Решение задачи по определению аналитическим и графическим способами реакций связей в шарнирном соединении невесомой стержневой системы, нагруженной двумя силами, лежащими в одной плоскости.
Задача
Определить реакции связей системы стержней, удерживающих подвешенные на нерастяжимых нитях грузы 1 и 2.
Масса грузов: F1 = 0,4кН и F2 = 0,5кН (рис. 1). Весом стержней пренебречь.
Найденные аналитическим способом значения требуется проверить графически.
Решение
1. Рассматриваем равновесие шарнира В.
2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей, располагая их вдоль оси стержней (рис. 2).
Аналитический способ решения задачи
Аналитическим называют способ решения, при котором искомые результаты получают путем расчетов по составленным выражениям.
Другие видео
Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В.
Определяем реакции стержней R1 и R2, решая уравнения (1) и (2).
Из уравнения (1) получаем:
Подставляем найденное значение R1 в уравнение (2) и получаем
Положительные значения реакций связей R1 и R2 указывают на то, что первоначально выбранные направления реакций оказались верными.
Графическое решение. Силовой многоугольник
Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически.
Полученная система сил находится в равновесии, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.
Строим силовой многоугольник (рис. 3) в следующем порядке:
- В выбранном масштабе (например: μсил=0,01кН/мм) из точки a откладываем, путем параллельного переноса, заданную силу F1
- От конца вектора F1 (точки b) под заданным углом откладываем силу F2
- Из точек а и с проводим прямые, параллельные положениям стержней 1 и 2.
Эти прямые пересекаются в точке d и в результате построения образуется замкнутый многоугольник abcd, в котором сторона cd=R2, а сторона da=R1.
Измерив длины этих сторон линейкой (в мм) и умножив на масштаб μсил построения сил, получаем значения искомых реакций связей в стержнях:
Как видно из чертежа, графическое решение задачи подтверждает правильность аналитического решения.
Другие примеры решения задач статики >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Жесткая
рама, расположенная в вертикальной
плоскости (рис. С 1.0 – С 1.9, табл. С 1),
закреплена в точке А шарнирно, а в
точкеВ прикреплена или к невесомому
стержню с шарнирами на концах, или к
шарнирной опоре на катках.
В
точке Ск раме привязан трос,
перекинутый через блок и несущий на
конце груз весомР = 25 кН. На раму
действуют пара сил с моментомМ =
100 кНм и две силы,
значения, направления и точки приложения
которых указаны в таблице.
Определить
реакции связей в точках А, В, вызываемые
действующими нагрузками. При окончательных
расчетах, принять,а = 0,5 м.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица
|
Пример
C1.
Жесткая
пластина ABCDимеет в
точкеАнеподвижную шарнирную опору,
а в точкеВподвижную шарнирную
опору на катках.
F= 25 кН,= 60°,Р=
18 кН,γ= 75°,М= 50 кН·м,
β = 30°,а= 0,5 м.
Определить:
реакции в точках АиВ.
Решение.
1.
Рассмотрим равновесие пластины. Заменим
связи соответствующими реакциями:
натяжение троса Т(по модулюТ=Р); шарнирно-неподвижную опоруАдвумя составляющими –ХА,
YA,
; шарнирно-подвижную опору – RB.
2.
Для плоской произвольной системы сил
составим три уравнения равновесия.
;
;
Подставив
в составленные уравнения, числовые
значения заданных величин и решив эти
уравнения, определим искомые реакции:
ХА=
–8,5 кН;YА=
–23,3 кН;RВ=
7,3 кН. Знаки указывают, что силыХА
иYАнаправлены противоположно показанным
на рис. С 1.
После
нахождения реакций связей необходимо
выполнить проверку с помощью другого
уравнения равновесия. Например, определить
сумму моментов всех сил относительно
точки С. Если равенство окажется
равным нулю, то значения найденных
реакций, определены, верно.
.
Задача с 2. Определение реакции связей составной конструкции
Конструкция
состоит из жесткого угольника и стержня,
которые в точке С или соединены друг
с другом шарнирно (рис. С 2.0 – С 2.5), или
свободно опираются друг о друга (рис. С
2.6 – С 2.9). Внешними связями, наложенными
на конструкцию, являются в точкеА или
шарнир, или жесткая заделка; в точкеВ
или гладкая плоскость (рис. 0 и 1), или
невесомый стерженьВВ’ (рис. 2 и 3),
или шарнир (рис. 4–9); в точкеD
или невесомый стерженьDD‘
(рис. 0, 3, 8), или шарнирная опора на
катках (рис. 7).
На
каждую конструкцию действуют: пара сил
с моментом М=60 кНм,
равномерно распределенная нагрузка
интенсивностиq=20
кН/м и еще две силы, их направления и
точки приложения указаны в табл. С 2; там
же в столбце «Нагруженный участок»
указано, на каком участке действует
распределенная нагрузка (например, в
условиях № 1 на конструкцию действуют
силаF2под углом
60° к горизонтальной оси, приложенная в
точкеL, силаF4
под углом 30° к горизонтальной оси,
приложенная в точкеЕ, и нагрузка,
распределенная на участкеСК).
