Как найти решение неравенства по рисунку

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c		x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 < 0 ,   знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество    6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15         |     ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3 > 0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ;     + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство    x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем   a ≠ 0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 ≥ x + 12

x 2 − x − 12 ≥ 0

x 2 − x − 12 = 0

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство   4 < x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

4 < x 2 + 3 x

− x 2 − 3 x + 4 < 0

− x 2 − 3 x + 4 = 0

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c =   ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

x 1 = − 4, x 2 = 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство   x 2 − 5 x < 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 − 5 x < 6

x 2 − 5 x − 6 < 0

x 2 − 5 x − 6 = 0

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 1 = 6, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 =   44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < , выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство   x 2 < 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x 2 < 4

x 2 − 4 < 0

x 2 − 4 = 0

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0   [ x = 2 x = − 2

x 1 = 2, x 2 = − 2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,   выбираем в ответ интервал со знаком   − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство   x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x 2 + x = 0.

x 2 + x ≥ 0

x 2 + x = 0

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 1 = 0, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство   x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ [ 2 ; 4 ]

№2. Решить систему неравенств   { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств   { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Решение уравнений с помощью графиков

Решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: ( displaystyle 2{x} -10=2)

Как его решить?

Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

Иными словами, у нас будет:

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата ( displaystyle x) точки пересечения графиков:

Наш ответ: ( displaystyle x=6)

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число ( displaystyle 6)!

Вариант 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, ( displaystyle 3).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка ( displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Нам необходимо еще две точки, соответственно, ( displaystyle x) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=2).

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых ( displaystyle y=0), то есть ( displaystyle x=2) и ( displaystyle x=-4). Потому что ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0).

И если мы говорим, что ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8), то значит, что ( displaystyle y) тоже должен быть равен ( displaystyle 0), или ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично!

Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}).

Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси ( displaystyle Ox) у нас ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}) находится выше, чем ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Верно, ( displaystyle xin left( -2;0 right)cup left( 2;+infty right)).

Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y=f(x) и y=g(x), их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать  y=a·x2+b·x+c (при этом f(x)=a·x2+b·x+c), а правая y=0 (при этом g(x)=0).

Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс Ох. Проанализируем положение параболы относительно оси Ох. Для этого выполним схематический рисунок.

Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось Ох в точках x1 и x2. Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена a·x2+b·x+c . Корни трехчлена мы обозначили как x1 и x2, причем приняли, что x1<x2, так как на оси Ох изобразили точку с абсциссой x1 левее точки с абсциссой x2.

Части параболы, расположенные выше оси Ох обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Красным мы отметили промежутки (−∞, x1) и (x2, +∞), на них парабола выше оси Ох. Они являются решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0. Синим мы отметили промежуток (x1, x2), который является решением неравенства a·x2+b·x+c<0. Числа x1 и x2 будут отвечать равенству a·x2+b·x+c=0.

Сделаем краткую запись решения. При a>0 и D=b2−4·a·c>0 (или D’=D4>0 при четном коэффициенте b) мы получаем:

• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (−∞, x1)∪(x2, +∞) или в другой записи x<x1, x>x2;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является (−∞, x1]∪[x2, +∞) или в другой записи x≤x1, x≥x2;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0 является (x1, x2) или в другой записи x1<x<x2;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≤0 является [x1, x2] или в другой записи x1≤x≤x2,

где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена a·x2+b·x+c, причем x1<x2.

Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

На данном рисунке парабола касается оси Oх только в одной точке, которая обозначена как x0. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a>0. D=0, следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x0.

Парабола расположена выше оси Oх полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки  (−∞, x0), (x0, ∞).

Запишем результаты. При a>0 и D=0:

• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (−∞, x0)∪(x0, +∞) или в другой записи x≠x0;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R;
• квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox);
• квадратное неравенство a·x2+b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x0 (его дает точка касания),

где x0 — корень квадратного трехчлена a·x2+b·x+c.

Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси Ox. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a>0. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D<0.

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств  a·x2+b·x+c>0 и a·x2+b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x2+b·x+c<0 и a·x2+b·x+c≤0 не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на −1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х2.

Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая Oх и парабола, которая отвечает квадратичной функции y=a·x2+b·x+c. Ось Oу мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси Oх. Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

ВИДЕО УРОК

Графическое решение линейных
неравенств.

ПРИМЕР:

Решите неравенство с помощью графика:

(х – 6)² – (5 – х)² < 3.

