Содержание:
Действие вычитание и компоненты вычитания
Связь вычитания и сложения
Свойства разности
Как вычесть сумму из числа и число из суммы
Изменение разности при изменении вычитаемого и/или уменьшаемого
Правила вычитания разности
Вычитание однозначного числа
Вычитание в столбик многозначных чисел
Проверка действий сложение и вычитание
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Мы можем не только собирать в группы различные предметы, то есть, складывать их, но и забирать из существующей группы определенное их количество.
Например, в кошельке было 1850 рублей. В магазине было потрачено 780 рублей. Чтобы узнать, сколько осталось денег, можно вытащить кошелек и пересчитать их. Но можно поступить по-другому: из той суммы, которая была в кошельке, отнять ту сумму, что была потрачена в магазине. Разница этих чисел, то есть, на сколько единиц изначальная сумма денег больше той суммы, которую потратили, и будет остатком денег.
Разность (или остаток) – это такое число, которое получится, если от одного числа отнять другое, то есть, от всех единиц одного числа отнять все единицы, которые содержатся в другом числе.
Уменьшаемое – это то число, от которого мы отнимаем единицы другого числа.
Вычитаемое – это число, которое мы вычитаем из другого числа. То есть, то число, на количество единиц которого мы уменьшаем другое число.
Вычитание – это арифметическое действие, которое выполняется для получения разности двух или нескольких чисел.
то есть, совершить действие вычитания – это найти такое число, которое получится, если от данного числа отнять определенное количество единиц другого числа.
Компоненты вычитания:
Про действие вычитание также говорят, что нужно из одного числа вычесть другое, или одно число уменьшить на другое.
Совершая вычитание натуральных чисел, вы должны помнить, что из одного натурального числа можно вычесть только равное ему или меньшее натуральное число. Действительно, мы никак не можем отобрать единиц предметов больше, чем их есть в наличии.
Поэтому, уменьшаемое натуральное число всегда больше или равное вычитаемому. Другими словами, мы всегда вычитаем из большего меньшее или из равного равное.
Связь вычитания и сложения
Действие вычитание непосредственно связано с действием сложение.
Действительно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа, вместе. То есть, получаем число, которое складывается из разных чисел.
А когда мы ищем разность, мы из одного числа (уменьшаемое) отнимаем некоторое количество единиц (вычитаемое), которые входят в его состав, и получаем другое количество единиц. То есть, получаем число (разность), которое также составляло уменьшаемое, пока от него не отняли вычитаемое. Поэтому разность и имеет второе название – остаток – то, что осталось от числа, после вычитания его части.
Из этого мы можем сделать вывод, что, если сложить обратно обе части одного числа (разность и вычитаемое), то мы получим уменьшаемое.
Поэтому, вычитание и сложение – это взаимно обратные действия. Если нам известна сумма двух слагаемых, мы можем превратить ее в разность двух чисел, и наоборот, разность можно перевести в сумму.
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности. То есть, разность и вычитаемое – это слагаемые.
Когда мы складываем числа, слагаемые нам известны, и нужно вычислить их сумму. А когда мы вычитаем, нам даются сумма (уменьшаемое) и одно из слагаемых (вычитаемое) этой суммы, а второе слагаемое (разность) нам нужно вычислить.
Рассмотрим это на примере. Мы нашли разность 8-5=3. Это означает, что мы разложили одно данное нам число 8 на два: 5 (данное нам уменьшаемое) и 3 (найденная нами разность). Но мы знаем, что состав числа – это слагаемые, которые в сумме дают нам это самое число. Поэтому, найденную нами разность чисел мы можем превратить в сумму чисел, сложив остаток с вычитаемым: 3+5=8.
Свойства разности натуральных чисел
Свойства разности натуральных чисел состоят из:
- Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы;
- Зависимость разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
- Правило вычитания разности из числа;
Рассмотрим каждый пункт подробнее.
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы
Как вычесть сумму из числа
Чтобы найти разность числа и суммы чисел нужно из данного числа вычесть последовательно каждое слагаемое суммы.
То есть, сначала мы находим разность между данным числом и первым слагаемым, потом от этой полученной разности отнимаем второе слагаемое, третье, и так далее до последнего слагаемого суммы.
Действительно, так как сумма – это объединение всех слагаемых, то очевидно, что, отнимая последовательно каждое слагаемое, каждое ее составляющее число, мы в конце концов отнимем всю сумму.
Рассмотрим это на примере из урока сложение чисел.
325+(12+64+5) = 325+81 = 406
Я запишу это в виде разности:
406-(12+64+5) = 325
и покажу, что результат будет равен первому слагаемому:
406—12 = 394;
394-64 = 330;
330-5 = 325.
Как видите, все верно.
Как вычесть число из суммы
Чтобы найти разность суммы чисел и некоторого числа, нужно отнять это число от какого-нибудь подходящего слагаемого этой суммы.
То есть, мы сначала находим разность одного из слагаемых и данного числа, а потом складываем получившийся результат последовательно с остальными слагаемыми.
