Как найти разность потенциалов в треугольнике

Содержание:

Трехфазные цепи:

Многофазной системой называется совокупность электрических цепей, называемых фазами, в которой действуют синусоидальные напряжения одной частоты, отличающиеся друг от друга по фазе. Чаще всего применяются симметричные многофазные системы, напряжения которых равны по величине и сдвинуты по фазе на угол

Трехфазная система

Наибольшее распространение имеет трехфазная система, созданная русским ученым М. О. Доливо-Добровольским (1891 г.); он изобрел и разработал все звенья этой системы — генераторы, трансформаторы, линии передачи и двигатели трехфазного тока.

Простейший трехфазный генератор (рис. 12.1) подобен рассмотренному в  источнику однофазного напряжения; он состоит из трех одинаковых плоских витков или катушек, называемых фазами генератора, вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитных линий. В каждой фазе следует различать начало и конец. Считая, что все катушки намотаны в одном направлении, например по часовой стрелке, можно принять за начало начальный зажим катушки или, наоборот, конечный, но принятое условие должно быть одинаковым для всех фаз. Цепи нагрузки подключаются к генератору с помощью щеток, наложенных на кольца, соединенные с катушками аналогично рис. 6.1 (на рис. 12.1 они не показаны).

Три фазы трехфазного генератора расположены под углом друг к другу; первой, или фазой А, можно назвать любую из трех фаз, второй — фазу В, начало которой H_B сдвинуто в пространстве относительно начала первой Н_А на угол против направления вращения, третьей — фазу С, начало которой Н_c сдвинуто относительно начала второй H_B также на в том же направлении.

При вращении в фазах будут индуктироваться э. д. с.; период Т этих э. д. с. обороту. Катушки одинаковы, поэтому (амплитуды) э. д. с. фаз будут также одинаковы. Так как фазы сдвинуты друг относительно друга в пространстве на угол , т. е. на 1/3 полного оборота, их э. д. с. будут сдвинуты во времени на Т/3 — треть периода, что соответствует фазному сдвигу, равному:

Если за начальный взять момент времени, когда плоскость первой катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции (см. рис. 12.1), э. д. с. (отсчитываемая, например, от конца к началу)

и э. д. с. двух других катушек (отсчитываемые в том же направлении), отставая по фазе на углы и 2•, будут равны:

Комплексный множитель

является оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении. Тогда

Следовательно,

т. е. сумма векторов симметричной системы равна нулю. Это значит, что равна нулю в любой момент времени и алгебраическая сумма мгновенных значений, что можно видеть и из рис. 12.2, если взять сумму ординат трех синусоид для любой абсциссы.

Если в цепь каждой фазы генератора включить одинаковые по величине и характеру сопротивления (рис. 12.4), то токи фаз будут равны по величине и сдвинуты по фазе относительно своих напряжений на один и тот же угол ϕ:

Они также образуют трехфазную симметричную систему векторов.

При неодинаковой нагрузке фаз максимальные значения токов и фазные сдвиги будут различны, и система токов будет несимметричной.

В электроизмерительной технике и автоматике применяется также двухфазная система, векторная диаграмма э д. с. которой показана на рис. 12.5. Хотя э. д. с. по величине равны, двухфазная система несимметрична, так как сумма

Показанная на рис. 12.4 несвязанная трехфазная система, при которой отдельные фазы не соединены между собой, на практике не применяется — генераторы и приемники связывают или в звезду, или в треугольник.

Соединение звездой

При соединении генератора звездой вместе соединяются концы фаз, образуя нулевую (нейтральную) точку 0. К началам фаз генератора с помощью трехпроводной линии передачи присоединяется приемник. Если последний также соединен звездой, нулевые точки генератора и приемника могут быть соединены нулевым (нейтральным) проводом (рис. 12.6).

Различают величины, относящиеся к фазам генератора и приемника — фазные напряжения и токи, и к линейным проводам — линейные напряжения и токи. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами генератора и приемника, линейные токи в звезде равны соответствующим фазным токам.

Для получения симметричных соотношений между величинами следует выбирать положительные направления токов во всех фазах единообразно; обычно направляют токи от генератора к приемнику (см. рис. 12.6), т. е. в сторону движения энергии. В соответствии с аналогом закона Ома положительные направления фазных напряжений совпадают с направлением токов. Положительные направления линейных напряжений могут быть выбраны произвольно, а также единообразно. Произволен также выбор направления тока на нулевом проводе.

Если выбрать направление тока в нулевом проводе от нулевой очки приемника к нулевой точке генератора (см. рис. 12.6), мгновенное значение i_N и комплекс I_N этого тока в общем случае будут:

На рис. 12.7, а изображена диаграмма фазных напряжений на фиемнике в соответствии с принятым на рис. 12.6 направлением гоков, сходящихся в нулевой точке О’ приемника.

Эта диаграмма называется топографической, так как ее точкам А, В, С, О’ соответствуют одноименные точки цепи. Векторы и комплексные линейные напряжения направлены, как это обычно принято, от точки, соответствующей первому индексу, к точке, соответствующей второму индексу; линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений:

а их мгновенные значения

Из этих соотношений вытекает, что сумма линейных напряжений равна нулю.

Топографическая векторная диаграмма рис. 12.7, а, в которой векторы фазных напряжений сходятся в одной точке, соответствующей нулевой точке приемника, обычно заменяется диаграммой рис. 12.7, б, где эти векторы выходят из этой же точки; так как при этом все векторы фазных и линейных напряжений изменяют свои направления на обратные, приведенные выше соотношения между напряжениями сохраняются.

При симметричной системе фазных напряжений векторы линейных напряжений образуют равносторонний треугольник; нулевая точка совпадает с его центром тяжести (рис. 12.8) и линейное напряжение

г. е. по абсолютной величине линейные напряжения в раз больше разных.

Далее сначала рассматриваются цепи без взаимной индукции между фазами и между фазами и нулевым проводом.

В звезде с нулевым проводом (см. рис. 12.6), если пренебречь его сопротивлением (Z_N = 0), а также сопротивлением, линейных проводов, фазные напряжения приемника будут, очевидно равны фазным напряжениям генератора; их векторные диаграммы совпадут (см. рис. 12.7, б). Следовательно, фазные комплексные токи будут определяться фазными комплексными напряжениями генератора и комплексными сопротивлениями или проводимостями тех же фаз приемника:

т. е. соединение звездой с нулевым проводом без сопротивления обеспечивает независимую работу фаз.

При симметричной системе фазных напряжений и одинаковой нагрузке фаз система фазных токов будет симметричной и ток I_N нулевого провода, равный сумме токов, будет также равен нулю независимо от величины сопротивления этого провода.

В звезде с нулевым проводом, имеющим сопротивление Z_N в общем случае, когда между нулевыми точками генератора и приемника возникает узловое напряжение что вызывает на векторной диаграмме (рис. 12.9) смещение точки О’, соответствующей нулевой точке приемника, относительно точки 0, соответствующей нулевой точке генератора. То, что вектор на рис. 12.9 направлен от 0 к О’, т. е. против направления I_N, объясняется указанным выше изменением направления векторов всех напряжений (см. рис. 12.7, а и б). В соответствии с методом узловых напряжений 

где —фазные напряжения генератора; — проводимости фаз, Y_N — проводимость нулевого провода.

В звезде без нулевого провода Y_N =0 и

Фазные напряжения на приемнике и токи (см. рис. 12.9):

Выражения для узлового напряжения показывают, что будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе; вместе с будут изменяться напряжения всех фаз приемника, а следовательно, и все токи. Таким образом, звезда без нулевого провода, а также звезда с нулевым проводом, имеющим сопротивление, не обеспечивает независимой работы фаз.

В случае звезды без нулевого провода фазные напряжения на приемнике могут быть выражены через линейные напряжения:

Выражения для можно получить, пользуясь круговой перестановкой индексов:

Приведенный вывод выражений для фазных напряжений на приемнике через фазные или линейные напряжения генератора справедлив для общего случая несимметричных систем фазных и линейных напряжений.

Примером неодинаковой нагрузки фаз может служить прибор для определения порядка следования фаз (рис. 12.10). Он представляет собой три одинаковые по величине проводимости, соединенные в звезду, — две лампы накаливания и конденсатор; тогда, считая, что проводимости ламп линейны,

где а — абсолютное значение проводимостей. При симметричной системе фазных напряжений генератора, если вектор U_А направлен по оси вещественных величин (U_A = U), узловое напряжение

Тогда комплексные напряжения на лампах будут:

На рис. 12.9 показана векторная диаграмма для рассматриваемой цепи. Векторы токов совпадают по фазе с напряжениями ток I_B опережает напряжение U_в по фазе на π/2.

Действующие значения напряжений на лампах и их отношение будут:

Поэтому лампа, включенная в фазу С, будет светиться ярче лампы, включенной в фазу А, т. е. фазы следуют друг за другом в следующем порядке: яркая лампа, тусклая лампа, конденсатор.

При индуктивных связях между фазами приемника и между его фазами и нулевым проводом должны быть учтены э. д. с. взаимной индукции. Так, например, для соединения звездой с нулевым проводом или без него по схеме рис. 12.11, а при взаимной индукции только между фазами уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы А приемника будет иметь вид:

уравнения для второй и третьей фаз можно получить путем круговой перестановки индексов А, В, С.

Если нагрузка фаз одинакова, т. е.

(12.1)

Если, кроме того, нулевой провод отсутствует или при его наличии система фазных напряжений симметрична, то сумма токов 1_А + 1_в + 1_С=0, и уравнение (12.1) получит вид:

г. е. в этом случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, б без индуктивных связей, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Для дальнейшего представляет интерес случай, когда есть нулевой провод, а все фазные напряжения генератора равны между собой и совпадают по фазе: (так называемая нулевая система); тогда, очевидно, все токи также будут равны между собой:

и уравнение (12.1) получит вид:

Это значит, что в данном случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, в без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L + 2М. Ток нулевого провода будет, очевидно, равен 3I.

Соединение треугольником

Чтобы соединить генератор в треугольник, нужно связать конец каждой фазы с началом следующей; в результате фазы генератора образуют замкнутый контур. При таком соединении симметричного генератора с отключенной нагрузкой (рис. 12.12) ток внутри него не возникает, так как сумма его э. д. c., образующих симметричную систему, равна нулю.

Соединив приемник также в треугольник (рис. 12.13), можно видеть, что фазные напряжения генератора и приемника одновременно являются и линейными, линейные же токи — отличны от фазных токов Для получения симметричных соотношений между линейными и фазными токами следует выбирать их положительные направления единообразно. Для всех линейных токов обычно выбирается направление от генератора к приемнику, для фазных — по направлению обхода контура, например, против часовой стрелки для приемника (рис. 12.13). Тогда по первому закону Кирхгофа для приемника получаются следующие соотношения для мгно венных значений и комплексных токов:

Для генератора соотношения между линейными и фазными токами аналогичны. Таким образом, линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов.

Из полученных соотношений видно, что сумма линейных токов равна нулю:

Для симметричной системы фазных токов (рис. 12.14)

т. е. по абсолютной величине линейные токи в раз больше фазных.

Токи в фазах приемника будут определяться линейными напряжениями и сопротивлениями или прово-димостями фаз приемника:

По приведенным соотношениям фазных токов могут быть определены линейные токи.

Если пренебречь сопротивлением проводов, напряжения генератора будут равны напряжениям приемника и фазы будут работать независимо друг от друга: всякое изменение сопротивления какой-либо фазы приемника вызовет изменение тока этой фазы и токов двух примыкающих к этой фазе линейных проводов, но никак не отразится на токах других фаз.

Если сопротивление линейных проводов не равно нулю (рис. 12.15, а), то из-за падения напряжения в них треугольник не обеспечивает независимой работы фаз. Изменение, например, сопротивления фазы АВ вызовет изменение фазного тока I_AB, а следовательно, и линейных токов I_А и I_B. При этом изменятся падения напряжения в линейных проводах А и В, что при неизменных линейных напряжениях на зажимах генератора вызовет изменение напряжений на всех трех фазах приемника; следовательно, должны измениться также токи тех фаз, сопротивление которых оставалось неизменным.

Для расчета цепи рис. 12.15, а при заданных линейных напряжениях, помимо методов уравнений Кирхгофа, наложения, контурных токов и узловых напряжений, при отсутствии взаимной индукции можно применить метод преобразования. Треугольник Z_AB, Z_BC. Z_CA преобразуют в эквивалентную звезду Z_A, Z_B, Z_c по формулам, соответствующим (рис. 12.15, б):

Объединяя в каждой фазе сопротивление линии и приемника, приводят схему к звезде (рис. 12.15, в), после определения токов которой возвращаются к цепи рис. 12.15, б, находя фазные и линейные напряжения на звезде Z_A, Z_B, Z_c, а затем — к исходному треугольнику (см. рис. 12.15, а), чтобы найти его фазные токи.

Приведенные выше выражения для расчета соединения треугольником справедливы для общего случая несимметричной системы напряжений генератора.

При наличии взаимной индукции, одинаковой нагрузке фаз и симметричной системе напряжений (рис. 12.16, а) система фазных токов будет также симметричной, тогда

и уравнение по второму закону Кирхгофа примет вид:

т. е. в этом случае цепь рис. 12.16, а эквивалентна схеме рис. 12.16, б без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Мощность трехфазных систем и ее измерение

Мгновенная мощность трехфазной системы, как и всякой сложной цепи, равна сумме мощностей отдельных приемников, т. е. сумме мощностей фаз. Мгновенная мощность симметричной и одинакова нагруженной трехфазной системы

Сумма трех косинусоид, сдвинутых по фазе на угол равна нулю, в чем можно убедиться, построив и сложив векторы, изображающие эти функции. Следовательно,

т. е. мгновенная мощность симметричной одинаково нагруженной трехфазной системы постоянна, тогда как мощность однофазной системы изменяется во времени с двойной частотой по сравнению с частотой напряжения и тока.

Многофазная система, мгновенная мощность которой постоянна, называется уравновешенной. Интересно отметить, что несимметричная двухфазная система с равными напряжениями (см. рис. 12.5) в случае одинаковой нагрузки фаз также является уравновешенной:

Из-за уравновешенности трехфазные и двухфазные двигатели имеют постоянный вращающий момент, тогда как момент однофазных двигателей пульсирует с двойной частотой.

Выражение для мощности уравновешенной трехфазной системы может быть преобразовано. В симметричной звезде

В симметричном треугольнике

В обоих случаях выражения для мощности получились одинаковыми.

Для измерения мощности трехфазной симметричной и одинаково нагруженной системы достаточен один ваттметр, включенный в одну из фаз и измеряющий ее мощность. Аналогично включается однофазный счетчик электрической энергии, Для получения мощности и, соответственно, энергии трехфазной системы показания этих приборов следует утроить.

В общем случае несимметричной системы и неодинаковой нагрузки мгновенная мощность р есть величина переменная, т. е. такая система является неуравновешенной. Средняя мощность этой системы равна сумме средних мощностей отдельных фаз:

Следовательно, средняя мощность в данном случае может быть измерена тремя ваттметрами, включенными в каждую фазу, как это показано на рис. 12.17, а, для звезды с нулевым проводом (точками обозначены условные «начала» параллельных и последовательных цепей ваттметров).

В случае трех проводной системы можно ограничиться двумя ваттметрами, включенными так, как показано на рис. 12.17, б для измерения средней мощности трехфазной системы, соединенной треугольником. Мгновенные мощности, усредняемые первым и вторым ваттметрами, соответственно равны:

Так как сумма этих мощностей

При переходе к средним мощностям получается, что сумма показаний ваттметров

т. е. равна мощности системы. Вывод справедлив и для звезды без нулевого провода, так как она может быть заменена эквивалентным треугольником.

Реактивная и полная мощности симметричной и одинаково нагруженной трехфазной системы равны суммам соответствующих мощностей всех фаз:

В общем случае несимметричной и неодинаково нагруженной трехфазной системы суммирование реактивных и полных мощностей фаз не дает величин, характерных для нагрузки генератора в целом, как это было в однофазной цепи с одним источником энергии. Предлагаемые в литературе определения реактивной и полной мощностей трехфазной несимметричной и неодинаково нагруженной системы чисто условны и потому здесь не рассматриваются.

Сравнение трехфазных и однофазной cиcтем

Сопротивление линейных и нулевого проводов, соединяющих генератор и приемник, обычно мало по сравнению с сопротивлением фаз приемника, и выводы, сделанные по поводу независимости работы фаз при соединении звездой и треугольником, можно обобщить следующим образом:

1. в звезде с нулевым проводом и в треугольнике токи фаз практически мало зависят друг от друга и поэтому эти схемы следует применять при неодинаковой нагрузке фаз;
2. звезда без нулевого провода может применяться только при одинаковой нагрузке фаз.

Необходимо отметить, что схема соединений генератора и приемника может быть различной, и один из них может быть соединен треугольником, другой — звездой без нулевого провода.

Представляет интерес сравнение расхода металла с удельным сопротивлением р на провода однофазной и трехфазной линий передачи (рис. 12.18) той же мощности Р на то же расстояние l при одинаковом cosϕ и том же к. п. д., т. е. тех же потерях в линии Р_л = kP, где k — относительная потеря мощности, и одинаковом линейном напряжении U.

Для однофазной двухпроводной линии (рис. 12.18, а) Р = UI₀ cosϕ; отсюда ток I₀, потери Р_л и сопротивление r₀ одного провода:

Следовательно, сечение s₀ и объем V₀ проводов соответственно равны:

Отсюда видно, что формула для сечения двухпроводной линии переменного тока отличается от аналогичной формулы для линии постоянного тока  наличием множителя в знаменателе, приводящему к тем большему увеличению расхода металла, чем ниже коэффициент мощности .

