В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
- Формула разности квадратов
-
Доказательство формулы
- Арифметическое
- Геометрическое
- Примеры задач
Формула разности квадратов
Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Формулу можно представить справа-налево:
(a – b)(a + b) = a2 – b2
Примечание: a2 – b2 ≠ (a – b)2
Доказательство формулы
Арифметическое
Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b).
Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a2 + ab – ba – b2 = a2 – b2.
Геометрическое
Изобразим квадрат с длиной стороны a, площадь которого равна a2. В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b2.
Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета (a2 – b2).
Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:
- квадрат площадью b2;
- прямоугольник со сторонами a и (a-b);
- прямоугольник со сторонами b и (a-b).
Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:
S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
Примеры задач
Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y).
Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x2 – 9y2
Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x2 – y2.
Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x2 – y2 = (5x – y)(5x + y)
Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x2 + 5xy – 5xy – y2 = 25x2 – y2
Что такое разность квадратов
Определение
Разность квадратов двух чисел или выражений равняется сумме этих чисел/выражений, умноженной на их разность. То есть формула представляет собой разложение многочлена на множители:
a2−b2=(a+b)(a−b)
Важное условие:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
a2−b2≠(a−b)2
Доказательство формулы разности квадратов
Арифметическое доказательство
Чтобы подтвердить справедливость определения разности квадратов, рассмотрим правую часть уравнения.
Раскроем скобки и получим:
(a+b)(a−b)=a2+ab−ba−b2=a2−b2
Справедливость формулы доказана.
Геометрическое доказательство
Построим квадрат, сторона которого равна a, отсюда следует, что площадь S=a2.
Далее начертим внутри имеющегося правильного четырехугольника квадрат со стороной b, следовательно площадь (Sb) данной фигуры будет равна b2.
Продолжим любую прямую, на которой лежит сторона меньшего квадрата, до пересечения со стороной большего четырехугольника. В результате внутри исходного квадрата со стороной a имеем:
- квадрат со стороной b;
- прямоугольник, стороны которого равны а и (a−b);
- прямоугольник со сторонами b и (a−b).
Теперь найдем величину, которая останется при вычитание площади меньшего квадрата из площади большего. Как видим по чертежу, она равна площадям двух образовавшихся прямоугольников, то есть:
Sa−Sb=a(a−b)+b(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−b2
Формула доказана.
Применение формулы разности квадратов
Формула разности квадратов в алгебре может использоваться в двух видах случаев:
- при раскрытии скобок;
- при упрощении выражений.
Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки
Задача 1
Необходимо раскрыть скобки в выражении:
(left(15m-12nright)left(15m+12nright))
Возьмем 15m в качестве a, 12n — в качестве b, значит:
(left(a-bright)left(a+bright))
Исходя из формулы, запишем:
(left(a-bright)left(a+bright)=a^2-b^2)
Подставим в полученное выражение исходные переменные:
(a^2-b^2=left(15mright)^2-left(12nright)^2=225m^2-144n^2)
Стандартная ошибка прямого использования формулы заключается в следующем. Если в исходном выражении переместить в начало множитель со знаком плюс, при этом поменяв местами слагаемые, то получим:
(left(12n+15mright)left(15m-12nright))
В данном варианте записи зачастую происходит путаница с уменьшаемым и вычитаемым, то есть:
(left(12n+15mright)left(15m-12nright)neqleft(12nright)^2+left(15mright)^2)
Следует обратить внимание на множитель со знаком минус.
Задача 2
Раскройте скобки:
(left(4e+8fright)left(8f-4eright))
Возьмем 8f за a, 4e за b, тогда:
(left(4e+8fright)left(8f-4eright)=left(b+aright)left(a-bright))
Учитывая возможность совершения стандартной ошибки при использовании формулы сокращенного умножения (разности квадратов), обращаем внимание на второй множитель, выраженный разностью. Чтобы применить формулу, нам необходимо поменять местами слагаемые в первом множителе. Тогда получим:
(left(a+bright)left(a-bright)=a^2-b^2)
Выполним подстановку исходных переменных:
(left(8f+4eright)left(8f-4eright)=left(8fright)^2-left(4eright)^2=64f^2-16e^2)
Задача 3
Упростите выражение:
(frac{36x^2-4}{6x+2})
Видим, что числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
frac{36x^2-4}{6x+2}=frac{left(6x-2right)bcancel{left(6x+2right)}}{bcancel{left(6x+2right)}}=frac{left(6x-2right)}1=6x-2
Чтобы перемножить сумму и разность двух выражений, можно каждое выражение возвести в квадрат и найти их разность:
.
