Как найти регулярную функцию

Математический
аппарат квантовой механики

Со школьных времен
вам знакомо понятие функции:
функция – это правило, согласно которому
всякому числу
x
(из области определения) ставится в
соответствие число
y.
Нам в нашем курсе понадобятся функции,
вообще говоря, комплексные, отвечающие
требованиям регулярности:
они должны быть конечны
во всей области определения, однозначны
и непрерывны.
Эти условия необходимы (хотя и недостаточны)
для выполнения еще одного важного
требования: эти функции должны быть
квадратично
интегрируемы,
т.е. если 
– регулярная функция, а *
– ее комплексно сопряженную, то интеграл

должен
иметь конечное значение.

Если такой интеграл
равен единице, функцию называют
нормированной.

Пару функций, для
которых

,
называют ортогональными.

2. Операторы

При обсуждении
законов квантовой механики наряду с
функциями удобно ввести еще один класс
математических объектов – операторы.

Оператор – это
правило, согласно которому уже каждой
функции f
ставится в соответствие другая функция

.

(обратите внимание:
операторы часто обозначают такой
«шляпкой»). Пусть, например, оператор

задает дифференцирование функции. Тогда
для функции

действие
такого оператора даст

,
т.е. наш оператор переводит функцию sin
x
в новую функцию cos
x.

Все ли понимают,
что на другую функцию этот оператор
будет действовать по-другому? Например,
во что превратится функция u(x)
= sin 2x?

Понятно, что не на
всякую функцию можно подействовать
оператором. Так, наш оператор
дифференцирования можно применять
только к дифференцируемым функциям.

Кстати, а кто-нибудь
может привести пример недифференцируемой
функции? Ну, например, y(x)
= | x
|. Заодно запомним: Не всякая непрерывная
функция дифференцируема, а любая
дифференцируемая функция непрерывна.

Поэтому, задавая
оператор, определяют класс функций, на
которые он действует. Говорят, что
оператор

определен
на классе
дифференцируемых функций.

Приведем еще
несколько примеров.

1. Пусть f(x)
   – функция одной переменной, а оператор
   
   .
   Тогда
   
   .
   Действие оператора сводится к умножению
   функции на аргумент.

2. Действие оператора
   
   приводит
   к
   
   .

3. Заметим, что наша
   функция может быть функцией многих
   переменных, тогда
   
   ,
   оператор
   
   задает
   дифференцирование по переменной x.

Вы, наверное,
догадываетесь, что функцию можно
подвергнуть и нескольким преобразованиям.
Определим сумму
операторов как

.

Под произведением
операторов будем понимать

.
Пусть, например,

,

,
тогда

.

При этом произведение

,

т.е. умножение
операторов некоммутативно.

Оператор (AB
– BA),
обозначаемый [A,B],
называется коммутатором. Если [A,B]
= 0, то говорят, что операторы коммутируют.

Найдем коммутатор
наших операторов

:

.

Таким
образом, коммутатор равен 1.

Полезно ввести
понятия единичного
оператора, такого, что для любой функции

,
и обратного
оператора А^–1,
такого что А^–1А
= AA^–1
= I.

3. Линейные операторы.

В квантовой механике
нам придется иметь дело только с линейными
операторами, т.е. с такими, что

и

Эти условия можно
объединить, и записать:

Легко видеть, что
оператор дифференцирования линеен, а
оператор возведения в квадрат – нет.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Category:

• IT
• Cancel

ТФКП. Найти регулярную (аналитическую) функцию по заданой мнимой части

Найти регулярную фунцию f(z)=u(x,y)+iv(x,y), для которой

и

Аналитическую функцию можно будет восстановить, если мнимая часть будем гармонической функцией, т.е если для нее будет выполнятся уравнение Лапласа.

Необходимо найти частные производные функции v. Можно это делать и в таком виде, но удобне перейти в полярные координаты.

В полярных координатах уравнение Лапласа выглядит, как

Получится

Находим частные производные первого и второго порядков


Найдем теперь сумму

Функция v гармоническая. Теперь можно восстанавливать регулярную функцию.
Запишем условие Коши-Римана для полярных координат.

Получаем систему

Из первого уравнения

И тогда

Откуда

И тогда фунция u

Или, переходя в обратно в декартовы координаты

Тогда регулярная фунция f

Впринипе, фунция f найдена, но будет лучше если она будет зависить от z. Для этого рассмотрим эту функцию на оси OX. Тогда y=0.
Получим

И теперь обратно, x=z. Получаем

Теперь найдем f(i)

И ответ

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЯ               93

Из теоремы
2 и п. 3 § 7 вытекает

Следствие 5. Гармоническая в области функция беско­нечно
дифференцируема.

3. Достаточные условия
регулярности. Теорема 1 утвержда­ет, что достаточным условием регулярности
функции /(z) в области D является дифференцируемость этой функции. Рас­смотрим
другие достаточные условия.

Теорема 3 (теорема Морера). Пусть
функция /(z) непрерывна в односвязной области D и пусть интеграл от функ­ции
f(z) no любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда
функция f(z)
регулярна в области D.

Доказательство. В силу следствия
3 § 9 функция f(z) имеет
первообразную, т. е. существует дифференцируемая функ­ция F(z) такая, что F'(z)==f(z)
для всех z e D. Согласно тео­реме 1
функция F (г) регулярна в области D, и,
следовательно, ее производная—регулярная в D функция, т. е. функция/(z)== == F’ (z) регулярна в области D.

Теорема 4 (первая теорема
Вейерпгтрасса). Пусть функции fn[z) (п = 1, 2, …) регулярны в области D, и пусть ряд

/(г)
=2/„(г)                        (9)

n=l

равномерно
сходится в каждой замкнутой области, лежащей в D. Тогда функция /(z) регулярна в D.

Доказательство. Пусть Zo — произвольная точка обла­сти D.
Рассмотрим круг К: lz—Zol <
б, лежащий вместе со своей границей в области D. По условию, ряд (9)
равномерно сходится в К, а значит, и в К. Кроме того, функции /n(z) (п == = 1, 2, …) регулярны и, следовательно,
непрерывны в К. По­этому функция /(z) непрерывна в К как сумма
равномерно схо­дящегося ряда, составленного из непрерывных функций.

Пусть «f — любой замкнутый контур, лежащий в
круге К. Интегрируя почленно равномерно сходящийся на у ряд (9),
получаем

f/(z)dz=
I J/„(z)dz. ,        «=i„

По
интегральной теореме Коши /n(z)riz==0 (га = 1, 2, …) и,

Г              ^v следовательно, ) / (z) dz
= 0. В силу теоремы Морера, функция

v

/(z) регулярна в круге К и, в частности, в точке Zy. Так как Zo—произвольная
точка области D, то функция /(z) регулярна в области D. Теорема
доказана.

94                    ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Теорема 5 (вторая теорема
Вейерштрасса). В условиях предыдущей теоремы ряд (9) можно дифференци­ровать
почленно любое число раз. Получаемые при этом ряды равномерно сходятся в каждой
замкнутой области Д, лежащей в области D.

Мы ограничимся формулировкой второй теоремы Вейер­штрасса
(доказательство ее содержится, например, в .[11]).

Другие достаточные условия регулярности, относящиеся к
интегралам, зависящим от параметра, будут даны в § 15.

В заключение п. 3 приведем краткую сводку основных свойств
регулярных функций. Заметим, что наряду с термином «регулярная функция» в
литературе используются другие экви­валентные термины:

{регулярная функция} ^{голоморфная функция}==

^{однозначная аналитическая функция}.

Критерии (необходимые
и достаточные условия} регулярно­сти функции f(z) в области D:

1) дифференцируемость функции /(z)
в области D;

2) условия Коши — Римана.

Достаточные условия
регулярности функции /(z) в области D дают теорема Морера и первая
теорема Вейерштрасса. Свойства регулярных функций:

1) сумма, разность, произведение
регулярных функций /(z) и g'(z),
а также их частное (при g(z)^O) и суперпозиция яв­ляются регулярными функциями;

2) регулярная функция бесконечно
дифференцируема;

3) для регулярной функции
справедливы интегральная тео­рема Коши и интегральная формула Коши;

4) первообразная регулярной в одпосвязной
области функ­ции регулярна.

4. Некоторые приемы разложения
в степенной ряд. Всякая функция /(z), регулярная в круге |z—а|<р,
разлагается в сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) сте­пенной
ряд

/(z)= 1с„(2-а)»,                    (10)

Привет, сегодня поговорим про голоморфная функция, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
голоморфная функция, регулярная функция, аналитическая функция, функция комплексного переменного , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

голоморфная функция , иногда называемая регулярной функцией —
функция комплексного переменного , определенная на открытом подмножестве комплексной плоскости и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В отличие от вещественного случая, это условие означает, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора.

