Параллелограмм – это геометрическая фигура; четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
-
Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По двум сторонам и углу между ними
- По двум диагоналям и углу между ними
- Примеры задач
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:
S = a ⋅ b ⋅ sin α
По двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:
S = 1/2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin α
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь параллелограмма, если длина его стороны равняется 7 см, а высоты – 4 см.
Решение:
Используем первую формулу, в которой задействованы известные нам по условиям задания значения: S = 4 см * 7 см = 28 см2.
Задание 2
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, рассмотренную выше: S = 6 см * 8 см * sin 30° = 24 см2.
Задание 3
Найдите площадь параллелограмма с диагоналями, равными 4 и 6 см. Угол между ними составляет 90°.
Решение:
Воспользуемся формулой, в которой фигурируют диагонали: S = 1/2 * 4 см * 6 см * sin 90° = 12 см2.
Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллелограмма.
Остались вопросы?
Новые вопросы по предмету Математика
В этой статье будет раскрыта одна из математических тематик. Вы узнаете, как найти площадь параллелограмма. Данную тематику преподают в восьмом классе. Тем, кто не разобрался с ней, будет полезна эта статья.
Содержание
- Как найти площадь параллелограмма – свойства фигуры
- Расчет площади параллелограмма, если известны стороны, высота
- Расчет площади параллелограмма по диагоналям
- Расчет площади параллелограмма, если известны стороны, угол
- Видео: Площадь параллелограмма
В школе бывает так, что учитель объясняет урок, а дети не понимают. Потому дальше выходит, что ребенок не усваивает не только одну тему, а и те, что идут дальше. Особенно в геометрии. Ведь многие доказательства выводятся на основании правил и предыдущих теорем. Дальше узнаем, как найти площадь параллелограмма. Но изначально для того, чтобы узнать площадь, следует знать определение, что такое параллелограмм. Эта фигура представляет собой четырехугольник с параллельными сторонами и равными противоположными углами. Теперь давайте найдем площадь фигуры разными методами.
Как найти площадь параллелограмма – свойства фигуры
Итак, параллелограмм выглядит следующим образом:
Еще древнегреческий ученый математики Евклид описал несколько свойств данной фигуры в книге «Начала». А точнее две характеристики параллелограмма:
- фигуру можно сравнить и с прямоугольником, ведь все напротив лежащие стороны ее параллельны, равны, еще и пересекаются под углами 90°.
- также правило применимо и к квадрату, ромбу, отличие лишь в углах.
ВАЖНО: Прежде, чем приступить к доказательству, определимся с термином – площадь. Площадью называется размер самой фигуры, точнее плоскость занятая ею, что ограничивается самими сторонами данной фигуры.
Эти свойства недаром описаны выше, благодаря им будет легче узнать, как рассчитывать S – площадь фигуры.
Имеется несколько базовых формул, чтобы вычислить S – площадь параллелограмма:
- Когда даны: высота и длина параллелограмма
- Когда даны: длина одной и другой стороны фигуры, углы фигуры
- Когда даны: размеры обеих диагоналей, один из углов их пересечения.
Теперь о каждом из этих способов подробнее.
Расчет площади параллелограмма, если известны стороны, высота
Чтобы рассчитать величину S фигуры (площадь параллелограмма), следует знать все ее свойства. Выше уже были рассмотрены эти правила. Итак, первая формула – это нахождение площади фигуры по стороне и высоте. Пусть ВН – высота, а АВ – сторона. Высоту проводят на основание под углом 90º.
Выше предоставлено доказательство данной аксиомы. Из него видно, что S = a • h. Кстати, площадь измеряют в квадратных единицах.
S = АВ • ВН, для начала вывода теоремы следует рассмотреть треугольники, образовавшиеся в результате проведения высот к одному и тому же основанию. Они между собой будут равны. Ну и тогда площадь прямоугольника образовавшегося будет равна площади параллелограмма. А ранее было доказано, что в S прямоугольника = a • h. Именно поэтому и параллелограмм будет иметь такую же формулу для вычисления площади.