РЕШЕНИЕ:

Сначала проведём простейшие преобразования – раскроем
скобки полных квадратов и приведём подобные слагаемые:

(х – 6)² – (5 – х)² < 3,

(х² – 12х + 36) – (25 – 10х + х²) < 3,

х² – 12х + 36 – 25 + 10х – х² < 3,

– 2х + 11 < 3,

– 2х < 3 – 11,

– 2х < –8,

Дальше делим обе части неравенства на отрицательное
число  (–2), при этом надо поменять знак неравенства на
противоположный.

х ˃ ⁸/₂,

х ˃ 4.

Неравенство нестрогое, поэтому  4  не включается в промежуток, и решением будут
являться все точки, которые находятся правее 
4, так как 
5 
больше  4, 6  больше 
4  и так
далее.

ОТВЕТ:

х ∈
(4; + ∞)

Графическое решение квадратных
неравенств.

Опираясь на эти графические иллюстрации, можно
решать квадратные неравенства.

Квадратным неравенством называют неравенства вида

ax²
+ bx
+ c
˃ 0,

где вместо знака 
˃  может быть любой другой знак неравенства.

Для решения
квадратного неравенства с помощью графика нужно:

– определить направление ветвей параболы по знаку
старшего коэффициента квадратичной функции;

– найти корни соответствующего квадратного уравнения
или установить, что их нет;

– построить эскиз графика квадратичной функции,
учитывая точки пересечения (или касания) с осью  Ох, если они есть;

– по графику определить промежутки, на которых
функция принимает нужные значения.

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

–х² + 10х –21 < 0.

РЕШЕНИЕ:

Сначала решаем квадратное уравнение:

–х² + 10х –21 = 0

D = b² – 4ac,

D = 100 – 4 × (–1) × (–21)

= 100 – 84 = 16,

Затем схематично рисуем
параболу, не высчитывая, где у нё находится вершина, ведь по сути это не нужно,
у нас есть основное – точки пересечения параболы с осью  Ох.

Возвращаемся к неравенству

–х² + 10х –2 < 0.

и отмечаем нужные нам промежутки:

Запишем теперь ответ.

ОТВЕТ:

х ∈
(–∞; 3) ∪ (7; +∞)

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

х² – 2х – 3 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим параболу

у = х²
– 2х – 3.

Решить неравенство

х² – 2х – 3 ˃ 0

это значит ответить на вопрос, при каких значениях  х  ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что  у ˃ 0, то есть график функции расположен выше оси  х,
при  х
< –1  и при  х
˃ 3. Значит, решениями неравенства служат все точки
интервалов

(–∞; –1) ∪ (3; +∞).

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

х² – 2х – 3 < 0.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим параболу

у = х²
– 2х – 3.

Неравенство

х² – 2х – 3 < 0

или  у < 0, где

у = х² – 2х – 3,

также можно решить с помощью графика. График расположен
ниже оси  х,
если

–1 < х < 3.

Поэтому решением данного неравенства служат все точки
интервала

(–1; 3).

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

х² – 2х – 3 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим параболу

у = х²
– 2х – 3.

Неравенство

х² – 2х – 3 ≥ 0

отличается от неравенства

х² – 2х – 3 ˃ 0

тем, что в ответ надо включить и корни уравнения

х² – 2х – 3 = 0

то есть точки

х₁ = –1  и  х₂ = 3.

Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства
являются все точки интервалов

(–∞; –1] ∪ [3; +∞)

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

х² – 2х – 3 ≤ 0.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим параболу

у = х²
– 2х – 3.

Неравенство

х² – 2х – 3 ≤ 0

Отличается от неравенства

х² – 2х – 3 < 0

тем, что в ответ надо включить и корни уравнения

х² – 2х – 3 = 0,

то есть  х₁ = –1  и  х₂ = 3,

Следовательно, решениями данного нестрогого неравенства
служат все точки отрезка

[–1; 3].

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

х² – х – 2 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

Представим такое неравенство в виде

х² ≥ х + 2.

В одной и той же системе координат построим графики
функций

у₁ = х²  (парабола) и  
у₂ =  х + 2 (прямая
линия).

Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков. Приравняем
правые части функций и получим уравнение:

х² = х + 2

или

х² – х – 2 = 0.

Корни этого квадратного уравнения

х₁ = –1  и  х₂ = 2.

Поэтому такие графики пересекаются в двух точках  А  и  В, 
абсциссы которых, соответственно, равны

х₁ = –1  и  х₂ = 2.

Неравенству

х² ≥ х + 2

или

у₁ ≥ у₂

удовлетворяют те значения х,
при которых значения первой функции больше или равны значениям второй функции,
то есть при которых график первой функции расположен выше или на уровне второй
функции. Из рисунка видно, что такими значениями являются все числа из
промежутков

х₁ ≤ –1  и  х₂ ≥ 2.

