Как найти разность шага арифметической прогрессии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Данный калькулятор предназначен для нахождения шага или разности арифметической прогрессии онлайн.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен сумме предыдущего числа и определенного фиксированного числа. Это неизменное число называется разностью арифметической прогрессии. Другими словами, разность (шаг) арифметической прогрессии – разность между последующим и предыдущим членом.

Если разность арифметической прогрессии положительная, то такую прогрессию называют возрастающей, если же разность отрицательная, то имеет место убывающая арифметическая прогрессия.

Разность арифметической прогрессии можно вычислить по следующим формулам

где a_i и a_j элементы прогрессии

где S_n сумма n первых элементов прогрессии, a₁ — первый элемент прогрессии.

Заполните ячейки калькулятора соответствующими значениями, чтобы найти разность арифметической прогрессии онлайн.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. w:Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия (АП) — числовая последовательность вида

${displaystyle a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ldots , a_{1}+(n-1)d, ldots }$

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+dquad }$

Любой (n — й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Обозначение. Если последовательность ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ , или просто ${displaystyle left({a_{n}}right)}$ (иногда пишут: ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ ), является арифметической прогрессией, то пишут ${displaystyle left({a_{n}}right)}$ — (второй вариант записи: ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ — ).
Коротко: арифметическая прогрессия обозначается через .

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править]

1. Общий член арифметической прогрессии[править]

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формулам

${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$

где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— её разность, ${displaystyle a_{m}}$

— член арифметической прогрессии с номером

Доказательство: ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$
Пользуясь соотношением ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии: ${displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$ ${displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}$ ${displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}$ ${displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}$ Заметив закономерность, делаем предположение, что ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех : База индукции : ${displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$ — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть ${displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$ . Докажем истинность утверждения при : ${displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}$ Итак, утверждение верно и при . Это значит, что ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ для всех .

Доказательство: ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Пользуясь соотношением ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$

выписываем последовательно несколько членов прогрессии:

${displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$

${displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}$

${displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}$

${displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}$

Заметив закономерность, делаем предположение, что ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех :

База индукции :

${displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть ${displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$ . Докажем истинность утверждения при :

${displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}$

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ для всех .

Теперь перейдём к другому равенству.

Доказательство: ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$
Рассмотрим дважды предыдущую формулу для -го и -го членов арифметической прогрессии. Имеем ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$ ${displaystyle a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}$ Найдём их разность: ${displaystyle a_{n}-a_{m}=a_{1}-a_{1}+(n-1)d-(m-1)d=(n-1-m+1)d=(n-m)d,}$ откуда получаем искомую формулу: ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$

Доказательство: ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$

Рассмотрим дважды предыдущую формулу для

-го и

-го членов арифметической прогрессии. Имеем

${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$

${displaystyle a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}$

Найдём их разность:
${displaystyle a_{n}-a_{m}=a_{1}-a_{1}+(n-1)d-(m-1)d=(n-1-m+1)d=(n-m)d,}$ откуда получаем искомую формулу:

${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$

Иногда удобно пользоваться формулой для члена арифметической прогрессии с -м номером: ${displaystyle a_{n}=a_{x}+yd}$ , где .

Доказательство: ${displaystyle a_{n}=a_{x}+yd,n=x+y}$
Запишем формулу ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$ Положим и Тогда ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d=a_{x}+yd}$ и учтём, что Как видно, мы «воссоздали» и эту формулу.

Доказательство: ${displaystyle a_{n}=a_{x}+yd,n=x+y}$

Запишем формулу ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$

Положим

Тогда

${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d=a_{x}+yd}$

и учтём, что

Как видно, мы «воссоздали» и эту формулу.

2. Разность арифметической прогрессии[править]

Из определения арифметической прогрессии имеем:

${displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}.}$

Ещё одна формула:

${displaystyle d={frac {a_{n}-a_{1}}{n-1}}.}$

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${displaystyle d={frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}.}$

3. Признаки арифметической прогрессии[править]

На данный момент известны три критерия арифметической прогрессии. Вот они:

1. Последовательность ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ — формула -го члена задаётся так: ${displaystyle a_{n}=kcdot n+b,}$ где и — заданные числа.

Доказательство
Рассмотрим разность двух произвольных последовательных членов данной ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ . Имеем ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=kcdot (n+1)+b-kcdot n-b=kcdot (n+1-n)=k.}$ Следовательно, при любом выполняется равенство ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=k,}$ или, что то же, ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+k.}$ Последнее означает, что каждый данный член последовательности ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ равен предыдущему, сложенному с один и тем же числом Но по определению это означает, что данная последовательность ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ является арифметической прогрессией, то есть ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ —

Доказательство

Рассмотрим разность двух произвольных последовательных членов данной ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$

. Имеем

${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=kcdot (n+1)+b-kcdot n-b=kcdot (n+1-n)=k.}$

Следовательно, при любом выполняется равенство ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=k,}$ или, что то же, ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+k.}$ Последнее означает, что каждый данный член последовательности ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ равен предыдущему, сложенному с один и тем же числом
Но по определению это означает, что данная последовательность ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ является арифметической прогрессией, то есть ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ —

2. Последовательность ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ — выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии:

${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2.}$

3. Последовательность ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ — верна следующая лемма: если , то ${displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}}$ , где

P. S. Про остальные два критерия смотрите далее.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править]

Последовательность ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2}$ .