Определить
реакции связей в точках А, В, С (для
рис. 0, 3, 7, 8 еще и в точкеD),
вызванные заданными нагрузками. При
окончательных расчётах, принять,а=0,2
м. Направление распределенной нагрузки
на различных по расположению участках
указано в табл. С 2а.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
С 2. На угольникABC
( АВС=90°),
конецА которого жестко заделан, в
точкеС опирается стерженьDE
(рис. С 2, а). Стержень имеет в точкеD неподвижную
шарнирную опору и к нему приложена силаF, а к угольнику –
равномерно распределенная на участкеKB нагрузка
интенсивностиq и
пара с моментомМ.
Дано:F=10 кН,М=5 кНм,q=20 кН/м,а=0,2 м.
Определить: реакции в точкахА, С, D,
вызванные заданными нагрузками.
Решение.
1.
Для определения реакций расчленим
систему и рассмотрим сначала равновесие
стержня DE (рис. С
2, б). Проведем координатные осиХY
и изобразим действующие на стержень
силы: силуF, реакциюN, направленную
перпендикулярно стержню, и составляющиеXD
иYD
реакции шарнираD.
Для полученной плоской системы сил
составляем три уравнения равновесия:
;
;
.
2.
Рассмотрим равновесие угольника (рис.
С 2, в). На него действуют сила давления
стержняN‘, направленная
противоположно реакцииN,
равномерно распределенная нагрузка,
которую заменяем силойQ,
приложенной в середине участкаKB
(численноQ=q·4a=16
кН), пара сил с моментомМ и реакция
жесткой заделки, слагающаяся из силы,
которую представим составляющимиХА,
YА, и
пары с моментомМА.
Для этой плоской системы сил тоже
составляем три уравнения равновесия:
;
;
.
При
вычислении момента силы N‘
разлагаем её на составляющиеN/1
иN/2
и применяем теорему Вариньона.
Подставив в составленные уравнения
числовые значения заданных величин и
решив систему уравнений, найдем искомые
реакции. При решении учитываем, что
численноN‘=N в
силу равенства действия и противодействия.
Ответ:
N= 21,7 кН,YD=–10,8 кН;XD=
8,8 кН,ХА= –26,8 кН,YA=
24,7 кН,МА=42,6
кНм. Знаки указывают,
что силыYD,
ХА и моментМА
направлены противоположно показанным
на рисунках.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
(геометрический
способ)
Последовательность
решения задачи
1. Выбрать
тело (точку), равновесие которого следует рассматривать.
2. Освободить
тело от связей и изобразить действующие на него силы и реакции отброшенных
связей.
3. Построить
замкнутый силовой треугольник, соблюдая параллельность переноса сил и реакций.
4. Расставить углы в силовом треугольнике, согласно исходным данным и схеме задачи.
5. Реакции связей можно определить, исходя из теоремы синусов:
6. Проверить
правильность полученных результатов можно используя любой из следующих способов:
1
способ — графический — в выбранном масштабе построить замкнутый силовой
многоугольник.
2
способ — аналитический — решить уравнения равновесия, используя условия
равновесия системы сходящихся сил на плоскости.
å Fi х = 0;
å Fi у = 0
Пример. Определить
реакции связей, удерживающих груз G=100 кН.
Рис. 1 — Схема задачи
Решение:
1.
Рассматриваем равновесие тела (шара) (рис. 1).
2. Освобождаем
тело от связей и изображаем действующие на него силы и реакции отброшенных
связей (рис. 2).
Рис. 2 — Реакции связей
3. Строим
замкнутый силовой треугольник, соблюдая параллельность переноса сил и реакций и
расставляем углы (рис. 3).
Рис. 3 — Силовой
треугольник
4. Определяем реакции связей, исходя из теоремы синусов:
R = G × sin 20°/ sin 120° = 100 ×
0,342 / 0,866 = 39,49 кН
S = G × sin 40°/ sin 120° = 100 ×
0,643 / 0,866 = 74,22 кН
5. Проверим
правильность полученных результатов используя аналитический метод.
Для
этого освобождаем тело
от связей, изображаем
действующие на него активные силы и реакции связей, выбираем систему координат,
совместив ось Х
по направлению с
реакцией R (рис.
4) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на тело:
Рис. 4 — Выбор
систем координат
å Fi х
= 0; R
+ S× cos 60° —
G× cos 40° =
0 (1)
å Fi у
= 0; S× cos
30° — G× cos
50°
= 0 (2)
6. Определяем реакции связей R и S решая уравнения.
Из уравнения ( 2 ) получаем
S = G × cos 50° / cos 30° = 100 ×
0,643 / 0,866 = 74,22 кН
Подставляя найденное значение S в уравнение ( 1 ), получаем
R = G× cos
40° — S× cos
60° =100× 0,766 — 74,22× 0,5 = 39,49 кН
Задача 1. Определить реакции стержней, удерживающих груз весом G. Массой стержней пренебречь. Схему
своего варианта смотри на рисунке 5. Числовые данные своего варианта взять из
таблицы 1.
Таблица 1 — Исходные данные
|
Номер схемы на рисунке 5 |
G |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Варианты |
кH |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
20 |
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
30 |
|
28 |
29 |
30 |
40 |
|
1 |
2 |
||||||
|
|
|
||||||
|
3 |
4 |
||||||
|
|
|
||||||
|
5 |
6 |
||||||
|
|
|
||||||
|
7 |
8 |
9 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Рис. 5 — Схема
задачи
Задача 2. Определить реакции связей,
удерживающих груз весом G.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!