Для трехфазной трехпроводной линии (рис. 12.18, б и в) и аналогично

а сечение s_T и объем V_T проводов:

В знаменателе этих выражений также присутствует множитель .

Из формул для s₀ и s_T видна эффективность высокого напряжения и большого коэффициента мощности — сечения обратно пропорциональны квадратам этих величин. Вместе с тем очевидно, что стоимость изоляции проводов растет с ростом напряжения. В результате экономически оптимальное напряжение U оказывается тем выше, чем больше передаваемая мощность Р и длина l линии.

Соотношение объемов металла линий: однофазной двухпроводной V₀ и трехфазных —- трехпроводной V_r и четырехпроводной с нулевым проводом половинного сечения (рис. 12.18, г) будет

Таким образом, при одинаковом линейном напряжении звезда без нулевого провода и треугольник, очевидно, дают одинаковый расход металла на линию передачи и экономию в 25% по сравнению с однофазной линией, а нулевой провод половинного сечения вызывает перерасход металла, но все же система остается легче однофазной на 12,5%.

Соединение звездой с нулевым проводом имеет важное преимущество: помимо трехфазных приемников, рассчитанных на линейное напряжение, оно позволяет включать однофазные приемники и на линейное, и на фазное напряжение.

Если приемники работают при одинаковом фазном напряжении, линейное напряжение звезды будет в раз больше, чем треугольника, что уменьшит расход металла в 3 раза.

Основным преимуществом трехфазной системы по сравнению с однофазной является возможность легко создавать вращающееся магнитное поле, используемое, в частности, в трехфазных асинхронных двигателях, наиболее простых по конструкции и в эксплуатации.

Пульсирующее и вращающееся магнитные поля

Электрические индуктивные машины переменного тока в большинстве случаев имеют магнитопровод в виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и разделенных воздушным зазором (рис. 12 19). Внешний цилиндр S является статором, внутренний R — ротором.

Если по обмотке статора, уложенной в его пазы н распределенной на части, например одной трети его окружности (рис. 12.19), будет проходить постоянный ток, магнитный поток, замыкающийся через статор, воздушный зазор и ротор будет постоянным. Приближенно магнитную индукцию можно считать распределенной по окружности статора по синусоидальному закону (сплошная линия на рис. 12.20); она имеет максимальные значения В_m по оси обмотки и равна нулю на нейтральной линии, перпендикулярной к оси обмотки. Такое синусоидально распределенное в зазоре машины поле можно условно изобразить постоянным вектором В_m (рис. 12.21), аналогично тому, как ранее это было сделано для величин, изменяющихся по синусоиде во времени.

Если по обмотке статора пропускать переменный ток, синусоидальное распределение магнитного поля сохранится, но поле будет пульсирующим, т. е. изменяющимся во времени по синусоидальному закону (см. рис. 12.20). Принимая за начало счета времени момент, когда индукция по оси обмотки максимальна, пульсирующее поле можно условно изобразить вектором Согласно формуле Эйлера,

(12.2)

Это значит, что пульсирующее синусоидально распределенное поле может быть представлено в виде суммы двух также синусоидально распределенных полей , постоянных во времени, но вращающихся с угловой скоростью ω в разные стороны; последнее видно из противоположных знаков показателей степени множителей вращения. Поле , вращающееся в положительном направлении вращения векторов, называется прямым, поле — обратным. Вращающиеся векторы, условно изображающие эти поля, на рис. 12.21 показаны для момента начала счета времени.

Разложение пульсирующего поля на два вращающихся используется, например, в однофазных двигателях, где прямое поле, воздействуя на ротор, приводит его во вращение, а обратное поле экранируется.

В трехфазных машинах на статор наложены три обмотки, показанные в разрезе на рис. 12.22, занимающие каждая треть его окружности; следовательно, эти обмотки и их оси сдвинуты в пространстве на угол 2π/3. Обмотки обтекаются токами, векторы которых образуют симметричную трехфазную систему. Тогда выражение для поля первой фазы А совпадает с выражением (12.2) при том же начале счета времени

Пусть обмотка, обтекаемая током второй фазы В, т. е. током, отстающим от тока первой фазы на угол 2π/3, сдвинута в пространстве вперед по направлению вращения прямого поля на тот же угол, что учитывается множителем . Тогда выражение для поля фазы В получает вид:

Аналогично записывается поле третьей фазы С, но так как она обтекается током, опережающим по фазе ток фазы А на угол 2π/3, и сдвинута в пространстве на тот же угол назад, знаки всех углов 2π/3 изменяются на обратные.

Результирующее поле определяется наложением полей всех трех фаз:

Отсюда видно, что все прямые поля трех обмоток арифметически складываются, тогда как обратные поля в сумме дают нуль и в машине возникает вращающееся поле, постоянное во времени. Амплитуда вращающегося поля в полтора раза превышает амплитуду пульсирующего поля отдельных обмоток, а фаза совпадает с фазой прямого поля обмотки первой фазы А.

В трехфазных двигателях вращающееся поле также используется для приведения во вращение ротора; из-за постоянства мощности в трехфазных системах и, следовательно, вращающего момента, а также отсутствия обратного поля эти двигатели имеют значительное преимущество перед однофазными.

Основы метода симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные, в частности, аварийные режимы в трехфазных системах и машинах. До предложения этого метода для таких расчетов надо было решать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами или оперировать с сопротивлениями, зависящими от токов.

В общем случае симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по величине векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол где k — любое целое число. Система (рис. 12.23, a), у которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется прямой системой.

Симметричные системы линейных и фазных напряжений и токов, рассмотренные выше, были именно прямыми системами. Система (рис. 12.13, в), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет обратный порядок следования фаз и называется обратной системой. Система векторов совпадающих по фазе (т. е. β = 0) называется нулевой системой (рис. 12.23, б).

Система векторов, сдвинутых по фазе на угол является также прямой системой и т. д. Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем сводится к трем системам, изображенным на рис. 12.23.

Пользуясь оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении и приняв за основные вектор A₁ прямой системы, вектор A₂ обратной системы и вектор A₀ нулевой системы, через них можно выразить остальные векторы:

(12.3)

Пусть задана несимметричная система трех векторов А, В, С. Далее доказывается, что каждый вектор этой системы может быть представлен в виде суммы трех векторов, являющихся составляющими прямой, обратной и нулевой систем:

(12.4)

Подстановка уравнений (12.3) в уравнения (12.4) дает:

(12.5)

Система уравнений (12.5) решается относительно А₀, А₁, A₂ однозначно:

(12.6)

Отсюда и следует, что несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные системы.

Из первого уравнения системы (12.6) видно, что если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, будут равны нулю и векторы нулевой системы. Следовательно, несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только прямую и обратную составляющие.

Определение симметричных составляющих несимметричной системы векторов по выражениям (12.6) может быть выполнено также графически. Пусть задана несимметричная система векторов фазных напряжений (рис. 12.24, а). Во все три суммы напряжений (см. систему 12.6) вектор U_А входит без изменений, а векторы U_в и U_с во второй и третьей суммах повернуты на угол 2π/3 или 4π/3. Следует начертить вектор U_B, из его конца (т. е. стрелки) — вектор U_A, а из конца U_А — вектор U_с (рис. 12.24, б). Если вектор U в повернуть на угол 2π/3 и 4π/3 вокруг его конца, примыкающего к началу вектора U_А, а вектор U_с — вокруг начала, совпадающего с концом вектора U_А, суммы векторов по выражениям (12.6) будут равны утроенным искомым векторам:

Далее очевидным построением определяются все векторы трех симметричных систем.

Аналогично производится разложение несимметричной системы токов.

Симметричные составляющие несимметричной трехфазной системы напряжений и токов могут быть определены экспериментально. Например, для измерения нулевой составляющей системы фазных напряжений надо однообразно включить на фазные напряжения трансформаторы малой мощности, вторичные обмотки которых и вольтметр соединяются последовательно (рис. 12.25). Тогда, считая для простоты, что у трансформаторов коэффициент трансформации напряжения равен единице, суммарное напряжение, измеряемое вольтметром,

т. е. пропорционально напряжению нулевой системы.

Для измерения напряжения прямой последовательности (рис. 12.26) трансформаторы включаются на одинаковые по величине полные сопротивления z — трансформатор фазы А на активное сопротивление Z_A=r, фазы В на активно-индуктивное сопротивление , фазы С — на активно-емкостное сопротивление . Чтобы вторичные токи трансформаторов В и С были сдвинуты по фазе относительно напряжений на дополнительные до π углы — соответственно , что соответствует умножению на операторы вторичные обмотки этих трансформаторов включаются так, как показано на рис. 12.26.

Цепи нагрузок всех трех трансформаторов соединяются параллельно и замыкаются на амперметр. Последний измеряет суммарный ток

пропорциональный напряжению U₁ системы прямой последовательности.

Если поменять местами нагрузки фаз В и С, суммарный ток

будет пропорционален напряжению U₂ системы обратной последовательности.

Рассмотренные схемы называются фильтрами симметричных составляющих. Они применяются в схемах защиты трехфазных энергетических систем от аварийных режимов, вызывающих несимметрию токов и напряжений отдельных фаз.

Разложение на симметричные составляющие позволяет весьма просто решать задачи на расчет трехфазных цепей при одинаковой нагрузке фаз с взаимной индукцией между ними при несимметричной системе напряжений, что широко используется в теории электрических машин. Система напряжений разлагается на симметричные составляющие, для каждой из них находят токи фаз и применяют метод наложения. При этом сопротивление фаз приемника для каждой составляющей может быть различным. Например, для цепи рис. 12.11, соединенной в звезду с нулевым проводом, сопротивление фаз для нулевой системы напряжений:

а для прямой и обратной составляющих, являющихся симметричными трехфазными системами, сопротивления

только для статических устройств, например для трансформаторов. Во вращающихся машинах прямая система токов создает магнитное поле, вращающееся в одном направлении с ротором, а обратная система токов — в противоположном; это приведет к неравенству . Таким образом, в общем случае

После определения комплексных токов каждой составляющей они пофазно суммируются и дают систему действительных токов фаз.

При неодинаковой нагрузке фаз приемника расчет усложняется, так как тогда каждая из симметричных составляющих системы такое зависит от всех составляющих систем напряжений. Эти задачи рассматриваются в литературе, посвященной расчету аварийных режимов в трехфазных электрических сетях и системах.

Можно показать, что в самом общем случае несимметрии средняя мощность всей цепи равна сумме средних мощностей нулевой, прямой и обратной составляющих:

Трехфазные цепи

Трехфазная система ЭДС:

Производство, передача и распределение электрической энергии осуществляется в основном трехфазным током в трехфазных цепях. Широкое распространение в качестве нагрузки в трехфазных цепях получили трехфазные потребители. В трехфазных цепях используются трехфазные трансформаторы. Электрическую энергию в трехфазных цепях производят трехфазные генераторы, создающие синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, в трехфазных системах.

Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты, Вдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов сдвига равна или 360°.

Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если ЭДС трех фаз сдвинуты друг относительно друга на угол и амплитуды этих трех ЭДС одинаковы по величине:

Комплексы этих ЭДС

Получение симметричной трехфазной системы ЭДС осуществляется в трехфазном электромашинном генераторе (рис. 16.1а), в Котором три жестко скрепленные под углом 120° обмотки пересекают магнитное поле с частотой вращаясь (в данном случае) против часовой стрелки.

Начала обмоток трехфазного генератора обозначаются прописными буквами  а концы их соответственно (т.е. в трехфазном генераторе имеется три обмотки: и рис. 16.1а).

Таким образом, при вращении в магнитном поле жестко скрепленных обмоток в них индуктируются одинаковые ЭДС одинаковой частоты и сдвинутые на 120°.

Векторная диаграмма такой симметричной системы ЭДС изображена на рис. 16.1б. Как видно из векторной диаграммы, мгновенное значение ЭДС в обмотке CZ можно записать в виде

а комплекс этой ЭДС

т. е. логично, чтобы начальная фаза превышала

К каждой обмотке трехфазного генератора может быть подключена нагрузка с сопротивлениями

Если при этом три обмотки генератора электрически не соединены (рис. 16.2а), то такая трехфазная система называется несвязанной. Несвязанная трехфазная система практического применения не нашла.

Практическое применение нашла связанная трехфазная система (рис. 16.2б). Эта система экономически и энергетически более рациональна, так как используется три или четыре соединительных провода вместо шести и получить можно два различных напряжения, фазное и линейное, вместо одного.

Каждая обмотка трехфазного генератора со своей нагрузкой и соединительными проводами называется фазой (рис. 16.2). В трехфазной системе различают три фазы А, В и С (международные обозначения — прописные буквы).

Положительное направление ЭДС и токов в каждой фазе на рис. 16.26 указаны стрелками.

В связанных трехфазных системах применяется соединение обмоток генератора и потребителя звездой F или треугольником Е.
 

Соединение обмоток генератора звездой

При соединении обмоток генератора звездой концы обмоток X, Yи Z элeктpичecки соединяются в одну точку 0 (рис. 16.3а), которая называется нулевой, или нейтральной. При этом генератор с потребителем соединяется тремя или четырьмя проводами.

Провода, подключенные к началам обмоток генератора (А, В и С, называют линейными проводами, а провод, подключенный к нулевой точке 0, называется нулевым, или нейтральным.

В связанных трехфазных системах различают фазные и линейные напряжения и токи.

Фазным называется напряжение между началом и концом обмотки генератора или между нулевым и линейным проводом. Обозначаются фазные напряжения прописными буквами с индексами фаз (рис. 16.3а). Так как сопротивление обмоток генератора мало, то фазные напряжения практически не отличаются от ЭДС в обмотках генератора.

Линейным называется напряжение между началами обмоток генератора или между линейными проводами. Обозначаются линейные напряжения (рис. 16.3а).

Можно определить зависимость между линейными и фазными напряжениями при соединении обмоток генератора звездой.

Мгновенные значения фазных напряжений равны разностям потенциалов между началами и концами соответствующих обмоток, т.е:

Мгновенные значения, линейных напряжений равны разностям потенциалов между началами соответствуют:

Потенциалы концов обмоток одинаковы так как все они соединены электрически в одну точку.

Тогда

То есть мгновенное значение линейных напряжений определяется разностью мгновенных значений двух соответствующих фазных напряжений.

При соединении обмоток генератора звездой действующее значение линейного напряжения определяется геометрической разностью двух соответствующих фазных напряжений. На этом основании построена векторная диаграмма напряжений (рис. 16.3б) для соединения обмоток генератора звездой. К такому же результат) приводит определение комплексов линейных напряжений символическим методом:

При симметричной системе ЭДС фазные напряжения равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°. По векторной диаграмме (рис. 16.3б) определяется линейное напряжение (рис. 16.4).

Линейное напряжение при симметричной системе ЭДС трехфазного генератора определяется равенством

Из диаграммы (рис. 16.4) определяется вектор (комплекс)

При симметричной системе ЭДС линейное напряжение трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой, в раза больше фазного напряжения:

Если говорят о напряжении генератора 127/220 В, то имеется в виду, что фазное напряжение в трехфазной цепи 127 В, а линейное — 220 В. В сети с напряжением 220/380 В фазное напряжение 220 В, а линейное — 380 В. Очевидно, что обмотки генератора такой симметричной цепи соединены звездой и отношение напряжений получится равным

В связанных трехфазных системах фазным называется ток, провидящий по обмотке (фазе) генератора а линейным считается ток, проходящий по линейному проводу

Как видно на рис. 16.3а, при соединении обмоток генератора звездой линейный ток равен фазному току

Соединение обмоток генератора треугольником

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) конец обмотки фазы А соединяется с началом обмотки фазы В, конец обмотки фазы В соединяется к началом обмотки фазы С, конец обмотки фазы С соединяется с началом обмотки фазы А и к точкам соединения подключаются линейные провода.

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) трехфазная цепь трехпроводная.

Как следует из схемы соединения обмоток треугольником (рис. 16.5а), линейное напряжение равно фазному напряжению

То есть 

Из схемы (рис. 16.5а) следует, что три обмотки генератора, соединенные треугольником, образуют замкнутый контур, ток в котором при отсутствии нагрузки (холостой ход) определяется выражением

где  — комплексы (векторы) ЭДС фаз генератора; — комплексы сопротивлений обмоток генератора т.е. каждая обмотка обладает активным R и индуктивным X сопротивлениями.

Так как сопротивления обмоток малы, падением напряжения на них можно пренебречь и считать, что напряжение на каждой обмотке генератора равно ее ЭДС.

При симметричной системе ЭДС и правильном соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) геометрическая сумма ЭДС (комплексов) обмоток генератора, образующих замкнутый контур, равна нулю (рис. 16.5б). Следовательно, и ток в замкнутом контуре обмоток, соединенных треугольником, также равен нулю при холостом ходе независимо от величины внутреннего сопротивления обмоток

Если обмотки симметричного генератора соединены «неправильным» треугольником, т. е. неправильно подключить начало и конец хотя бы одной из обмоток, например  (рис. 16.5’а), то геометрическая сумма ЭДС в замкнутом контуре обмоток будет равна удвоенному значению ЭДС одной фазы (рис. 1б.5’б). С учетом малого внутреннего сопротивления обмоток генератора ток в замкнутом контуре достигает катастрофической величины даже при отсутствии нагрузки (холостой ход). Таким образом, соединена, обмоток трехфазного генератора «неправильным» треугольником равносильно короткому замыканию в замкнутом контуре обмоток.

 

Соединение потребителей звездой

При соединении звездой потребителя и генератора (рис. 16.6) трехфазная система представляет собой сложную цепь с двумя узловыми точками Точка 0 — нейтральная точка генератора, а 0′ — нейтральная точка потребителя. Напряжение между этими узловыми точками называется напряжением смещения нейтрали.