Доказательство
Необходимость: Поскольку ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения: ${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$ ${displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}$ . Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ . Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}$ . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$ . База индукции : ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}$ — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$ . Докажем истинность утверждения при : ${displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$ Но по предположению индукции следует, что ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$ . Получаем, что ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$ Итак, утверждение верно и при . Это значит, что ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$ . Обозначим эти разности через . Итак, ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}$ , а отсюда имеем ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ для . Поскольку для членов последовательности ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ выполняется соотношение ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ , то это есть арифметическая прогрессия.

Доказательство

Необходимость:

Поскольку ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$

${displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}$ .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}$ . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$ .

База индукции :

${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$ . Докажем истинность утверждения при :

${displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$

Но по предположению индукции следует, что ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$ . Получаем, что ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$ .

Обозначим эти разности через . Итак, ${displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}$ , а отсюда имеем ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ для . Поскольку для членов последовательности ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ выполняется соотношение ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ , то это есть арифметическая прогрессия.

Нетрудно сделать следующее предположение (обобщённое характеристическое свойство): ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>kgeqslant 2.}$

Доказательство
Поскольку, очевидно, что для индекса члена $a_{n}$ выполняется двойное неравенство: , то воспользуемся формулой разности к некоторой паре ${displaystyle d={frac {a_{m}-a_{l}}{m-l}}}$ , где . Мы дважды воспользуемся ею для двух пар, то есть и . У нас получится: ${displaystyle d={frac {a_{n+k}-a_{n}}{(n+k)-n}}}$ и в то же самое время ${displaystyle d={frac {a_{n}-a_{n-k}}{n-(n-k)}}}$ . Видно, что левые части равенств одинаковы (значит, и правые тоже), как и знаменатели дробей в правых частях. Короче говоря, числители дробей равны в силу равенства знаменателей и равенства самих дробей. Запишем теперь это: ${displaystyle a_{n+k}-a_{n}=a_{n}-a_{n-k}}$ . Откуда получаем искомый результат: ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>kgeqslant 2}$ .

Доказательство

Поскольку, очевидно, что для индекса

члена $a_{n}$

выполняется двойное неравенство:

, то воспользуемся формулой разности к некоторой паре

${displaystyle d={frac {a_{m}-a_{l}}{m-l}}}$

, где

Мы дважды воспользуемся ею для двух пар, то есть и . У нас получится: ${displaystyle d={frac {a_{n+k}-a_{n}}{(n+k)-n}}}$ и в то же самое время ${displaystyle d={frac {a_{n}-a_{n-k}}{n-(n-k)}}}$ . Видно, что левые части равенств одинаковы (значит, и правые тоже), как и знаменатели дробей в правых частях. Короче говоря, числители дробей равны в силу равенства знаменателей и равенства самих дробей.
Запишем теперь это: ${displaystyle a_{n+k}-a_{n}=a_{n}-a_{n-k}}$ .
Откуда получаем искомый результат: ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>kgeqslant 2}$ .

5. Лемма арифметической прогрессии[править]

Довольно любопытный факт можно заметить: ${displaystyle a_{n}+a_{n}=a_{n-k}+a_{n+k}=a_{n-1}+a_{n+1}}$ , то есть как бы . Ставится вопрос: верно ли, что если сумма индексов есть постоянное число, то и сумма соответствующих членов арифметической прогрессии неизменна? И действительно это так!

Лемма. Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны: если , то ${displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}}$ , где .

Доказательство
Пусть . Рассмотрим левую часть требуемого равенства. Член $a_{n}$ может быть представлен как ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ . В свою очередь, ничто не мешает это повторить и для члена ${displaystyle a_{m}}$ , то есть ${displaystyle a_{m}=a_{1}+(m-1)d}$ . Тогда их сумма равна: ${displaystyle a_{n}+a_{m}=[a_{1}+(n-1)d]+[a_{1}+(m-1)d]=2a_{1}+(n+m-2)d}$ . По условию , поэтому мы можем заменить на . Имеем ${displaystyle a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(n+m-2)d=2a_{1}+(k+l-2)d=[a_{1}+(k-1)d]+[a_{1}+(l-1)d]=a_{k}+a_{l}}$ , что и требовалось доказать.

Доказательство

Пусть

. Рассмотрим левую часть требуемого равенства. Член $a_{n}$

может быть представлен как ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

. В свою очередь, ничто не мешает это повторить и для члена ${displaystyle a_{m}}$

, то есть ${displaystyle a_{m}=a_{1}+(m-1)d}$

. Тогда их сумма равна: ${displaystyle a_{n}+a_{m}=[a_{1}+(n-1)d]+[a_{1}+(m-1)d]=2a_{1}+(n+m-2)d}$

По условию , поэтому мы можем заменить на . Имеем ${displaystyle a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(n+m-2)d=2a_{1}+(k+l-2)d=[a_{1}+(k-1)d]+[a_{1}+(l-1)d]=a_{k}+a_{l}}$ , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Последовательность ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ есть арифметическая прогрессия для любых её элементов выполняется условие леммы.