Действительно, вы знаете, что, если уменьшить одно из слагаемых на какое-то число, то и сумма уменьшится на это же самое число. Следовательно, если нам нужно сумму чисел уменьшить на какое-то число, то для этого достаточно уменьшить на это число одно из слагаемых суммы.
Для рассмотрения я возьму тот же пример, только сумму расчленю на слагаемые, а слагаемое в скобках заменю суммой:
325+81 = (191+65+150)
Превращаю выражение в разность:
(191+65+150)-81 = 325
и покажу, что результат также будет равен первому слагаемому:
191-81 = 110;
110+65 = 175;
175+150 = 325
или
150-81 = 69;
69+191 = 260;
260+65 = 325.
Я недаром написал в правиле, что нужно отнимать от подходящего слагаемого суммы, потому что, если оно будет меньше вычитаемого, то оно нам не подходит. Так, в нашем примере 65<81.
Отсюда следует, что это правило применимо не к любой сумме натуральных чисел, а только к той, в которой хотя бы одно из слагаемых больше, чем вычитаемое.
Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого
Изменение разности при изменении вычитаемого и уменьшаемого является следствием описанных в уроке изменений суммы чисел с изменением ее слагаемых.
Если уменьшаемое увеличить на некоторое количество единиц, то и разность увеличится на такое же количество единиц.
Если уменьшаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то и разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое увеличить на некоторое количество единиц, то разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то разность увеличится на такое же количество единиц.
Если сразу оба числа, и уменьшаемое, и вычитаемое, увеличить или уменьшить на одно и то же количество единиц, то разность не изменится.
Правила вычитания разности
Если нужно вычесть из числа разность других чисел, можно воспользоваться одним из двух способов:
1. Прибавить к данному числу вычитаемое, и из получившейся суммы вычесть уменьшаемое;
2. Вычесть из данного числа уменьшаемое, а потом результат этого действия сложить с вычитаемым.
Это свойство выводится из предыдущих, рассмотренных нами.
Рассмотрим на примере 22-(17—3).
Для начала вычислим обычным способом: сперва узнаем разность в скобках (это будет 17-3=14), а потом вычтем 14 из 22. Получится 22-14=8.
22-(17—3) = 8
Теперь вернемся к исходному примеру и отнимем от 22 не разность 17-3, то есть, не 17 без 3 единиц, а все число 17.
22—17 = 5
Но мы ведь отняли больше, чем нужно было, поэтому нам нужно вернуть лишне взятые 3 единицы обратно, а именно, прибавить их к полученному результату.
5+3 = 8
Попробуем решить другим путем: увеличим и уменьшаемое (данное число), и вычитаемое (разность в скобках) на одно и то же число 3. Получим:
22+3-(17+3-3)
Так как 22+3=25, а 3-3=0, то в итоге получается:
25-17+0 = 8
Как видите, оба способа показали верный результат.
Вычитание однозначного числа
Вы сможете без каких-либо трудностей совершать вычитание любых чисел, если сперва хорошо натренируете себя вычитать однозначные числа в уме из однозначных и двухзначных.
А поскольку вычитание – это действие обратное сложению, тогда необходимо просто выучить на память все суммы однозначных чисел. Пользуясь ими, мы легко сможем получить необходимые вам разности.
Например, нам нужно найти разность чисел 17 и 8. Для этого нам необходимо вспомнить, какое число при сложении с числом 8 дает сумму 17? Это число 9, потому что 8+9=17. Значит, если от 17 отнять 8, мы получим: 17-8=9.
Хорошо натренировавшись в нахождении разности чисел из суммы однозначных чисел, можно переходить к более сложным случаям вычитания. Подробно эти приемы рассмотрены в разделе рубрики «Устный счет».
Вычитание в столбик многозначных чисел
Так же, как и сложение, разность многозначных чисел удобно находить, используя вычитание в столбик.
Вычитание в столбик – это способ нахождения разности чисел при помощи их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим), и последующего вычисления.
Давайте найдем разность чисел 52063-4825.
Запишем их друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел, т.е. единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. После этого, под вторым слагаемым проводим горизонтальную черту, а между слагаемыми ставим знак действия, т.е. минус. У нас получилась такая запись:
Вычитание в столбик выполняется подобным способом, как и при сложении, только теперь мы отнимаем единицы от единиц, десятки от десятков и так далее.
От 3 единиц в уменьшаемом мы не можем отнять 5 единиц вычитаемого, поскольку 3<5. Поэтому, мы раскладываем соседние 6 десятков на 5 десятков и 1 десяток. Этот десяток содержит 10 единиц, которые мы складываем с 3 имеющимися в уменьшаемом единицами. Теперь у нас есть 13 единиц, и мы можем отнять от них 5, получим 8 единиц. Записываем их под чертой в разряде простых единиц, а над цифрой разряда десятков в уменьшаемом ставим одну точку, чтобы не забыть, что 1 десяток единиц мы оттуда уже забрали.