Соединение генератора и потребителя звездой может быть с нулевым проводом (рис. 16.6б), т.е. четырехпроводная цепь, и без нулевого провода (рис. 16.6а), т.е. трехпроводная цепь.

Величину напряжения смещения нейтрали определяют методом узлового напряжения (см. (4.9)) в символической (геометрической) форме:

где  — комплекс (вектор) напряжения смещения нейтрали; комплексы (векторы) ЭДС в обмотках соответствующих фаз генератора;  — комплексы проводимостей соответствующих фаз:

где  — комплексы сопротивлений фаз потребителя, включая внутреннее сопротивление обмоток генератора и сопротивление соединительных проводов; — комплекс проводимости нулевого провода, a — комплекс его сопротивления.

Напряжение U’ на каждой фазе потребителя, соединенного звездой (рис. 16.6а), с учетом напряжения смещения нейтрали, определяют следующим образом:

где — комплексы (векторы) напряжений на фазах потребителей.

На основании (16.15) строится векторная диаграмма напряжений (рис. 16.7), на которой вектор напряжения смещения нейтрали взят произвольно. Из векторной диаграммы (рис. 16.7) следует, что при наличии напряжения смещения нейтрали напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, различны по величине и по начальной фазе даже при симметричной системе ЭДС в обмотках генератора.

Очевидно (рис. 16.7), что напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, будут одинаковыми по величине  если напряжение смещения нейтрали отсутствует, т.е.   при симметричной системе ЭДС генератора.

Напряжение смещения нейтрали отсутствует, т. е. при равномерной (симметричной) нагрузке фаз или при наличии нулевого провода.

Рассмотрим эти условия:

1. Равномерная нагрузка фаз.

Равномерной называют нагрузку, при которой комплексы сопротивлений фаз равны между собой.

То есть 

или 

Тогда так как при симметричной системе ЭДС сумма (см. рис. 16.5б).

Так как комплекс сопротивления фазы то равномерной считается нагрузка, при которой сопротивления фаз одинаковы по величине по характеру (активный, индуктивный или емкостной) и имеют одинаковый угол сдвига фаз

2. Наличие нулевого провода.

При наличии нулевого провода, соединяющего нейтральные точки 0 и 0′ (рис. 16.6б),

Тогда 

В обоих случаях (1 и 2) напряжения на фазах потребителя, подключенного к трехфазному генератору с симметричной системой ЭДС, одинаковы по величине. При этом величина напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного звездой, в раза меньше линейного напряжения, т. е.

Ток в нулевом проводе (рис. 16.66) при соединении потребителей звездой определяется геометрической суммой токов в фазах потребителя:

Токи в фазах потребителя определяются по формулам

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз токи в фазах равны по величине «сдвинуты, как и напряжения, по фазе на 120°. Следовательно, их геометрическая сумма равна нулю, т.е. (см. рис. 16.5б, где вместо подставить ).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз нулевой провод не нужен.

При неравномерной нагрузке фаз отсутствие нулевого провода приводит к неодинаковым по величине напряжениям на каждой фазе потребителя (рис. 16.7). При этом на фазе с большим сопротивлением Z будет большее напряжение U’.

Так как отсутствие нулевого провода при неравномерной нагрузке фаз потребителя, соединенного звездой, нарушает режим работы потребителей U’, то предохранитель в нулевой провод не ставят.

Следовательно, нулевой провод служит для выравнивания напряжений на фазах потребителя при неравномерной нагрузке фаз.

При соединении потребителей звездой ток каждой фазы потребителя (рис. 16.16) равен линейному току трехфазной цепи 

Соединение потребителей треугольником

При соединении потребителя треугольником (рис. 16.8) к каждой фазе потребителя приложено линейное напряжение трехфазной цепи

Так как при симметричной системе ЭДС все линейные напряжения равны по величине и сдвинуты на угол 120° по фазе, то и напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного треугольником, равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°, независимо от характера нагрузки.

При соединении потребителей треугольником линейные токи обозначаются прописными буквами с индексами фаз, т. е. а токи в фазах потребителя

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, линейные токи можно определить выражениями (рис. 16.8)

Линейный ток при соединении потребителей треугольником определяется геометрической разностью двух фазных токов, сходящихся с линейным в одной узловой точке (рис. 16.8).

Фазные токи потребителя, соединенного треугольником, определяются:

При симметричной системе ЭДС генератора и равномерной нагрузке фаз потребителя токи в фазах потребителя равны между собой по величине и, так лее как напряжения на фазах потребителя, сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол 120° (рис. 16.9).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз и симметричной системе ЭДС при соединении потребителей треугольником линейный ток в трехфазной цепи в  раза больше фазного тока:

Мощность трехфазного тока

Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и потребляемая трехфазным потребителем, определяется суммой активных мощностей каждой фазы потребителя:

Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощности трехфазного тока, т. е.

=

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз активная мощность трехфазного тока равна утроенному значению активной мощности каждой фазы

Однако на практике удобней оперировать линейными величинами, так как доступными являются линейные провода, а не обмотки генератора или двигателя.

При соединении потребителя звездой при равномерной нагрузке фаз

Тогда 

При соединении потребителей треугольником при равномерной нагрузке фаз

Тогда 

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного тока определяются выражениями:

При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажущаяся, мощность трехфазного тока может быть определена суммой полных мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной форме, а именно

Равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают электрические двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут гь соединены или звездой, или треугольником.

Топографическая диаграмма

Напряжение между отдельными точками трехфазной цепи можно найти графически путем построения так называемой топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма, поенная так, чтобы каждой точке цепи соответствовала определенная точка на диаграмме и чтобы вектор, проведенный в эту точку из начала координат, выражал по величине и фазе потенциал соответствующей точки цепи. Отрезок, соединяющий любые две точки на этой диаграмме, определяет напряжение между соответствующими точками цепи. Если топографическая диаграмма встроена в определенном масштабе, то по ней можно определить искомое напряжение и ток по величине и по фазе.

При построении топографической диаграммы для трехфазной цепи удобно принять за точку с нулевым потенциалом нулевую, или нейтральную, точку генератора. Этой точке генератора соответствует начало координат топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма для трехфазной цепи, изображенной на рис. 16.6, построена при условии, что точка 0 на диаграмме (рис. 16.10) соответствует нулевой точке генератора, потенциал которой равен нулю, т. е.

Из точки 0 откладываются в определенном масштабе напряжений векторы фазных ЭДС  в результате чего получаются точки А, В и С на топографической диаграмме. Эти точки на диаграмме соответствуют началам обмоток генератора, Соединенного звездой точками А, В и С цепи. 

Отрезок равный разности векторов представляет собой линейное напряжение  (падением напряжения на внутреннем сопротивлении обмотки генератора пренебрегаем, т.е. ). Аналогично отрезки на топографической диаграмме изображают линейные напряжения соответственно.

Отложив из точки 0 (начало координат) вектор напряжения смещения нейтрали (отрезок ), определяют потенциал нулевой точки потребителя 0′ на диаграмме. Тогда отрезки выражают напряжение на фазах потребителя

Если напряжение смешения нейтрали отсутствует то точка 0′ (нулевая точка потребителя) на топографической диаграмме совпадет с точкой 0 (нулевой точкой генератора). Тогда векторы напряжений на фазах потребителя   равны по величине и по фазе векторам ЭДС генератора

Применение топографической диаграммы для расчета трехфазной цепи рассмотрено в примере 16.1 настоящей главы.

Пример 16.1

К трехфазной трехпроводной сети с линейным напряжением 220 В подключен потребитель, соединенный звездой, с сопротивлениями 10 Ом (рис. 16.11).

Определить напряжение и ток каждой фазы потребителя в каждом из трех режимов:

1. Потребители соединены звездой, как показано на рис. 16.11.

2. Обрыв в фазе А, т. е.

3. Короткое замыкание в фазе А, т. е.

Решение

Решение этой задачи производится с помощью построения топографической диаграммы для каждого режима.

1. Так как в данном режиме имеет место равномерная нагрузка фаз следовательно, напряжение смещения нейтрали равно нулю и точка 0′ на топографической диаграмме совпадает с точкой 0 (рис. 16.12). 

Пренебрегая внутренним сопротивлением обмоток генератора определяют напряжение на каждой фазе потребителя при симметричной системе ЭДС:

так как

Toк каждой фазы потребителя будет равен

Линейные токи в каждом линейном проводе также равны между собой и равны фазным токам каждой фазы, т.е.

2. При обрыве в фазе А схема трехфазной цепи обретает следующий вид (рис. 16.13а), а топографическая диаграмма показана на рис. 16.13б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при обрыве в фазе А как бы опустилась на вектор линейного напряжения разделив его величину поровну между т. е.

Напряжение на оборванной фазе А, т. е. напряжение между точками 0′ и А в схеме, как следует из топографической диаграммы рис. 16.13б), будет равно

Токи в фазах:

Токи в линейных проводах:

3. При коротком замыкании фазы А схема трехфазной цепи показана на рис. 16.14а, топографическая диаграмма на рис. 16.14б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при коротком замыкании фазы как бы поднялась в точку А и фазные напряжения совпали с векторами линейных напряжений соответственно и стали равными им по величине, т.е.

Токи в фазах будут равны  
Ток в коротко замкнутой фазе т. е. ток в проводе, соединяющем точку 0′ и А, определяется геометрической суммой токов (рис. 16.14б), т.е.

Напряжение и токи в режимах 2 и 3 легко определить из схем рис. 16.13а и 16.14а, не прибегая к топографическим диаграммам.

Пример 16.2

К соединенному звездой генератору с фазным напряжением 127 В подключен потребитель, соединенный треугольником. Активное сопротивление каждой фазы потребителя R = 8 Ом, индуктивное = 6 Ом (рис. 16.15а).

Определить ток в каждой фазе генератора, отдаваемую им мощность и построить векторную диаграмму.

Решение

Эту задачу можно решить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Напряжение на каждой фазе потребителя равно линейному напряжению генератора

Сопротивление каждой фазы потребителя равно

В каждой фазе генератора проходит линейный ток потребителя, единенного треугольником, т.е. (см. рис. 16.15а)

Отдаваемая генератором мощность (активная мощность) равна

Так как

Угол (Приложение 10).

Таким образом, ток фазы потребителя отстает от напряжения на угол 37°, так как нагрузка индуктивного характера.

Вычисленные величины легли в основу построения векторной диаграммы (рис. 16.15б).

Пример 16.3

Параметры трехфазного потребителя, соединенного звездой, имеют следующие значения: Линейное напряжение сети симметричной системы ЭДС

Определить:

1) напряжение на каждой фазе потребителя;

2) токи каждой фазы потребителя;

3) мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

Допустим, что обмотки генератора соединены звездой, тогда напряжение каждой фазы генератора (при симметричной системе ЭДС)

Напряжение на каждой обмотке генератора в комплексной форме:

Сопротивление  каждой фазы потребителя:

Проводимости  каждой фазы потребителя:

Напряжение смещения нейтрали при отсутствии нулевого провода, т. е. при будет равно

При вычислении принято: и   Напряжение на каждой фазе потребителя (16.15):

Токи в каждой фазе потребителя:

Мощности каждой фазы потребителя:

Мощность всей трехфазной нагрузки:

Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на рис. 16.17.

Пример 16.4

К трехфазной сети с линейным напряжением подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители (рис. 16.18).

Обмотки трехфазного двигателя мощностью кВт и = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые потребители с параметрами: — соединены звездой.

Определить: показания амперметров мощность Р, потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.

В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линейного провода С). Как при этом изменится показание вольтметpa , если оборвется и нулевой провод? Как изменится показание вольтметра

Решение

Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Амперметр включен в линейный провод С, подводящий 1ние к двигателю, обмотки которого соединены треугольником и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно (см. (16.29))

Амперметр измеряет ток в фазе В силового потребителя, соединенного звездой. При наличии нулевого провода напряжение на каждой фазе потребителя тогда ток в фазе В будет равен

так как

Показания амперметра включенного в фазу С силового потребителя:

так как

Амперметр включен в нулевой провод, ток в котором определяется геометрической суммой токов в фазах силового потребителя, соединенного звездой (см. (16.19) и рис. 16.19).

Для вычисления геометрической суммы токов фаз необходимо построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

При наличии нулевого провода напряжения на фазах сдвинуты на угол 120°. Угол сдвига фаз между током и напряжением, исходя из условий, для всех трех фаз одинаков (это видно из заданных параметров силового потребителя):

Следовательно, фазные токи сдвинуты так же, как и напряжения, на угол 120°. Величины токов определены: На основании этих данных можно построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

На векторной диаграмме складываются геометрически и получается суммарный ток, равный 14,7 А.

Поскольку этот суммарный ток находится в противофазе с током  то ток в нулевом проводе равен 7,3 А:

Следовательно, амперметр покажет ток 7,3 А.

Для расчета мощности Р, потребляемой всей нагрузкой, вычисляется активная мощность каждого силового потребителя:

Тогда активная мощность, потребляемая всей нагрузкой, будет равна

При обрыве линейного провода С и нулевого провода две фазы силового потребителя А и В кажутся соединенными последовательно и подключенными к личному напряжению =380 В. Так как сопротивления этих фаз равны по величине, то это линейное напряжение распределится между ними поровну, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 220 В, которое он показывал до обрыва.

При обрыве линейного провода С фазы В и С двигателя окажутся соединенными последовательно и подключенными к линейному напряжению Так как сопротивления обмоток двигателя равны между собой, то линейное напряжение распределится поровну между обмотками В и С двигателя, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 380 В, которое он показывал до обрыва.
 

Вращающееся магнитное поле двухфазного тока

Двухфазным током называется совокупность двух однофазных токов, сдвинутых по фазе на угол друг относительно друга (рис. 17.3б):   

Эти токи создают в обмотках переменные магнитные потоки, сдвинутые по фазе также на угол 90°:

Таким образом, если по двум неподвижно скрепленным под углом 90° обмоткам пропустить двухфазный ток, то внутри этих обмоток (рис. 17.3а) создается вращающееся магнитное поле двухфазного тока.

Как видно (рис. 17.3б), постоянный магнитный поток  одной фазы) вращается против часовой стрелки, если при указанном расположении обмоток первый ток опережает второй ток по фазе.

Нетрудно убедиться в том, что если бы второй ток опережал первый то магнитное поле вращалось бы в обратную сторону. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока широко применяется для пуска и работы однофазных машин переменного тока.
 

Пульсирующее магнитное поле

Если по неподвижной катушке (обмотке) машины пропустить синусоидальный ток то внутри этой катушки создается пульсирующее магнитное поле, т. е. поле, изменяющееся по величине и направлению, но расположенное в одной плоскости (рис. 17.4).

Пульсирующее магнитное поле, к видно из рис. 17.4, можно рассматривать как два магнитных поля, вращающихся в разные стогны. Поэтому в машинах, в которых используется пульсирующее магнитное поле, отсутствует пусковой момент. Для работы таких машин его необходимо создать. Пусковой момент в таких машинах создают или механически, или за счет пусковой обмотки, по которой в момент пуска пропускают импульс тока, сдвинутого по фазе относительно основного синусоидального тока, проходящего по катушке (обмотке) машины (аналогично двухфазному току).

Определение трёхфазных цепей

Наряду с однофазными источниками существуют источники энергии, содержащие две, три, четыре и т.д., характеризуемые тем, что их ЭДС, имея одинаковую частоту, сдвинуты друг относительно друга на некоторый угол. Такие генераторы называются многофазными, а электрические цепи с такими источниками — многофазными.

Трёхфазный генератор

Трёхфазные цепи получили наибольшее практическое применение. В связи с этим основные исследования многофазных цепей будем проводить на примере трёхфазных. Рассмотрим вопрос реализации трёхфазного источника, которым является трёхфазный генератор (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Трёхфазный генератор

Для упрощения понимания принципа работы генератора обмотки (фазы) представлены одним витком. В качестве ротора генератора выбран постоянный магнит. Каждая из обмоток имеет начало — клеммы  и конец — Обмотки в пространстве сдвинуты друг относительно друга на 120°, из чего следует, что максимумы ЭДС в них достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на одну треть периода  где — угловая частота вращения ротора.

Последовательность, в которой ЭДС достигают максимума в соответствующих фазах, носит название порядка чередования фаз. Прямым порядком чередования фаз называют последовательность  при которой фаза  отстает от фазы  на  и фаза  отстает от фазы  на  На рис. 4.2 изображен график мгновенных значений ЭДС для прямого порядка чередования фаз. Изменение направления вращения ротора трёхфазного генератора на противоположное меняет эту последовательность чередования фаз, и она станет уже

Рис. 4.2. Графики мгновенных значений ЭДС фаз 

Запишем мгновенные значения ЭДС, индуктируемые в фазах при вращении ротора генератора:

Поскольку ЭДС каждой фазы генератора синусоидальна, то их можно изобразить на комплексной плоскости в виде векторов соответствующих фазных ЭДС: (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Векторная диаграмма фазных ЭДС

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

При подключении к каждой из фаз генератора нагрузки по ней будет протекать ток. Таким образом, реализуется трёхфазная система.

Способы соединения фаз генератора и нагрузки

Соединение фаз генератора и нагрузки четырехпроводной звездой:

При соединении фаз генератора звездой все концы или начала соединяют в одну общую точку. На рис. 4.4.а показана несвязанная трёхфазная система, в которой каждая фаза генератора и приемника образует отдельную электрическую цепь и поэтому для связи генератора и приемника требуется 6 проводов.

