В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
- Формула разности кубов
- Доказательство формулы
- Примеры задач
Формула разности кубов
Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.
Формула верна и в обратную сторону:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Примечание: a3 – b3 ≠ (a – b)3
Доказательство формулы
Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a2 + ab + b2), чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3.
Примеры задач
Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x)3 – 53.
Решение
(7x)3 – 53 = (7x – 5)((7x)2 + 7x ⋅ 5 + 52) = (7x – 5)(49x2 + 35x + 25)
Задание 2
Представьте выражение 512x3 – 27y3 в виде разности кубов и разложите его на множители.
Решение
512x3 – 27y3 = ((8x)3 – (3y)3) = (8x – 3y)((8x)2 + 8x ⋅ 3y + (3y)2) = (8x – 3y)(64x2 + 24xy + 9y2)
Алгебра
7 класс
Урок № 30
Сумма кубов. Разность кубов
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Формулы сокращённого умножения.
- Сумма кубов, разность кубов.
- Разложение многочлена на множители.
- Тождественные преобразования.
- Вычисление значения числовых выражений.
Тезаурус:
Формулы сокращённого умножения.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3= (a + b)(a 2– ab + b2)
a3 – b3= (a – b)(a2 + ab + b2)
Применение:
- упрощение умножения многочленов;
- разложение многочлена на множители;
- вычисление значения числового выражения;
- тождественные преобразования.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Формула суммы кубов.
Рассмотрим произведение;
(a + b)(a2 – ab + b2).
Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 +b3 = a3 + b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Равенство называют формулой суммы кубов.
Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».
Формула разности кубов.
Аналогично докажем формулу разности кубов.
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3= a3 – b3
Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».
a3 – b3= (a – b)(a2+ ab + b2)
Выражения (a2+ ab + b2) и (a2– ab + b2) называют неполным квадратом суммы или разности.
Формула задаёт разложение многочленов:
a3 + b3 и a3 – b3 на два множителя:
(a + b)(a2 – a b+ b2) и (a – b)(a2+ ab + b2).
Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1.
Выполните умножение многочленов:
- ( x + 3)(x2 –3x +9) = x3 + 33 = x3 + 27.
- (2x – 3y)(4x2 +6xy + 9y2) = (2x)3 – (3y)3 = 8x3 –27y3.
Задача 2.
Разложите многочлен на множители:
- x3 – 8 y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y) (x2 +2xy + 4y2 )
- 64 a3 – 27c3 = (4a)3 – (3c)3 = (4a – 3c)(16a2 +12 ac + 9c2).
Задача 3.
Упростите выражение:
(x +2)(x2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).
Решение:
x3 + 23 – x(x2 – 9) = x3 + 8 – x3 + 9x = 8 + 9x.
Ответ: 8 + 9x.
Задача 4.
Доказать, что выражение 1233 + 273 кратно 50.
Используем формулу:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2),
получим: (123 + 27)(1232 –123 · 27 + 272) =150 · (1232 –123 · 27 + 272).
Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.
Разность кубов
Определение.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:
a3 — b3 = (a — b)·(a2 + ab + b2)
Вывод формулы разности кубов
Для доказательства справедливости формулы разности кубов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
(a — b)·(a2 + ab + b2) =
= a3 + a2b + ab2 — ba2 — ab2 — b3 = a3 — b3
Применение формулы разности кубов
Формулу разности кубов удобно использовать:
- для разложения на множители
- для упрощения выражений
Примеры задач на применение формулы разности кубов
Пример 1.
Разложить на множители x3 — 27.
Решение:
x3 — 27 = x3 — 33 = (x — 3)·(x2 + 3x + 9)
Пример 2.
Разложить на множители 8x3 — 27y6.
Решение:
8x3 — 27y6 = (2x)3 — (3y2)3 =
= (2x — 3y2)·(4x2 + 6xy2 + 9y4)
Пример 3.
Упростить выражение
27x3 — 13x — 1
.
Решение:
Можно заметить, что для выражения в числителе можно применить формулу разности кубов
27x3 — 13x — 1 = (3x — 1)·(9x2 + 3x +1)3x — 1 = 9x2 + 3x +1
Формула суммы кубов
Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):
$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$
и найдём из неё сумму двух кубов:
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$
$$= (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =$$
$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$
Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.
Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $
Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:
$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$
Формула разности кубов
Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):
$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$
и найдём из неё разность двух кубов:
$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$
$$ = (a-b)((a-b)^2+3ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab) = $$
$$ = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.
Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$
Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:
$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Примеры
Пример 1. Разложите на множители:
а) $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2 )$
б) $ m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2 ) $
в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $
г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$
д) $ frac{1}{8} k^6-8 = ( frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(frac{1}{2} k^2-2)(frac{1}{4} k^4+k^2+4) $
е) $27+ frac{m^3}{125} = 3^3+(frac{m}{5})^3 = (3+frac{m}{5})(9-frac{3m}{5}+frac{m^2}{25})$
Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8
$$ frac{19^3-11^3}{8} = frac{(19-11)(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = frac{8(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = $$
$ = 19 ^2+19cdot11+11^2 $
Что и требовалось доказать.
Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).
Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_{a+b} = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_{ор} = a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_{син} = b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$
Общий объём:
$$ V_{a+b} = V_a+V_b+V_{ор}+V_{син} $$
$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$
$$ = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = $$
$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$
Мы получили формулу суммы кубов.
Что такое разность кубов и куб разности
Для возведения чисел и выражений в степень, а также для упрощения умножения используют формулы сокращенного умножения. Благодаря им вычисления проводятся компактнее и быстрее. К ним относят формулу разности кубов, которую важно не путать с кубом разности.
Разность кубов двух переменных равна произведению разности этих переменных на неполный квадрат их суммы.
(a^3-b^3=left(a-bright)left(a^2+ab+b^2right))
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Буквами a и b в формуле могут служить любые числа, переменные, одночлены и многочлены.
В этом определении квадрат суммы выражений называют неполным, поскольку он представляет собой сокращенный вариант формулы вида:
(left(a+bright)^2=a^2+2ab+b^2.)
Как видно, в формуле разности кубов во второй скобке не удвоенное произведение, а одинарное.
Куб разности двух переменных равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое, минус куб второго выражения.
({(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)
Вывод формулы разности кубов, как раскладывается
Формулу разности двух кубов можно вывести из куба разности .(a^3-b^3=left(a-bright)^3+3a^2b-3ab^2={(a-b)}^3+3ab(a-b)=(a-b)({(a-b)}^2+3ab)=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
)Что и требовалось доказать.
Правила применения формул сокращенного умножения
Формулу разности кубов используют:
- для разложения многочленов на множители;
- для упрощения сложных выражений.
Основное свойство формул сокращенного умножения заключается в том, что они работают в обе стороны. Чтобы доказать это, достаточно пойти от обратного:
- раскрыть скобки;
- разложить многочлен на множители;
- сократить.
((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3)
Примеры задач с решением
Задача № 1
Упростить выражение (x^2-1)(x^4+x^2+1).
Решение:
Данное произведение многочленов является правой частью формулы разности кубов. На месте a стоит (x^2), а на месте b — 1. Тогда:
((x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^8-1)
Ответ: (x^8-1)
Задача № 2
Представить в виде произведения множителей выражение ({(4y)}^3-5^3.)
Решение:
По формуле, ({(4y)}^3-5^3=(4y-5)(16y^2+20y+25).)
Ответ: ((4y-5)(16y^2+20y+25).)