Как найти резонанс формула

Резонанс

При заданных возмущающей силе F_max.возм
и коэффициенте трения β амплитуда Y_m является функцией только угловой частоты возмущающей силы.

На рисунке показана зависимость Y_m от ω (резонансная кривая).
Параметром служит коэффициент затухания δ.

При ω ≈ ω₀ она достигает особенно большого значения (резонанс).

При самых малых значениях δ величина Y_m резко возрастает.

Если δ > 0, то в случае резонанса ω < ω₀; величина Y_max.ст представляет собой статическое отклонение системы под действием постоянной силы Y_max.возм (ω = 0).

Для определения резонансной частоты необходимо найти максимум функции Ym = Ym(ω) и приравнять первую производную нулю; тогда, если

Частота резонанса

[
ω_{рез} = sqrt{ω_{0}^2 — frac{β^2}{2m^2}} = sqrt{ω_{0}^2 — 2δ^2}
]

Условие отсутствия резонанса

[
δ geqslant frac{ω_{0}}{sqrt{2}}
]

Амплитуда резонанса

Чтобы найти величину амплитуды в резонансном случае, нужно подставить формулу (1) в формулу отклонения при вынужденных колебаниях.

Если

то имеем

[

Y_m = frac
{
F_{max.возм}
}
{
β sqrt{ ω_{0}^2 — frac{β^2}{4m^2} }
}

]

[

Y_m = frac{F_{max.возм}}{βω}

]

[

Y_m = frac{F_{max.возм}}{2δmω}

]

Согласно формуле, разность фаз α также зависит от частоты возмущающей силы.
Параметром служит коэффициент δ.

Независимо от величины затухания при ω = ω₀ разность фаз составляет

[

α = 90°

]

Резонанс играет большую роль в технике и в повседневной жизни. В большинстве механических устройств под действием внешних периодических сил могут возникать колебания. При резонансе происходит нарастание амплитуды колебаний, и это может привести к разрушениям («резонансная катастрофа»). В случае вращательного движения резонансную частоту называют критическим числом оборотов.

Резонанс	стр. 558

Что такое Резонанс

Резонанс (от лат. «resono» – «откликаюсь») — это явление, при котором внешняя сила (вибрирующая система) заставляет другую систему, находящуюся рядом, вибрировать с большей амплитудой при определённой частоте.

Примеры резонанса в физике:

• когда рота солдат проходит по мосту строевым шагом, то мост начинает колебаться в ритм их шага, он может не выдержать этой амплитуды и обвалиться;
• явление, когда звук колёс поезда, который проезжает мимо церкви, отдаётся под её куполом;
• вы можете посмотреть, как действует звуковой резонанс, на этом видео от канала GalileoRU:

Часто используется в переносном смысле, когда что-то провоцирует яркую общественную реакцию.

Общественный резонанс — это яркий ответ общества, реакция многих на социальное или политическое явление (информацию, происшествие). Может быть искусственно спровоцировано средствами массовой информации, когда происходит замалчивание значимых фактов или какая-либо другая манипуляция информацией.

Резонансный, резонансная или резонансное — то, что вызывает резонанс, усиливает его или характерно ему.

Примеры употребления слова «резонанс»:

• автор преподносит нам не музыку, а эмоциональный резонанс наблюдателя (как синоним слова «отклик»);
• теперь историкам известно, что в раннее Новое время родство имело политический и социальный резонанс (как синоним слова «отклик»);

Резонанс Шумана

Вспышки молнии на поверхности Земли создают электромагнитные волны, которые вращаются вокруг планеты (между поверхностью и высотой около 100км). Резонанс Шумана — явление, при котором волны, имеющие правильную длину, объединяются и становятся сильнее, таким образом создаётся своеобразное «повторяющееся атмосферное сердцебиение».

Эти резонансы были впервые точно замерены в начале 1960-х. С тех пор было обнаружено, что их вариации соответствуют многим явлениям, связанным с нашей планетой:

• изменениям времён года;
• солнечной активности;
• активности в магнитной среде Земли; и др.

Резонанс Шумана используется для анализа: погоды, электрического окружения Земли, определения типов атомов и молекул в атмосфере Земли, и мн. др.

Формула резонанса

Эта формула вытекает из формулы Томсона T = 2π √LC, которая связывает:

• Т – период собственных колебаний в контуре;
• L – индуктивность;
• С – ёмкость контура.