Голоморфные функции также называют иногда аналитическими, хотя второе понятие гораздо более широкое, так как
аналитическая функция не обязана быть определена на множестве комплексных чисел. Тот факт, что для комплекснозначных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают, является нетривиальным и весьма замечательным результатом комплексного анализа.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (голоморфная функция) — функция f(z) комплексной переменной, к-рая дифференцируема в след. смысле: в каждой точке z0 нек-рой области D комплексной плоскости С существует производная , причем предел не зависит от способа стремления Дг к нулю. Рассматриваются аналитическая функция. мн. комплексных переменных. аналитическая функция. широко распространены в математике и ее физ. приложениях. Ряд задач классич. веществ. анализа решается переходом к комплексным переменным. Все элементарные и спец. ф-ции аналитичны в тех или иных областях, причем выход в комплексную плоскость обнаруживает глубокие связи между этими ф-циями. Теория аналитическая функция прямо связана с теорией двумерного Лапласа уравнения и, следовательно, с теорией гармонических функций. Важной характеристикой аналитическая функция являются ее особенности, т. е. точки комплексной плоскости, в к-рых нарушается аналитичность.

Классификация особенностей аналитическая функция позволяет во многом охарактеризовать и свойства ф-ции в целом. Ф-ции комплексной переменной использовались уже в 18 в., в частности в работах Л. Эйлера (L. Euler). Окончательно теория аналитическая функция. одной переменной оформилась в работах О. Коши (А. Саuchy), К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) и Б.Римана (В. Riemann) в 19 в. Теория аналитическая функция. многих переменных продолжает интенсивно развиваться.

Одна из причин широкого применения аналитическая функция. в физике связана с физ. требованиями типа причинности. Так, в квантовой теории поля аналитичность Уайтмена функций и амплитуд рассеяния вытекает из исходных постулатов теории. Метод дисперсионных соотношений целиком базируется на теории аналитическая функция, ур-ния Янга — Миллса можно записать как условия аналитичности нек-рых ф-ций. Большое число приложений аналитическая функция связано также с двумерными задачами электростатики, гидродинамики и т. д., где используются, напр., конформные отображения.

Определение

Пусть — открытое подмножество в и — комплекснозначная функция на .

Другое определение

Определению голоморфной функции можно придать несколько другой вид, если воспользоваться операторами и , определяемыми по правилу

где . Тогда функция называется голоморфной, если

что эквивалентно условиям Коши — Римана.

История

Термин «голоморфная функция» был введен двумя учениками Коши, Брио (1817—1882) и Буке (1819—1895), и происходит от греческих слов őλoς (холос), что значит «целый», и μoρφń (морфе) — форма, образ.

Сегодня многие математики предпочитают термин «голоморфная функция» вместо «аналитическая функция», так как второе понятие более общее. Кроме того, одним из важных результатом комплексного анализа является то, что любая голоморфная функция является аналитической, что не очевидно из определения. Термин «аналитический» употребляют обычно для более общих функций, заданных не обязательно на комплексной плоскости.

Голоморфная функция осуществляет конформное отображение, преобразуя ортогональную сетку в ортогональную (там где комплексная производная не обращается в нуль).

Связанные определения

Свойства

• Комплексная функция является голоморфной тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши — Римана

  

и частные производные непрерывны.

• Сумма и произведение голоморфных функций — голоморфная функция, что следует из линейности дифференцирования и выполнения правила Лейбница. Частное голоморфных функций также голоморфно во всех точках, где знаменатель не обращается в 0.
• Производная голоморфной функции опять является голоморфной, поэтому голоморфные функции являются бесконечно дифференцируемыми в своей области определения.
• Голоморфные функции являются аналитическими, то есть могут быть представлены в виде сходящегося в некоторой окрестности каждой точки ряда Тейлора . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Таким образом, для комплексных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают.
• Из любой голоморфной функции можно выделить ее вещественную и мнимую часть, каждая из которых будет решением уравнения Лапласа в . То есть если — голоморфная функция, то и — гармонические функции.
• Если абсолютная величина голоморфной функции достигает локального максимума во внутренней точке своей области определения, то функция постоянна (предполагается, что область определения связна). Отсюда следует, что максимум (и минимум, если он не равен нулю) абсолютной величины голоморфной функции могут достигаться лишь на границе области.
• В области, где первая производная голоморфной функции не обращается в 0, а функция однолистна, она осуществляет конформное отображение.
• Интегральная формула Коши связывает значение функции во внутренней точке области с ее значениями на границе этой области.
• С алгебраической точки зрения, множество голоморфных на открытом множестве функций — это коммутативное кольцо и комплексное линейное пространство. Это локально выпуклое топологическое векторное пространство с полунормой, равной супремуму на компактных подмножествах.
• Согласно теореме Вейерштрасса, если ряд голоморфных функций в области равномерно сходится на любом компакте в то его сумма также голоморфна, причем ее производная является пределом производных частичных сумм ряда .

Основные свойства. Если и — вещественная и мнимая части ф-ции , то требование существования комплексной производной эквивалентно т. н. ур-ниям Коши — Римана

из к-рых следует, что и являются гармонич. ф-циями. Две ф-ции, гармонические в области D и удовлетворяющие там ур-ниям Коши — Римана, наз. взаимно сопряженными. Любая производная А. ф. f(z) есть также А. ф. В окрестности каждой точки z из области D А. ф. можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Тейлора:

Радиус сходимости этого ряда не меньше радиуса любого круга с центром в z0, содержащегося в D. Обратно, если в каждой точке z0 из D ф-ция f(z) представима абсолютно сходящимся степенным рядом, то f(z) аналитична в D, так что разложимость в степенной ряд можно считать др. эквивалентным определением А. ф.

Пример: для распространенных элементарных ф-ций ez, sin z и cos z имеют место след. разложения в точке z0=0:

из к-рых, в частности, вытекает ф-ла Эйлера

Специфичны и интегральные св-ва А. ф. Если замкнутый контур Y целиком лежит в области аналитичности D ф-ции / (z) и там его можно стянуть в точку, то интеграл от /(z) по этому контуру равен нулю. Это свойство также вполне характеризует А. ф.: если для нек-рой непрерывной в D ф-ции / (z) для любого контура с перечисленными выше свойствами, то f(z) аналитична в D. Для А. ф. выполняется важная ф-ла Коши

справедливая для любой точки z0, к-рая лежит в области, ограниченной контуром , причем направление обхода контура должно быть таким, чтобы область оставалась слева.

Для А. ф. имеет место принцип максимума модуля, согласно к-рому модуль А. ф., отличной от постоянной, не может достигать своего макс. значения ни в какой внутр. точке области аналитичности D. Напр., если А. ф. задана в единичном шаре , по модулю не превосходит там 1 и f(0)=0, то при (лемма Шварца). Применительно к областям спец. вида принцип максимума приводит к следующей теореме Фрагмена — Линделефа.

Пусть f(z) аналитична в секторе и непрерывна вплоть до его границы, на к-рой ее модуль не превосходит постоянной М. Если, кроме того, при , то во всем секторе. Теоремы типа Фрагмена — Линделефа существенно используются в теории рассеяния элементарных частиц высокой энергии, приводя там к асимптотич. соотношениям между сечениями рассеяния частиц и античастиц (Померанчука теорема и др.).

Понятие аналитичности имеет смысл также и на множествах более сложных, чем области комплексной плоскости С, но локально устроенных как последние. Напр., добавляя к С бесконечно удаленную точку, получают расширенную комплексную плоскость С. Комплексная структура в окрестности бесконечно удаленной точки задается отображением , переводящим ее в начало координат. Ф-ция f(z) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, если аналитична в окрестности точки z=0. Для областей в справедливо все сказанное выше. В то же время, если f(z) аналитична во всей , то она постоянна (теорема Лиувилля).

Особые точки. Точки, в к-рых нарушается аналитичность ф-ции f(z), наз. ее особыми точками. Если f(z) аналитична во всех точках нек-рой окрестности точки z0, кроме, быть может, ее самой, то z0 наз. изолиров. особой точкой. В окрестности изолиров. особой точки f(z) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Лорана, содержащий, быть может, отрицат. степени (z-z0):

Различают три типа изолиров. особых точек: устранимую особую точку, полюс и существенно особую точку. Точка z0 наз. устранимой, если f(z) ограничена в нек-рой ее окрестности. Полагая (этот предел существует), получают ф-цию, аналитическую и в z0. Изолиров. особая точка z0 наз. полюсом, если .