Переходим к десяткам. У уменьшаемого в разряде десятков мы уже забрали 1 десяток, о чем нам напоминает поставленная точка. Поэтому, мы отнимаем 2 десятка вычитаемого не от 6, а от 5 десятков, потому что 6-1=5.
5>2, значит, действие вычитания возможно: 5-2=3. Пишем цифру 3 под чертой в разряде десятков, и переходим к сотням.
Сотен в уменьшаемом у нас нет, поэтому мы смотрим, сколько в числе содержится тысяч? Их тоже 0. Смотрим следующий разряд. Здесь у нас 5 десятков тысяч. Из них мы берем 1 десяток тысяч (ставим точку над цифрой 5 в уменьшаемом), что составляет 10 тысяч единиц. Из них (из взятых в десятках тысячах) мы занимаем 1 тысячу для того, чтобы закончить вычитание в разряде сотен (ставим точку над цифрой 0 в разряде тысяч уменьшаемого).
1 тысяча единиц – это 10 сотен. Кроме этих занятых, больше в уменьшаемом сотен нет. В вычитаемом 8 сотен, поэтому находим разность сотен уменьшаемого и вычитаемого: 10-8=2. Пишем результат под чертой в разряде сотен.
В разряде тысяч уменьшаемого у нас осталось 9 тысяч единиц (потому что 1 тысячу мы отдали для разряда сотен в качестве 10 сотен). Отнимаем от нее 4 тысячи вычитаемого, получаем: 9-4=5, которые записываем под чертой в разряде тысяч.
Десятков тысяч в уменьшаемом осталось 5-1=4 (помните, мы для разряда сотен занимали?), в вычитаемом их нет совсем, то есть, 0. Поэтому мы просто сносим цифру 4 в результат под черту в разряд десятков тысяч.
После нахождения разности чисел способом вычитания в столбик записываем ответ в строчном примере:
50063-4825 = 45238.
Как проверить действия сложение и вычитание?
После того, как вы закончили арифметическое действие, нужно проверить правильность ответа, то есть, удостовериться, что вычисление было сделано без ошибок.
Проверить сложение можно двумя способами: обратным сложением и вычитанием.
Обратное сложение означает, что мы меняем слагаемые местами, и складываем их еще раз. Если результат будет такой же, как и после первого сложения, значит, вычисление было верным.
Например, в уроке сложение чисел мы находили сумму: 5728+803 = 6531. Проверим правильность результата способом обратного сложения:
Как видите, сложив слагаемые в другом порядке, мы получили тот же самый результат, а значит, вычисление было правильным.
Проверка сложения вычитанием – это способ, при котором нужно из суммы, которую получили после выполнения действия сложение, отнять одно из слагаемых. Если результат этого вычитания будет равен второму слагаемому (или сумме остальных слагаемых, если их больше двух), значит сложение было выполнено верно.
Проверим эту же сумму вычитанием: отнимем от результата 6531 слагаемое 5728.
И этот способ проверки показал правильность нашего решения.
Проверить вычитание также возможно и сложением, и другим вычитанием.
Проверка вычитания сложением основана на взаимосвязи вычитания и сложения. Зная, что уменьшаемое – это сумма, а остаток и вычитаемое – это слагаемые, мы можем сложить между собой вычитаемое и остаток, и, если получим в результате уменьшаемое, значит, мы правильно сделали действие.
Вот так выглядит проверка вычитания сложением на примере вычисленной на этом уроке разницы 50063-4825 = 45238:
Проверка вычитания вычитанием также основывается на взаимосвязи вычитания и сложения, а также на переместительном законе сложения. Так как уменьшаемое – это сумма двух слагаемых: вычитаемого и остатка, и сумма не зависит от порядка сложения слагаемых, то очевидно, что мы можем отнять от уменьшаемого остаток. Если результат этого действия будет равен вычитаемому, значит наша первая разность вычислена верно.
Проверка той же самой разницы вычитанием:
Вычитание числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала выполнить сложение, а из полученного результата вычесть число.
Например, чтобы найти значение выражения:
(34 + 20) — 12
можно сначала сложить числа 34 и 20:
34 + 20 = 54
и из полученной суммы вычесть 12:
54 — 12 = 42,
значит (34 + 20) — 12 = 54 — 12 = 42.
Если слагаемые в записи суммы больше чем число, которое вычитается из суммы, возможен и другой способ вычисления.
Для вычитания числа из суммы, можно это число вычесть из любого слагаемого, а полученную разность сложить с другим слагаемым.
Пример.
(34 + 20) — 12 = (34 — 12) + 20 = 22 + 20 = 42
или
(34 + 20) — 12 = 34 + (20 — 12) = 34 + 8 = 42.
Если в сумме только одно слагаемое больше числа, вычитаемого из суммы, то нужно или сначала найти сумму слагаемых, а затем из неё вычесть число, или сначала вычесть число из того слагаемого, которое больше вычитаемого числа, а полученную разность сложить с остальными слагаемыми. Например:
(51 + 7 + 16) — 18 = 74 — 18 = 56
или
(51 + 7 + 16) — 18 = (51 — 18) + 7 + 16 = 33 + 7 + 16 = 56.