Следствие 2. Лемму также можно представить в другой форме: ${displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=...=a_{k}+a_{n-k+1}}$ .

Доказательство
Достаточно проверить условие леммы.

6. Тождество арифметической прогрессии[править]

Оказывается, что любые три члена арифметической прогрессии могут быть связаны между собой и своими индексами некоторым образом. Сформулируем данное утверждение.

6.1. Факт[править]

Пусть ${displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}$ — соответственно -й, -й, -й члены арифметической прогрессии, где . Тогда выполняется тождество арифметической прогрессии: ${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

Доказательство

Доказательство
`Решим следующую задачу.` Дано: ${displaystyle a_{k},a_{l}}$ — произвольные члены арифметической прогрессии, где Найти: ${displaystyle a_{m}}$ — некоторый -й член этой же арифметической прогрессии. Решение. Знаем, что ${displaystyle d={frac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}}$ . В свою очередь, эта же разность представима в виде: ${displaystyle d={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$ Поскольку левые части равны, то и правые подавно. Тогда верна такая запись: ${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$ Откуда по свойству пропорции имеем: ${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m})}$ , или, что то же самое, ${displaystyle (l-m)a_{k}+(m-l)a_{l}+(l-k)a_{l}=(l-k)a_{m}.}$ Итак, мы нашли, что хотели: ${displaystyle a_{m}={frac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}}.}$ Задача решена. В качестве следствия попутно нами доказано тождество арифметической прогрессии: ${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

Решим следующую задачу.

Дано: ${displaystyle a_{k},a_{l}}$ — произвольные члены арифметической прогрессии, где

Найти: ${displaystyle a_{m}}$ — некоторый -й член этой же арифметической прогрессии.

Решение. Знаем, что ${displaystyle d={frac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}}$ .

В свою очередь, эта же разность представима в виде:

${displaystyle d={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

Поскольку левые части равны, то и правые подавно. Тогда верна такая запись:

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

Откуда по свойству пропорции имеем:

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m})}$ , или, что то же самое,

${displaystyle (l-m)a_{k}+(m-l)a_{l}+(l-k)a_{l}=(l-k)a_{m}.}$

Итак, мы нашли, что хотели: ${displaystyle a_{m}={frac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}}.}$

Задача решена.

В качестве следствия попутно нами доказано тождество арифметической прогрессии: ${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

6.2. Поучительный пример[править]

Дано: ${displaystyle left{{a_{n}}right}}$ — ${displaystyle div ,a_{2}=2,a_{4}=6.}$ Найдите ${displaystyle a_{6}.}$

Решим эту задачу четырьмя способами, дабы показать их многообразие и эффективность.

Способ I [ через разность ]
Находим сначала разность по формуле ${displaystyle d={frac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}:}$ ${displaystyle d={frac {a_{4}-a_{2}}{4-2}}={frac {6-2}{2}}=2.}$ И находим ${displaystyle a_{6}}$ по другой формуле ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d:}$ ${displaystyle a_{6}=a_{4}+(6-4)cdot 2=6+2cdot 2=10.}$ Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

Способ I [ через разность

]

Находим сначала разность

по формуле ${displaystyle d={frac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}:}$

${displaystyle d={frac {a_{4}-a_{2}}{4-2}}={frac {6-2}{2}}=2.}$

И находим ${displaystyle a_{6}}$ по другой формуле ${displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d:}$

${displaystyle a_{6}=a_{4}+(6-4)cdot 2=6+2cdot 2=10.}$

Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

Этот способ можно назвать «традиционный», поскольку опирается чисто на определения. А вот следующий зиждется на действительно интересном факте, о котором не все далеко знают, увы…

Способ II [используя тождество]
Знаем, что ${displaystyle a_{m}}$ можно вычислять по формуле ${displaystyle a_{m}={frac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}}.}$ Придадим переменным их значения и получим: ${displaystyle a_{6}={frac {(4-6)a_{2}+(6-2)a_{4}}{4-2}}={frac {(-2)cdot 2+4cdot 6}{2}}=-2+12=10.}$ Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

Способ II [используя тождество]

Знаем, что ${displaystyle a_{m}}$

можно вычислять по формуле ${displaystyle a_{m}={frac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}}.}$

Придадим переменным их значения и получим:

${displaystyle a_{6}={frac {(4-6)a_{2}+(6-2)a_{4}}{4-2}}={frac {(-2)cdot 2+4cdot 6}{2}}=-2+12=10.}$

Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

Всего одна формула дала нам нужный ответ! Безусловно, человеку хочется упростить всякие вычисления. В этом случае на помощь всегда приходит смекалка — посмотрите, как решить третьим способом.

Способ III [по характеристическому свойству]
Итак, нам дана арифметическая прогрессия, поэтому выполняется обобщённое характеристическое свойство, а именно: ${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>kgeqslant 2.}$ Придадим для этой формулы значения Тогда ${displaystyle a_{4}={frac {a_{4-2}+a_{4+2}}{2}}={frac {a_{2}+a_{6}}{2}}.}$ Выражаем ${displaystyle a_{6}}$ , наконец: ${displaystyle a_{6}=2a_{4}-a_{2}=2cdot 6-2=10}$ . Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

Способ III [по характеристическому свойству]

Итак, нам дана арифметическая прогрессия, поэтому выполняется обобщённое характеристическое свойство, а именно:

${displaystyle a_{n}={frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>kgeqslant 2.}$

Придадим для этой формулы значения Тогда

${displaystyle a_{4}={frac {a_{4-2}+a_{4+2}}{2}}={frac {a_{2}+a_{6}}{2}}.}$

Выражаем ${displaystyle a_{6}}$ , наконец:
${displaystyle a_{6}=2a_{4}-a_{2}=2cdot 6-2=10}$ .

Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

В некоторых случаях более внимательные всегда видят какие-нибудь закономерности. У нас именно такая ситуация, к нам на помощь приходит лемма!

Способ IV [с помощью леммы]
Так как то можем применить лемму и записать: ${displaystyle a_{4}+a_{4}=a_{2}+a_{6}.}$ Легко вычисляем нужный член ${displaystyle a_{6}}$ : ${displaystyle a_{6}=2a_{4}-a_{2}=2cdot 6-2=10}$ . Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

Способ IV [с помощью леммы]

Так как

то можем применить лемму и записать:

${displaystyle a_{4}+a_{4}=a_{2}+a_{6}.}$

Легко вычисляем нужный член ${displaystyle a_{6}}$ :

${displaystyle a_{6}=2a_{4}-a_{2}=2cdot 6-2=10}$

Ответ: ${displaystyle a_{6}=10.}$

7. Дополнительные формулы[править]

Можно без труда выводить ещё больше интересных формул. Приведём две из них и докажем первую, а вторая — по аналогии с отсылкой на первую.

Формула 1:

${displaystyle n={frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},ngeqslant 2.}$

Доказательство
Напишем сначала равенство ${displaystyle a_{n+1}=a_{1}+ncdot d}$ . Затем другое: ${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}$ Дальше просто: ${displaystyle ncdot d=a_{n+1}-a_{1}}$ . Но разность можно заменить на ${displaystyle a_{n}-a_{n-1}}$ , что мы и сделаем. В итоге получим: ${displaystyle ncdot (a_{n}-a_{n-1})=a_{n+1}-a_{1}mid Rightarrow n={frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},ngeqslant 2.}$

Доказательство

Напишем сначала равенство ${displaystyle a_{n+1}=a_{1}+ncdot d}$

Затем другое: ${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}$

Дальше просто: ${displaystyle ncdot d=a_{n+1}-a_{1}}$ . Но разность можно заменить на ${displaystyle a_{n}-a_{n-1}}$ , что мы и сделаем. В итоге получим:

${displaystyle ncdot (a_{n}-a_{n-1})=a_{n+1}-a_{1}mid Rightarrow n={frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},ngeqslant 2.}$

Формула 2:

${displaystyle {frac {n}{k}}={frac {a_{n+k}-a_{k}}{a_{n}-a_{n-k}}},n>kgeqslant 2.}$

8. Сумма первых членов арифметической прогрессии[править]

Сумма первых

членов арифметической прогрессии ${displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+ldots +a_{n}}$

может быть найдена по формулам:

Доказательство
Запишем сумму двумя способами: ${displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$ ${displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: ${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$ () Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ${displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,ldots ,n}$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: ${displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,ldots ,n}$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно ${displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ . В частности, ${displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$ . Поскольку таких слагаемых , то ${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={frac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$ Третья формула для суммы получается подстановкой ${displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ вместо ${displaystyle a_{1}+a_{n}}$ . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: 1) Вместо ${displaystyle a_{1}+a_{n}}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ${displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,ldots ,n}$ , так как они все равны между собой. () В доказательстве можно применить следствие 2 из леммы.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

${displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$

${displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$

(*) Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ${displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,ldots ,n}$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

${displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,ldots ,n}$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно ${displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ . В частности, ${displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$ . Поскольку таких слагаемых , то

${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={frac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

Третья формула для суммы получается подстановкой ${displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ вместо ${displaystyle a_{1}+a_{n}}$ . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

1) Вместо ${displaystyle a_{1}+a_{n}}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ${displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,ldots ,n}$ , так как они все равны между собой.

(*) В доказательстве можно применить следствие 2 из леммы.

Непосредственно из определения суммы первых членов арифметической прогрессии можно в подарок получить такое следствие.

Следствие 1. Член, стоящий на -ом месте, можно также найти по формуле: ${displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.}$

Более того, можно узреть и такой факт.

Следствие 2. Для любой пары выполняется такая формула:

${displaystyle {frac {S_{m}}{m}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{m}-a_{n}}{2}}={frac {m-n}{2}}cdot d.}$

Доказательство
Ясно, что ${displaystyle {frac {2S_{m}}{m}}=a_{1}+a_{m}.}$ Аналогично с суммой ${displaystyle S_{n}}$ , то есть ${displaystyle {frac {2S_{n}}{n}}=a_{1}+a_{n}.}$ Вычтем первое равенство из второго: ${displaystyle {frac {2S_{m}}{m}}-{frac {2S_{n}}{n}}=a_{1}+a_{m}-(a_{1}+a_{n})=a_{m}-a_{n}.}$ Деля обе части на 2, получим искомый ответ: ${displaystyle {frac {S_{m}}{m}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{m}-a_{n}}{2}}={frac {m-n}{2}}cdot d.}$

Доказательство

Ясно, что ${displaystyle {frac {2S_{m}}{m}}=a_{1}+a_{m}.}$

Аналогично с суммой ${displaystyle S_{n}}$

, то есть ${displaystyle {frac {2S_{n}}{n}}=a_{1}+a_{n}.}$

Вычтем первое равенство из второго:

${displaystyle {frac {2S_{m}}{m}}-{frac {2S_{n}}{n}}=a_{1}+a_{m}-(a_{1}+a_{n})=a_{m}-a_{n}.}$

Деля обе части на 2, получим искомый ответ:

${displaystyle {frac {S_{m}}{m}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{m}-a_{n}}{2}}={frac {m-n}{2}}cdot d.}$

Приоткроем ещё одну «тайну».

Следствие 3. Верна следующая формула при : ${displaystyle S_{n+k}=S_{n}+kcdot a_{n}+{frac {k(k+1)}{2}}cdot d.}$

Доказательство
Методом математической индукцией по числу

Следствие 4. Нетрудно вывести и такую формулу: ${displaystyle S_{n}={frac {(n+1)a_{1}+(n-1)a_{n+1}}{2}}.}$

Доказательство
По следствию 1 для -го члена арифметической прогрессии можем написать следующее: ${displaystyle a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}.}$ Выразим ${displaystyle S_{n}}$ и получим: ${displaystyle S_{n}=S_{n+1}-a_{n+1}={frac {a_{1}+a_{n+1}}{2}}cdot (n+1)-a_{n+1}={frac {(n+1)a_{1}+(n+1-2)a_{n+1}}{2}}={frac {(n+1)a_{1}+(n-1)a_{n+1}}{2}}.}$

Доказательство

По следствию 1 для

-го члена арифметической прогрессии можем написать следующее: ${displaystyle a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}.}$

Выразим ${displaystyle S_{n}}$

и получим:

${displaystyle S_{n}=S_{n+1}-a_{n+1}={frac {a_{1}+a_{n+1}}{2}}cdot (n+1)-a_{n+1}={frac {(n+1)a_{1}+(n+1-2)a_{n+1}}{2}}={frac {(n+1)a_{1}+(n-1)a_{n+1}}{2}}.}$

Следствие 5. И наконец, вот ещё замечательная формула: ${displaystyle S_{n+k}-S_{n}=kcdot a_{frac {2n+k+1}{2}}.}$

Второй вариант записи: ${displaystyle {frac {S_{m}-S_{n}}{m-n}}=a_{frac {m+n+1}{2}}.}$

8.1. Сумма первых чисел[править]

Вопрос: как посчитать сумму от до ? По формуле: ${displaystyle S_{n}={dfrac {n(n+1)}{2}}.}$

Например, сумма от 1 до 100 равна ${displaystyle S_{100}={frac {100cdot 101}{2}}={frac {10100}{2}}=5050.}$

Если по известной сумме ${displaystyle S_{n}}$ первых чисел надо найти номер , то применяется формула: ${displaystyle n={dfrac {{sqrt {8S_{n}+1}}-1}{2}}.}$

8.2. Сумма первых нечётных чисел[править]

Вопрос: какое будет -ое число в последовательном ряду нечётных чисел:

Такое число должно быть: ${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2cdot (n-1)=2n-1.}$ Итак, любое -ое нечётное число равно

Поэтому сумма первых нечётных чисел находится так:

${displaystyle s={frac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n={frac {1+(2n-1)}{2}}cdot n=n^{2}.}$

Например, ${displaystyle 1+3=4=2^{2},1+3+5=9=3^{2},1+3+5+7=16=4^{2}}$ и так далее.

Это свойство суммы нечётных чисел наглядно выражается чертежом , который составлен так: к квадрату (внизу слева) приставлены 3 таких же квадрата (1 сверху, 1 сбоку и 1 в верхнем углу); к этим квадратам приставлены ещё 5 квадратов (2 сверху, 2 сбоку и 1 в верхнем правом углу). К ним, далее, приложены 7 квадратов, потом 9 квадратов и т. д.

Тогда очевидно, что ${displaystyle 1+3=2^{2},1+3+5=3^{2},1+3+5+7=4^{2}}$ и т. д.

8.3. Интересный факт[править]

Формулировка: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:

${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{frac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: ${displaystyle S_{k}}$ — сумма первых членов АП.

Доказательство
Воспользуемся следствием 2 из пункта 8. Имеем ${displaystyle {frac {S_{2n}}{2n}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ Прибавим к обеим частям ${displaystyle S_{n}}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={frac {1}{3}}S_{3n}.}$ Ну действительно, по тому же следствию 2 можно написать верное равенство: ${displaystyle {frac {S_{3n}}{3n}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Из него прямиком следует, что ${displaystyle {frac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$ Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={frac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={frac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ А это характеристическое свойство арифметической прогрессии! Значит, правда ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={frac {1}{3}}S_{3n}.}$ Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{frac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Доказательство

Воспользуемся следствием 2 из пункта 8. Имеем ${displaystyle {frac {S_{2n}}{2n}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$

или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

Прибавим к обеим частям ${displaystyle S_{n}}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$
Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={frac {1}{3}}S_{3n}.}$

Ну действительно, по тому же следствию 2 можно написать верное равенство:

${displaystyle {frac {S_{3n}}{3n}}-{frac {S_{n}}{n}}={frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

Из него прямиком следует, что ${displaystyle {frac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$

Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={frac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={frac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ А это характеристическое свойство арифметической прогрессии!
Значит, правда ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={frac {1}{3}}S_{3n}.}$
Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{frac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Комплементарное свойство суммы: ${displaystyle {dfrac {l-m}{k}}cdot S_{k}+{dfrac {m-k}{l}}cdot S_{l}+{dfrac {k-l}{m}}cdot S_{m}=0.}$

9. Сумма членов арифметической прогрессии от -ого до -ого[править]

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от до ${displaystyle S_{m,n}=sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

10. Сходимость арифметической прогрессии[править]

Арифметическая прогрессия ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ расходится при и сходится при . Причём

${displaystyle lim _{nrightarrow infty }a_{n}=left{{begin{matrix}+infty , d>0\-infty , d<0\a_{1}, d=0end{matrix}}right.}$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел ${displaystyle lim _{nrightarrow infty }(a_{1}+(n-1)d)}$ , получаем искомый результат.

11. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править]

Пусть ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида ${displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},ldots }$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем ${displaystyle a^{d}}$ .

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: ${displaystyle {sqrt {a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},ngeqslant 2}$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: ${displaystyle {sqrt {a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}}={sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}cdot a^{a_{1}+nd}}}={sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},ngeqslant 2}$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то ${displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},ldots }$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения ${displaystyle q={frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}$ .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

${displaystyle {sqrt {a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},ngeqslant 2}$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

${displaystyle {sqrt {a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}}={sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}cdot a^{a_{1}+nd}}}={sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},ngeqslant 2}$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то ${displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},ldots }$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения ${displaystyle q={frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}$ .

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков[править]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию

Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если ${displaystyle left[a_{i}right]_{1}^{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен ${displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}}$ , такой, что для всех выполняется равенство ${displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}$ ^[1]

Примеры[править]

${displaystyle T_{n}=sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+ldots +n={frac {n(n+1)}{2}}}$

— первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой ${displaystyle a_{1}=1}$ и .
Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой ${displaystyle a_{1}=a}$ и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
В физике — свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за первую, вторую, третью,… секунду полета?
В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008,2012,…
На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня,…?
В литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб — стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил…» (2, 4, 6, 8,…).
Хорей — стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет…» (1, 3, 5, 7,…)[5 стр.250].

Занимательная история[править]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле ${displaystyle {frac {n(n+1)}{2}}}$ , то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.

См. также[править]

Геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

Ссылки[править]

Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Примечания[править]

↑ Бронштейн, 1986, с. 139

Литература[править]

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

Источник

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разница между двумя соседними числами — постоянна.

Пример:

Последовательность 1, 2, 3, 4,… является арифметической прогрессией с шагом(разностью) прогрессии 1.

Пример:

Последовательность 3, 5, 7, 9, 11,… является арифметической прогрессией с разностью 2.

Пример:

Последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30,… является арифметической прогрессией с разностью -10.

Последовательности

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность

2; 4; 6; 8; … .

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа п можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом дробь , на тысячном — дробь

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают Саму последовательность будем обозначать так:

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел:

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем:

Рассматриваемая последовательность начинается так:

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны —10, а с четными номерами равны 10:

Получаем последовательность

Пример:

Формулой задается последовательность, все члены которой равны 5:

Рассмотрим еще один способ задания последовательности.

Пример:

Пусть первый член последовательности равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т. е.

С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий, по известному третьему — четвертый и т. д. Получим последовательность

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться).

Определение арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической, прогрессии.

Определение:

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность — арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие

где d — некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Приведем примеры.

Если то получим арифметическую прогрессию

члены которой — последовательные натуральные числа.

Если то получим арифметическую прогрессию

которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Если то получим арифметическую прогрессию

которая является последовательностью отрицательных четных чисел.

Если то имеем арифметическую прогрессию

все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n — 1) d, т. е.

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример:

Последовательность — арифметическая прогрессия, в которой с1 = 0,62 и d = 0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример:

Выясним, является ли число —122 членом арифметической прогрессии

В данной арифметической прогрессии и Запишем формулу n-го члена прогрессии:

Число —122 является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8 — 5,8n равно —122. Решим уравнение 28,8 — 5,8n = 122:

Значит, число —122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида

где k и b — некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность , заданная формулой вида

где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности :

Значит, при любом n справедливо равенство и по определению последовательность является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором — в порядке убывания:

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак,

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии через и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна Действительно,

и т. д.

Число таких пар равно n. Поэтому, сложиd почленно равенства (1) и (2), получим:

Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:

Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.

Пример:

Найдем сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; … .

В данной арифметической прогрессии Тридцатый член прогрессии найдем по формуле n-го члена:

Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо выражение получим:

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (II), то вычисления будут выглядеть так:

Пример:

Найдем сумму первых сорока членов последовательности , заданной формулой

Последовательность является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида и b = — 4.

