Как найти решение систем уравнений графически

Графический метод решения системы линейных уравнений

1. Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений
2. Алгоритм графического метода решения системы линейных уравнений
3. Примеры

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ {left{ begin{array}{c} 3x-y = 5 \ 3x+2y = 8end{array} right.}$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ {left{ begin{array}{c}3 cdot 2-1 ≡ 5\ 3cdot2+2cdot1 ≡ 8end{array} right.} Rightarrow$ (2;1) — решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

$ frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2} $

$ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2} $

$ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2} $

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Одно решение

Нет решений

Бесконечное множество решений

Алгоритм графического метода решения системы линейных уравнений

1. Построить графики уравнений системы в одной координатной плоскости.

2а. Если $ frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2} $ найти точку пересечения – единственное решение системы.

2б. Если $ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2} $ прямые параллельны и решений нет.

2в. Если $ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2} $ прямые совпадают, решений бесконечное множество.

Примеры

Пример 1. Решите графически систему уравнений. Сколько решений вы получили в зависимости от соотношения коэффициентов?

а)$ {left{ begin{array}{c} 5x+2y = 3 \ x-y = 4end{array} right.}$

Точка пересечения (1;-1)

Одно решение: $ frac{5}{1} neq frac{2}{-1}$

б) $ {left{ begin{array}{c}2x+y = 3 \ 4x+2y = 1end{array} right.}$

Прямые параллельны, решений нет:

$ frac{2}{4} = frac{1}{2} neq frac{3}{1}$

в) $ {left{ begin{array}{c}4x-y = 2 \ x+y = 3end{array} right.}$

Точка пересечения (1;2)

Одно решение: $ frac{4}{1} neq frac{-1}{1}$

г) $ {left{ begin{array}{c}2x-3y = 5 \ 4x-6y = 10end{array} right.}$

Прямые совпадают, бесконечное множество решений:

$ frac{2}{4} = frac{-3}{-6} = frac{5}{10} $

Пример 2*. Решите графически систему уравнений:

а)$ {left{ begin{array}{c} |x|-y = 0 \ x+3y = 4end{array} right.}$

В первом уравнении y всегда положительный: $y ge 0,∀x$

$ {left{ begin{array}{c}y(x) = |x| = {left{ begin{array}{c} x, x ge 0 \ -x, x lt 0 end{array} right.} \ x+3y = 4 end{array} right.} $

Два решения: (-2;2) и (1;1)

б)$ {left{ begin{array}{c} x-|y| = 0 \ 3x+y = 4end{array} right.}$

В первом уравнении x всегда положительный: $x ge 0,∀x$

$ {left{ begin{array}{c}y(x) = |y| = {left{ begin{array}{c} y, y ge 0 \ -y, y lt 0 end{array} right.} \ 3x+y = 4 end{array} right.} $

Два решения: (2;-2) и (1;1)

в)$ {left{ begin{array}{c} x^2-4y^2 = 0 \ 3|x|-2y = 8end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} (x-2y)(x+2y) = 0 \ y = 1,5|x|-4end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} left[ begin{array}{cc} y = frac{1}{2} x \ y = -frac{1}{2} x end{array} right. \ y = {left{ begin{array}{c} 1,5x-4,x ge 0 \ -1,5x-4,x lt 0 end{array} right.} end{array} right.} $

Из первого уравнения получаем две прямых, из второго – ломаную.

Четыре решения:

(-4;2);(-2;-1);(2;-1);(4;2)

г)$ {left{ begin{array}{c}|y-x| = 4 \ |x+y| = 2end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} left[ begin{array}{cc} y-x = 4 \ y-x = -4 end{array} right. \ left[ begin{array}{cc} x+y = 2 \ x+y = -2 end{array} right. end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} left[ begin{array}{cc} y = x+4 \ y = x-4 end{array} right. \ left[ begin{array}{cc} y = -x+2 \ y = -x-2 end{array} right. end{array} right.}$

Из первого уравнения получаем одну пару параллельных прямых, из второго уравнения – вторую пару параллельных прямых.

Четыре решения:

(-3;1);(-1;3);(3;-1);(1;-3)

Рейтинг пользователей

Решать систему уравнений графическим способом

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Графический метод решения системы линейных уравнений

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ <left< begin 3x-y = 5 \ 3x+2y = 8end right.>$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

Точка пересечения (2;1)

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ <left< begin3 cdot 2-1 ≡ 5\ 3cdot2+2cdot1 ≡ 8end right.> Rightarrow$ (2;1) — решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом (3).

Это прямая, для построения которой найдём две точки: ((0; -3)) и ((3; 0)).

Пары чисел ((3; 0)) и ((0; -3)) являются решениями обоих уравнений системы, а значит, и решениями системы уравнений.

Ответ: ((3; 0)) и ((0; -3)).