Общая формула вычитания числа из суммы:
(a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c).
Содержание
- Разность чисел
- Что такое разность чисел в математике
- Математические действия с разностью чисел
- Зависимость между данными и искомыми вычитания
- Как найти разность чисел в математике
- Арифметические действия с числами
- Разность в математике
- Видео: Математика 6 Делимость суммы и разности чисел
- Как найти разницу величин
- Математические действия с разностью чисел
- Видео: Математика 2 класс. Разность двухзначных чисел
- Простые примеры
- Более сложные примеры
- Математика для блондинок
- Как найти разность чисел в математике
- Арифметические действия с числами
- Разность в математике
- Как найти разницу величин
- Математические действия с разностью чисел
- Простые примеры
- Более сложные примеры
- Математика для блондинок
Разность чисел
Что такое разность чисел в математике
Разность чисел в математике — это результат вычитания одного числа из другого.
Формула РЧ выглядит так:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Здесь a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность.
Математические действия с разностью чисел
Чтобы узнать разность чисел, нужно совершить такое арифметическое действие как вычитание, в результате которого по одному данному слагаемому и данной сумме можно найти другое слагаемое.
Вычитание принято обозначать знаком «–» (минус).
Обычно вычитание натуральных чисел возможно только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Однако если уменьшаемое меньше вычитаемого, то значение разности получается отрицательным.
Следует привести некоторые особенности действий с нулем:
- Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа.
Необходимо также обозначить свойства вычитания:
- x-(y+z)=x-y-z: 26-(14+4)=26-4-14=22-14=8.
- (x+y)-z=(x-z)+y=x+(y-z): (37+28)-5=(37-5)+28=60.
- x+(y-z)=x+y-z: 51+(34-7)=51+32=19.
- x-(y-z)=x-y+z: 66-(34-7)=(66-34)+7=39.
- если x-y=z, то x=y+z: х-7=6, х=7+6, х=13.
- если x-y=z, то y=x-z: 46-у=16, у=46-16, у=30.
- если x-y=z, то (x+n)-y=z+n и (x-n)-y=z-n: 19-11=8, (19+6)-11=8+6, (19-1)+11=8-1.
- если x-y=z, то x-(y+n)=z-n и x-(y-n)=z+n: 46-11=35, 46-(11+4)=35+4, 46-(11-9)=35-9.
- если x-y=z, то (x+n)+(y-n)=z: 100-50=50, (100+10)+(50-10)=50.
- если x-y=z, то (x+n)-(y+n)=z и (x-n)-(y-n)=z: 300-150=150, (300+25)-(150+25)=150, (300-25)-(150-25)=150.
Однозначное число — это число, состоящее из одной цифры.
Многозначное число — включающее две и более цифры.
Чтобы найти разницу между однозначными числами, стоит вычесть из первого слагаемого второе. В этом поможет таблица вычитания, которую заучивают наизусть.
Чтобы посчитать результат вычитания многозначных чисел, можно воспользоваться счетом «в столбик». Этот способ подразумевает, что вычитаемое записывают под уменьшаемым в соответствии с десятками, сотнями, тысячами и так далее. После этого, начиная с конца, то есть с десятков, производят вычисление.
Сначала находим разность единиц, то есть от 3 отнимаем 2. Получаем 1.
Затем вычисляем десятки, то есть от 5 отнимаем 3. Результат равен 2.
И, наконец, считаем сотни, то есть от 6 отнимаем 1 и получаем 5.
Если одно и то же число вычитается из другого множество раз, то можно умножить данное значение на столько раз, сколько представлено в примере, и таким образом получить одно вычитаемое число.
Зависимость между данными и искомыми вычитания
Данные вычитания представляют уменьшаемое и вычитаемое. Искомое вычитания — это разность. Зависимость между ДВ и ИВ состоит в том, что второе чаще всего меньше первого.
Однако бывают случаи, когда ИВ может оказаться больше, чем ДВ. Это происходит, когда от первого слагаемого вычитают отрицательное число. Тогда, согласно правилам арифметики, два минуса дают общий знак плюс.
Источник
Как найти разность чисел в математике
Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.
Арифметические действия с числами
Основными арифметическими действиями в математике являются:
Каждый результат этих действий также имеет своё название:
- сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
- разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
- произведение — результат умножения чисел;
- частное — результат деления.
Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:
- сумма — прибавить;
- разность — отнять;
- произведение — умножить;
- частное — разделить.
Разность в математике
Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:
Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.- Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
- Это вычитание одного числа из другого.
- Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
- Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
- Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
- Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
- Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.
Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.Видео: Математика 6 Делимость суммы и разности чисел
И все эти определения являются верными.
Как найти разницу величин
Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:
- Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.
Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:
- Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.
Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?
- Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
- Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:
- Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
- Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Математические действия с разностью чисел
Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.
Видео: Математика 2 класс. Разность двухзначных чисел
Простые примеры
- Пример 1. Найти разницу двух величин.
20 — уменьшаемое значение,
Решение: 20 — 15 = 5
Ответ: 5 — разница величин.
