Как найти разность площадей кругов

Знаете ответ?

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Длина окружности. Площадь круга (Вольфсон Г.И.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке вы вспомните, что такое окружность и круг, а также некоторые их элементы. Кроме того, вы познакомитесь с числом и двумя новыми формулами: формулой длины окружности и формулой площади круга, научитесь применять их при решении задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Точность и округление»

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Определение сегмента круга

Сегмент — это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.

Онлайн-калькулятор площади сегмента круга

Находится эта фигура между хордой и дугой круга.

Хорда

Это отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.

При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — радиусы круга.

Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.

Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅aS=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a

RR — радиус круга;
ss — длина дуги;
hh — высота равнобедренного треугольника;
aa — длина основания этого треугольника.

Пример

Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.

Решение

R=5R=5
h=2h=2
s=10s=10

Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:

a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8a=2cdotsqrt{hcdot(2cdot R-h)}=2cdotsqrt{2cdot(2cdot 5-2)}=8

Теперь можно вычислить площадь сегмента:

S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅a=12⋅5⋅10−12⋅2⋅8=17S=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a=frac{1}{2}cdot 5cdot 10-frac{1}{2}cdot 2cdot 8=17 (см. кв.)

Ответ: 17 см. кв.

Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу

S=R22⋅(α−sin⁡(α))S=frac{R^2}{2}cdot(alpha-sin(alpha))

RR — радиус круга;
αalpha — центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах.

Пример

Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.

Решение

R=7R=7
α=30∘alpha=30^{circ}

Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку πpi радиан равен 180 градусов, то:
30∘=30∘⋅π180∘=π630^{circ}=30^{circ}cdotfrac{pi}{180^{circ}}=frac{pi}{6} радиан. Тогда площадь сегмента:

S=R22⋅(α−sin⁡(α))=492⋅(π6−sin⁡(π6))≈0.57S=frac{R^2}{2}cdot(alpha-sin(alpha))=frac{49}{2}cdotBig(frac{pi}{6}-sinBig(frac{pi}{6}Big)Big)approx0.57 (см. кв.)

Ответ: 0.57 см. кв.

Не знаете, как выполнить работу с нахождением площади сегмента круга? Наши эксперты помогут вам решить контрольную по геометрии онлайн!

Тест по теме «Площадь сегмента круга»

Площадь круга, сектора

Разделим окружность на возможно большее число равных частей, все полученные точки деления соединим с центром окружности, а соседние — друг с другом хордами.

Таким образом получим ряд равных равнобедренных треугольников (черт. 339).

Площадь каждого треугольника равна ah /₂, где а — основание его, h — высота.

Обозначив через S&#146 сумму площадей всех полученных треугольников, получим формулу:

Сумма площадей всех треугольников (S&#146) весьма близка к площади круга (S), сумма оснований всех треугольников (an) весьма близка к длине окружности (C), а высота (h) каждого треугольника весьма близка к радиусу (r) круга.

Если пренебречь незначительными различиями в размерах, то получим формулу площади круга:

После преобразования получим ( S_ = frac ), или S_кр = π r 2 ; а обозначив через D диаметр круга, получим:
$$ S_ = frac $$

Примечание. В формуле (S_ = frac) поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах доказывается, что равенство (S_ = frac) не приближённое, а точное.

Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник.

Пусть площадь этого многоугольника будет q, периметр — р, апофема — а.

По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:

Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину C окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному 1 /₂С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:

т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.

Так как С = 2πR, то

т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.

Следствие. Площади кругов относятся, как квадраты радиусов или диаметров.

Действительно, если K и K₁ будут площади двух кругов, a R и R₁ — их радиусы, то

Площадь сектора

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На чертеже 340 сектор AOB заштрихован.

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Получаем формулу:
$$ S = frac $$ где S — площадь сектора.

Почему площади кругов относятся как квадраты их радиусов?

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

—->Площади кругов относятся как квадраты их радиусов<—-

Поскольку радиус большего круга в 5 раза больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга в 25 раз больше площади меньшего. Следовательно, она равна 300. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 300 − 12 = 288.
(P.S) Мне в гугле выдало только Киселёва, но там ничего не понял, а в моём учебнике нету, давно было.

Существует квадрат со стороной 2R, в который вписывается круг радиусом R.
При этом круг всегда занимает конкретную долю площади квадрата, равную п/4.

Площадь квадрата равна произведению его сторон:
Sкв = 2R • 2R = 4R²

Площадь круга равна известной доле от площади квадрата:
Sкр = п/4 • Sкв = п/4 • 4R² = пR²

Итак, мы видим, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса.