Как найти разность потенциалов кольца

2018-05-14   

Имеются два тонких проволочных кольца радиуса $R$ каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны $q$ и $-q$. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние $a$.

Решение:

Расположение колец показано на рисунке. Тогда потенциал в точке 1, $phi_{1}$ = потенциал в точке 1 от кольца 1 + потенциал в точке 1 от кольца 2.

$= frac{q}{4 pi epsilon_{0}R } + frac{-q}{4 pi epsilon_{0} sqrt{R^{2} + a^{2} } }$

Аналогично, потенциал в точке 2,

$phi_{2} = frac{- q}{4 pi epsilon_{0}R } + frac{q}{4 pi epsilon_{0} sqrt{R^{2} + a^{2} } }$

Следовательно, искомая разность потенциалов,

$phi_{1} — phi_{2} = Delta phi = 2 left ( frac{q}{4 pi epsilon_{0}R } + frac{- q}{4 pi epsilon_{0} sqrt{R^{2} + a^{2} } } right ) = frac{q}{2 pi epsilon_{0}R } left ( 1 — frac{1}{ sqrt{1 + (a/R)^{2} } } right )$

Условие задачи:

По тонкому проволочному кольцу радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10^-9 Кл. Определить разность потенциалов между центром кольца и точкой, находящейся на оси кольца на расстоянии 4 см от центра.

Задача №6.3.60 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(R=3) см, (Q=10^{-9}) Кл, (L=4) см, (Delta varphi – ?)

Решение задачи:

Поскольку заряд (Q) распределен равномерно по кольцу, а не сосредоточен в точке, то задачу будем решать следующим образом. Разобьём кольцо на (N) одинаковых частей, причём (N) – достаточно большое число. Тогда каждая часть будет содержать некоторый точечный заряд (Delta q_i), причем, очевидно, что сумма всех этих точечных зарядов равна (Q), то есть справедливо следующее:

[Q = sumlimits_{i = 1}^N {Delta {q_i}} ;;;;(1)]

Каждый такой точечный заряд будет создавать в центре кольца потенциал (varphi_{i1}), который можно найти по формуле:

[{varphi _{i1}} = frac{{kDelta {q_i}}}{R};;;;(2)]

Так как потенциал – величина скалярная, то потенциал (varphi_{1}) в центре кольца, создаваемый всем зарядом (Q), распределённым по кольцу, будем искать по формуле:

[{varphi _1} = sumlimits_{i = 1}^N {{varphi _{i1}}} ]

Принимая во внимание формулу (2), имеем:

[{varphi _1} = sumlimits_{i = 1}^N {frac{{kDelta {q_i}}}{R}} = frac{k}{R}sumlimits_{i = 1}^N {Delta {q_i}} ]

Учитывая (1), получим:

[{varphi _1} = frac{{kQ}}{R}]

В принципе, выполнив аналогичные рассуждения, Вы можете найти потенциал (varphi_{2}) в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии (L) от центра. Разница лишь в том, что теперь каждый точечный заряд (Delta q_i) будет находиться от точки, в которой нужно найти потенциал, на неком расстоянии (r), которое можно определить по теореме Пифагора (смотрите схему):

[r = sqrt {{L^2} + {R^2}} ]

Тогда:

[{varphi _2} = frac{{kQ}}{r}]

[{varphi _2} = frac{{kQ}}{{sqrt {{L^2} + {R^2}} }}]

В итоге искомую разность потенциалов (Delta varphi) можно найти так:

[Delta varphi = {varphi _1} – {varphi _2}]

[Delta varphi = frac{{kQ}}{R} – frac{{kQ}}{{sqrt {{L^2} + {R^2}} }}]

[Delta varphi = frac{{kQleft( {sqrt {{L^2} + {R^2}} – R} right)}}{{Rsqrt {{L^2} + {R^2}} }}]

Посчитаем численный ответ (при подстановке значений величин в формулу не забывайте переводить их в систему СИ):

[Delta varphi = frac{{9 cdot {{10}^9} cdot {{10}^{ – 9}} cdot left( {sqrt {{{0,04}^2} + {{0,03}^2}} – 0,03} right)}}{{0,03 cdot sqrt {{{0,04}^2} + {{0,03}^2}} }} = 120;В]

Ответ: 120 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.59 Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого
6.3.61 Какую работу необходимо совершить, чтобы три одинаковых точечных положительных
6.3.62 В центре закрепленной полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной

Задание:

Имеются два тонких проволочных кольца радиусом R = 30 см каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и –q, соответственно. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящих друг от друга на расстоянии L= 52 см, если q = 0,4 мкКл.

Решение:

Соседние файлы в предмете Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #