Как найти решение уравнения окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Каждое уравнение с
двумя переменными х и у определяет некоторое множество пар (х; у) значений
переменных, которые являются решениями этого уравнения, т. е. задаёт некоторое
отношение между значениями переменной х и значениями
переменной у. График отношения, заданного уравнением с двумя
переменными, или, короче, график уравнения с двумя переменными, есть, как
известно, множество точек плоскости, координаты которых служат решениями
уравнения. Мы знаем, что графиком уравнения вида ax + by = c,
где a ≠ 0 или b ≠ 0,
служит прямая линия, график уравнения вида

y = ax² +
bx + c (a ≠ 0)

парабола, график
уравнения вида

xy = k

гипербола.

На рисунку
изображён график уравнения

х² + 9у²
= 81.

Кривая такого вида
называется эллипсом.

Графиком уравнения

(x – a)² +
(y – b)² =
r²

является окружность на координатной плоскости хОу с центром в точке О’(a; b) и радиусом
r (r
> 0).

Уравнением фигуры
на плоскости в декартовых координатах
называется уравнение с двумя переменными
х и у, которые будут координатами любой точки фигуры. И наоборот:
любые два числа, которые будут решением этого уравнения, будут координатами некоторой
точки фигуры.

Составим уравнение окружности
с центром в точке А₀(а; b) и радиусом R.

Возьмём произвольную
точку А(х; у) на окружности. Расстояние от неё до
центра А₀ равно R. Квадрат расстояния от точки А до А₀ равен:

(х – a)²
+ (у – b)².

Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности будут корнями уравнения:

(х – a)²
+ (у – b)² = R².

Наоборот: любая
точка А, координаты которой будут решениями уравнения, принадлежат окружности, так как расстояние
от неё до точки А₀ равно R. Отсюда вытекает, что это уравнение будет уравнением окружности
с центром А₀ и радиусом
R.

Обратите внимание, что
когда центром окружности будет начало координат, то уравнение окружности имеет
вид:

х² + у² = R².

ПРИМЕР:

Какая геометрическая фигура задано уравнением ?

х² + у²
+ ах + bу + с = 0.

РЕШЕНИЕ:

видим, что искомая фигура – окружность с центром

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х² + у²
= 16.

Перепишем уравнение в виде

(х – 0)² + (у – 0)² = 4².

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке О(0;
0) и
радиусом 4.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

(х – 1)² + (у – 2)² = 9.

Перепишем уравнение в виде

(х – 1)² + (у – 2)² = 3².

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке (1;
2) и
радиусом 3.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х² + у²
+ 4х = 0.

Перепишем уравнение в виде

х² +
4х + 4 + у² = 4,

(х+ 2)² + у²
= 4,

(х– (–2))² + (у – 0)² = 2²,

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке (–2;
0) и
радиусом 2.

От графиков функций
необходимо отличать графики уравнений.

ПРИМЕР:

На координатной плоскости изображена окружность радиусом r = 5 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности:

х² + у²
= 25.

Можно сказать и так: графиком уравнения

х² + у²
= 25

будет окружность, изображённая на рисунку.

А можно график уравнения

х² + у²
= 25

считать графиком некоторой функции ? Нет. Если переменные х и у связаны соотношением

х² + у²
= 25,

то одному значению
х = 3 соответствует два
разных значения переменной у: 4 и –4.
А соотношение между переменными х и у только тогда считается функцией, когда каждому
значению х из области определения соответствует одно
значение у.
График уравнения только тогда будет графиком некоторой функции, если каждая
прямая, параллельная оси у, пересекает
его не больше чем в одной точке.

ПРИМЕР:

Изображённые на рисунке полуокружности – графики функций

Их объединение – вся окружность – график не функции, а уравнения

у²= 25 – х², или

у²+
х² = 25.

Задания к уроку 27

Источник

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm<frac1x>) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<7>=-frac<2> + 2 > ) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm> ) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm=2> )

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<5>> ) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<5>=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) (mathrm<frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

источники:

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0552/

http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-uravnenie-okruzhnosti/

Источник

Download Article

The equation of a circle gives you the center coordinates and radius, allowing you to represent all of the literally infinite points around the boundary of the circle. But how exactly do you write it? Read on to learn how to write the equation of a circle in standard form, as well as how to convert general form to standard form. Once you’ve got that down, you can try your hand at some sample problems and check your answers. Let’s get started!