- Пример 2. Найти уменьшаемое.
32 — вычитаемое значение.
Решение: 32 + 48 = 80
- Пример 3. Найти вычитаемое значение.
17 — уменьшаемая величина.
Решение: 17 — 7 = 10
Ответ: вычитаемое значение 10.
Более сложные примеры
На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.
- Пример 4. Найти разницу трёх значений.
Даны целые значения: 56, 12, 4.
56 — уменьшаемое значение,
12 и 4 — вычитаемые значения.
Решение можно выполнить двумя способами.
1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):
1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);
2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):
1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);
Ответ: 40 — разница трёх значений.
- Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.
Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где
4/5 — уменьшаемая дробь,
Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.
Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5
- Пример 6. Утроить разницу чисел.
А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?
Вновь прибегнем к правилам:
- Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
- Утроенное число — это величина, умноженная на три.
- Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
- Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.
7 — уменьшаемая величина,
5 — вычитаемая величина.
2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.
- Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.
7 — уменьшаемая величина;
Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?
И опять есть применяемое для конкретного случая правило:
- Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.
Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.
Математика для блондинок
Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.
В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.
И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:
- сумму — сложением слагаемых;
- произведение — умножением множителей;
- частное — делением делимого на делитель.
Источник
Как найти разность чисел в математике
Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.
- Арифметические действия с числами
- Разность в математике
- Как найти разницу величин
- Математические действия с разностью чисел
- Простые примеры
- Более сложные примеры
- Математика для блондинок
Арифметические действия с числами
Основными арифметическими действиями в математике являются:
Каждый результат этих действий также имеет своё название:
- сумма — результат, получившийся при сложении чисел,
- разность — результат, получившийся при вычитании чисел,
- произведение — результат умножения чисел,
- частное — результат деления.
Это интересно: что такое модуль числа?
Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:
- сумма — прибавить,
- разность — отнять,
- произведение — умножить,
- частное — разделить.
Разность в математике
Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:
- Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
- Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
- Это вычитание одного числа из другого.
- Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
- Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
- Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
- Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
- Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.
Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.И все эти определения являются верными.
Как найти разницу величин
Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:
- Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.
Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:
- Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.
Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?
- Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
- Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:
- Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
- Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Математические действия с разностью чисел
Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.
Простые примеры
- Пример 1. Найти разницу двух величин.
20 — уменьшаемое значение,
Решение: 20 — 15 = 5
Ответ: 5 — разница величин.
- Пример 2. Найти уменьшаемое.
32 — вычитаемое значение.
Решение: 32 + 48 = 80
- Пример 3. Найти вычитаемое значение.
17 — уменьшаемая величина.
Решение: 17 — 7 = 10
Ответ: вычитаемое значение 10.
Более сложные примеры
На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.
- Пример 4. Найти разницу трёх значений.
Даны целые значения: 56, 12, 4.
56 — уменьшаемое значение,
12 и 4 — вычитаемые значения.
Решение можно выполнить двумя способами.
1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):
1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым),
2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):
1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым),
Ответ: 40 — разница трёх значений.
- Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.
Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где
4/5 — уменьшаемая дробь,
Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.
Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5
- Пример 6. Утроить разницу чисел.
А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?
Вновь прибегнем к правилам:
- Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
- Утроенное число — это величина, умноженная на три.
- Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
- Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.
7 — уменьшаемая величина,
5 — вычитаемая величина.
2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.
- Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.
7 — уменьшаемая величина,
Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?
И опять есть применяемое для конкретного случая правило:
- Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.
Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.
Математика для блондинок
Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.
В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.
И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:
- сумму — сложением слагаемых,
- произведение — умножением множителей,
- частное — делением делимого на делитель.
Источник
На прошлых занятиях мы подробно рассмотрели арифметическую операцию сложения натуральных чисел, свойства и способы сложения натуральных чисел.
Сегодня на уроке мы рассмотрим еще одну математическую операцию, которая называется вычитанием.
Выясним, как с помощью координатной прямой можно найти разность натуральных чисел.
Определим, как взаимосвязаны между собой арифметические операции сложения и вычитания.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Подробно на примерах разберем основные свойства вычитания натуральных чисел.
Продемонстрируем свойства вычитания с помощью координатного луча.
Арифметические операции сложения и вычитания неразрывно связаны между собой.
Сложение по своей сути представляет собой увеличение, добавление чего-либо, объединение в единое целое.
Вычитание подразумевает уменьшение, убавление.
Таким образом, вычитание есть действие, обратное сложению.
Рассмотрим данное утверждение на примерах.
1. Сложение
В пенале лежали 5 цветных карандашей, к ним добавили еще 3 карандаша.
Общее количество карандашей в пенале стало равным 8 шт.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
2. Вычитание
В пенале лежало 8 цветных карандашей, взяли 3 карандаша.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В пенале осталось 5 карандашей.
Мы можем заметить, что в первом примере в пенал добавили карандаши, а во втором примере из пенала взяли (отняли) часть карандашей.
Действия «отнять» и «добавить» — противоположные действия.
Сложением называют арифметическую операцию, в результате которой происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.
Вычитанием называют арифметическую операцию, в результате которой происходит уменьшение общего количества исчисляемых объектов.
Таким образом, сложение и вычитание по своему действию противоположные, обратные.
Результат вычитания называется разностью (остаток при вычитании).
В общем виде операция вычитания выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают (т.е. это число, которое уменьшают).
Вычитаемое — это число, которое вычитают из уменьшаемого.
Для записи вычитания используют математический знак минус «-», он располагается между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое располагается всегда слева от знака минус, а вычитаемое справа.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Данная запись читается так: «Три минус два равно один» или «Разность трех и двух равняется одному».
Вычитание — это арифметическая операция, с помощью которой по сумме и известному слагаемому находят неизвестное слагаемое.
Рассмотрим пример №1.
В данном примере нам известно первое слагаемое (2 ягоды малины) и известна сумма (общее количество ягод, равное 5).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы найти второе слагаемое, необходимо от суммы (от числа 5) отнять известное слагаемое (число 2).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Получаем: 5 — 2 = 3
Рассмотрим пример №2.
Пусть нам известно второе слагаемое (3 ягоды ежевики) и известна сумма (общее количество ягод, равное 5).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы найти первое слагаемое, необходимо от суммы (от числа 5) отнять известное слагаемое (число 3).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Получаем: 5 — 3 = 2
Слово «разность» близко по значению со словами «различие, разница».
Действительно, разность показывает количественное различие между двумя значениями.
Разность двух чисел показывает, насколько уменьшаемое больше вычитаемого или насколько вычитаемое меньше уменьшаемого.
Для того чтобы при вычитании получилось натуральное число или нуль, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равным ему.
Например, в коробке лежат 9 шоколадных конфет; съесть получится или все 9 конфет, или меньше 9.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Съесть больше конфет, чем было первоначально в коробке просто невозможно.
Вычитание небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.
Например, найдем разность чисел 6 и 3.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отметим точку А(6) на координатном луче, отложив 6 единичных отрезков вправо от точки О(0).
Найдем разность чисел 6 и 3, т.е. переместим точку А( 6) на 3 единичных отрезка влево (против направления координатного луча), получим точку В (3), следовательно,
6 — 3 = 3.
Ответ: 3
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Вычитание обладает рядом свойств, рассмотрим их.
1. Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.
Рассмотрим данное свойство на примере.
В корзине лежало 10 яблок, все 10 яблок съели.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В корзине не осталось ни одного яблока.
Иными словами, в корзине осталось 0 яблок.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
10 — 10 = 0
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отметим точку А (10) на координатном луче (количество яблок в корзине).
Из 10 вычесть 10, значит, точку А (10) надо переместить на координатном луче влево на 10 единичных отрезков — окажемся в точке О(0).
Полученная точка О (0) является разностью чисел 10 и 10.
2. Свойство вычитания нуля из натурального числа.
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится.
Приведем пример поясняющий данное утверждение.
Представим, что в копилке лежит 6 монет.
Из копилки не взяли ни одной монеты.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В результате в копилке осталось прежнее количество монет, равное 6.
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Из 6 вычесть 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.
6 — 0 = 6
3. Свойство вычитания суммы из натурального числа.
Чтобы лучше понять свойство вычитания суммы из числа, рассмотрим пример.
Пример.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Испекли пирожки с капустой и мясом — всего 7 пирожков. Из них съели 3 пирожка.
Найти количество несъеденных пирожков.
Рассмотрим два варианта решения данной задачи.
Решение №1.
Из семи пирожков взяли 2 пирожка с капустой и 1 пирожок с мясом, затем пирожки эти съели.
Общее количество съеденных пирожков определяется суммой 2 + 1.
При этом оставшиеся пирожки будут определяться как разность: 7 — (2 + 1) = 7 — 3 = 4.
Решение №2
Из семи пирожков сначала съели 2 пирожка с капустой, спустя некоторое время съели 1 пирожок с мясом.
Математически данные действия описываются следующим числовым выражением: (7 — 2) — 1 = 5 — 1 = 4.
В первом и во втором решении мы имеем 4 несъеденных пирожка.
Следовательно, оба способа решении задачи равносильны, т.е. 7 — (2 + 1) = (7 — 2) — 1.
Сформулируем свойство вычитания суммы натуральных чисел из натурального числа.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала выполнить сложение, а затем вычесть полученную сумму из уменьшаемого числа.
Справедливо также следующее правило:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала из уменьшаемого вычесть одно из слагаемых, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.
Проиллюстрируем полученные решения задачи на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант решения задачи: 7 — (2 + 1) = 7 — 3 = 4. (из числа 7 вычли сумму двух чисел 2 и 1).
Второй вариант решения задачи: (7 — 2) — 1 = 5 — 1 = 4 (из числа 7 сначала вычли число 2, затем из полученной разности (7 — 2) вычли второе число равное 1).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отметим точку А(7) на координатном луче (общее количество испеченных пирожков).
Первый вариант решения задачи: из семи вычесть сумму 2 + 1 = 3 (общее количество съеденных пирожков), т.е. отложить на координатном луче 3 единичных отрезка влево от точки А(7).
Остановимся в точке В(4). Полученная точка показывает количество несъеденных пирожков.
Второй вариант решения задачи: из семи вычесть число 2 (количество съеденных пирожков с капустой), т.е. на координатном луче влево от точки А(7) отложить 2 единичных отрезка.
Получим точку С с координатой 5.
Затем из полученного результата 7 — 2 = 5 необходимо отнять 1 (количество съеденных пирожков с мясом), т.е. на координатном луче влево от точки С(5) отступить 1 единичный отрезок.
Остановимся в точке В(4), полученная точка показывает количество несъеденных пирожков.
В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий останавливались в точке В(4), т.е. при решении задачи первым и вторым способом ответ получился одинаковый.
Следовательно, вычесть сумму из числа- это все равно что вычесть из числа каждое слагаемое этой суммы по отдельности.
4. Свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.
Рассмотрим пример демонстрирующий данное свойство вычитания.
В магазине было 4 ящика с яблоками.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Привезли еще 2 ящика.
Три ящика с яблоками продали.
Определим оставшееся количество ящиков с яблоками.
Продать три ящика с яблоками можно разными способами, рассмотрим два решения данной задачи:
Решение №1.
Так как в магазине было 4 ящика с яблоками, привезли еще 2 ящика, то общее количество ящиков с яблоками будет определятся суммой 4 + 2.
Из них продали 3 ящика с яблоками.
Оставшееся количество ящиков будет определятся следующей разностью: (4 + 2) — 3.
(4 + 2) — 3 = 6 — 3 = 3 (ящика)
Ответ: 3 ящика.
Решение №2.
В магазине было 4 ящика с яблоками, привезли еще 2 ящика.
Из тех четырех ящиков с яблоками, которые уже были в магазине, продали 3 ящика с яблоками.
В этом случае разность 4 — 3 определяет остаток от продажи яблок.
Общее количество ящиков с яблоками, оставшееся в магазине, будет определятся суммой:
(4 — 3) + 2.
(4 — 3) + 2 = 1 + 2 = 3 (ящика)
Ответ: 3 ящика.
Можно заметить, что в первом и во втором случае получили одинаковое количество ящиков с яблоками, которые остались в магазине после продажи трех ящиков.
Сформулируем свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.
Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала определить сумму чисел, а из полученного результата вычесть число.
Если хотя бы одно из слагаемых больше числа, вычитаемого из суммы, то возможен другой способ вычитания.
Чтобы из суммы вычесть число, можно его вычесть из первого (второго) слагаемого, затем к полученной разности прибавить второе (первое) слагаемое.
Проиллюстрируем полученные решения задачи на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Отметим на координатном луче точку А(4)— количество ящиков с яблоками, которые были в магазине.
Первый вариант решения задачи: (4 + 2) — 3 = 6 — 3 = 3 (из суммы чисел 4 и 2 вычесть число 3).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Найдем сумму чисел 4 и 2. Для этого необходимо отложить на координатном луче от точки А(4) вправо 2 единичных отрезка, получим точку С(6).
Из 6 вычесть 3, значит от точки С(6) влево отложить 3 единичных отрезка, в результате окажемся в точке В(3).
Полученная точка В(3) показывает количество непроданных ящиков с яблоками.
Второй вариант решения задачи: (4 — 3) + 2 = 1 + 2 = 3 (к разности чисел 4 и 3 прибавили число 2).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Найдем разность 4 и 3.
Для этого необходимо от точки А(4) на координатном луче влево отступить 3 единичных отрезка.
Получим точку Е(1).
Чтобы найти сумму чисел 1 и 2, нужно на координатном луче вправо от точки Е(1) отступить 2 единичных отрезка, в результате окажемся в точке В(3).
Полученная точка В(3) показывает количество непроданных ящиков с яблоками.
В первом и во втором варианте решения задачи в результате всех производимых действий оказались в точке с координатой 3, т.е. при решении задачи первым и вторым способом ответ получился одинаковый.
Следовательно, оба способа решения равносильны:
(4 + 2) — 3 = (4 — 3) + 2
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Вычитание используют для сравнения двух чисел.
Разность показывает на сколько одно число больше другого, т.е. показывает разницу между двумя числами.
Чтобы узнать разницу двух натуральных чисел, надо из большего числа вычесть меньшее.
Пример.
Маша прочитала 4 сказки, а Саша 5 сказок.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На сколько сказок больше прочитал Саша, чем Маша?
На сколько меньше Маша прочитала сказок, чем Саша?
Решение:
5 — 4 = 1 (сказка)
Ответ: Саша прочитал больше Маши на одну сказку, следовательно, Маша прочитала меньше на одну сказку, чем Саша.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ретро-калькулятор
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Совсем еще недавно самые простейшие калькуляторы и вычислительные машины были предметом роскоши, и были они далеко не у каждого.
Продавцы, кассиры, почтовые работники, бухгалтеры, работники банка и все, кто имел дело с финансами, использовали простое механическое устройство — счеты.
С помощью данного устройства можно было легко выполнить простые арифметические операции, в частности, сложение и вычитание.
Этот счетный инструмент широко применяли во многих странах всего мира.
Первое название деревянного вычислительного устройства было «абак», в переводе с латинского означает «счетная доска».
Абак представлял собой доску с полосами-углублениями и счетными метками (косточки, камешки), которые передвигали по этим углублениям.
Позже стали использовать прямоугольную рамку, вместо углублений натягивали проволочки или веревочки, на которые нанизывали камешки или костяшки-косточки.
Действительно, на веревочки первое время нанизывали косточки из ягод вишни или сливы.
У разных народов абак изготавливался из различных материалов, но имел схожую форму.
Китайские счеты суаньпань представляют собой прямоугольную рамку, в которой расположены горизонтальные палочки.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На палочки нанизано по 7 бусин, разделенных перегородкой: 5 бусин с одной стороны от перегородки и 2 бусины с другой.
Японские счеты- соробан- представляют собой рамку, разделенную перекладиной.
В верхней части расположена одна линия косточек, каждая косточка в ней означает «пять».
Внизу расположены ряды косточек, в каждом по 4 косточки, каждая из них обозначает «один».
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Японский соробан используют активно и по сей день, методы и приемы счета на соробане применяют в школьной программе для обучения детей.
Счет на соробане популярен как вид развлечения или вид спорта (подобно шахматам).
Десятичный абак (русские счеты) представляют собой деревянную рамку, с горизонтально закрепленными металлическими спицами, на каждую из них нанизаны деревянные или пластмассовые костяшки по 10 штук, только на одной из спиц находится 4 штуки.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд.
Вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастают ряды от единиц до сотен тысяч.
Число формируется передвижением костяшек из правого края в левый, соответственно разрядной единице числа.
При наборе слева десяти костяшек, они обнуляются (убираются в исходное состояние), а в следующем разряде в левое положение переводится одна костяшка.
Принцип пользования счетами прост.
Располагают счеты так, чтобы ряд с четырьмя костяшками был внизу.
Сложение с помощью счет осуществляется так:
Набирается первое слагаемое, потом к нему добавляются костяшки, обозначающие второе слагаемое и т.д.
Важно помнить, что при нехватке костяшек для отсчета числа (передвижения костяшек влево), ряд данного разряда обнуляют (весь передвигают вправо) для дальнейшего донабора суммы, а одну костяшку на спице выше передвигают влево (таким образом добавляют единицу высшего разряда).
Так одна костяшка верхнего ряда заменяет 10 костяшек нижнего.
Складывают только равные разряды в числах (единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.).
Окончательный результат читается сложением всех значений, начиная с верхнего заполненного разряда.
Вычитание с помощью счет осуществляется так:
Вычитание проводится сверху вниз (от более высоких разрядов к низшим).
Процесс происходит подобно сложению, но в обратном порядке: справа налево.
На соответствующей спице отсчитывается вправо необходимое количество костяшек.
Если их не хватает, то одна костяшка переносится вправо в старшем разряде (т.е. на спице выше), а на данной проволочке все обнуляется (переносится влево) и из них уже набирается вправо необходимое оставшееся количество костяшек.
Занятия на счетах увлекательны, занимательны и очень полезны: тренируют память и внимательность, развивают логическое мышление
Читайте также
Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.
Математическое определение
Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:
an + 1-an = d
Здесь n означает номер элемента an в последовательности, а число d — это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).
О чем говорит знание разности d? О том, как «далеко» друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a4, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a1.
Формулы для определения элементов прогрессии
В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.
Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:
an = a1 + (n — 1) * d
Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.
Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.
Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:
an = a1 + (n — 1) * d;
am = a1 + (m — 1) * d
Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:
an = a1 + (n — 1) * d;
an — am = (n — 1) * d — (m — 1) * d = d * (n — m)
Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:
d = (an — am) / (n — m), где n > m
Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между «старшим» и «младшим» членами, то есть n > m («старший» — имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более «младшего» элемента).
Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.
Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.
В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.
Рекомендуется по указанным причинам самостоятельно решать подобные задачи. Кроме того, они не являются сложными.
Решение без использования формул
Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.
Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз — восьмой, наконец, третий раз — девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:
3 + 5 + 5 + 5 = 18
Таким образом, неизвестная разность d = 5.
Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.
Задача, подобная предыдущей
Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти разность прогрессии арифметической, если а3 = 2, а9 = 19.
Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения «в лоб». Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:
d = (а9 — а3) / (9 — 3) = (19 — 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:
a9 = a3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.
Задачи на применение формулы для an члена
Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.
Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a1, тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для an члена. В данном случае имеем:
a5 = a1 + d * (5 — 1) => d = (a5 — a1) / 4 = (40 — 12) / 4 = 7
Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.
Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.
Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:
a8 = a1 + d * (8 — 1) => d = (a8 — a1) / 7 = (37 — 16) / 7 = 3
Что еще следует знать о прогрессии арифметической
Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:
∑ni = 1(ai) = n * (a1 + an) / 2