Например:

Приведена электрическая схема. Индуктивность имеет 50 мГн и ёмкость 5 мкФ. Определите резонансную частоту этого колебательного контура.

Решение:

L = 50 мГн = 50×10^(−3) Гн
C = 5 мкФ = 5×10^(−6) Ф

Формула:

v0=1/(2π√LC)

Следовательно:

v0 = 1 / (2π√(50×10^(−3) * 5×10^(−6)))

v0=1 / (2π×5×10^(−4))

v0 = 318,47 Гц

Механический резонанс

Любая механическая система имеет свои колебания. Механический резонанс — это тенденция механической системы реагировать с большей амплитудой; происходит, когда частота колебаний одной системы совпадает с колебаниями другой системы (её обычной частотой).

Это своеобразная чувствительность к определённой частоте вибраций, которая свойственна всем механическим структурам (например: насосы, турбины и др.).

Резонанс приводит к очень высоким уровням вибрации при эксплуатации машины — небольшие вибрации усиливаются из-за механического резонанса.

Электрический резонанс

Происходит в цепи переменного тока, когда два противоположных, но равных реактивных сопротивления компенсируют друг друга. Т.е.:

Точка пересечения двух кривых на графике (кривых реактивного сопротивления) и есть тот момент, когда это происходит.

Узнайте также про Закон сохранения энергии и Число Рейнольдса.

The resonant frequency is defined as the frequency of a circuit when the values of capacitive impedance and the inductive impedance become equal. It is defined as the frequency at which a body or system reaches its highest degree of oscillation. A resonant circuit is made up of a parallel-connected capacitor and an inductor. It is mostly employed to create a given frequency or to consider a specific frequency from a complex circuit. The resonant frequency exists only when the circuit is purely resistive.

Formula

The formula for resonant frequency is given by the reciprocal of the product of two times pi and the square root of the product of inductance and capacitance. It is represented by the symbol f_o. Its standard unit of measurement is hertz or per second (Hz or s^-1) and its dimensional formula is given by [M⁰L⁰T^-1].

f_o = 1/2π√(LC)

where,

f_o is the resonant frequency,

L is the inductance of circuit,

C is the capacitance of circuit.

Derivation

Suppose we have a circuit where a resistor, inductor and capacitor are connected in series under an AC source.

The value of resistance, inductance and capacitance is R, L and C. 

Now, it is known that the impedance Z of the circuit is given by,

Z = R + jωL – j/ωC

Z =R + j (ωL – 1/ωC)

To satisfy the condition of resonance, the circuit must be purely resistive. Hence, the imaginary part of impedance is zero.

ωL – 1/ωC = 0

ωL = 1/ωC

ω² = 1/LC

Putting ω = 1/2πf_o, we get

(1/2πf_o)² = 1/LC

f_o = 1/2π√(LC)

This derives the formula for resonant frequency.

Sample Problems

Problem 1. Calculate the resonant frequency for a circuit of inductance 5 H and capacitance 3 F.

Solution:

We have,

L = 5

C = 3

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

= 1/ (2 × 3.14 × √(5 × 3))

= 1/24.32

= 0.041 Hz

Problem 2. Calculate the resonant frequency for a circuit of inductance 3 H and capacitance 1 F.

Solution:

We have,

L = 3

C = 1

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

= 1/ (2 × 3.14 × √(3 × 1))

= 1/10.86

= 0.092 Hz

Problem 3. Calculate the resonant frequency for a circuit of inductance 4 H and capacitance 2.5 F.

Solution:

We have,

L = 4

C = 2.5

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

= 1/ (2 × 3.14 × √(4 × 2.5))

= 1/6.28

= 0.159 Hz

Problem 4. Calculate the inductance of a circuit if the capacitance is 4 F and the resonant frequency is 0.5 Hz.

Solution:

We have,

f_o = 0.5

C = 4

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

=> L = 1/4π²Cf_o²

= 1/ (4 × 3.14 × 3.14 × 4 × 0.5 × 0.5)

= 1/39.43

= 0.025 H

Problem 5. Calculate the inductance of a circuit if the capacitance is 3 F and the resonant frequency is 0.023 Hz.

Solution:

We have,

f_o = 0.023

C = 3

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

=> L = 1/4π²Cf_o²

= 1/ (4 × 3.14 × 3.14 × 3 × 0.023 × 0.023)

= 1/0.0199

= 50.25 H

Problem 6. Calculate the capacitance of a circuit if inductance is 1 H and the resonant frequency is 0.3 Hz.

Solution:

We have,

f_o = 0.3

L = 1

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

=> C = 1/4π²Lf_o²

= 1/ (4 × 3.14 × 3.14 × 1 × 0.3 × 0.3)

= 1/3.54

= 0.282 F

Problem 7. Calculate the capacitance of a circuit if inductance is 0.1 H and the resonant frequency is 0.25 Hz.

Solution:

We have,

f_o = 0.25

L = 0.1

Using the formula we have,

f_o = 1/2π√(LC)

=> C = 1/4π²Lf_o²

= 1/ (4 × 3.14 × 3.14 × 0.1 × 0.25 × 0.25)

= 1/0.246

= 4.06 F

Last Updated :
15 May, 2022

Like Article

Save Article

tgϕ =

2βω

;

(4.7)

ω02 − ω2

ϕ = arctg

2βω

.

(4.8)

ω2 − ω2

0

По теореме Пифагора:

f 02 = (ω2 −ω2 )2 A 2

+ 4β2 A 2

ω2 .

0

Амплитуда вынужденных колебаний равна:

A(ω ) =

f 0

.

(4.9)

(ω02 −ω2)2 + 4β2 ω2

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей

силы.

Проанализируем, как амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота ωрез – резонансной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) (формула (4.9)) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω). Возьмем от него производную по ω и приравняем к нулю:

— 2(w20 — w2) × 2w + 8 b2 w = 0,

откуда резонансная частота:

ωрез = ω02 − 2β2	.	(4.10)

При 2β2 > ω20 резонанс отсутствует ( ωрез – мнимое число).

Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез (4.10) в формулу для A(ω) (4.9):

Aрез =		f 0		.	(4.11)
2β
ω02	− β2

Из (4.11) следует, что при уменьшении коэффициента затухания β резонансная амплитуда возрастет. Если β→0, то Арез→∞. При этом резонансная

частота (4.10) стремится к частоте незатухающих собственных колебаний ω0.

При β<<ω0:

	Aрез ≈	f 0	.	(4.12)
	2β ω0

Резонансные кривы е

Графики зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых. Они представлены на рис. 4.4.

А(ω)/A(0)

Рис. 4.4

На рис 4.4β1<β2<β3. В случае, если 2β32 > ω02 – резонанса нет.

Резонанс необходимо учитывать в технике. Жилые дома, промышленные корпуса, железные дорог и, мосты, туннели и т. д. являютс я колебательными системами, в которых при определенных условиях могут возникать вынужденные колебания . Иногда амплитуда вынужденных колебаний становится столь большой , что это может вызвать разрушения. В ряде случаев резонанс может давать пол ожительный эффект, например, при погружении свай и труб на строительстве м орских и озерных сооружений.

Исключительно важ ную роль играет резонанс в радиотехникеи электронике, где резонан сные свойства колебательного контура и других резонансных электрических систем используются для вы деления сигналов нужной частоты. Например, настройка на нужную ст анцию радио- и телевизионных приемников производится путем изменения со бственных частот колебательных контуров в этих устройствах.

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 4

1. Вынужденные колебания возникают в том сл учае, когда на колеблющуюся систему действует внешняя периодически изменяющаяся сила.

2. Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания, имеет вид (4.2):

	∙∙		∙
	ξ	(t) + 2bξ(t) + ω02 x(t) = f 0	× cos wt .
	3. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от
амплитуды вынуждающей силы f0 и ее частоты ω (4.9):
		A(ω) =		f 0				.
			(ω02 −ω2)2 + 4β2 ω2

4. Резонансом называют резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, происходящее при приближении частоты вынужденных колебаний к резонансной частоте колебаний системы. Амплитуда при резонансе дается формулой (4.11):

	Aрез =		f 0		.
	2β	ω02 − β2

5. Резонансная частота ωрез зависит от частоты собственных колебаний ω0 и коэффициента затухания β (4.10):

ωрез = ω20 − 2β2 .

При 2β2> ω20 резонанса нет.

ВОЛНЫ

ЛЕКЦИЯ № 5

Волны в упругой среде

Упругие волны. Основные определения для волнового процесса. Уравнение плоской волны. Фазовая скорость.

Уравнение сферической волны. Волновое уравнение

§ 1. УПРУГАЯ ВОЛНА

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Существует объемная упругость и упругость формы. Например, давление газов на стенки сосуда обеспечивает способность газов сопротивляться изменению их объема. В то же время, газы беспрепятственно изменяют свою форму. Следовательно, газы обладают объемной упругостью, но не обладают упругостью формы. Такими же свойствами обладают жидкости. Твердые тела обладают как объемной упругостью, так и упругостью формы.

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде от частицы к частице, создавая упругие волны. Колебания твердых тел при взрывах и землетрясениях, звуковые волны – все это примеры упругих волн.

Частицы среды при волновом процессе не переносятся волной, а лишь колеблются около своих положений равновесия. Причем, вследствие инерции колебания частиц сдвинуты по фазе. Распространение колебаний в среде связано с передачей энергии от одной колеблющейся частицы к другой. Таким образом, волны переносят энергию от одной колеблющейся частицы к другой.

Итак, упругая волна – это процесс распространения механических колебаний вупругой среде. Характерное свойство волны – перенос энергии без переноса вещества.

Для описания волны надо ввести функцию, в общем случае – векторную, задающую смещение от положения равновесия каждой частицы упругой среды

для любого момента времени. Обозначим эту функцию греческой буквой ξ

(кси). Аргументами ее, в соответствии с вышесказанным, будут три пространственные переменные – x, y, z, задающие положение частицы (или радиус-вектор r ) и время t, т. е.

ξ = ξ(x, y, z, t) = ξ(r, t) .

Скорость движения частиц упругой среды – это частная производная от смещения по времени, т. е.

		=	∂ξ(r, t) .
	vr
	∂t

В прошлой статье мы с вами рассмотрели последовательный колебательный контур, так как все участвующие в нем радиоэлементы соединялись последовательно. В этой же статье мы  рассмотрим параллельный колебательный контур, в котором катушка и конденсатор  соединяются параллельно.

Параллельный колебательный контур

Идеальный колебательный контур

На схеме идеальный колебательный контур выглядит вот так:

где

L — индуктивность, Генри

С — емкость, Фарад

Реальный колебательный контур

В реальности у нас катушка обладает приличным сопротивлением потерь, так как намотана из провода, да и конденсатор тоже имеет некоторое сопротивление потерь. Потери в емкости очень малы и ими обычно пренебрегают. Поэтому оставим только одно сопротивление потерь катушки R. Тогда схема реального колебательного контура примет вот такой вид:

где

R — это сопротивление потерь контура, Ом

L — индуктивность, Генри

С — емкость, Фарад

Принцип работы параллельного колебательного контура

Давайте подцепим к генератору частоты реальный параллельный колебательный контур

Что будет, если мы подадим на контур ток с частотой в ноль Герц, то есть постоянный ток? Он спокойно побежит через катушку и будет ограничиваться лишь сопротивлением потерь R самой катушки. Через конденсатор ток не побежит, потому что конденсатор не пропускает постоянный ток. Об это я писал еще в статье конденсатор в цепи постоянного и переменного тока.

Давайте тогда будем добавлять частоту. Итак, с увеличением частоты у нас конденсатор и катушка начнут оказывать реактивное сопротивление электрическому току.

Реактивное сопротивление катушки выражается по формуле

а конденсатора по формуле

Более подробно про это можно прочитать в этой статье.

Если плавно увеличивать частоту, то можно понять из формул, что в самом начале при плавном увеличении частоты конденсатор будет оказывать бОльшее сопротивление, чем катушка индуктивности. На какой-то частоте реактивные сопротивления катушки X_L и конденсатора X_C уравняются. Если далее увеличивать частоту, то уже катушка уже будет оказывать большее сопротивление, чем конденсатор.

Резонанс параллельного колебательного контура

Очень интересное свойство параллельного колебательного контура заключается в том, что при Х_L = Х_С   у нас колебательный контур войдет в резонанс. При резонансе колебательный контур начнет оказывать большее сопротивление переменному электрическому току. Еще часто это сопротивление называют резонансным сопротивлением контура и оно выражается формулой:

где

R_рез  — это сопротивление контура на резонансной частоте

L — собственно сама индуктивность катушки

C — собственно сама емкость конденсатора

R — сопротивление потерь катушки

Формула резонанса

Для параллельного колебательного контура также работает формула Томсона для резонансной частоты как и для последовательного колебательного контура:

где

F — это резонансная частота контура, Герцы

L — индуктивность катушки, Генри

С — емкость конденсатора, Фарады

Как найти резонанс параллельного колебательного контура на практике

Ладно, ближе к делу. Берем паяльник в руки и спаиваем катушку и конденсатор параллельно. Катушка на 22 мкГн, а конденсатор на 1000пФ.

Итак, реальная схема этого контура будет вот такая:

Для того, чтобы все показать наглядно и понятно, давайте добавим к контуру последовательно резистор на 1 КОм и соберем вот такую схему:

На генераторе мы будет менять частоту, а с клемм X1 и X2 мы будем снимать напряжение и смотреть его на осциллографе.

Нетрудно догадаться, что у нас сопротивление параллельного колебательного контура будет зависеть от частоты генератора, так как в этом колебательном контуре мы видим два радиоэлемента, чьи реактивные сопротивления напрямую зависит от частоты, поэтому заменим колебательный контур эквивалентным сопротивлением контура R_кон.

Упрощенная схема будет выглядеть вот так:

Интересно, на что похожа эта схема? Не на делитель ли напряжения? Именно! Итак, вспоминаем правило делителя напряжения: на меньшем сопротивлении падает меньшее напряжение, на бОльшем сопротивлении падает бОльшее напряжение. Какой вывод можно сделать применительно к нашему колебательному контуру? Да все просто: на резонансной частоте сопротивление R_кон будет максимальным, вследствие чего у нас на этом сопротивлении «упадет» бОльшее напряжение.

У нас есть калькулятор резисторов по цветам. Самый крутой подборник.

Начинаем наш опыт. Поднимаем частоту на генераторе, начиная с самых маленьких частот.

200 Герц.

Как вы видите, на колебательном контуре «падает» малое напряжение, значит, по правилу делителя напряжения, можно сказать, что сейчас у контура малое сопротивление R_кон

Добавляем частоту. 11,4 Килогерца

Как вы видите, напряжение на контуре поднялось. Это значит, что  сопротивление  колебательного контура увеличилось.

Добавляем еще частоту. 50 Килогерц

Заметьте, напряжение на контуре повысилось еще больше. Значит его сопротивление еще больше увеличилось.

723 Килогерца

Обратите внимание на цену деления одного квадратика по вертикали, по сравнению с прошлым опытом. Там было 20мВ на один квадратик, а сейчас уже 500 мВ на один квадратик. Напряжение выросло, так как сопротивление колебательного контура стало еще больше.

И вот я поймал такую частоту, на которой получилось максимальное напряжение на колебательном контуре. Обратите внимание на цену деления по вертикали. Она равняется двум Вольтам.

Дальнейшее увеличение частоты приводит к тому, что напряжение начинает падать:

Снова добавляем частоту и видим, что напряжение стало еще меньше:

Что происходит на резонансной частоте в параллельном колебательном контуре

Давайте более подробно рассмотрим эту осциллограмму, когда у нас было максимальное напряжение с контура.

Что здесь у нас произошло?

Так как на этой частоте был всплеск напряжения, следовательно, на этой частоте параллельный колебательный контур имел самое  высокое сопротивление R_кон. На этой частоте Х_L = Х_С. Потом с ростом частоты сопротивление контура снова упало. Это и есть то самое резонансное сопротивление контура, которое выражается формулой:

Резонанс токов

Итак, давайте допустим, мы вогнали наш колебательный контур в резонанс:

Чему будет равняться резонансный ток  I_рез ? Считаем по закону Ома:

I_рез = U_ген /R_рез  , где  R_рез = L/CR.

Но самый прикол в том, что у нас при резонансе в контуре появляется свой собственный контурный ток I_кон , который не выходит за пределы контура и остается только в самом контуре! Так как с математикой у меня туго, поэтому я не буду приводить различные математические выкладки с производными и комплексными числами и объяснять откуда берется контурный ток при резонансе. Именно поэтому резонанс параллельного колебательного контура называется резонансом токов.

Добротность параллельного колебательного контура

Кстати, этот контурный ток будет намного больше, чем ток, который проходит через контур. И знаете во сколько раз? Правильно, в Q раз.  Q — это и есть добротность! В параллельном колебательном контуре она показывает во сколько раз сила  тока в контуре  I_кон  больше сила тока в общей цепи I_рез

Или формулой:

Если сюда еще прилепить сопротивление потерь, то формула примет вот такой вид:

где

Q — добротность

R — сопротивление потерь на катушке, Ом

С — емкость, Ф

L — индуктивность, Гн

Применение параллельного колебательного контура

Параллельный колебательный контур применяется в радиоприемном оборудовании, где надо выделить частоту какой-либо станции. