Как найти ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярное грани

Для решения этой задачи нужно использовать формулу объема параллелепипеда:

V = a*b*c

где a, b и c — длины сторон параллелепипеда.

Также известно, что площадь одной грани равна 12, следовательно, площадь двух граней равна 24:

2ab + 2bc + 2ac = 24

Учитывая, что объем параллелепипеда равен 24, подставим формулу объема в уравнение для площади граней и получим:

2ab + 2bc + 2ac = a*b*c

Разделим обе части уравнения на 2ac:

b/a + c/b + 1 = 2c/a

Перенесем все слагаемые с буквами в одну часть:

b/a — 2c/a + c/b = -1

Перемножим обе части уравнения на ab:

b^2 — 2ac + ac = -ab

Будем решать полученное квадратное уравнение относительно переменной b:

b^2 — ac = -ab

b^2 + ab — ac = 0

b = (-a + √(a^2 + 4ac))/2

Так как мы ищем ребро, перпендикулярное грани, то это должно быть кратчайшее расстояние между двумя соседними вершинами, лежащими на этой грани. Значит, две другие длины сторон должны иметь одинаковое значение.

Допустим, что b = c. Тогда из уравнения для площади граней следует:

2ab + 2b^2 + 2a^2 = 24

a^2 + ab + b^2 = 12

Заметим, что левая часть этих двух уравнений является формулой для суммы квадратов двух чисел (a+b)^2. Подставим это выражение вместо левой части второго уравнения:

(a + b)^2 = 12

a + b = √12

Теперь можем найти значение переменной b:

b = (√12 — a)/2

И, учитывая, что b = c, найдем значение всех трех длин сторон:

a = (√12 — b)/2

c = b

Таким образом, расчет ребра, перпендикулярного грани, состоит из нескольких шагов, использующих формулу объема и формулу для суммы квадратов, но не требует специальных знаний или опыта в области математики.

---

Задача 1.  В прямоугольном параллелепипеде   известно, что   Найдите длину диагонали

Решение: + показать

---

Задача 2.  Найдите угол   прямоугольного параллелепипеда, для которого . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 3.  В прямоугольном параллелепипеде    известны длины рёбер   Найдите синус угла между прямыми  и

Решение: + показать

---

Задача 4. Площадь поверхности куба равна Найдите его диагональ.

Решение: + показать

---

Задача 5. Объем куба равен Найдите площадь его поверхности.

Решение: + показать

---

Задача 6. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение: + показать

---

Задача 6. Объем куба равна . Найдите его диагональ.

Решение: + показать

---

Задача 7. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Решение: + показать

---

Задача 8. Если каждое ребро куба увеличить на , то его площадь поверхности увеличится на Найдите ребро куба.

Решение:  + показать

---

Задача 9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в раза?

Решение: + показать

---

Задача 10. Объем одного куба в раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение: + показать

---

Задача 11. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Площадь поверхности этого параллелепипеда равна Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение: + показать

---

Задача 12. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение: + показать

---

Задача 13.  Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Диагональ параллелепипеда равна Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

---

Задача 14.  Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна Ребро, перпендикулярное этой грани, равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

---

Задача 15. В прямоугольном параллелепипеде    известны длины рёбер: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  и

Решение: + показать

---

Задача 16.  Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  и образует углы , и с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

---

Задача 17.  В прямоугольном параллелепипеде   ребро , ребро , ребро . Точка   — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки .

Решение: + показать

---

---

Задача 19. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда   у которого

Решение: + показать

---

Задача 20. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды  равен

Решение: + показать

---

Задача 21. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда    у которого  

Решение: + показать

---

Задача 22.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  прямоугольного параллелепипеда   у которого

Решение: + показать

---

Задача 23. Объем параллелепипеда  равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

---

Задача 24. В кубе   точка  — середина ребра , точка   — середина ребра , точка   — середина ребра Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Вы можете пройти тест

Сайты, меню, вход, новости

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$ — длина;

$b$ — ширина;

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$ — периметр основания;

$S_{осн}$ — площадь основания;

$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;

$V$ — объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$а$ — длина стороны.

$V=a^3;$

$S_{бок}=4а^2;$

$S_{п.п}=6а^2;$

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

• $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
• $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
• $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
• $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны. 

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб.
   $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
   $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
4. Квадрат.
   $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Представленные ниже задачи просты, большинство из них решаются в 1 действие. В данной статье мы будем рассматривать прямоугольный параллелепипед (все грани прямоугольники). Что необходимо знать и понимать? Сначала посмотрите формулы  объёма и площади поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда, также формулу диагонали, можно заглянуть сюда. Кратко перечислим формулы:

Прямоугольный параллелепипед

Пусть рёбра будут равны а, b, с.

Площадь поверхности:

Объём:

Диагональ:

Куб

Пусть ребро куба равно а.

Площадь поверхности:

Объём:

Диагональ:

*Понятно, что формулы куба являются следствием из соответствующих формул прямоугольного параллелепипеда. Куб – это параллелепипед, у которого все рёбра равны, грани являются квадратами.

Рассмотрим задачи:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 8. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 210. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Обозначим известные ребра за а и b, а неизвестное за c.

Тогда формула площади поверхности параллелепипеда выражается как:

Остаётся подставить данные и решить уравнение:

Ответ: 5

Площадь поверхности куба равна 200. Найдите его диагональ.

Построим диагональ куба:

Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6а ², значит можем найти ребро а:

Диагональ грани куба  по теореме Пифагора равна:

Диагональ куба по теореме Пифагора равна:

Тогда

*Можно было сразу воспользоваться формулой диагонали куба:

Ответ: 10

Объем куба равен 343. Найдите площадь его поверхности.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро  а как S = 6а ², а объем равен V = а ³. Значит можем найти ребро куба и затем вычислить площадь поверхности:

Таким образом, площадь поверхности куба равна:

Ответ: 294

27060. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле:

где а, b и с  рёбра.

Найдём третье ребро. Мы можем это сделать воспользовавшись формулой площади поверхности параллелепипеда:

Подставляем данные и решаем уравнение:

Таким образом, диагональ будет равна:

Ответ: 3

27063. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

В основании  правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Понятно, что она является параллелепипедом. Формулы применяются те же. Пусть боковое ребро будет равно х. Его мы можем найти используя формулу площади поверхности:

Ответ: 12

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,8 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба. 

Единичный куб это куб с ребром равным 1.

Площадь поверхности получившегося многогранника можно вычислить следующим образом: от площади поверхности куба нужно вычесть две площади основания вырезанной призмы и прибавить четыре площади боковой  грани вырезанной призмы со сторонами 1 и 0,8:

Ответ: 7,92

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 48. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 8. Найдите объем параллелепипеда.

Достаточно применить формулу объёма………………………

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его ребер, или произведению площади основания на высоту. В данном случае роль основания играет грань, роль высоты ребро, которое ей перпендикулярно. Получим:

Ответ: 384

Следующие задачи вы решите без труда.

27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Одно из его ребер равно 4. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Ответ: 16.

27078. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани. Ответ: 5.

27079. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 4.

Ещё для самостоятельного решения:

27054. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Посмотреть решение

27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Посмотреть решение

27056. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Посмотреть решение

27075. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности получившегося многогранника.

Посмотреть решение

27076. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Посмотреть решение

В следующих статьях продолжим рассматривать задания с кубами и параллелепипедами в условии, не пропустите! На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.