Так как:
a−b⋅a+b=a⋅a+a⋅b−b⋅a−b⋅b==a2+ab−ab−b2=a2−b2.
Пример:
представить произведение в виде многочлена:
6z−96z+9
.
Применим формулу квадрата разности:
.
Можно раскрыть скобки по правилу произведения многочленов, но вычисления будут более трудоёмкими:
6z−96z+9=6z⋅6z+6z⋅9−9⋅6z−9⋅9==36z2+54z−54z−81=36z2−81.
Разность квадратов, формула
Формула разности квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности и суммы этих переменных.
Найти, разность квадратов по формуле с калькулятором
Калькулятор
—
2
2
Разность квадратов примеры
1. (3x — 2y)(3x + 2y) = (3x)2 — (2y)2 = 9x2 — 4y2 ;
a = 3x ;
b = 2y ;
2. (4x7 — 2y3)(4x7 + 2y3) = (4x7)2 — (2y3)2 = 16x14 — 4y6 ;
a = 4x7 ;
b = 2y3 ;
3. 9x2 — 4y2 = (3x)2 — (2y)2 = (3x — 2y) (3x + 2y) ;
a = (3x)2 ;
b = (2y)2 ;
4. (9 + 7) (9 — 7) = 92 — 72 = 32 ;
a = 9 ;
b = 7 ;
- Одночлены
- Сложение и вычитание одночленов
- Умножение одночленов
- Умножение многочлена на одночлен
- Умножение многочлена на многочлен
- Сложение многочленов
- Сложение и вычитание многочленов
- Вычитание многочленов
- Деление одночлена на одночлен
- Деление многочлена на одночлен
- Квадрат многочлена
Степени- Возведение в степень
- Степень с натуральным показателем
- Свойства степени с натуральным показателем
- Таблица степеней натуральных чисел
- Разность степеней
- Возведение степени в степень
- Произведение степенеи?
- Деление степенеи?
- Деление степенеи? с одинаковым основанием
- Произведение степенеи? с одинаковым основанием
- Число в степени 0
Формулы сокращенного умножения- Квадрат суммы двух величин
- Квадрат разности двух величин
- Разность квадратов двух величин
- Куб суммы двух величин
- Куб разности двух величин
- Сумма кубов двух величин
- Разность кубов двух величин
- Разность четвертой степени двух величин
- Сумма пятой степени двух величин
- Разность пятой степени двух величин
- Сумма седьмой степени двух величин
- Разность седьмой степени двух величин
Прочие- Разложение многочлена на множители, способ группировки
Главная 
Алгебра Многочлены Разность квадратов двух величин
Квадрат суммы и разности
- Квадрат суммы
- Квадрат разности
- Разность квадратов
Квадрат суммы
Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.
Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2.
Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:
(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2.
Квадрат разности
Выражение (a — b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a — b)2 = (a — b)(a — b) = a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2.
Многочлен a2 — 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a2 — 5ab2)2.
Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:
(2a2 — 5ab2)2 = (2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2.
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:
(2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 — 20a3b2 + 25a2b4.
Разность квадратов
Выражение a2 — b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 — b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b)(a — b) = a2 + ab — ab — b2 = a2 — b2.
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a2 — b2 = (a + b)(a — b).
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
(5a2 + 3)(5a2 — 3).
Решение:
(5a2 + 3)(5a2 — 3) = (5a2)2 — 32 = 25a4 — 9.
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
(a + b)(a — b) = a2 — b2.
На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.