Расчет площади параллелограмма по диагоналям
Найти площадь параллелограмма можно различными методами. И этот вариант является распространенным. Для того, чтобы рассчитать S следует знать величину угла и длины диагоналей параллелограмма. Эта аксиома тоже важна в геометрии, зная ее вы с легкостью сможете решить задачи на контрольных и самостоятельных работах.
Для доказательства следует рассмотреть два равных треугольника, что получились при разделении параллелограмма на две части.
По трем сторонам. Значит и углы в этих треугольниках равны, смотрите рисунок выше. А площадь треугольника равняется половине произведения стороны a на высоту h. А высота в данных треугольниках – это и есть диагональ параллелограмма. Отсюда и выходит, что S параллелограмма равняется площади этих двух треугольников или 1/2 sin α на произведение диагоналей.
- S = 1/2 • sin α • d1 • d2
Что и требовалось найти.
Расчет площади параллелограмма, если известны стороны, угол
Если вы знаете чему равны длины обеих сторон, угол, то сможете найти и S параллелограмма. Площадь параллелограмма в этом случае равна:
- S = b • a • sin∠α.
Для того, чтобы доказать данную аксиому, достаточно по формулам найти высоту фигуры и подставить найденные данные в известную формулу параллелограмма.
По правилам геометрии, если рассматривать треугольники, то sin угла будет равен отношению противолежащего h – катета к гипотенузе. А вот катет, это и есть высота фигуры. Вот и выходит:
- sin β = h/a
Из этого равенства можно высчитать, чему равняется высота:
- h = sin β • a
Теперь остается подставить все элементы в формулу и выйдет следующее:
- S параллелограмма = h • b • sin β
Видео: Площадь параллелограмма
Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.
Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.
Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Классический параллелограмм выглядит вот так:
Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.
Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.
И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».
Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.
Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.
Формулы для расчета площади параллелограмма
Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:
- если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
- если известны длины сторон и углы между ними;
- если известны длины диагоналей и угол между ними.
Теперь о каждом из этих способов подробнее.
Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Возьмем для примера такой параллелограмм:
В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.
В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.
И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.
Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:
В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол
Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.
Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.
Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:
Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:
И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:
Как найти площадь параллелограмма через диагонали
Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.
В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:
Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.
Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.
{S = a cdot h}
Найти площадь параллелограмма
На этой странице вы можете рассчитать площадь параллелограмма с помощью калькулятора по трем формулам. Просто введите известные вам данные — основание, высоту, стороны, диагонали и углы между ними и получите ответ.
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Содержание:
- калькулятор площади параллелограмма
- формула площади параллелограмма через сторону и высоту
- формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
- формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
- примеры задач
Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
{S = a cdot h}
a — сторона параллелограмма
h — высота параллелограмма
Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
{S=a cdot b cdot sin(alpha)}
a, b — стороны параллелограмма
α — угол между сторонами a и b
Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2 cdot sin(alpha)}
d1, d2 — диагонали параллелограмма
α — угол между диагоналями
Примеры задач на нахождение площади параллелограмма
Задача 1
Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними 60 градусов.
Решение
Для решения задачи нам подойдет вторая формула, так как из условия нам известны стороны параллелограмма и угол между ними. Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S = a cdot b cdot sin(alpha) = 9 cdot 12 cdot sin(60) = 108 cdot sin(60) = 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2
Ответ: 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2
Мы можем проверить ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30 градусов.
Решение
Задача похожа на предыдущую, поэтому ее решение будет выглядеть аналогично.
S = a cdot b cdot sin(alpha) = 8 cdot 12 cdot sin(30) = 96 cdot sin(30) = 96 cdot 0.5 = 48 : см^2
Ответ: 48 см²
И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота проведенная к ней 8 см.
Решение
В этом случае нам известны сторона параллелограмма и высота, поэтому воспользуемся первой формулой.
S = a cdot h = 12 cdot 8 = 96 : см^2
Ответ: 96 см²
И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .