Как найти решения по математике егэ - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

О сайте
Карта сайта
Пользовательское соглашение
Политика конфиденциальности

© 2020-2023, ege314.ru, ОГЭ и ЕГЭ по математике | Генератор вариантов ЕГЭ 2023.
Частичное или полное копирование решений (включая графические элементы) с данного сайта для распространения на других ресурсах, в том числе и бумажных, строго запрещено. Все решения являются собственностью сайта.

Источник

Как решать задание 9 ЕГЭ по математике (профиль) правильно? Определить тип задачи: на движение, на концентрацию или на совместную работу, построить математическую модель, вывести уравнение и найти ответ.

Самое важное

Решение 9 задачи ЕГЭ по математике (профиль) проверяет умение ученика строить и исследовать простейшие математические модели. Для выпускника, который изучал предмет на профильном уровне, среднее время выполнения задания составляет семь минут. Если выпускник изучал предмет на базовом уровне, тогда – 15 минут.

Отметим, что за правильное выполнение задания можно получить максимум один балл.

Прежде чем разбираться, как делать 9 задание ЕГЭ по математике (профиль), отметим следующее: задача относится к разделу текстовых заданий. Соответственно, при выполнении девятого номера, вам нужно будет построить математическую модель – обозначить величины за переменные, составить уравнение и решить его.

Разбор 9 задания ЕГЭ по математике (профиль) обязательно должен включать в себя перечисление типов задач, с которыми вы можете встретиться:

На движение (по суше и воде);
На движение по окружности;
На работу;
На проценты;
На нахождение средней скорости;
На движение протяженных тел, встречное движение и обгон
На сплавы/смеси/растворы (концентрация).

Если совсем коротко, все эти задания можно объединить в три группы:

Задачи на работу;
Задачи на движение;
Задачи на растворы, смеси, сплавы.

От этого и станем отталкиваться, когда будем разбираться, как решать номер 9 в ЕГЭ по профильной математике.

Совместная работа

Давайте начнём с решения задания 9 ЕГЭ по математике (профильный уровень) на совместную работу. Приведем простой пример, чтобы вы могли понять алгоритм.

Условие:

Мастер выполняет заказ на детали за 4 часа. Ученику, на выполнение такого же заказа, требуется уже 5 часов. За сколько часов выполнят девять таких заказов мастер и ученик, при условии, что они работают вместе?

Теперь о том, как решить 9 задание в ЕГЭ матем профиль:

Весь заказ обозначаем как Х деталей и делаем таблицу, вносим все известные данные.

	мастер	ученик	вместе
объем работы	Х деталей	Х деталей	9Х деталей
время работы	4 часа	5 часов	?
производительность	Х/4 деталей в час	Х/5 дет./час	Х/4 + Х/5 = 9Х/20 дет./час

Теперь производим не сложные подсчеты. Так как вместе мастер и ученик должны сделать 9Х деталей, тогда делим 9Х на 9Х/20 и получаем 20 часов.

Алгоритм решения 9 задания ЕГЭ по математике (профиль) понятен? Вот что вам стоит помнить: задачи на совместную работу решаются через производительность. Производительность при совместной работе равна сумме производительности каждого из рабочих.

Сплавы, смеси и растворы

Теперь немного о том, как решать 9 номер ЕГЭ по математике (профиль), если это задачи на концентрацию химических веществ. Чтобы вам было понятно, будем объяснять все на примере.

Дано:

В банке находится 5 литров 20% раствора вещества. Сколько литров 50% раствора того же вещества надо долить в банку, чтобы получился раствор 44% концентрации?

Переходим к разбору решения 9 задания ЕГЭ по профильной математике:

Объем вещества, который нужно долить в банку, обозначаем как Х. Исходя из этого, вносим все известные данные в таблицу.

	первый раствор	второй раствор	оба раствора вместе
объем раствора	5 литров	Х литров	5 + Х литров
концентрация	20%	50%	44%
объем вещества в растворе	1 литр	0,5Х литров	1 + 0,5Х литров

Итак, первый раствор имеет концентрацию 44%, соответственно, в нем 0,44(5+Х) литров вещества, это = 1 + 0,5Х литров.

Получаем такое уравнение: 0,44(5+Х) = 1 + 0,5Х.

Из чего следует ответ: Х = 1,2/0,06 = 20.

Движение

Это самый сложный блог, потому что типов задач здесь довольно много – круговое, с длинными телами, на среднюю скорость и так далее. Разобрать все варианты попросту невозможно – поэтому мы расскажем о самой важной теории по 9 заданию для ЕГЭ по математике.

Средняя скорость – величина, равная отношению пути, пройдённого телом, ко времени, за которое этот путь был пройден;
Если транспортное средство движутся из одной точки в противоположных направлениях, расстояние между ними равно половине длины окружности;
Если транспортное средство движутся в одном направлении, необходимо узнать скорость опережения – для этого с большей скорости вычитается меньшая;
Задачу на круговое движение можно представить на прямолинейном отрезке, развернув круговую трассу в прямую;
В заданиях на движение по воде скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки;
Чтобы найти скорость против течения, от собственной скорости транспортного средства нужно отнять скорость течения реки.

Подсказали, как решать 9 задание в ЕГЭ по профильной математике – напомним, что это одна из самых простых задач, которые встретятся вам на экзамене. Главное, не паникуйте, вспоминайте формулы и алгоритмы построения математических моделей – тогда все получится!

Источник

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий:

8 заданий первой части (задания 1–8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби
4 задания второй части (задания 9–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби
7 заданий второй части (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)

Задания первой части направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Посредством заданий второй части осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.

По уровню сложности задания распределяются следующим образом:

задания 1–8 имеют базовый уровень
задания 9–17 – повышенный уровень
задания 18 и 19 относятся к высокому уровню сложности

При выполнении заданий с развернутым ответом части 2 экзаменационной работы в бланке ответов № 2 должны быть записаны полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи.

Распределение заданий по частям экзаменационной работы

Части работы	Количество заданий	Максимальный первичный бал	Тип заданий
1 часть	8	8	Краткий ответ
2 часть	11	24	Развернутый ответ
Итого	19	32

Разбор заданий ЕГЭ по математике (профиль)

Источник