Как найти разность квадратов двух выражений

Формула квадрата суммы

Перемножим сумму и разность a и b:

$$ (a+b)(a-b) = a(a-b)+b(a-b) = a^2-ab+ab-b^2 = a^2-b^2$$

Мы получили формулу разности квадратов двух выражений:

$$ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $$

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.

ИЛИ:

$$a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$

Или наоборот:

$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$

Геометрическое объяснение

Примеры

Пример 1. Найдите произведение:

а) $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $

б) $ (3-z)(z+3) = (3-z)(3+z) = 9-z^2$

в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $

г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$

$= 0,49x^2-121+0,51x^2 = x^2-121 $

б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$

в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $

г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+

$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $

$= 74b^2-13a^2$

Пример 3. Разложите на множители:

а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$

б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$

в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$

г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$

Пример 4. Вычислите:

а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106cdot10 = 1060 $

б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200cdot64 = 12800 $

в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1cdot0,462 = 0,462 $

г) $(3 frac{1}{7})^2-(3 frac{6}{7})^2 = (3 frac{1}{7}+3 frac{6}{7})(3 frac{1}{7}-3 frac{6}{7}) = 7cdot(-frac{5}{7}) = -5$

Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.

$ frac{(3n+5)^2-16}{3} = frac{(3n+5)^2-4^2}{3} = frac{(3n+5-4)(3n+5+4)}{3} =$

$= frac{(3n+1)(3n+9)}{3} = frac{3(3n+1)(n+3)}{3} = (3n+1)(n+3)$

Что и требовалось доказать.

Что такое разность квадратов

a²−b²=(a+b)(a−b)

Важное условие:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

a²−b²≠(a−b)²

Доказательство формулы разности квадратов

Арифметическое доказательство

Чтобы подтвердить справедливость определения разности квадратов, рассмотрим правую часть уравнения.

Раскроем скобки и получим:

(a+b)(a−b)=a²+ab−ba−b²=a²−b²

Справедливость формулы доказана.

Геометрическое доказательство

Построим квадрат, сторона которого равна a, отсюда следует, что площадь S=a².

Далее начертим внутри имеющегося правильного четырехугольника квадрат со стороной b, следовательно площадь (S_b) данной фигуры будет равна b².

Продолжим любую прямую, на которой лежит сторона меньшего квадрата, до пересечения со стороной большего четырехугольника. В результате внутри исходного квадрата со стороной a имеем:

• квадрат со стороной b;
• прямоугольник, стороны которого равны а и (a−b);
• прямоугольник со сторонами b и (a−b).

Теперь найдем величину, которая останется при вычитание площади меньшего квадрата из площади большего. Как видим по чертежу, она равна площадям двух образовавшихся прямоугольников, то есть:

S_a−S_b=a(a−b)+b(a−b)=a²−ab+ba−b²=a²−b²

Формула доказана.

Применение формулы разности квадратов

Формула разности квадратов в алгебре может использоваться в двух видах случаев:

• при раскрытии скобок;
• при упрощении выражений.

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Задача 1

Необходимо раскрыть скобки в выражении:

(left(15m-12nright)left(15m+12nright))

Возьмем 15m в качестве a, 12n — в качестве b, значит:

(left(a-bright)left(a+bright))

Исходя из формулы, запишем:

(left(a-bright)left(a+bright)=a^2-b^2)

Подставим в полученное выражение исходные переменные:

(a^2-b^2=left(15mright)^2-left(12nright)^2=225m^2-144n^2)

Стандартная ошибка прямого использования формулы заключается в следующем. Если в исходном выражении переместить в начало множитель со знаком плюс, при этом поменяв местами слагаемые, то получим:

(left(12n+15mright)left(15m-12nright))

В данном варианте записи зачастую происходит путаница с уменьшаемым и вычитаемым, то есть: 

(left(12n+15mright)left(15m-12nright)neqleft(12nright)^2+left(15mright)^2)

Следует обратить внимание на множитель со знаком минус.

Задача 2

Раскройте скобки:

(left(4e+8fright)left(8f-4eright))

Возьмем 8f за a, 4e за b, тогда: 

(left(4e+8fright)left(8f-4eright)=left(b+aright)left(a-bright))

Учитывая возможность совершения стандартной ошибки при использовании формулы сокращенного умножения (разности квадратов), обращаем внимание на второй множитель, выраженный разностью. Чтобы применить формулу, нам необходимо поменять местами слагаемые в первом множителе. Тогда получим:

(left(a+bright)left(a-bright)=a^2-b^2)

Выполним подстановку исходных переменных:

(left(8f+4eright)left(8f-4eright)=left(8fright)^2-left(4eright)^2=64f^2-16e^2)

Задача 3

Упростите выражение:

(frac{36x^2-4}{6x+2})

Видим, что числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов:

frac{36x^2-4}{6x+2}=frac{left(6x-2right)bcancel{left(6x+2right)}}{bcancel{left(6x+2right)}}=frac{left(6x-2right)}1=6x-2

Содержание:

• Определение
• Геометрическая интерпретация

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство «читается» как слева
направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки равенства умножим
двучлен $a+b$
на $a-b$ : $(a+b)(a-b)=a^{2}-a b+b a-b^{2}=a^{2}-b^{2}$.

Геометрическая интерпретация

Приведем геометрическую интерпретацию формулы «разность квадратов». Пусть для определенности
$a>b>0$. Из квадрата со
стороной $a$ (его площадь
равна $a^{2}$) вырежем квадрат со стороной
$b$ (площади $b^{2}$),
как показано на рисунке слева. Тогда площадь оставшейся закрашенной фигуры равна $a^{2}-b^{2}$.

Теперь закрашенную фигуру изобразим как прямоугольник со сторонами $a+b$
и $a-b$ (рисунок справа). Площадь этого прямоугольника равна
$(a+b)(a-b)$. То есть получаем, что $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

Читать следующую тему: формула «куб суммы».

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a² – b²

Примечание: a² – b² ≠ (a – b)²

Доказательство формулы

Арифметическое

Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b).

Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a² + ab – ba – b² = a² – b².

Геометрическое

Изобразим квадрат с длиной стороны a, площадь которого равна a². В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b².

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета (a² – b²).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

• квадрат площадью b²;
• прямоугольник со сторонами a и (a-b);
• прямоугольник со сторонами b и (a-b).

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²

Примеры задач

Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y).

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x² – 9y²

Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x² – y².

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x² – y² = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x² + 5xy – 5xy – y² = 25x² – y²