В этом случае лишь конечное число членов лорановского разложения f(z) в z0 с отрицат. степенями (z — z0) отлично от нуля. Коэф. c_j наз. вычетом функции f(z) в точке z0 и обозначается . Если бесконечное число членов ряда Лорана f (z) в точке z0 с отрицат. показателями п отлично от нуля, то z0 наз. существенно особой точкой. Существенно особые точки характеризуются тем, что для любого комплексного числа а существует последовательность zк, сходящаяся к z0 при , такая, что

Пусть -замкнутый контур, лежащий в области аналитичности ф-ции f(z) и содержащий внутри себя лишь ее полюсы (их обязательно конечное число), расположенные в точках z1 …, zn, тогда

Эта формула является основой теории вычетов и служит эфф. инструментом для вычисления определ. интегралов. Ф-ция, аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением, быть может, полюсов, наз. мероморфной. Ф-ция, не имеющая в С особых точек, наз. целой.

Многозначные функции. Всякая А. ф. однозначно восстанавливается по своим значениям в любом сколь угодно малом открытом подмножестве области аналитичности. Более того, если две аналитические в D ф-ции совпадают в счетном числе точек из D, имеющих хотя бы одну предельную точку, также принадлежащую D, то эти ф-ции совпадают и всюду в D. Типичной является ситуация, когда А. ф. первоначально задана в нек-рой области D, но продолжается до А. ф. в существенно большей области. Т. о., возникает задача об аналитическом продолжении заданной А. ф. до А. ф. в максимально возможной области.

Чтобы эта задача была разрешима в классе однозначных ф-ций, приходится расширить понятие области, допустив возможность ее самоналожений. Это приводит к понятию неоднолистных областей, в частности римановой поверхности данной А. ф. Пусть f(z) — А. ф. в области D к — нек-рый путь, соединяющий точку z0 из D с точкой z’ из расширенной комплексной плоскости. Говорят, что f(z) аналитически продолжается вдоль, если существует конечное число кругов Vк, к=0, 1, …, N с центрами, последовательно расположенными на , и ф-ции fк(z) аналитические в Vк, такие, что fк(z)= =fк-1(z) в пересечении Vк, и Vk-1.

Если f(z) аналитически продолжается вдоль двух путей с началом в z0 и концом в z’, то в результате этих продолжений в окрестности точки z’ могут получиться, вообще говоря, разные А. ф. Риманову поверхность ф-ции f(z), первоначально заданной в D, можно понимать как множество всех путей, к рые исходят из нек-рой точки z0, лежащей в D, и вдоль к-рых f(z) аналитически продолжима. При этом два пути отождествляются, если они заканчиваются в одной и той же точке и приводят к одинаковым А. ф. в ее окрестности. Тем самым всякая аналитическая в D ф-ция f(z) определяет нек-рую ф-цию, аналитическую на своей римановой поверхности,- полную А. ф.

Пусть f(z) аналитична в нек-рой области D и аналитически продолжается (вообще говоря, неоднозначно) вдоль любого пути, не содержащего фиксиров. точку z0 (такая точка наз. точкой ветвления). Если провести разрез плоскости С, соединяющий точку z0 с бесконечно удаленной точкой, то можно получить конечное или счетное число ф-ций, аналитичных в плоскости С с разрезом, получающихся из f(z) аналитич. продолжением вдоль путей, огибающих z0 заданное число раз. Риманову поверхность ф-ции f(z) можно представить себе как конечное или счетное число экземпляров плоскостей С с разрезом (листов), склеенных вдоль берегов разрезов таким образом, что каждый оборот вокруг z0 переводит точку на новый лист.

А. ф., заданная в области D, наз. однолистной в D, если она осуществляет взаимно однозначное отображение D на ее образ =f(D), к-рый также является областью. Всякая однолистная в D А. ф. задает конформное отображение D на в том смысле, что оно сохраняет углы между кривыми. Обратно, всякое (гладкое) конформное взаимно однозначное отображение D на , сохраняющее углы между кривыми (по величине и знаку), порождается нек-рой однолистной в D А. ф., такой, что =f(D). Области D и в этом случае наз. конформно изоморфными. Согласно теореме Римана, любые две односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно изоморфны.

Функции многих переменных. Теория А. ф. мн. комплексных переменных по сравнению с одномерной теорией обладает новыми специфич. чертами. Ф-ция f(z), z=(z1, …, zn) наз. аналитической (голоморфной) в области D n-мерного комплексного пространства , если в окрестности каждой ее точки z0=(z01, …, z0n) она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда:

По теореме Гартогса f(z) аналитична в D тогда и только тогда, когда она аналитична по каждому переменному в отдельности при фиксированных остальных в соответствующих сечениях области D.

Важное отличие многомерной теории от одномерной состоит в существовании таких областей, что голоморфные в них ф-ции обязательно аналитически продолжаются в существенно большие области. В частности, при не существует А. ф. с изолиров. особенностями. Естеств. областями определения А. ф. служат т. н. области голоморфности. Область D в наз. областью голоморфности, если существует ф-ция, голоморфная в D и аналитически непродолжимая ни в какую другую большую область (в т. ч. и неоднолистную).

Свойство области быть областью голоморфности есть локальное свойство ее границы, обобщающее понятие выпуклости. Если D не является областью голоморфности, то все ф-ции, голоморфные в D, одноврем. продолжаются в нек-рую большую область. Вопрос об отыскании такой наибольшей области (оболочки голоморфности), как и в случае аналитич. продолжения заданной функции, приводит к многолистным областям наложения над (многообразиям Штейна).

Др. пример неожиданного «принудительного» продолжения многомерных А. ф. дает теорема об острие клина (получена Н. Н. Боголюбовым в 1956), играющая важную роль в теории дисперсионных соотношений и аксиоматич. квантовой теории поля. По этой теореме две ф-ции, аналитические каждая в своей спец. вида трубчатой области и совпадающие на n-мерном чисто вещественном открытом множестве соприкосновения этих областей (т. е. на множестве вдвое меньшей размерности), аналитически продолжаются в комплексную окрестность G этого множества и представляют собой единую А. ф. Вид области G можно найти с помощью теоремы о С-выпуклой оболочке (получена В. С. Владимировым в 1964).

Вариации и обобщения

Многомерный случай

Существует также определение голоморфности функций многих комплексных переменных

Для определения используются понятия -дифференцируемости и -линейности таких функций

С-линейность[править ]

Функция называется -линейной если удовлетворяются условия:

(для -линейных функций ).

С-дифференцируемость[править ]

Функция называется -дифференцируемой в точке если существуют функции и , такие что в окрестности точки

где — -линейная (для -дифференцируемости — -линейная) функция.

Голоморфность[править ]

Функция называется голоморфной в области если она -дифференцируема в окрестности каждой точки этой области.

Примеры

Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами голоморфны на C , как и синус , косинус и экспоненциальная функция . (Тригонометрические функции на самом деле тесно связаны с экспоненциальной функцией и могут быть определены с помощью формулы Эйлера ). Главная ветвь функции комплексного логарифма голоморфна на множестве C ∖ { z ∈ R : z ≤ 0}. Функция квадратного корня может быть определена как

и поэтому голоморфен везде, где стоит логарифм log ( z ). Функция 1 / z голоморфна на { z : z ≠ 0}.

Как следствие уравнений Коши – Римана , вещественнозначная голоморфная функция должна быть постоянной. Таким образом, абсолютное значение г , то аргумент о г , то действительная часть из г и мнимая часть из г не голоморфны. Другой типичный пример непрерывной функции, которая не является голоморфной, — комплексно сопряженная функция z, образованная комплексным сопряжением .

Ссылки

1. ↑ А. В. Домрин, А. Г. Сергеев. Лекции по комплексному анализу. Первое полугодие. — М.: МИАН, 2004. — С. 79. — ISBN 5-98419-007-9.
2. ↑ Markushevich A. I., Silverman, Richard A. (ed.) Theory of functions of a Complex Variable. — М.: Американское математическое общество, 2-е изд. — ISBN 0-8218-3780-X, .

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Антиголоморфная функция
• Вычет
• Первообразная ( комплексный анализ )
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфия
• Голоморфная отделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные области
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Производные Виртингера

Напиши свое отношение про голоморфная функция. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое голоморфная функция, регулярная функция, аналитическая функция, функция комплексного переменного
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)