Рис. 4.4. Соединение звездой а) несвязанная трёхфазная система, b) четырехпроводная звезда

При соединении звездой количество проводов уменьшится до 4-х. Причем провод, соединяющий общие (нейтральные или нулевые) точки фаз генератора и приемника  называется нейтральным или нулевым. Остальные провода, соединяющие фазы генератора и приемника — линейные.

Токи, протекающие по фазам генератора или приемника, называются фазными токами, токи, протекающие по проводам, соединяющим фазы генератора и приемника, — линейными токам, ток, протекающий по нейтральному проводу — нейтральным.

Напряжение между началом и концом фазы генератора или приемника называется фазным, напряжение между двумя фазами или линиями — линейным.

Для этого способа соединения между линейными и фазными параметрами цепи существуют следующие соотношения:

Установим взаимосвязь между комплексами линейных и фазных напряжений источника (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении приёмников звездой при симметричной активной нагрузке

В дальнейших рассуждениях фазные ЭДС заменим напряжениями на фазах источника:

Выберем любой равнобедренный треугольник, образованный двумя фазными и линейным напряжениями и опустим перпендикуляр из вершины на основание. Перпендикуляр является медианой и биссектрисой.

Из любого прямоугольного треугольника получим:

то есть:

Это второе важное соотношение для соединения звездой.

Частным случаем такого соединения является соединение «звезда-звезда» без нулевого провода.

Соединение фаз генератора и нагрузки треугольником

Вторым базовым способом соединения фаз генератора и нагрузки является соединение типа «треугольник-треугольник» (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Соединение «треугольник-треугольник»

При соединении треугольником существует следующее соотношение:

Установим взаимосвязь между фазными и линейными токами:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений приемника (рис. 4.7) для данного способа соединения.

Рис. 4.7. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении

Рассмотрев любой треугольник токов, можно, аналогично напряжениям при соединении звездой, сделать вывод (только для симметричной нагрузки):

Помимо вышеназванных существуют и комбинированные способы соединения: «звезда-треугольник», «треугольник-звезда».

Режимы работы трёхфазных цепей

Различают симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. При. симметричном режиме сопротивления трех фаз одинаковы и ЭДС образуют трехфазную. симметричную систему. В этом случае токи фаз а, в, с будут равны по величине и сдвинуты по угол 120 градусов.

Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода

Поскольку трёхфазные цепи являются совокупностью однофазных цепей, то для их расчета используются все ранее рассмотренные специальные методы, в том числе и комплексный метод расчета. Следовательно, расчет трёхфазных цепей можно иллюстрировать построением векторных диаграмм токов нагрузки и топографических диаграмм напряжений.

Наиболее рациональным методом расчета такой цепи может считаться метод двух узлов. Для выбранных положительных направлений напряжений и токов на схеме (рис. 4.8) составим соответствующую систему уравнений для расчета токов. приемников треугольником и симметричной активной нагрузке

Рис. 4.8. Соединение фаз генератора и приемника по схеме «четырехпроводная звезда»

1. Симметричная нагрузка.

Нагрузка считается симметричной, если комплексные сопротивления ее фаз равны:

Четырехпроводная звезда.

Для простоты в качестве потребителей фаз нагрузки будем рассматривать активные сопротивления  Наличие нулевого провода делает одинаковыми потенциалы узлов  и  если сопротивлением нулевого провода можно пренебречь значит При этом фазные токи равны, а фазные напряжения на нагрузке будут полностью повторять фазные напряжения генератора. Для фазы

Аналогично для фаз  и 

Исходя из сказанного, построим топографическую диаграмму фазных напряжений и векторную диаграмму токов (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Векторно-топографическая диаграмма для симметричной нагрузки в трех- и четырехпроводной системах

Трехпроводная звезда.

При симметричной нагрузке, как и в четырехпроводной схеме, фазы приемника работают независимо друг от друга и нулевой провод не нужен. Диаграмма в данном случае будет абсолютно той же, что и для четырехпроводной звезды.

2. Несимметричная нагрузка.

Четырехпроводная звезда.

Пусть 

На векторно-топографической диаграмме токов и напряжений (рис. 4.10) показано суммирование фазных токов.

Рис. 4.10. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки

Трехпроводная звезда.

Пусть Из-за неравенства проводимостей ветвей  не равно нулю, то есть между точками и появляется разность потенциалов — смещение нейтрали. При этом фазные напряжения на нагрузках уже не будут повторять систему фазных напряжений генератора. Поэтому задача сводится к расчету положения точки на комплексной плоскости относительно  Для его определения можно воспользоваться формулой узлового напряжения и теоретически ее рассчитать. Однако это можно сделать, основываясь на экспериментальных данных, суть которых состоит в следующем: производят измерения напряжений на фазах нагрузки; в выбранном масштабе для напряжений проводят дуги окружностей радиусами, равными измеренным фазным напряжениям из точек Точка пересечения этих трех дуг и даст искомое местоположение точки внутри треугольника, ограниченного линейными напряжениями (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Определение смещения нулевой точки

Соединив точки и  отрезком, получим смещение нейтрали. По найденным фазным напряжениям приемника направляем векторы токов. Должно выполняться равенство:

По результатам выполненных построений можно сделать главный вывод: если заведомо известно, что нагрузка несимметрична или может таковою стать, необходимо использовать четырехпроводную схему.

3. Обрыв фазы.

Четырёхпроводная звезда.

Векторная диаграмма (рис. 4.12) иллюстрирует работу четырехпроводной системы.

Рис. 4.12. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в четырехпроводной системе

Трехпроводная звезда.

Напряжение смещения можно также определить методом засечек, как это показано на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в трехпроводной системе

По первому закону Кирхгофа:

Поскольку то

Токи в фазах  и должны находиться в противофазе.

4. Короткое замыкание фазы.

Четырехпроводная звезда.

В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

Трехпроводная звезда:

Фазные напряжения приемника:

т.е. фазные напряжения увеличились до линейных напряжений, соответственно, токи в фазах:

возросли в раз. Ток в закороченной фазе определится по первому закону Кирхгофа:

Построение векторно-топографической диаграммы для короткого замыкания показано на рис. 4.14.

5. Разнородная нагрузка.

Общий принцип построения векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений остается тем же. Единственное отличие будет состоять в появлении фазовых сдвигов между токами и напряжениями на фазах нагрузки в зависимости от ее характера.

Рис. 4.14. Векторно-топографическая диаграмма для короткого замыкания фазы в трехпроводной системе

По схеме трехпроводной звезды включают трёхфазные симметричные приемники, например, трёхфазные асинхронные и синхронные двигатели.

Соединение потребителей треугольником

Рассмотрим различные режимы работы приемника при соединении его фаз треугольником (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Соединение фаз приемника треугольником

Вновь будем считать, что в качестве потребителей в фазах включены активные сопротивления (для простоты построений).

Симметричный режим.

На рис. 4.7 построена векторная диаграмма для симметричной нагрузки при соединении фаз приемника треугольником.

Токи равны по модулю и отличаются только по фазе:

Линейные токи:

Несимметричный режим:

Фазы по-прежнему работают независимо друг от друга и поэтому токи будут:

Линейные токи определяются соответственно по формулам (4.9). Векторная диаграмма представлена на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки приемников, соединенных треугольником

Обрыв фазы

На рис. 4.17 построена векторная диаграмма при соединении приемников треугольником для обрыва фазы.

Рис. 4.17. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы при соединении приемников треугольником

Соотношения для токов:

При разнородной нагрузке методика расчета не меняется.

Расчет мощности в трёхфазных цепях

Рассмотрим расчет мощности при соединении приемников по схеме четырехпроводной звезды и допустим, что нагрузка несимметрична. Если учесть, что сопротивление нейтрального провода не равно нулю и активное, имеем:

При симметричной нагрузке для трех- и четырехпроводной системы получим:

При соединении фаз приемника треугольником и несимметричной нагрузке имеем:

При симметричной нагрузке:

При этом необходимо учесть, что одинаковые формулы для расчета мощности при разном способе соединения фаз нагрузки (4.10-4.12) и (4.13- 4.15) не означают одинаковые численные значения.

Пример. Пусть трёхфазный приемник с сопротивлением фазы  соединен «звездой», тогда активная мощность будет:

Теперь фазы того же приемника соединим «треугольником» и подключим к тому же трёхфазному источнику:

Итог очевиден:

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Для измерения активной мощности в симметричной трехфазной цепи достаточно одного ваттметра, включенного на измерение мощности одной из фаз.

Соединение приемников по схеме четырехпроводной звезды

В схеме (рис. 4.18) однофазные ваттметры включаются в каждую фазу, причем через токовые катушки протекают линейные токи, а катушки напряжения ваттметров включены между нулевым проводом и соответствующими линейными проводами.

Рис. 4.18. Схема включения ваттметров для измерения мощности в четырехпроводной системе

Так как активная мощность — это вещественная часть полной мощности:

то суммарная мощность трех ваттметров может быть представлена выражением:

или

В случае симметричной нагрузки для измерения мощности, потребляемой ею, достаточно воспользоваться одним ваттметром, показание которого нужно утроить.

Соединение приемников по схеме трехпроводной звезды или треугольником

В этом случае измерить мощность трёхфазного приемника можно с помощью двух ваттметров (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Схема измерения активной мощности двумя ваттметрами

Покажем это:

Если учесть, что:

получим:

Окончательно имеем:

Оба ваттметра выполняются в одном корпусе, и прибор имеет две пары выводов для токовых катушек и две пары выводов — для катушек напряжения. Включают трёхфазный ваттметр по приведенной на рис. 4.19 схеме или по любой схеме с циклической заменой фаз.

Метод симметричных составляющих

Любую несимметричную трёхфазную систему можно разложить на три симметричные трёхфазные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз. Такое разложение широко применяется при анализе работы трёхфазных машин и, в особенности, при расчете токов короткого замыкания в трёхфазных системах.

Пусть дана несимметричная трёхфазная система векторов (рис. 4.20).

Рис. 4.20. Несимметричная трёхфазная система векторов

Каждый из векторов этой системы можно представить в виде суммы трех составляющих:

На рис. 4.21 изображены системы указанных выше последовательностей.

Рис. 4.21. Симметричные системы векторов прямой (a), обратной (b) и нулевой (с) последовательностей

Векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей подчиняются следующим соотношениям:

где 

Коэффициент называется поворотным множителем

Подставим соотношения (4.19) в систему уравнений (4.18). Тогда получим:

Решение системы уравнений (4.20) относительно дает:

Симметричные составляющие можно определить графически, если на векторной диаграмме несимметричной системы векторов выполнить построения в соответствии с системой уравнений (4.21).

Фильтры симметричных составляющих

Симметричные составляющие несимметричных систем можно определить не только аналитически или графически, но и при помощи электрических схем, называемых фильтрами симметричных составляющих.

Эти фильтры применяются в схемах, защищающих электрические установки. Степень асимметрии системы токов и напряжений не должна превосходить известные пределы, т.е. составляющие нулевой и обратной последовательностей системы напряжений и токов при нормальных режимах должны быть меньше некоторых наперед заданных величин, определяемых для каждой конкретной установки индивидуально.

Возможность выделить при помощи электрических схем отдельные симметричные составляющие позволяет осуществить воздействие любой из них на приборы, защищающие установку, которые, будучи соответствующим образом отрегулированы, отключат или всю установку, или её часть, как только величина соответствующей составляющей превысит допустимый предел.

В качестве примера на рис. 4.22 приведены схемы фильтров нулевой последовательности линейных токов и фазных напряжений.

Рис. 4.22. Схемы фильтров нулевой последовательности

В схеме (рис. 4.22,a) вторичные обмотки трансформаторов напряжения включены последовательно и поэтому вольтметр определяет сумму фазных напряжений, т.е. утроенную составляющую нулевой последовательности системы фазных напряжений.

В схеме (рис. 4.22,b) вторичные обмотки трансформаторов тока включены параллельно и поэтому амперметр измеряет сумму линейных токов, то есть утроенную составляющую нулевой последовательности линейных токов.

Соединения в звезду и треугольник, фазные и линейные напряжения и токи

В трехфазных цепях применяют два вида соединений генераторных обмоток – в звезду и треугольник (рис. 1).

При соединении в звезду все концы фазных обмоток соединяют в один узел, называемый нейтральной или нулевой точкой , и обозначают, как правило, буквой O.

При соединении в треугольник обмотки генератора соединяют так, чтобы начало одной соединялось с концом другой. ЭДС в катушках в этом случае обозначают соответственно E_BA , E_CB , E_AC . Если генератор не подключен к нагрузке, то по его обмоткам не протекают токи, т.к. сумма ЭДС равна нулю.

Рис. 1 Соединения генераторных обмоток – в звезду и треугольник

Соединение резисторов треугольником: а — расположение резисторов вдоль сторон, б — параллельное расположение резисторов

В звезду и треугольник включаются и сопротивления нагрузки так, как показано на рис. 2. Фазные сопротивления Z a, Z b, Z c, Z ab, Z bc, Z ca , соединенные в треугольник или в звезду, называют фазами нагрузки .

Рис. 2 Соединения нагрузки в звезду и треугольник

Существует пять видов соединения генераторов с нагрузкой : звезда – звезда с нулевым проводом, звезда – звезда без нейтрального провода, треугольник – треугольник, звезда – треугольник и треугольник – звезда (рис. 3).

Соединительные провода между началами фаз нагрузки и началами фаз генератора называют линейными проводами . Как правило, начала фаз генераторов обозначают заглавными буквами, а нагрузки – прописными. Провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки, называют нулевым или нейтральным проводом .

Направление токов в линейных проводах принято выбирать от генератора к нагрузке, а в нулевом – от нагрузки к генератору. На рис. 3 Uab(AB) , Ubc(BC), Uca(CA) , Ia, Ib, Ic – линейные напряжения и токи. Ua(A) , Ub(B), Uc(C) , Iab, Ibc, Ica – фазные напряжения и токи.

Линейные напряжения (напряжения между линейными проводами) – это разность соответствующих фазных напряжений Uab — Ua — Uc , Ubc = Ub — Uc, Uca = Uc — Ua

Линейные токи при принятых направлениях токов (рис. 3) определяются по первому закону Кирхгофа Ia = Iab — Ica, Ib = Ibc — Iab, Ic = Ica — Ibc

Таким образом, фазные напряжения на генераторе – это напряжения, приложенные к обмоткам генератора U_AO, U_CO, U_BO , а напряжения фаз нагрузки – это напряжения на соответствующих сопротивлениях UaO1, UbO1, UcO1 . Фазные токи – это токи, протекающие в фазах генератора или нагрузки. Следует отметить, что фазные и линейные напряжения в треугольнике равны, так же как фазные и линейные токи в звезде.

Совокупность соответствующей фазы генератора, соединительного провода и фазы нагрузки называют фазой трехфазной цепи .

Рис. 3 Фазные и линейные напряжения и токи при соединениях в звезду треугольник

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Как найти линейные токи?

Как найти линейный ток в трехфазной цепи?

На фазах нагрузки находят линейные напряжения источника питания. Фазные токи в нагрузке определяют с помощью закона Ома для участка цепиIф = Uф/zф, где Uф – фазное напряжение на нагрузке (соответствующее линейное напряжение источника питания); zф – полное сопротивление соответствующей фазы нагрузки.

Как найти ток в трехфазной цепи?

На практике применяется формула, в которой ток и напряжение обозначают линейные величины и для соединения в звезду и в треугольник. В первое уравнение подставим Uф=U/1,73, а во второе Iф=I/1,73, получим общую формулу P=1,73·U·I·cosфи.

Как определить линейные токи?

При соединении в звезду с нулевым проводом можно получить два напряжения: линейное напряжение Uл между проводами отдельных фаз и фазное напряжение Uф между фазой и нулевым проводом (рис. 2). Соотношение между линейным и фазным напряжениями выражается следующим образом: Uл=Uф∙√3.

Что такое линейный ток?

Линейный ток — ток, протекающий по линейному проводу. При соединении звездой линейный ток равен фазному. При работе по нулевому проводу протекает ток, равный векторной сумме трех линейных токов: IА, IB и IC.

Как найти фазное напряжение?

При соединении в звезду с нулевым проводом можно получить два напряжения: линейное напряжение Uл между проводами отдельных фаз и фазное напряжение Uф между фазой и нулевым проводом (рис. 2). Соотношение между линейным и фазным напряжениями выражается следующим образом: Uл=Uф∙√3.

Что такое фазное напряжение?

Uф — фазное напряжение — это напряжение между началом и концом фазной обмотки или приемника энергии. Другими словами можно сказать: фазное напряжение — это напряжение между ли-нейным и нулевым проводами. При симметричной нагрузке нулевой провод практически не нужен, т.

Что такое косинус фи?

Коэффициент мощности cos фи (φ) определяется как отношение полезной мощности к полной. Математически это определение часто записывают в виде кВт/кВА, где числитель – активная (действительная) мощность, а знаменатель – кажущаяся (активная + реактивная, полная) мощность.

Как узнать ток двигателя по мощности?

Зная номинальную мощность двигателя (из паспорта) можно определить его номинальный ток. При включении двигателя в трехфазную сеть 380 В номинальный ток можно посчитать по следующей формуле: Iн = Pн/(√3Uн х η х сosφ), где Pн — номинальная мощность двигателя в кВт, Uн — напряжение в сети, в кВ (0,38 кВ).

Как рассчитать мощность трехфазного автомата?

Расчет мощности трехфазного автомата

1. Для расчета мощности номинала трехфазного автомата необходимо суммировать всю мощность электроприборов, которые будут подключены через него. …
2. L1 5000 W + L2 5000 kW + L3 5000W = 15000 W.
3. Полученные ваты переводим в киловатты:
4. 15000 W / 1000 = 15 kW.
5. Полученное число умножаем на 1,52 и получаем рабочий ток А.