Этот способ оказывается более полезным при решении
сложных неравенств (кубических неравенств, неравенств с модулем
и так далее).

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

–х² + 2х – 1 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

Запишем неравенство в виде

–(х – 1)² ≥ 0

и построим эскиз графика функции

у = –(х – 1)².

Ветви этой параболы направлены вниз. Уравнение

–(х – 1)² = 0

имеет один корень  х = 1.

Поэтому парабола касается оси  Ох  в точке 
(1; 0). Для решения неравенства

–(х – 1)² ≥ 0

надо определить, при каких значениях  х  функции 
у  неотрицательны.

Из рисунка видно, что функция положительных значений не
имеет. Значение  у = 0  получается
только при  х = 0. Поэтому
данное неравенство

–х² + 2х – 1 ≥ 0

имеет единственное решение  х = 1.

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

2х² + 5х + 2 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

2х² + 5х + 2 = 0

имеет два корня:

х₁ = –2,  х₂ = –¹/₂.

Парабола, служащая графиком функции

у = 2х² + 5х + 2,

имеет вид, изображённый на рисунке.

Неравенство

2х² + 5х + 2 ˃ 0

выполняется при тех значениях  х,
при которых точки параболы лежат выше оси 
х.
Это будет при

х < х₁  или при  х ˃ х₂,

то есть при  х < –2  или при 
х ˃ –¹/₂.

Значит решения неравенства таковы:

х < –2,  х ˃
–¹/₂.

ОТВЕТ: 

х < –2,  х ˃
–¹/₂

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

3х² – 7х – 10 ≤ 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

3х² – 7х – 10 = 0

имеет два корня:

х₁ = –1,  х₂ = ¹⁰/₃.

Парабола, служащая графиком функции

у = 3х² – 7х – 10,

имеет вид, изображённый на рисунке.

Неравенство

3х² – 7х – 10 ≤ 0

выполняется при тех значениях  х,
при которых точки параболы лежат на оси  х  или ниже её. Это
будет при  х  из промежутка

[х₁; х₂]

Значит множество решений неравенства есть отрезок

[–1; ¹⁰/₃].

ОТВЕТ:  [–1; ¹⁰/₃]

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

–х² + 4х – 4 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

–х² + 4х – 4 = 0

имеет один корень:

х = 2.

Парабола, служащая графиком функции

у = –х² + 4х – 4,

имеет вид, изображённый на рисунке.

Неравенство

–х² + 4х – 4 ˃ 0

выполняется при тех значениях  х,
при которых точки параболы лежат выше оси 
х. Таких
точек нет. Значит, неравенство не имеет решений.

ОТВЕТ:  решений
нет

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим способом:

–3х² + х – 5 < 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

–3х² + х – 5 = 0

не имеет действительных корней.

Парабола, служащая графиком функции

у = –3х² + х – 5,

имеет вид, изображённый на рисунке.

Неравенство

–3х² + х – 5 < 0

выполняется при тех значениях  х,
при которых точки параболы лежат ниже оси 
х. Так
как вся парабола лежит ниже оси  х, то неравенство
выполняется при любых значениях  х.

ОТВЕТ:  –∞ < х < +∞

Графическое решение нелинейных
неравенств.

ПРИМЕР:

Решите неравенство графическим
способом:

√͞͞͞͞͞x 
< 6 – х.

РЕШЕНИЕ:

Будуємо
графіки функцій

у = √͞͞͞͞͞x   и  у = 6 – х.

Графіки
перетинаються у точці  (4; 2). Значення функції

у
= 6 – х

більші
від значень функції

у = √͞͞͞͞͞x,

якщо  х ∈ (0; 4)

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для
сравнения величин.

Символ	Название	Тип знака
>	больше	строгий знак (число на границе не включается)
<	меньше	строгий знак (число на границе не включается)
≥	больше или равно	нестрогий знак (число на границе включается)
≤	меньше или равно	нестрогий знак (число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство
отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой
знак сравнения: «>», «<»,
«≤» или «≥».

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8»
неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях,
в неравенствах можно переносить
любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x − 6 < 8
x < 8 + 6
x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой
ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить,
понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область
слева от числа «14».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство
«x − 6 < 8»
даст верный результат.

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его
вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решением неравенства
называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из
заштрихованной области (то есть любое число меньшее
«14») будет являться решением неравенства
«x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x»
стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую,
и правую часть на число «2».

Разделим «2x > 16» на «2».
Так как «2» —
положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        

Ответ: x > 8

---

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x ≥ 0

Используем правило переноса.

9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9

Разделим неравенство на «−3».
Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x ≥ −9      | :(−3)
−3x : (−3) ≤ −9 :(−3)
x ≤ 3

Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---