Найдем первый и сороковой члены этой арифметической прогрессии: Теперь по формуле (I) вычислим S40:

Пример:

Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + n, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до n.

Применив формулу к арифметической прогрессии 1; 2; 3; … получим, что

Пример:

Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41. Имеем:

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Арифметическая прогрессия — это некая последовательность чисел, каждый следующий член которой отличается от предыдущего на одно и то же число d, называемое шаг прогрессии или разность прогрессии. Калькулятор арифметической прогрессии, используя следующие формулы, может найти первый член арифметической прогрессии , n-ный член прогрессии, найти сумму первых членов или разность.

Арифметическая прогрессия как последовательность, составленная из действительных чисел, связывает их между собой заданной закономерностью ряда. Как правило, числовой ряд начинается с того, что дан первый член арифметической прогрессии, как отправная точка. Далее каждый следующий член прогрессии получается путем прибавления к предыдущему одного и того же параметра, называемого разность арифметической прогрессии или шаг арифметической прогрессии. Если разность является положительным числом, то вся последовательность будет стремиться к плюс бесконечности, так как значения членов будут увеличиваться по мере возрастания их порядковых номеров.

Если разность арифметической прогрессии представлена отрицательным числом, каждый следующий член будет меньше предыдущего и вся последовательность будет стремиться к минус бесконечности. В некоторых случаях предел арифметической прогрессии будет конкретным числом. Это происходит, если шаг прогрессии (разность) равен нулю, тогда первый член арифметической прогрессии совпадает со всеми остальными.

Формулы арифметической прогрессии включают в себя следующие равенства:

• формула первого члена арифметической прогрессии;

• формула n-ного члена прогрессии;

• формула разности арифметической прогрессии;

• формула суммы первых членов арифметической прогрессии или суммы определенной выборки членов.

По всем формулам онлайн калькулятор рассчитывает необходимые значения, используя условия, по которым дана арифметическая прогрессия. Числа, выстроенные в симметричной последовательности, дают возможность вычислить любой член или сумму прогрессии, опираясь всего на два или три параметра в зависимости от уровня сложности задания.

Источник

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Определение арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна ( displaystyle d).

Например:

( {{a}_{1}}=3)
( displaystyle {{a}_{2}}=3+d=7~Rightarrow d=7-3=4)
( displaystyle {{a}_{3}}=7+4=11) и т.д.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (( displaystyle d>0)) и убывающей (( displaystyle d<0)).

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) , где ( displaystyle n)– количество чисел в прогрессии.

Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:

( {{text{a}}_{text{n}}}=frac{{{text{a}}_{text{n}+1}}+{{text{a}}_{text{n}-1}}}{2}) — где ( displaystyle n) – количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии:

1-й способ: ( {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

2-й способ: ( displaystyle {{s}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

arifmeticheskaya progressiya chisla poryadok

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).

arifmeticheskaya progressiya chisla poryadkovyj nomer

Арифметическая прогрессия — определения

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Например:

( begin{array}{l}{{a}_{1}}=3\{{a}_{2}}=3+d=7~~~Rightarrow ~d=7-3=4\{{a}_{3}}=7+4=11end{array})

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

( displaystyle 3;text{ }6;text{ }9;text{ }12;text{ }15;text{ }17ldots )
( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
( displaystyle -5;text{ }-1;text{ }3;text{ }7;text{ }11;text{ }15ldots )
( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots )

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (( displaystyle 3;text{ }7;text{ }11;text{ }15;text{ }19ldots )) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Способ I

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии ( d=4) , пока не дойдем до ( displaystyle 6)-го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}=11+4=15\{{a}_{5}}=15+4=19\{{a}_{6}}=19+4=23end{array})

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

Способ II

А что если нам нужно было бы найти значение ( displaystyle 140)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика!

Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Что мы знаем?

У нас есть арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19 и т.д.
У нас есть номера прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, и т.д.
Мы все время прибавляем 4, значит разница прогрессии d = 4.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

7=3+4 или 7=3+d

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

11=3+4+4 или 11=3+d+d

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

15=3+4+4+4 или 15=3+d+d+d

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение ( displaystyle 4)-го члена данной арифметической прогрессии:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right)\{{a}_{4}}=3+4left( 4-1 right)=15end{array})

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена ( displaystyle n=6) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

( begin{array}{l}{{a}_{6}}={{a}_{1}}+dleft( 6-1 right)\{{a}_{6}}=3+4left( 6-1 right)=3+4cdot 5=3+20=23end{array})

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли ( displaystyle d) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) – уравнение арифметической прогрессии.

Кстати, таким образом мы можем посчитать и ( displaystyle 140)-ой член данной арифметической прогрессии (да и ( displaystyle 169)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).

Попробуй посчитать значения ( displaystyle 140)-го и ( displaystyle 169)-го членов, применив полученную формулу.

( begin{array}{l}…\{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=3+4left( 140-1 right)=3+4cdot 139=3+556=559\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=3+4left( 169-1 right)=3+4cdot 168=3+672=675end{array})

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.

Например:

( displaystyle begin{array}{l}4;text{ }6;text{ }8;text{ }10;text{ }12\-2;text{ }4;text{ }10;text{ }16;text{ }20end{array})

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.