Какой из токов в схеме линейный какой фазный?

Так, токи, протекающие в каждой фазе, именуют фазными и условно обозначают IА, IB, IC либо условно Iф. Токи в ветвях нагрузки именуют линейными. … При сугубо активной нагрузке токи идентичны с напряжениями по фазе, а при индуктивной либо емкостной нагрузке, токи могут опережать или отставать от напряжения.

Как измерить линейные и фазные напряжения?

КРАТКО: Линейное напряжение измеряется между фазой и фазой, а фазное между фазой и нулём. Линейное напряжение больше фазного в √3 или в 1,73 раза. Нагрузка к трёхфазной сети может быть подключена по трём или четырем проводам.

В каком соотношении находятся линейные и фазные напряжения?

больше фазных, а при соединении треугольником равны. Этот фактор необходимо учитывать при подключении нагрузки, чтоб не произошло аварийных ситуаций и выхода оборудования из строя. Линейные напряжения тоже сдвинуты друг относительно друга на угол 1200 или 2π/3.

Что такое звезда в электрике?

В трехфазных цепях применяют два вида соединений генераторных обмоток – в звезду и треугольник (рис. 1). При соединении в звезду все концы фазных обмоток соединяют в один узел, называемый нейтральной или нулевой точкой, и обозначают, как правило, буквой O.

Чему равно фазное напряжение в треугольнике?

180, линейное напряжение создает каждая фазная обмотка. У потребителя, соединенного треугольником, линейное напряжение подключается к зажимам фазного сопротивления. Следовательно, при соединении треугольником фазное напряжение равно линейному: Uл = Uф.

Источник

105. Соединение треугольником

Кроме соединения звездой, генераторы или потребители трехфазного тока могут включаться треугольником.

На фиг. 187 представлена несвязанная трехфазная система. Объединяя попарно провода несвязанной шестипроводной системы и соединяя фазы, переходим к трехфазной трехпроводной системе, соединенной треугольником.

Как видно из фиг. 188, соединение треугольником выполняется таким образом, чтобы конец фазы А был соединен с началом фазы В, конец фазы В соединен с началом фазы С и конец фазы С соединен с началом фазы А. К местам соединения фаз подключаются линейные провода.

Если обмотки генератора соединены треугольником, то, как видно из фиг. 188, линейное напряжение создает каждая фазная обмотка. У потребителя, соединенного треугольником, линейное напряжение подключается к зажимам фазного сопротивления. Следовательно, при соединении треугольником фазное напряжение равно линейному:

Определим зависимость между фазными и линейными токами при соединении треугольником, если нагрузка фаз будет одинакова по величине и характеру. Составляем уравнения токов

Отсюда видно, что линейные токи равны геометрической разности фазных токов. При равномерной нагрузке фазные токи одинаковы по величине и сдвинуты один относительно другого на 120°. Производя вычитание векторов фазных токов согласно полученным уравнениям, получаем линейные токи (фиг. 189). Зависимость между фазными и линейными токами при соединении в треугольник показана на фиг. 190.

Следовательно, при равномерной нагрузке, соединенной треугольником, линейный ток в раз больше фазного тока.

На фиг. 191 дана векторная диаграмма токов н напряжений при равномерной активно индуктивной нагрузке, соединенной треугольником. Построение диаграммы производится следующим образом. В выбранном масштабе строим равносторонний треугольник линейных напряжений сети U_АB , U_BC, и U_АС, : которые равны фазным напряжениям потребителя. В сторону отставания под углами к линейным напряжениям U_АB , U_BC, и U_CA строим в масштабе векторы фазных токов I_АB , I _BC, и I _CA • Затем, как было указано раньше, определяем линейные токи I_А , I _B, и I _C

Пример 2. Линейное напряжение, подводимое к трехфазному электродвигателю, равно 220 в. Обмотка двигателя имеет полное сопротивление г, равное 10 ом. Определить токи в линейных проводах и в обмотке двигателя, если последняя соединена треугольником (фиг. 192, а).

Так как при соединении треугольником U_Л = U_ф , то

Изоляция фазы двигателя рассчитана на напряжение 220 в, а сечение фазной обмотки рассчитано по нагреву на ток 22 а.

При соединении треугольником =22-1,73=38 а.

Тот же двигатель можно включить и на линейное напряжение 380 в, переключив обмотки двигателя звездой (фиг. 192, б).

В двигателях и других потребителях трехфазного тока в большинстве случаев наружу выводят все шесть концов трех обмоток, которые по желанию можно соединять либо звездой, либо треугольником. Обычно к трехфазной машине крепится доска из изоляционного материала (клеммная доска), на которую и выводят все шесть концов.

На фиг. 193 показана схема присоединения контактов на клеммной доске к концам обмоток трехфазной машины. Медные перемычки позволяют легко менять схему включения обмоток.

Если у нас есть двигатель, на паспорте которого написано 127/220 в, значит этот двигатель можно использовать на два на пряжения: 127 и 220 в.

Если линейное напряжение равно 127 в, то обмотки двигателя необходимо включить треугольником (фиг. 193, б). Тогда обмотка фазы двигателя попадает под напряжение 127 в. При напряжении 220 в обмотки двигателя нужно включить звездой (фиг. 193, а), тогда обмотка фазы также будет под напряжением 127 в.

Источник

В чем главные отличия линейного и фазного напряжения?

Одним из видов систем с множеством фаз, представлены цепи, состоящие из трех фаз. В них действуют электродвижущие силы синусоидального типа, возникающие с синхронной частотой, от единого генератора энергии, и имеют разницу в фазе.

Электрическое напряжение трехфазных сетей

Под фазой, понимаются самостоятельные блоки системы с множеством фаз, имеющие идентичные друг другу параметры тока. Поэтому, в электротехнической области, определение фазы имеет двойное толкование.

Во-первых, как значение, имеющее синусоидальное колебание, а во-вторых, как самостоятельный элемент в электросети с множеством фаз. В соответствии с их количеством и маркируется конкретная цепь: двухфазная, трехфазная, шестифазная и т.д.

Сегодня в электроэнергетике, наиболее популярными являются цепи с трехфазным током. Они обладают целым перечнем достоинств, выделяющих их среди своих однофазных и многофазных аналогов, так как, во-первых, более дешевы по технологии монтажа и транспортировки электроэнергии с наименьшими потерями и затратами.

Во-вторых, они имеют свойство легко образовывать движущееся по кругу магнитное поле, которое является движущей силой для асинхронных двигателей, которые используются не только на предприятиях, но и в быту, например, в подъемном механизме высотных лифтов и т.д.

Электрические цепи, имеющие три фазы, позволяют одновременно пользоваться двумя видами напряжения от одного источника электроэнергии – линейным и фазным.

Виды напряжения

Знание их особенностей и характеристик эксплуатации, крайне необходимо для манипуляций в электрощитах и при работе с устройствами, питаемыми от 380 вольт:

1. Линейное. Его обозначают как межфазный ток, то есть проходящий между парой контактов или идентичными клеймами разных фаз. Оно определяется разностью потенциалов пары фазных контактов.
2. Фазное. Оно появляется при замыкании начального и конечного выводов фазы. Также, его обозначают как ток, возникающий при замыкании одного из контактов фазы с нулевым выводом. Его величина определяется абсолютным значением разности выводов от фазы и Земли.

Отличия

В обычной квартире, или частном доме, как правило, существует только однофазный тип сети 220 вольт, поэтому, к их щиту электропитания, подведены в основном два провода – фаза и ноль, реже к ним добавляется третий – заземление.

К высотным многоквартирным зданиям с офисами, гостиницами или торговыми центрами, подводится сразу 4 или 5 кабелей электропитания, обеспечивающих три фазы сети 380 вольт.

Почему такое жесткое разделение? Дело в том, что трехфазное напряжение, во-первых, само отличается повышенной мощностью, а во-вторых, оно специфически подходит для питания особых сверхмощных электродвигателей трехфазного типа, которые используются на заводах, в электролебедках лифтов, эскалаторных подъемниках и т.д.

Такие двигатели при включении в трехфазную сеть вырабатывают в разы большее усилие, чем их однофазные аналоги тех же габаритов и веса.

Соединяя проводники не нужно монтировать нулевой контакт, ведь вероятность пробоя очень мала, благодаря не занятой нейтрали.

Но такая схема сети имеет и свое слабое место, так как в линейной схеме монтажа крайне сложно найти место повреждения проводника в случае аварии или поломки, что может повысить риск возникновения пожара.

Таким образом, главным отличием между фазным и линейным типами являются разные схемы подключения проводов обмоток источника и потребителя электроэнергии.

Соотношение

Значение напряжения фазы равняется около 58% от мощности линейного аналога. То есть, при обычных эксплуатационных параметрах, линейное значение стабильно и превосходит фазное в 1,73 раза.

Оценка напряжения в сети трехфазного электрического тока, в основном производится по показателям его линейной составляющей. Для линий тока этого типа, подающегося с подстанций, оно, как правило, равняется 380 вольтам, и идентично фазному аналогу в 220 В.

В электросетях с четырьмя проводами, напряжение трехфазного тока маркируется обоими значениями – 380/220 В. Это обеспечивает возможность питания от такой сети устройств, как с однофазным потреблением электроэнергии 220 вольт, так и более мощных агрегатов, рассчитанных на ток 380 В.

Самой доступной и универсальной стала система трехфазного типа 380/220 В, имеющая нулевой провод, так называемое заземление. Электрические агрегаты, работающие на одной фазе 220 В., могут быть запитаны от линейного напряжения при подключении к любой паре фазных выводов.

В этом случае, применение нулевого вывода в качестве заземления, не является обязательным, хотя в случае повреждения изоляции проводов, его отсутствие серьезно повышает вероятность удара током.

Схема

Агрегаты трехфазного тока имеют две схемы подключения в сеть: первая – «звезда», вторая – «треугольником». В первом варианте, начальные контакты всех трех обмоток генератора замыкаются вместе по параллельной схеме, что, как и в случае с обычными щелочными батарейками не даст прироста мощности.

Вторая, последовательная схема подключения обмоток источника тока, где каждый начальный вывод подключается к конечному контакту предыдущей обмотки, дает трехкратный прирост напряжения за счет эффекта суммирования напряжений при последовательном подключении.

Кроме того, такие же схемы подключения имеют и нагрузку в виде электродвигателя, только устройство, подключенное в трехфазную сеть по схеме «звезда», при токе в 2,2 А будет выдавать мощность 2190Вт, а тот же агрегат, подключенный «треугольником», способен выдать в три раза большую мощность – 5570, за счет того, что благодаря последовательному подключению катушек и внутри двигателя, сила тока суммируется и доходит до 10 А.

Расчет линейного и фазного напряжения

Сети с линейным током нашли широкое применение за счет своих характеристик меньшей травмоопасности и легкости разведения такой электропроводки. Все электрические устройства в этом случае соединены только с одним фазным проводом, по которому и идет ток, и только он один и представляет опасность, а второй – это земля.

Рассчитать такую систему несложно, можно руководствоваться обычными формулами из школьного курса физики. Кроме того, для измерения этого параметра сети, достаточно использовать обычный мультиметр, в то время как для снятия показаний подключения фазного типа, придется задействовать целую систему оборудования.

Для подсчета напряжения линейного тока, применяют формулу Кирхгофа:

Уравнение которой гласит, что каждой из частей электрической цепи, сила тока равна нулю – k=1.

И закон Ома:

Используя их, можно без труда произвести расчеты каждой характеристики конкретного клейма или электросети.

В случае разделения системы на несколько линий, может появиться необходимость рассчитать напряжение между фазой и нулем:

Эти значения являются переменными, и меняются при разных вариантах подключения. Поэтому, линейные характеристики идентичны фазовым.

Однако, в некоторых случаях, требуется вычислить чему равно соотношение фазы и линейного проводника.

Для этого, применяют формулу:

Uл – линейное, Uф – фазовое. Формула справедлива, только если – I_L = I_F.

При добавлении в электросистему дополнительных отводящих элементов, необходимо и персонально для них рассчитывать фазовое напряжение. В этом случае, значение Uф заменяется на цифровые данные самостоятельного клейма.

При подключении промышленных систем к электросети, может появиться необходимость в расчете значения реактивной трехфазной мощности, которое вычисляется по следующей формуле:

Идентичная структура формулы активной мощности:

Примеры расчета:

Например, катушки трехфазного источника тока подключены по схеме «звезда», их электродвижущая сила 220В. Необходимо вычислить линейное напряжение в схеме.

Линейные напряжения в этом подключении будут одинаковы и определяются как:

Источник

Примеры решения задач

Пример
1.
Три одинаковых положи­тельных заряда
Q₁=Q₂=Q₃=
1
нКл расположены по вершинам равностороннего
треугольника (рис.23). Какой отрицательный
заряд нужно помес­тить в центре
треугольника, чтобы сила притяже­ния
с его стороны уравновесила силы взаимного
отталкивания зарядов, находящихся в
вершинах?

Решение.
Все три заряда, расположенных

по
вершинам треугольника, находятся в
одина­ковых условиях. Поэтому для
решения задачи достаточно выяснить,
какой за­ряд следует поместить в
центре треугольника, чтобы один из трех
зарядов, на­пример
Q₁,
находился
в равновесии.

В
соответствии с принципом суперпозиции
на заряд действует каждый за­ряд
независимо от остальных. Поэтому заряд
Q₁
будет
находиться в равновесии, если векторная
сумма действующих на него сил равна
нулю:

F₂
+ F₃
+ F₄
= F
+ F₄
=
0, (1)

где
F₂,
F₃,
F₄
— силы,
с которыми соответственно действуют
на заряд Q₁
заряды
Q₂,
Q₃
и Q₄,
F
—
равнодействующая сил F₂,
F₃.

Так
как силы F
и F₄
направлены по одной прямой, то векторное
равенство (1) можно заменить скалярной
суммой:

F-F₄=0,
или F₄=F.

Выразив
в последнем равенстве F
через F₂
и F₃
и учитывая, что F₃=F₂
, получим

Применяя
закон Кулона и имея в виду, что Q₂=
Q₁=Q₃
,
найдем

откуда

(2)

Из
геометрических построений в равностороннем
треугольнике следует, что

С
учетом этого формула (2) примет вид

Q₄=Q₁/√3.

Подставив
сюда значение Q₁
,получим

Q₄=0,58
нКл.

Отметим,
что равновесие системы зарядов будет
неустойчивым.

Пример
2.
Два заряда 9Q
и
-Q
закреплены
на расстоянии l=50
см друг от
друга.
Третий заряд Q₁
может
перемещаться только вдоль прямой,
проходящей через заряды. Определить
положение заряда Q_1,
при
котором он будет находиться в равновесии.
При каком знаке заряда равновесие будет
устойчивым? Равновесие называется
устойчивым, если при малом смещении
заряда от положения равновесия возникают
силы, возвращающие его в положение
равно­весия.

Решение.
Заряд Q₁
будет
находиться в равновесии в том случае,
если век торная сумма сил, действующих
на него, будет равна нулю. Это значит,
что на заряд Q₁
должны
действовать две силы, равные по модулю
и противоположны! по направлению.
Рассмотрим, на каком из трех участков
I,
II, III (рис. 24) может быть выполнено это
условие. Для определенности будем
считать, что заряд Q₁
—положительный.

На
участке I (рис. 24, а) на заряд Q₁
действуют две противоположно направленные
силы: F₁
и
F₂.
Сила F₁
действующая со стороны заряда 9Q,
в любой точке
этого участка будет больше, чем сила
F₂,
действующая со стороны заря­да -Q,
так
как больший (по модулю) заряд 9Q
всегда
находится ближе к заряду Q₁,
чем
меньший заряд —Q.
Поэтому
равновесие на этом участке невозможно.

На
участке II (рис. 24, б) обе силы и F₂
направлены
в одну сторону — к заряду —Q.
Следовательно,
и на втором участке равновесие невозможно.

На
участке III (рис. 24, в) силы F_t
и
F₂
направлены
в противоположные сто­роны, так же
как и на участке I, но в отличие от него
меньший (по модулю) за­ряд (- Q)
всегда
находится ближе к заряду Q₁,
чем
больший заряд (9Q).
Это
значит, что можно найти такую точку на
прямой, где силы F₁
и F₂
будут
оди­наковы по модулю, т. е.

(1)

Пусть
расстояние от меньшего заряда до заряда
Q₁
равно , тогда расстояние от большего
заряда будет (l+x).
Выражая в равенстве (1) F₁
и F₂
в соответствии с законом Кулона, получим

Сокращая
на QQ₁
и
извлекая из обеих частей равенства
квадратный корень, найдем l+х=±3х,
откуда х₁=+l/2
и х₂=-l/4.

Корень
х₂
не удовлетворяет физическому условию
задачи (в этой точке силы F₁
и
F₂
хотя
и равны по модулю, но направлены в одну
сторону).

Определим
знак заряда, при котором равновесие
будет устойчивым. Рас­смотрим смещение
заряда Q₁
в
двух случаях: 1) заряд положителен; 2)
заряд отрицателен.

1.
Если заряд Q₁
положителен,
то при смещении его влево обе силы F₁
и F₂
возрастают,
но F₁
возрастает
медленнее (заряд 9Q
всегда
находится дальше, чем —Q).
Следовательно,
F₂
(по
модулю) больше, чем F₁,
и
на заряд Q₁
будет
действовать результирующая сила,
направленная также влево. Под действием
этой силы заряд Q₁
удаляется
от положения равновесия. То же происходит
и при смещении заряда Q₁
вправо.
Сила F₂
убывает
быстрее, чем F₁.
Векторная
сумма сил в этом случае направлена
вправо. Заряд под действием этой силы
также
будет перемещаться вправо, т. е. удаляться
от положения равновесия. Таким образом,
в случае положительного заряда равновесие
является неустойчивым.