Things You Should Know

1
2

The general form of the equation of a circle is ${displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0}$ . This equation technically has all the same information the standard form has, it’s just expressed differently. Let’s break it down:^[2]

1
2

Plug in values for the radius and center coordinates to complete a standard equation. This is probably the simplest type of problem you’ll have dealing with the equation of a circle. Just place the values where they go in the the standard form ${displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}$ .^[4]
3

1
2

Move the constant to the other side of the equation. Since the number is moving to the other side of the equation, the sign in front of it changes. So if it was negative on the left side, it’ll be positive on the right side (and vice versa).^[7]
3
4
5
6

Add the numbers to both sides of the equation. Keeping your groups together on the left side of the equation, add your third number to each parenthetical expression. Then, add each of those numbers to the right side of the equation to maintain equality.^[11]
7

Solve the and groups. Now you have what you may recognize as a basic trinomial in each parenthesis. Use the quadratic formula to find the number you need for each parenthetical expression in the standard equation of a circle.^[12]
8

Simplify the right side of the equation. Almost there! Add the numbers on the right side, then square them. The equation you’re left with will be the standard form for the equation of a circle. From here, you can easily determine the center points and radius if you need to graph the circle.^[13]

1
Write the equation of the circle with center and radius .^[14]
- Hint: pay attention to the negative signs in front of the center coordinates.
2
Find the center coordinates of the circle with the equation ${displaystyle (x+5)^{2}+(y+2)^{2}=81}$ .^[15]
- Hint: look at the signs in the parentheses and compare them to the standard form for the equation.
3

Find the center coordinates and radius for the circle ${displaystyle x^{2}+y^{2}+4x+8y-29=0}$ .^[16]

Hint: complete the square twice to convert general form to standard form. Don’t forget that anything you add on the left side you also have to add on the right side.
4

Is ${displaystyle x^{2}+y^{2}+8x+20=0}$ the equation of a circle? Why or why not?^[17]

Hint: a circle can never have a negative radius.

1
2

The center coordinates are . You’re given the equation of the circle ${displaystyle (x+5)^{2}+(y+2)^{2}=81}$ . Since the signs in the parentheses in the standard form are , the signs in this equation tell you that the center coordinates must be negative.^[19]
3
4

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,210 times.

Did this article help you?

Источник

Уравнение окружности.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R² = (x-a)² + (y-b)²

Получаем:
(x — 2)² + (y — (-3))² = 4²
или
(x — 2)² + (y + 3)² = 16.

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2)² + (y + 3)² = 16.

В уравнение (x — 2)² + (y + 3)² = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2)² + (y + 3)² = 16
(2 — 2)² + (3 + 3)² = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Площадь геометрической фигуры |

Описание курса

| Задачи про окружность

Источник

Прежде всего,
давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что
уравнение с двумя переменными x и y
называется уравнением линии l, если этому уравнению
удовлетворяют координаты любой точки линии l и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы
попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии
рассмотрим окружность радиуса с
центром в точке .

Пусть центр
окружности имеет координаты . Возьмем на
окружности произвольную точку . Запишем формулу
расстояния между точками C и M.
Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с
центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC
равно r. Возведем MC в квадрат
и получим уравнение MC² = r².
Заменим MC² квадрат на выражение и получим, что если
точка лежит на окружности с радиусом r и центром в
точке C, то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению . Если точка не
лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно
радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному
уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение
окружности радиуса r с центром в точке C с координатами имеет вид: .

Задача. Записать
уравнение окружности с радиусом и центром в начале
координат.

Решение.

Начало координат
имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что
уравнение окружности с радиусом r и
центром в начале координат имеет вид

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего,
определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь
давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой
части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо
извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

Значит наша
формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом
равным двум.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего
определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4
и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями
такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте
определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит
квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень
из 9.

Значит наша формула
задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте
попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих
задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это
нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр
окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить,
что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение
окружности и подставим найденные значения.

Ответ: .

Решим еще одну
задачу.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

– центр окружности

– радиус окружности

Ответ:.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

– центр окружности

– радиус окружности

Ответ:.

Решая задачи, мы с
вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот
порядок.

Для того, что
бы составить уравнение окружности и построить ее надо:

1. Найти координаты
центра окружности.

2. Найти длину
радиуса этой окружности.

3. Записать уравнение
окружности.

4. Подставить
полученные значения в уравнение окружности.

5. Построить
окружность, если это требуется для решения задачи.

Рассмотрим еще одну
задачу.

Написать уравнение
окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм
имеет координаты шесть три.

Задача. Написать
уравнение окружности с диаметром , если , .

Решение.

Найдем координаты
центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся
формулами для нахождения координат середины отрезка.

Получим, что центр
окружности имеет координаты .

Теперь определим
радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов
диаметра.

Запишем общее
уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что
уравнение данной окружности имеет вид:

Ответ: .

Подведем итоги
урока.

На сегодняшнем
уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С
(x₀; y₀)
и радиусом r.

Также мы
познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале
координат и радиусом r.

Мы рассмотрели
задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение
окружности по заданному уравнению.

Источник