Например:

( displaystyle begin{array}{l}12;text{ }10;text{ }8;text{ }6;text{ }4\4;text{ }0;text{ }-4;text{ }-8;text{ }-12.end{array})

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Проверим это на практике.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: ( displaystyle 13;text{ }8;text{ }4;text{ }0;text{ }-4.)

Проверим, какое получится ( displaystyle 4)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

( {{text{a}}_{text{n}}}={{text{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right))

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение ( displaystyle d) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

( displaystyle d=8-13=-5)

( {{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right))

Так как ( displaystyle d=-5), то:
( {{a}_{4}}=13-5left( 4-1 right)=13-15=-2)

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти ( displaystyle 140)-ой и ( displaystyle 169)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

( begin{array}{l}{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=13-5left( 140-1 right)=13-5cdot 139=13-695=-682\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=13-5left( 169-1 right)=13-5cdot 168=13-840=-827end{array})

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

( displaystyle 4;text{ }x;text{ }12ldots ) — арифметическая прогрессия, найти значение ( displaystyle x).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Пусть ( displaystyle {{a}_{1}}=4), а ( displaystyle {{a}_{3}}=12), тогда:

( displaystyle begin{array}{l}{{a}_{3}}={{a}_{1}}+dleft( 3-1 right)\12=4+2d~~Rightarrow ~d=frac{12-4}{2}=4\{{a}_{2}}=x={{a}_{1}}+d\{{a}_{2}}=x=4+4=8end{array})

Абсолютно верно.

Получается, мы сначала находим ( displaystyle d), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое ( displaystyle x).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа ( displaystyle 4024;~x;6072)?

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как ( {{text{a}}_{text{n}}}), формула его нахождения нам известна – это та самая формула, выведенная нами в начале:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)), тогда:

предыдущий член прогрессии это ( {{a}_{n}}-d): ( {{a}_{n-1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d)
последующий член прогрессии это ( {{a}_{n}}+d): ( {{a}_{n+1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)+d)

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d+{{{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right)+text{d}=2left( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right) right)text{ }!!~!!text{ })

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на ( 2).

( {{a}_{n}}=frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}) – свойство членов арифметической прогрессии.

Попробуем посчитать значение ( x), используя выведенную формулу:

( x=frac{4+12}{2}=8)

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение ( x) для прогрессии ( displaystyle 4024;~x;6072) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

( x=frac{4024+6072}{2}=5048)

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!

Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 40) (по другим источникам до ( displaystyle 100)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из ( displaystyle 6)-ти членов: ( displaystyle 6;text{ }8;text{ }10;text{ }12;text{ }14;text{ }16…)

Нам необходимо найти сумму данных ( displaystyle 6) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ( displaystyle 100) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть ( frac{6}{2}=3).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна ( 22), а подобных равных пар ( 3), мы получаем, что общая сумма равна:

( displaystyle Stext{ }=text{ }22cdot 3text{ }=text{ }66).

Таким образом, формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу ( displaystyle n)-го члена. ( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Что у тебя получилось?

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма ( displaystyle 40) чисел, начиная от ( displaystyle 1)-го, и сумма ( displaystyle 100) чисел начиная от ( displaystyle 1)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма ( displaystyle 100 ) членов равна ( displaystyle 5050), а сумма ( displaystyle 40 ) членов ( displaystyle 820).

Так ли ты решал?

( {{S}_{40}}=frac{left( 1+40 right)cdot 40}{2}=frac{41cdot 40}{2}=frac{1640}{2}=820)
( {{S}_{100}}=frac{left( 1+100 right)cdot 100}{2}=frac{101cdot 100}{2}=5050)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется ( displaystyle 6) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

( displaystyle 6;text{ }5;text{ }4;text{ }3;text{ }2; 1).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\~~{{S}_{6}}=frac{left( 6+1 right)cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=21\~end{array})

Способ 2.

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n)

( {{S}_{n}}=frac{2cdot 6+1left( 6-1 right)}{2}cdot 6=frac{12+5cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=frac{42}{2}=21)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму ( displaystyle n)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из ( displaystyle 6) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из ( displaystyle 60)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – ( displaystyle 1830) блоков:

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\{{S}_{60}}=frac{left( 60+1 right)cdot 60}{2}=frac{61cdot 60}{2}=61cdot 30=1830.end{array})

Источник

Свойства[править]

1. Общий член арифметической прогрессии[править]

2. Разность арифметической прогрессии[править]

3. Признаки арифметической прогрессии[править]

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править]

5. Лемма арифметической прогрессии[править]

6. Тождество арифметической прогрессии[править]

6.1. Факт[править]

6.2. Поучительный пример[править]

7. Дополнительные формулы[править]

8.1. Сумма первых <img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" alt="n" /> чисел[править]

8.3. Интересный факт[править]

10. Сходимость арифметической прогрессии[править]

11. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править]

Арифметические прогрессии высших порядков[править]

Примеры[править]

Занимательная история[править]

См. также[править]

Ссылки[править]

Примечания[править]

Литература[править]

Последовательности

Определение арифметической прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Числовая последовательность

Арифметическая прогрессия — определения

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

8.1. Сумма первых чисел[править]