2.
Если заряд Q₁,
отрицателен,
то его смещение влево вызовет увеличение
сил F₂
и
F₁,
но
сила F₁
возрастает
медленнее, чем F₂,
т.е.
F₂>F₁.
Результирующая
сила будет направлена вправо. Под
действием этой силы заряд Q₁

возвращается
к положению равновесия. При смещении
Q₁
вправо
сила F₂
убывает
быстрее, чем F₁
т.
е. |F₁|>|F₂|.
Результирующая
сила направлена влево и заряд Q₁
опять
будет возвращаться к положению равновесия.
При отрицательном заряде равновесие
является устойчивым. Величина самого
заряда Q₁
несущественна.

Отметим,
что в электростатике устойчивое
равновесие возможно только при
определенных ограничениях. В нашем
примере заряд Q₁
может
перемещаться только вдоль прямой,
проходящей через заряды —Q
и
9Q.
Если
это ограничение
снять, то устойчивого равновесия не
будет. В системе зарядов, находящихся
под действием одних только электростатических
сил, устойчивое равновесие невозможно
(теорема Ирншоу).

Пример
3.
Тонкий стержень длиной l=30
см (рис. 25) несет равномерно распределенный
по длине заряд с линейной плотностью
τ=1
мкКл/м. На рас стоянии r₀=20
см от стержня находится заряд Q₁=10
нКм
равноудаленный от концов, стержня.
Определить силу F
взаимодействия точечного заряда с
заряженным стержнем.

Решение.
Закон Кулона позволяет вычислить силу
взаимодействия точечных зарядов. По
условию задачи один из зарядов не
является точечным, а представляет собой
заряд, равномерно распределенный по
длине стержня. Однако если выделить на
стержне дифференциально малый
участок
длиной dl,
то
находящийся на нем заряд dQ=τdl
можно
рассматривать как точечный и тогда по
закону Кулона
сила взаимодействия между зарядами Q₁
и
dQ:

(1)

где
r
— расстояние от выделенного элемента
до заряда Q₁.
Здесь и далее, если в условии задачи не
указана среда, имеется в виду, что заряды
находятся в вакууме (Ɛ=1).

Из
чертежа (рис. 25) следует, что

где
r₀
— расстояние от заряда Q₁
до стержня. Подставив эти выражения в
фор­мулу (1), получим

(2)

Следует
иметь в виду, что dF
—
вектор, поэтому, прежде чем интегри­ровать,
разложим его на две составляющие: dF₁,
перпендикулярную стержню, и dF₂,
параллельную
ему.

Из
рис. 25 видно, что dF₁=dFcosα,
dF₂—dFsinα.
Подставляя
значение dF
из
выражения (2) в эти формулы, найдем:

Интегрируя
эти выражения в пределах от —β
до
+β
,получим

В
силу симметрии расположения заряда Q₁
относительно
стержня интег­рирования второго
выражения дает нуль

Таким
образом, сила, действующая на заряд Q_1,

(3)

Из
рис. 25 следует, что
.Подставив
это выражение sinβ
в
формулу (3), получим

(4)

Произведем
вычисления по формуле (4):

Пример
4.Электрическое
поле создано двумя точечными зарядами
Q₁=30
нКл
и Q₂=
-10
нКл. Расстояние d
между
зарядами
равно 20 см. Определить напряженность
электрического поля в точке, находящейся
на расстоянии r₁=15
см от первого и на расстоянии r₂=
10 см от второго зарядов.

Решение.
Согласно принципу суперпозиции
электрических
полей, каждый заряд создает поле
независимо от присутствия в пространстве
других зарядов. Поэтому напряженность
Е
электрического поля в искомой
точке может быть найдена как векторная
сумма напряженностей Е₁,
и Е₂
полей, создаваемых каждым зарядом в
отдельности: Е=
Е₁
+ Е₂.
Напряженности
электрического поля, создаваемого в
вакууме первым и вторым зарядами,
соответственно равны

(1)

Вектор
Е₁

(рис. 26) направлен по силовой линии от
заряда Q₁
,так
как заряд Q₁>0;
вектор
Е₂
направлен также по силовой линии, но к
заряду Q₂,
так
как Q₂<
0.

Модуль
вектора Е
найдем по теореме косинусов:

(2)

где
угол α
может быть найден из треугольника со
сторонами r_1,
r₂
и d:

В
данном случае во избежание громоздких
записей вычислим отдельно значение cos
α.
По
этой формуле найдем

cos
α
=0,25.

Подставляя
выражения E₁
и Е₂
по формулам (1) в равенство (2) и выноси
общий множитель 1/(4πƐ₀)
за знак корня, получаем

Подставив
значения величин π,
Ɛ₀,
Q₁,
Q₂,
r_1,
кr₂
и cosα
в
последнюю формулу и произведя вычисления,
найдем

Пример5.
Электрическое поле создано двумя
параллельными бесконеч­ными заряженными
плоскостями с поверхностными плотностями
заряда σ₁=0,4
мкКл/м²
и σ₂=0,1
мкКл/м².
Определить напряженность электрического
поля, созданного этими заряженными
плоскостями.

Решение. Согласно принципу

суперпозиции,
поля, создаваемые каждой заряженной
плоскостью в отдельности, накладываются
друг на друга, причем каждая заряженная
плоскость создает электрическое поле
независимо от присутствия другой
заряженной плоскости (рис. 27).

Напряженности
однородных электрических полей,
создаваемых первой и второй плоскостями,
соответственно равны:

Плоскости
делят все пространство на три области:
I,
II
и III.
Как видно из рисунка, в первой и третьей
областях электрические силовые линии
обоих по­лей направлены в одну сторону
и, следовательно, напряженности суммарных
нолей Е^(I)
и E^(III)
в первой и третьей областях равны между
собой и равны сумме напряженностей
полей, создаваемых первой и второй
плоскостями:

Во
второй области (между плоскостями)
электрические силовые линии полей
направлены в противоположные стороны
и, следовательно, напряженность поляЕ^(III)
равна разности напряжен­ностей полей,
создаваемых первой и второй плоскостями:

Подставив
данные и произведя вычисления, получим

Е^(I)=Е^(III)=
28,3 кВ/м; E^(II)=17
кВ/м.

Картина
распределения силовых линий суммарного
поля представлена на рис. 28.

Пример6.
На пластинах плоского воздушного
конденсатора находки заряд Q=10
нКл.
Площадь S
каждой
пластины конденсатора равна 100 см².
Определить силу F,
с
которой притягиваются пластины. Поле
между пластинами считать однородным.

Решение.
Заряд Q
одной
пластины находится в поле, созданном
зарядим другой пластины конденсатора.
Следовательно, на первый заряд действует
сила (рис. 29)

F=E₁Q,
(1)

где
E₁
—
напряженность поля, создаваемого зарядом
одной пластины. Но

где σ – поверхностная плотность
заряда пластины.

Формула
(1) с учетом выражения для Е₁
примет
вид

F
=
Q²/(2Ɛ_qS).

Подставив
значения величин Q,
Ɛ₍₎
и S
в
эту формулу и произведя вычисления,
получим

F=565
мкН.

Пример
7.
Электрическое поле создано бесконечной
плоскостью, заряженной с поверхностной
плотностью σ
=400 нКл/м²,
и бесконечной прямой нитью заряженной
с линейной плотностью τ=
100 нКл/м. На расстоянии r
=10 см ш нити находится точечный заряд Q
=10
нКл. Определить силу, действующую на
заряд,
ее направление, если заряд и нить лежат
в одной плоскости, параллельной заряженной
плоскости.

Решение.
Сила, действующая на заряд, помещённый
в поле,

F=EQ,
(1)

где
Е
— напряженность поля в точке, в которой
находится заряд Q.

Определим
напряженностьЕ
поля, создаваемого, по условию задачи,
бесконечной заряжен ной плоскостью и
бесконечной заряженной нитью. Поле,
создаваемое бесконечной заряженной
плоскостью, однородно, и его напряженность
в любой точке

(2)

Поле,
создаваемое бесконечной заряженной
линией, неоднородно. Его напряженность
зависит от расстояния и определяется
по формуле

(3)

Согласно
принципу суперпозиции электрических
полей, напряженность поля
в точке, где находится заряд Q,
равна
векторной сумме напряженностей Е₁
и Е₂
(рис. 30): Е
= Е₁
+ Е₂.
Так как векторы Е₁
и Е₂
взаимно перпендику­лярны, то

Подставляя
выражения Е₁
и Е₂
по формулам (2) и (3) в это равенство,
полу­чим

или

Теперь
найдем силу F,
действующую
на заряд, подставив выражение Е
в формулу (1):

(4)

Подставив
значения величин Q,
Ɛ₀,
σ, τ, π
и r
в формулу (4) и сделав вы­числения,
найдем

F=289
мкН.

Направление
силы F,
действующей на положительный заряд Q,
совпа­дает
с направлением вектора напряженности
E
поля. Направление же вектора E
задается углом α
к заряженной плоскости. Из рис. 30 следует,
что

Подставив
значения величин π,
r,
α
и τ
в это выражение и вычислив, по­лучим

α=51°3′

Пример
8.
Точечный
заряд Q=25
нКл находится в ноле, созданном прямым
бесконечным цилиндром радиусом R=
1 см, равномерно заряженным с поверх­ностной
плотностью σ=2
мкКл/м².
Определить силу, действующую на заряд,
помещенный от оси цилиндра на расстоянии
l=10
см.

Решение.
Сила, действующая на заряд Q,
находящийся
в поле,

F=QE,

(1)

где
Е
— напряженность поля в точке, в которой
находится заряд Q.

Как
известно, напряженность поля бесконечно
длинного равномерно заря­женного
цилиндра

Е=τ/(2πƐ₀r),
(2)

где
τ—
линейная плотность заряда.

Выразим
линейную плотность τ
через
поверхностную плотность σ.
Для этого выделим элемент цилиндра
длиной l
и выразим находящийся на нем заряд Q₁,
двумя способами:

Q₁=σS=σ2πRl
и
Q₁=τl.

Приравняв
правые части этих равенств, получим τl=
σ2πRl.
После
сокращения на l
найдем τ=2πRσ.
С
учетом этого формула (2) примет вид
E=Rσ/(Ɛ₀r).
Подставив
это выражение Е
в формулу (1), найдем искомую силу:

F=QσR/(Ɛ₀r).
(3)

Так
как R
и
r
входят в формулу в виде отношения, то
они могут быть выражены в любых, но
только одинаковых единицах.

Выполнив
вычисления по формуле (3), найдем

Направление
силы F
совпадает с направлением вектора
напряженности Е,
а последний в силу симметрии (цилиндр
бесконечно длинный) направлен
перпендикулярно цилиндру.

Пример
9.
Электрическое поле создано топкой
бесконечно длинной нитью, равномерно
заряженной с линейной плотностью τ=30
нКл/м. На расстоянии a=20
см от нити находится плоская круглая
площадка радиусом r=
1
см. Опре­делить поток вектора
напряженности через эту площадку, если
плоскость ее
составляет
угол β=30°
с линией напряженности, проходящей
через середину площадки.

Решение.
Поле, создаваемое бесконечно равномерно
заряженной нитью, является неоднородным.
Поток вектора напряженности в этом
случае выражается интегралом

(1)

где
Е_n
— проекция вектора Е
на нормаль n
к
поверх­ности площадки dS.
Интегрирование
выполняется по всей поверхности площадки,
которую пронизывают линии протяженности.

Проекция
Е_n

вектора напряженности равна, как видно
из рис. 31,

E_n=Ecosα,

где
α — угол между направлением вектора и
нормалью n.
С
учетом этого формула (1) примет вид

Так
как размеры поверхности площадки малы
по сравнению с расстояни­ем до нити
(r<<a),
то электрическое поле в пределах площадки
можно считать практически однородным.
Следовательно, вектор напряженности E
очень ма­ло меняется по модулю и
направлению в пределах площадки, что
позволяет заменить под знаком интеграла
значения E
и cosα
их
средними значениями <E>
и <cosα>
и вынести их за знак интеграла:

Выполняя
интегрирование и заменяя <E>
и <cosα>
их приближенными значениями Е_А
и cosα_A,
вычисленными для средней точки площадки,
получим

(2)

Напряженность
Е_А
вычисляется по формуле Е_А=τ(2πƐ₀а).
Из рис. 31 сле­дует cosα_A=
cos(π/2-β)=sinβ.

С
учетом выражения Е_А
и cosα_А
равенство (2.) примет вид

Подставив
в последнюю формулу данные и произведя
вычисления, найдем

Ф_E=424
мВ·м.

Пример
10.
Две концентрические проводящие сферы
радиусами R₁=6
см и R₂=10
см несут соответственно заряды Q₁=l
нКл
и Q2=0,5
нКл. Найти напряженность E
поля в точках, отстоящих от центра сфер
на расстояниях r₁=5
см,
r₂=9
см, r₃=15см.
Построить график E(r).

Решение.
Заметим, что точки, в которых требуется
найти напряженности электрического
поля, лежат в трех областях (рис. 32):
область I
(r<R₁),
область II (R₁<r₂<R₂),
область
III
(r₃>R₂).

1. Для
   определения напряженности Е₁
   в области I проведем сферическую
   поверхность S₁
   радиусом r₁
   и воспользуемся теоремой
   Остроградского—Гаусса. Так как внутри
   области I зарядов нет, то согласно
   указанной теореме получим равенство

(1)

где
Е_п
— нормальная составляющая напряженности
электрического поля.

Из
соображений симметрии нормальная
составляющая E_п
должна быть равна самой напряженности
и постоянна для всех точек сферы, т. е.
E_n=E₁=const.
Поэтому
ее можно вынести за знак интеграла.
Равенство (1) при­мет вид

Так
как площадь сферы не равна нулю, то E₁=0,
т. е. напряженность поля во всех точках,
удовлетворяющих условию r₁<R₁
,будет
равна нулю.

1. В
   области II сферическую поверхность
   проведем радиусом r₂.
   Так как внутри этой поверхности находится
   заряд Q₁,
   то
   для нее, согласно теореме
   Остроградского—Гаусса, можно записать
   равенство

(2)

Так
как E_n=E₂—const,
то из условий симметрии следует

откуда

Подставив
сюда выражение площади сферы, получим

(3)

1. В
   области III
   сферическую поверхность проведем
   радиусом r₃.
   Эта поверхность охватывает суммарный
   заряд Q₁+Q₂.
   Следовательно, для нее уравнение,
   записанное на основе теоремы Остроградского
   — Гаусса, будет иметь вид

Отсюда,
использовав положения, примененные в
первых двух случаях, найдем

(4)

Убедимся
в том, что правые части равенств (3) и (4)
дают единицу напряженности электрического
поля

Выразим
все величины в единицах СИ (Q₁=10^-9
Кл,
Q₂=
-0,5·10^-9
Кл, r₂=0,09м,
r₃=0,15
м, l/(4πƐ₀)=9-10⁹
м/Ф) и произведем вычисления:

1. Построим
   графикE(r).
   В области I
   (r<R₁)
   напряженность Е=0.
   В области II (R₁<,r<R₂)
   напряженность Е₂(r)
   изменяется по закону 1/r².
   В точке r=R₁
   напряженность E₂
   (
   R₁)-Q₁
   /4πƐ₀
   R₁²)=2500
   В/м. В точке r=R₂
   (r
   стремится к R₂
   слева) E₂(R₂)=Q₁/(4πƐ₀
   R₂²
   )=900В/м. В области III
   (r>R₂)
   Е₃(r)
   изменяется по закону 1/r²
   причем
   в точке r=R₂
   (r
   стремится к R₂
   справа) E₃(R₂)=(Q₁—
   |Q₂|)/(4-πƐ₀R₂²
   )⁼450
   В/м. Таким образом, функция E(r)
   в точках r=R₁
   и r=R₂
   терпит разрыв. График зависимости E(r)
   представлен на рис. 33.

Пример
11. Положительные
заряды Q₁=3
мкКл и Q₂=20
нКл находятся в вакууме на расстоянии
r₁
=1,5
м друг от друга. Определить работу A,
которую
надо совершить, чтобы сблизить заряды
до расстояния r₂=
1
м.

Решение.
Положим, что первый заряд Q₁
остается
неподвижным, а вто­рой Q₂
под
действием внешних сил перемещается в
поле, созданном зарядом Q₁,
приближаясь
к нему с расстояния r₁
=1,5 м до r₂=1м.

Работа
A’
внешней
силы по перемещению заряда Q
из
одной точки поля с потенциалом φ₁
в
другую, потенциал которой φ₂,
равна по модулю и противо­положна по
знаку работе А
сил поля по перемещению заряда между
теми же точками:

A’=-A.

Работа/1
сил поля по перемещению заряда A=Q(φ₁—
φ₂).
Тогда работа A‘
внешних
сил может быть записана в виде

(1)

Потенциалы
точек начала и конца пути выразятся
формулами

Подставляя
выражения φ₁
и φ₂
в формулу (1) и учитывая, что для данного
случая переносимый заряд Q=Q₂,
получим

Если
учесть, что l/(4πƐ₀)=9·10⁹
м/Ф, то после подстановки значений
величин в формулу (2) и вычисления найдем

A’=180
мкДж.

Пример
12. Найти
работу A
поля по перемещению заряда Q=10
нКл
из
точки
1
в точку 2
(рис. 34), находящиеся между двумя
разноименно заряженными с поверхностной
плотностью σ=
0,4 мкКл/м²
бесконечными параллельными плоскостями,
расстояние l
между которыми равно 3 см.

Решение.
Возможны два способа решения задачи.

