения

Ответ. -4095.

Пример №38

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии если

Решение:

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

тогда

По формуле найдем

Пример №39

Сумма членов геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если

Решение:

Подставим в формулу значения и найдем

Пример №40

В геометрической прогрессии известно, что Найдите

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Подставим в формулу члена геометрической прогрессии и найдем первый член прогрессии:

По формуле найдем сумму трех первых членов геометрической прогрессии:

Пример №41

В геометрической прогрессии известно, что Найдите сумму п первых членов этой прогрессии.

Решение:

Зная, что третий член геометрической прогрессии равен 16, а ее знаменатель равен 2, по формуле найдем первый член прогрессии: Воспользуемся формулой члена геометрической прогрессии и найдем

По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии найдем

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной периодической дроби. Например, — конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая десятичная дробь получается в случае, когда деление «не заканчивается», например

Вы рассматривали правило записи конечной десятичной дроби в виде обыкновенной дроби (например, ит. п.).

Выясним, как бесконечную периодическую десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби.

Рассмотрим, например, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) = 0,7777… . Определим, какой обыкновенной дроби равно это число.

Запишем дробь 0,(7) в виде суммы разрядных слагаемых:

В данном случае необходимо найти сумму бесконечного числа слагаемых.

Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Определение. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель

Например, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессий, так как

Геометрическая прогрессия также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее обозначают буквой и находят по формуле

Покажем идею вывода формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию у которой Сумма первых членов данной прогрессии вычисляется по формуле Запишем эту формулу в виде

Представим, что п неограниченно возрастает (говорят, что стремится к бесконечности, и записывают ). Поскольку то при неограниченном увеличении числа степень стремится к нулю, а значение разности стремится к единице. Значит, при неограниченном увеличении числа сумма стремится к числу что можно записать в виде при

Число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии у которой Таким образом,

Обозначим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии буквой и получим формулу:

Вычислим по этой формуле сумму разрядных слагаемых:

Слагаемые этой суммы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию первый член которой равен

а знаменатель равен

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Так как то можем найти сумму этой бесконечной прогрессии. Подставим в формулу и получим:

Значит,

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) можно записать в виде обыкновенной дроби , т. е.

Таким же способом можно любую бесконечную периодическую десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби.

Чтобы записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, нужно:

1. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.
2. Выделить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Указать первый член , и найти знаменатель этой прогрессии
4. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле
5. Вычислить сумму первых слагаемых и найденного значения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Запишите в виде обыкновенной дроби число

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Пример №42

В бесконечной геометрической прогрессии Является ли эта прогрессия бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии: Так как то данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №43

Является ли бесконечно убывающей геометрическая прогрессия:

а)

б)

в)

Решение:

а) Каждый член этой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число Так как то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

б) Поскольку, то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

в) Знаменатель прогрессии Так-как то прогрессия не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №44

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

Решение:

По формуле получим:

Пример №45

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

В формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии подставим и получим Решим полученное уравнение:

Пример №46

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь 15,2(3) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)