1-й
способ.
Работу сил поля по перемещению заряда
Q
из
точки 1
поля с потенциалом φ₁
в
точку 2
поля с потенциалом φ₂
найдем
по формуле

(1)

Для
определения потенциалов в точках 1
и 2
проведем через эти точки эквипотенциальные
поверхности I и II.
Эти поверхности будут плоскостями,

так
как поле между двумя равномерно
заряженными бесконечными параллельными
плоскостями однородно. Для такого поля
справедливо соотношение

φ₁—
φ₁
=El,
(2)

где
E
— напряженность поля; l
— расстояние между эквипотенциальными
поверхностями.

Напряженность
поля между параллельными бесконечными
разноименно заряженными плоскостями
E=σ/Ɛ₀.
Подставив
это выражение E
в формулу (2) и затем выражение φ₁—
φ₁
в
формулу (1), получим

A=Q(σ
/Ɛ₀)l.

2-й
способ.
Так как поле однородно, то сила, действующая
на заряд Q,
при
его перемещении постоянна. Поэтому
работу перемещения заряда из точки 1
в точку 2
можно подсчитать по формуле

A=FΔr
cosα,

(3)

где
F
—
сила, действующая на заряд; Δr—
модуль перемещения заряда Q
из
точки 1 в точку 2; α
— угол между направлениями перемещения
и силы. Но F=QE=
Q(σ
/_Ɛ0
).Подставив
это выражение F
в
равенство (3), а также заметив, что
Δrcosα=l,
получим

A=Q(σ
/Ɛ₀)l
.

(4)

Таким
образом, оба решения приводят к одному
и тому же результату.

Подставив
в выражение (4) значение величин Q,
σ,
Ɛ₀
и l,
найдем

А=13,6
мкДж.

Пример
13.По
тонкой нити, изогнутой по дуге ок­ружности
радиусом R,
равномерно
распределен заряд с линейной плотностью
τ =10 нКл/м. Определить напряжен­ность
Е
и потенциал φ
электрического поля, создаваемого таким
распределенным зарядом в точке О,
совпадающей с центром кривизны дуги.
Длина
l
нити составляет 1/3 дли­ны окружности
и равна 15 см.

Решение.
Выберем оси координат так, чтобы начало
координат совпадало с центром кривизны
дуги, а ось y
была симметрично рас­положена
относительно концов дуги (рис. 35). На
нити выделим элемент дли­ны dl.
Заряд dQ=τdl,
находящийся
на выделенном участке, можно считать
то­чечным.

Определим
напряженность электрического поля в
точке O.
Для этого найдем сначала напряженность
dE
поля,
создаваемого зарядом dQ:

где
r
—
радиус-вектор, направленный от элемента
dl
к
точке, напряженность в которой вычисляется.
Выразим вектор dE
через
проекции dE_x
и
dE_y
на
оси координат:

где
i
и
j
— единичные
векторы направлений (орты).

Напряженность
Е
найдем интегрированием:

Интегрирование
ведется вдоль дуги длины
l.
В силу симметрии интеграл

равен
нулю. Тогда

(1)

Подставим
найденное выражение dE_y
в
(1)
и,
приняв во внимание сим­метричное
расположение дуги относительно оси Оу,
пределы интегрирования возьмем от 0 до
π/3,
а результат удвоим;

Подставив
указанные пределы и выразив R
через длину дуги (3l=2π
R),
получим

Из
этой формулы видно, что вектор E
совпадает с положительным направлением
оси Оу.
Подставив значение τ и l
в последнюю формулу и сделав вычисления,
найдем

E=2,18
кВ/м.

Определим
потенциал электрического поля в точке
О.
Найдем сначала

потенциал
dφ,
создаваемый
точечным зарядом dQ
в
точке О:

Заменим r
на R
и произведем интегрирование:

Так
как l=2πR/3,
то

φ
= τ/(6Ɛ₀).

Произведя
вычисления по этой формуле, получим

φ=188
В.

Пример
14. Электрическое
поле создано длинным цилиндром радиусом
R=1см,
равномерно заряженным с линейной
плотностью τ=20 нКл/м. Определить разность
потенциалов двух точек этого поля,
находящихся на расстоянии a₁=0,5
см и а₂=1
см от поверхности цилиндра, в средней
его части.

Решение.
Для определения разности потенциалов
воспользуемся соотношением
между напряженностью поля и изменением
потенциала Е
= -gradφ.
Для
поля с осевой симметрией, каким является
поле цилиндра, это соотношение можно
записать в виде

Интегрируя
последнее выражение, найдем разность
потенциалов двух точек, отстоящих на
r₁
и r₂
от оси цилиндра;

(1)

Так
как цилиндр длинный и точки взяты вблизи
его средней части, то дли выражения
напряженности поля можно воспользоваться
формулой

Подставив
это выражение E
в равенство (1), получим

(2)

Так
как величины r₂
и r₁
входят в формулу в виде отношения, то
их мож­но выразить в любых, но только
одинаковых единицах:

Подставив
значения величин τ,
Ɛ₀,
r₁
и r₂
в формулу (2) и вычислив, найдем

φ₁
–φ₂=250
В.

Пример
15. Электрическое
иоле создано тонким стержнем, несущим
равномерно распределенный по длине
заряд τ =0,1 мкКл/м. Определить потен­циал
φ
поля в точке, удаленной от концов стержня
на расстояние, равное длине стержня.

Решение.
Заряд, находящийся на стержне, нельзя
считать точечным, по­этому непосредственно
применить для вычисления потенциала
формулу

(1)

справедливую
только для точечных зарядов, нельзя. Но
если разбить стержень на элементарные
отрезкиdl,
то
заряд τdl,
находящийся
на каждом из них,
можно
рассматривать как точечный и тогда
формула (1) будет справедлива. Применив
эту формулу, получим

(2)

где
r
— расстояние точки, в которой определяется
потенциал, до элемента стержня.

Из
рис. 36 следует, что dl=(rdα/cosα).
Подставив
это выражение dl
в
формулу
(2),
найдем

Интегрируя
полученное выражение в пределах от α₁
да α₂,
получим по­тенциал, создаваемый всем
зарядом, распределенным на стержне:

В
силу симметрии расположения точки А
относительно концов стержня имеем
α₁=α₂
и
поэтому

Следовательно,

Пример
16. Электрон
со скоростью ʋ
=1,83-10 м/с влетел в однородное электрическое
поле в направлении, противоположном
вектору напряженности поля. Какую
разность потенциалов φ
должен пройти электрон, чтобы обладать
энергией E_i
=13,6 эВ? (Обладая такой энергией, электрон
при столкновении с атомом водорода
может ионизировать его.)

Решение.
Электрон должен пройти такую разность
потенциалов U,
что­бы
приобретенная при этом энергия W
в сумме с кинетической энергией W_K
,
которой обладал электрон перед вхождением
в поле, составила энергию, равную
энергии ионизации E_i
,т.
е. W+W_K
=E_i
.
Выразив в этой формуле W=eU
и
W_K
-(mv²
/2),
получим eU+(mv²/2)=E_i
.
Отсюда

Электрон-вольт
(эВ) — энергия, которую приобретает
частица, имеющая заряд, равный заряду
электрона, прошедшая разность потенциалов
1 В. эВ=1,6-10′¹⁹Дж.

Произведем
вычисления в единицах СИ (масса электрона
— т
= 9,1 • 10^-31
кг, заряд электрона — q
=
-е, где е
=
1,6 ·10^-19
Кл — элементарный заряд):

Пример
17. Определить
начальную скорость v₍₎
сближения
протонов, находящихся на достаточно
большом расстоянии друг от друга, если
минимальное расстояние r_min,
на которое они могут сблизиться,равно
10^-11
см.

Решение.
Между двумя протонами действуют силы
отталкивания, вследствие чего движение
протонов будет замедленным. Поэтому
задачу можно решить как в инерциальной
системе координат (связанной с центром
масс двух протонов), так и в неинерциальной
(связанной с одним из ускоренно движущихся
протонов). Во втором случае законы
Ньютона не имеют места. Применение же
принципа Даламбера затруднительно
из-за того, что ускорение сис­темы
будет переменным. Поэтому удобно
рассмотреть задачу в инерциальной
системе отсчета.

Поместим
начало координат в центр масс двух
протонов. Поскольку мы имеем дело с
одинаковыми частицами, то центр масс
будет находиться в точке, делящей пополам
отрезок, соединяющий частицы. Относительно
центра масс частицы будут иметь в любой
момент времени одинаковые по модулю
скоро­сти. Когда частицы находятся
на достаточно большом расстоянии друг
от дру­га, скорость и, каждой частицы
равна половине v₀,
т.
е. v₁
=
v₀/2.

Для
решения задачи применим закон сохранения
энергии, согласно кото­рому полная
механическая энергия W
изолированной
системы постоянна, т. е.

W
=
W_K
+
W_p,

где
W_K
—
сумма кинетических энергий обоих
протонов относительно центра масс; W_p
—
потенциальная энергия системы зарядов.

Выразим
потенциальную энергию в начальный W
_p1
и конечный W_p2
мо­менты
движения.

В
начальный момент, согласно условию
задачи, протоны находились на большом
расстоянии, поэтому потенциальной
энергией можно пренебречь (W_p1=0).
Следовательно,
для начального момента полная энергия
будет равна кинетической энергии W_K1
протонов,
т. е.

W
= W_K1.
(1)

В
конечный момент, когда протоны максимально
сблизятся, скорость и кинетическая
энергия равны нулю, а полная энергия
будет равна потенциаль­ной энергии
W_p2
,
т.e.

W=W_p2.
(2)

Приравняв
правые части равенств (1) и (2), получим

W_K1=W_p1
(3)

Кинетическая
энергия равна сумме кинетических энергий
протонов:

(4)

Потенциальная
энергия системы двух зарядов Q₁
и Q₂,
находящихся в ва­кууме, определяется
по формуле W_р
= Q₁Q₂/(4πƐ₀r),
где r
—
расстояние между зарядами. Воспользовавшись
этой формулой, получим

(5)

С
учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет
вид

Выполнив
вычисления по полученной формуле (масса
протона равна т=1,67·10
²⁷
кг), найдем ʋ₀
= 2,35 Мм/с.

Пример
18.Электрон
без начальной скорости прошел разность
потенциалов U_o=10
кВ
и влетел в пространство между пла­стинами
плоского конденсатора, заряженного до
разности потенциалов U₁
=100 В,
по линии АВ,
параллельной
пластинам (рис. 37). Расстояние d
между
пластинами равно 2 см. Длина
l₁
пластин
конденсатора в направлении полета
электрона, равна 20 см. Определить
расстояние ВС
на экране P,
отстоящем от конденсатора на
l₂
=1м.

Решение.
Движение электрона внутри конденсатора
складывается из двух движений: 1) по
инерции вдоль линии АВ
с постоянной скоростью v₀,
приобретенной
под действием разности потенциалов U₀,
которую
электрон прошел до конденсатора; 2)
равномерно ускоренного движения в
вертикальном направлении к положительно
заряженной пластине под действием
постоянной силы поля конденсатора. По
выходе из конденсатора электрон будет
двигаться равномерно со скоростью ʋ,
которую он имел в точке М
в момент вылета из конденсатора.

Из
рис. 37 видно, что искомое расстояние
|BC|=h₁
+h₂,
где
с h₁
— расстояние, на которое сместится
электрон в вертикальном направлении
во время движения в конденсаторе; h₂
—
расстояние между точкой D
на
экране, в которую электрон попал бы,
двигаясь по выходе из конденсатора по
направлению начальной скорости ʋ₀,
и точкой С, в которую электрон попадет
в действительности.

Выразим
отдельно h₁
и h₂.
Пользуясь формулой длины пути равномерно
ускоренного движения, найдем

h₁=
at²
/2.
(1)

где
а
— ускорение, полученное электроном под
действием поля конденсатора, t
—
время полета электрона внутри конденсатора.

По
второму закону Ньютона a=F/m,
где
F
—
сила, с которой поле действует на
электрон; т
—
его масса. В свою очередь, F
=eE=eU₁
/d,
где
е
—
модуль за ряда электрона; U₁
—
разность потенциалов между пластинами
конденсатора, d
—
расстояние между ними. Время полета
электрона внутри конденсатора найдем
из формулы пути равномерного движения
l₁
=
ʋ₀t,
откуда

t
= l_l
/
ʋ₀,

где
l₁
— длина конденсатора в направлении
полета электрона. Выражение скорости
найдем из условия равенства работы,
совершенной полем при перемещении
электрона, и приобретенной им кинетической
энергии: mʋ²/2=eU₀
. Отсюда

ʋ₀²
=2eU₀/m.
(2)

Подставляя
в формулу (1) последовательно значения
a,
F,
t
и v₀²
из
соответствующих выражений, получим

Длину
отрезка
l₂
найдем из подобия треугольников MDC
и векторного:

(3)

где
ʋ₁
— скорость электрона в вертикальном
направлении в точке М;

l₂—
расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость
и, найдем по формуле ʋ₁=at
, которая с учетом выражений для a,
F
и
t
примет
вид

Подставив
выражение ʋ₁

в формулу (3), получим

или,
заменив v₀²
по формуле (3), найдем

Окончательно
для искомого расстояния ВС
будем
иметь

Подставив
значения величин U₁,
U₀,
d,
l₁
и
l₂
в
последнее выражение и произ­ведя
вычисления, получим |BC|=5,5см.

Пример
19. Диполь
с электрическим моментом p=2
нКл-м
находится в однородном электрическом
поле напряженностью E=30
кВ/м. Вектор p
со­ставляет
угол α=60°
с
направлением силовых линий поля.
Определить произ­веденную внешними
силами работу A
поворота
диполя на угол β=30°.

Решение.
Из
исходного положения (рис. 38, а)
диполь
можно повернуть на угол β=30°=π/6 двумя
способами: или по часовой стрелке до
угла

α₁=α₀-β=π/3
— π/6=π/6 (рис. 38, б), или против часовой
стрелки до угла

α₂=α₀+β
=π/3+π/6=π/2
(рис. 38, в).

В
первом случае диполь будет поворачиваться
под действием сил поля. Следовательно,
работа внешних сил при этом отрицательна.
Во втором случае поворот может быть
произведен только под действием внешних
сил и, следо­вательно, работа внешних
сил при этом положительна.

Работу,
совершаемую при повороте диполя, можно
вычислять двумя способами: 1) непосредственно
интегрированием выражения элементарной
ра­боты; 2) с помощью соотношения между
работой и изменением потенциальной
энергии диполя в электрическом поле.

1-й
способ.
Элементарная
работа при повороте диполя на угол α

dA=Mdα
=рЕ
sin
α
dα,

а
полная работа при повороте на угол от
α₀
до α

Произведя
интегрирование, получим

(1)

Работа
внешних сил при повороте диполя по
часовой стрелке

против
часовой стрелки

2-й
способ.
Работа А
внешних сил связана с изменением
потенциальной энергии ΔW_p
соотношением
A=AW_p
= W_p2
—
W_p1,
где W_p1
и
W_p2
—
потенциальные энергии системы
соответственно в начальном и конечном
состояниях Так как потенциальная энергия
диполя в электрическом поле выражается
формулой

W_p
=—рЕ
cos
α,
то

что
совпадает с формулой (1), полученной
первым способом.

Пример
20. Определить
электрическую емкость C
плоского конденсатора с двумя слоями
диэлектриков: фарфора толщиной d₁=2
мм
и эбонита толщиной d₂=
1,5
мм, если площадь S
пластин
равна 100 см².

Решение.
Емкость конденсатора, по определению,
C=Q/U,
где Q
—
заряд на пластинах конденсатора; U
—
разность потенциалов пластин. Заменив
в этом равенстве общую разность
потенциалов V
конденсатора суммой U₁+
U₂
напряжений
на слоях диэлектриков, получим

Приняв
во внимание, что

(1)

равенство
(1)
можно
переписать в виде

(2)

где
σ
—
поверхностная
плотность заряда на пластинах; Е₁
и Е₂
—
напряженности поля в первом и втором
слоях диэлектрика соответственно; D
—
электрическое смещение поля в диэлектриках.

Умножив
числитель и знаменатель равенства (2)
на Ɛ₀
и учтя, что D=σ,
окончательно
получим

Сделав
вычисления по последней формуле
(диэлектрические проницае­мости
фарфора – Ɛ₁
=5;
эбонита — е₂
= 3), найдем

Пример
21. Два
плоских конденсатора одинаковой
электроемкости С₁=С₂=С
соединены в батарею последовательно и
подключены к источнику тока с
электродвижущей силой ؏.
Как
изменится разность потенциалов U₁
на
пластинах
первого конденсатора, если пространство
между пластинами второ­го конденсатора,
не отключая источника тока, заполнить
диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью Ɛ
=7?

Решение.
До заполнения второго конденсатора
диэлектриком разность потенциалов на
пластинах обоих конденсаторов была
одинакова: U₁=U₂=
؏/2.
После заполнения электроемкость второго
конденсатора возросла в ɛ раз:

С’₂
=ɛС₂=ɛС.

Электроемкость
C
первого не изменилась, т. е. Сˊ₁=С.

Так
как источник тока не отключался, то
общая разность потенциалов на батарее
конденсаторов осталась прежней, она
лишь перераспределилась между
конденсаторами. На первом конденсаторе

U₁ˊ=Q/C₁ˊ=Q/C,
(1)

где
Q
—
заряд на пластинах конденсатора.
Поскольку при последовательном
со-единении конденсаторов заряд на
каждой пластине и на всей батареи
одинаков, то

Чтобы
найти, как изменилась разность потенциалов
на пластинах перво­го конденсатора,
вычислим отношение:

U₁ˊ/U₁=
2ɛ/(1+ɛ).

После
подстановки значения е получим

Uˊ₁/U₁=1,75.

Следовательно,
разность потенциалов на пластинах
первого конденсато­ра после заполнения
второго конденсатора диэлектриком
возросла в 1,75 раза.

Пример
22.
Конденсатор электроемкостью C₁=3
мкФ был заряжен до разности потенциалов
U₁
=40 В. После отключения от источника тока
конден­сатор был соединен параллельно
с другим незаряженным конденсатором
элек­троемкостью С₂=5
мкФ. Определить энергию ΔW,
израсходованную
на образо­вание искры в момент
присоединения второго конденсатора.

Решение.
Энергия, израсходованная на выбрасывание
искры, равна

ΔW=W₁
— W₂,
(1)

где
W₁
—
энергия, которой обладал первый
конденсатор до присоединения к не­му
второго конденсатора; W₂
—
энергия, которую имеет батарея,
составленная из первого и второго
конденсаторов. Подставив в равенство
(1) формулу энер­гии заряженного
конденсатора W=CU²/2
и
приняв во внимание, что общая электроемкость
параллельно соединенных конденсаторов
равна сумме элек­троемкостей отдельных
конденсаторов, получим

(2)

где
С₁
и С₂
— электроемкости первого и второго
конденсаторов; U₁—
разнос
и потенциалов, до которой был заряжен
первый конденсатор; U₂
—
разность потенциалов на зажимах батареи
конденсаторов.

Учитывая,
что заряд после присоединения второго
конденсатора остался прежним, выразим
разность потенциалов U₂
следующим
образом

Подставив
это выражение U₂
в формулу (2), получим

Пример
23. Плоский воздушный конденсатор с
площадью S
пластины равной 500см²
,
подключен к источнику тока, ЭДС которого
равна 300 В. Определить работу A
внешних
сил по раздвижению пластин от расстояния
d₁
=1
см до d₂=3
см
в двух случаях: 1) пластины перед
раздвижением отключаются от источника
тока; 2) пластины в процессе раздвижения
остаются подключенными к нему.

Решение.
1-й
случай.
Систему двух заряженных и отключенных
от источника тока пластин можно
рассматривать как изолированную систему,
по отношению к которой справедлив закон
сохранения энергии. В этом случае работа
внешних сил равна изменению энергии
системы:

A=ΔW=W₂—
W₁

(1)

где
W₂
—
энергия поля конденсатора в конечном
состоянии (пластины находятся на
расстоянии d₂);
W₁
—
энергия поля в начальном состоянии
(пластины находятся на расстоянии d₁).

Энергию
в данном случае удобно выразить через
заряд Q
на
пластинах, так как заряд пластин,
отключенных от источника при их
раздвижении, не изменяется. Подставив
в равенство (1) выражения

W₂=Q²/(2С₂)
и
W₁
=Q²/(2C₁),

получим

Выразив
в этой формуле заряд через ЭДС ؏
источника
тока и начальную электроемкость С₁
(Q=C₁
؏),
найдем

(2)

Подставляя
в формулу (2) выражения электроемкостей
(C₁=ɛ₀
S/d₁
и
C₂=ɛ₀
S/d₂)
плоского
конденсатора, получим

После
сокращения на ɛ₀S
формула
примет вид

A=ɛ₀S؏²
(d₂—d_x)/2d₁².
(3)

Произведя
вычисления по формуле (3), найдем A
=
3,98 мкДж.

2-й
случай.
Пластины
остаются подключенными к источнику
тока и сис­тема двух пластин уже не
является изолированной (заряд с пластин
при их раздвижении перемещается к
клеммам батареи). Поэтому воспользоваться
зако­ном сохранения энергии в этом
случае нельзя.

Заметим,
что при раздвижении пластин конденсатора:
а) разность их по­тенциалов остается
неизменной (U=؏);
б) емкость будет уменьшаться (С= ɛ₀S/d).
Будут
уменьшаться также заряд па пластинах
(Q=CU)
и
напряжен­ность электрического поля
(Е
=
U/d).
Так
как величины Е
и
Q,
необходимые
для определения работы, изменяются, то
работу следует вычислять путем
ин­тегрирования.

Напишем
выражение для элементарной работы:

dA=QE₁dx,
(4)

где
E₁
—
напряженность поля, создаваемого зарядом
одной пластины.

Выразим
напряженность поля E₁
и
заряд Q
через
расстояние х
между
пластинами:

E₁
=
1/2Е
=
؏/2x
и
Q
=
С ؏
или
Q
=
ɛ₀S؏/x.

Подставив
эти выражения E₁
и
Q
в
равенство (4), получим

Проинтегрировав
это равенство в пределах от d₁
до
d₂,
найдем
выражение искомой работы:

Пример
24.
Плоский конденсатор заряжен до разности
потенциалов U=
1
кВ. Расстояние d
между
пластинами равно 1 см. Диэлектрик — стекло
(ɛ
=
7). Определить объемную плотность энергии
поля конденсатора.

Решение.
Объемная плотность энергии поля
конденсатора

w
=
W/V,
(1)

где
W
—
энергия поля конденсатора; V-
объем, занимаемый полем, т. е. объем
пространства, заключенного между
пластинами конденсатора.

Энергия
поля конденсатора определяется по
формуле

W=CU²/2,
(2)

где
U
—
разность потенциалов, до которой заряжены
пластины конденсатора; С — его
электроемкость. Но C=ɛɛ₀S/d,
V=Sd.
Подставив
выражение C
в формулу (2) и затем выражения W
и
V в
формулу (1), получим

w
=ɛɛ₀U²/(2d²).

Подставив
значения величин в последнюю формулу
и вычислив, найдем

w
=0,309
Дж/м.

Пример
25.
Металлический шар радиусом R=3
см несет заряд Q=20
нКл. Шар окружен слоем парафина (ɛ
= 2) толщиной d=2см.
Определить энергию W
электрического
поля, заключенного в слое диэлектрика.

Решение.
Так как поле, созданное заряженным
шаром, является неоднородным, то энергия
поля в слое диэлектрика распределена
неравномерно. Однако объемная плотность
энергии будет одинакова во всех точках,
отстоящих на равных расстояниях от
центра сферы, так как поле заряженного
шара обладает сферической симметрией.

Выразим
энергию в элементарном сферическом
слое диэлектрика объемом dV:
dW=wdV,
где
w
—
объемная плотность энергии (рис. 39).

Полная
энергия выразится интегралом

(1)

где
r—
радиус элементарного сферического
слоя; dr—
его
толщина. Объемная плотность энергии
определяется по формуле w
=
ɛɛ₀
²/2,
где E
—
напряженность поля. В нашем
случае

Подставив
это выражение плотности в формулу (1) и
вынеся за знак интеграла постоянные
величины, получим

Произведя
вычисления по этой формуле, найдем

W=
12
мкДж.

Пример
26.
Определить
заряд Q,
прошедший
по проводу с сопротивле­нием R=3
Ом при равномерном нарастании напряжения
на концах провода от U₀=2B
до U=4B
в течение t—20с.

Решение.
Так как сила тока в проводе изменяется,
то воспользоваться для подсчета заряда
формулой Q=It
нельзя.
Поэтому возьмем дифференциал заряда
dQ=Idt
и
проинтегрируем:

(1)

Выразив
силу тока по закону Ома, получим

(2)

Напряжение
U
в
данном случае переменное. В силу
равномерности нарастания оно может
быть выражено формулой

U=U₀+kt,
(3)

где
k
—
коэффициент пропорциональности.
Подставив это выражение U
в
фор­мулу (2),
найдем

Проинтегрировав,
получим

(4)

Значение
коэффициента пропорциональности k
найдем
из формулы (3), если заметим, что при t=
20°
с U=4
В:

k=(U—
U₀)/t=0,1
В/с.

Подставив
значения величин в формулу (4), найдем
Q=
20
Кл.

Пример
27.
Потенциометр
с сопротивлением R=100
Ом
подключен к ис­точнику тока, ЭДС
؏
которого
равна 150B
и
внутреннее сопротивление r=
50Ом
(рис. 40).
Определить
показание вольтметра с сопротивлением
R_B⁼500Ом,
соединенного проводником с одной из
клемм потенциометра и подвижным контактом
с серединой обмотки потенциометра.
Какова разность потенциалов между теми
же точками потенциометра при отключенном
вольт­метре?

Решение.
Показание U₁
вольтметра,
подключенного к точкам А
и В
(рис.
40), определяется по формуле

U₁=I₁R_1,
(1)

где
I—
сила тока в неразветвленной, части цепи;
R₁-сопротивление
параллельно соединенных вольтметра и
половины потенциометра.

Силу
тока
I₁
найдем по закону Ома для всей цепи:

I₁=9/(R+r),
(2)

где
R
— сопротивление
внешней цепи.

Внешнее
сопротивление R
есть
сумма двух сопротивлений:

R=R/2+R₁

(3)

Сопротивление
R₁
параллельного
соединения может быть найдено по
формуле

Подставив
в эту формулу числовые значения величин
и произведя вычисления, найдем

R₁=45,5
Ом.

Подставив
в выражение (2) правую часть равенства
(3), определим силу

тока:

Если
подставить значения 1₁
и R₁
в
формулу (1), то найдем показание вольтметра:
U₁
=
46,9
B.

Разность
потенциалов между точками A
и B
при отключенном вольтметре равна
произведению силы тока
I₂
на половину сопротивления потенциометра,

Пример
28. Источники
тока с электродвижу­щими силами ؏₁
и ؏₂
включены в цепь, как показано на рис.
41. Определить силы токов, текущих в
сопротивлениях R₂
и R₃,
если ؏₁=
10B
и ؏₂=4B,
а R₁=R₄
=2 Ом и R₂=R₃=4
Ом.
Сопротивлениями
ис­точников тока пренебречь.

Решение.
Силы токов в разветвленной цепи определяют
с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти
четыре значения силы токов, следует
составить четыре уравнения.

Перед
составлением уравнений по закону
Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать
произвольно направления токов, текущих
через сопротивления, указав их стрелками
на чертеже, и, во-вторых, выбрать
направление обхо­да контуров (последнее
только для составления уравнений по
второму закону Кирхгофа).

Выберем
направления токов, как они показаны на
рис. 41, и условимся обходить контуры по
часовой стрелке.

Рассматриваемая
в задаче схема имеет два узла: A
и B.
Но составлять уравнение по первому
закону Кирхгофа следует только для
одного узла, так как уравнение, составленное
для второго узла, будет следствием
первого урав­нения.

При
составлении уравнений по первому закону
Кирхгофа необходимо соблюдать правило
знаков: ток, подходящий к узлу, входит
в уравнение со зна­ком плюс; ток,
отходящий от узла, — со знаком минус.

По
первому закону Кирхгофа для узла B
имеем

I₁+I₂+I₃-I₄=0.

Недостающие
три уравнения получим по второму закону
Кирхгофа. Чис­ло независимых уравнений,
которые могут быть составлены по второму
закону Кирхгофа, также меньше числа
контуров (в нашем случае контуров шесть,
а независимых уравнений три). Чтобы
найти необходимое число независимых
уравнений, следует придерживаться
правила: выбирать контуры таким образом,
чтобы в каждый новый контур входила
хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни
в одном из ранее использованных контуров.

При
составлении уравнений по второму закону
Кирхгофа необходимо соблюдать следующее
правило знаков:

а)
если ток по направлению совпадает с
выбранным направлением обхо­да
контуров, то соответствующее произведение
IR
входит
в уравнение со знаком плюс, в противном
случае произведение IR
входит
в уравнение со знаком минус,

б)
если ЭДС повышает потенциал в направлении
обхода контура, т.е. ес­ли при обходе
контура приходится идти от минуса к
плюсу внутри источника, то соответствующая
ЭДС входит в уравнение со знаком плюс,
в противном случае — со знаком минус.

По
второму закону Кирхгофа имеем
соответственно для контуров AR₁BR₂A,
AR₁BR₃A,
AR₃
BR₄A:

I₁R₁-I₂R₂=
؏₁—؏_2,

(1)

I₁R₁—
I₃
R₃=
؏₁,
(2)

I₃R₃
+ I₄R₄=0.
(3)

Подставив
в равенства (1)-(3) значения сопротивлений
и ЭДС, получим систему уравнений:

I₁+I₂+I₃^˗I₄=0,

2I₁
-4I₂=6,

2I₁—4I₃=10,

4I₃+2I₄=0.

Поскольку
нужно найти только два тока, то удобно
воспользоваться ме­тодом определителей
(детерминантов). С этой целью перепишем
уравнения еще раз в следующем виде:

I₁+I₂+I₃-I₄=0,

2I₁
-4I₂+0+0=6,

2I₁+0-4I₃+0=10,

0+0+4I₃+2I₄=0.

Искомые
значения токов найдем из выражений

I₂
=
Δ_I2/Δ
и I₃=Δ_I3/Δ

где
Δ — определитель системы уравнений; Δ_I2
и Δ_I3
— определители, полученные заменой
соответствующих столбцов определителя
Δ столбцами, составленными из свободных
членов четырех вышеприведенных уравнений

Отсюда
получаем

I₂=0;I₃
= -1 А.

Знак
минус у значения силы тока I₃
свидетельствует
о том, что при произвольном выборе
направлений токов, указанных на рисунке,
направление тока I.
было
указано противоположно истинному. На
самом деле ток
I₃
течет от узла B
к узлу А.

Пример
29.
Сила тока в проводнике сопротивлением
R=20
Ом нарастает в течение времени Δt=2
с
по линейному закону от I₀=0
до I_тах=6
А (рис. 42) Определить количество теплоты
Q₁
,выделившееся
в этом проводнике за первую секунду, и
Q₂
—
за вторую, а также найти отношение этих
количеств теплоты Q₂/Q₁.

Решение.
Закон Джоуля — Ленца Q=I²Rt
применим
в случае постоянного тока (I=const).
Если
же сила тока в проводнике изменяется,
то указанный закон справедлив для
бесконечно малого промежутка времени
и записывается в виде

dQ=
I²Rt.
(1)

Здесь
сила тока I
является некоторой функцией времени.
В нашем случае

I=kt,
(2)

где
k
—
коэффициент пропорциональности, равный
отношению приращении силы тока к
интервалу времени, за который произошло
это приращение:

k=ΔI/Δt=3
А/с.

С
учетом равенства (2) формула (1) примет
вид

dQ=k²Rt²dt.
(3)

Для
определения количества теплоты,
выделившегося за конечный промежуток
времени Δt,
выражение
(3) следует проинтегрировать в пределах
от t₁
до
t₂:

При
определении количества теплоты,
выделившегося за первую секунду, пределы
интегрирования t₁
=0,
t₂=
1
с и, следовательно,

Q₁=60
Дж,

а
за вторую секунду — пределы интегрирования
t₁=
1
с, t₂=2
с и тогда

Q₂=420
Дж.

Следовательно,

Q₂/Q₁=7,

т.
е. за вторую секунду выделится теплоты
в 7 раз больше, чем за первую се­кунду.

Таблица
вариантов

Задачи

1)
Три одинаковых точечных заряда Q₁
=Q₂
=Q₃
=2
нКл
находятся в вер­шинах равностороннего
треугольника со стороной a=
10 см.
Определить мо­дуль и направление
силы, действующей на один из зарядов со
стороны двух других.

2)
Два положительных точечных заряда Q₁=Q
и
Q₂
=9Q
закреплены
на расстоянии d=
100
см
друг от друга. Определить, в какой точке
на прямой, про­ходящей через заряды,
следует поместить третий заряд так,
чтобы он находил­ся в равновесии.
Указать, какой знак должен иметь этот
заряд для того, чтобы равновесие было
устойчивым, если перемещения зарядов
возможны только вдоль прямой, проходящей
через закрепленные заряды.

3)
Два одинаковых заряженных шарика
подвешены в одной точке на нитях
одинаковой длины. При этом нити разошлись
на угол α.
Шарики погружают в масло. Какова плотность
масла ρ,
если угол расхождения нитей при погружении
в масло остается тем же? Плотность
материала шариков ρ₀=1,5·10³
кг/м³,
диэлектрическая проницаемость масла
ɛ=2,2.

4)
В вершинах квадрата находятся одинаковые
заряды Q₁=Q₂=Q₃=Q₄=8·10^-10
Кл.
Какой отрицательный заряд нужно поместить
в центре квадрата, чтобы сила взаимного
отталкивания положительных зарядов
была уравновешена силой притяжения
отрицательного заряда?

5)
Тонкий
стержень длиной l=10
см
равномерно заряжен с линейной плотностью
заряда τ=1 мкКл/м.
На продолжении оси стержня на расстояние
d=20
см
от ближайшего его конца находится
точечный заряд Q₁
=100 нКл.
Определить силу взаимодействия
заряженного стержня и точечного заряда.

6)
Тонкий длинный стержень равномерно
заряжен с линейной плотностью заряда
τ=10 мкКл/м.
На
продолжении оси стержня на расстоянии
d=20см
от ближайшего его конца находится
точечный заряд О₁=10нКл.
Определить
силу
взаимодействия заряженного стержня и
точечного заряда.

7)
Тонкий очень длинный стержень равномерно
заряжен с линейной плотностью заряда
τ=10 мкКл/м.
На перпендикуляре к оси стержня, идущем
и его конца, находится точечный заряд
Q₁=
10 нКл.
Расстояние от конца стержня до заряда
d=20
см.
Определить силу взаимодействия
заряженного стержня и точечного заряда.

Тонкая длинная нить длиной l=20
см
равномерно заряжена с линейной плотностью
заряда τ=10 нКл/м.
На расстоянии d=10
см
от нити против ее сере­дины находится
точечный заряд Q₁=1нКл.
Определить силу, действующую на этот
заряд со стороны нити.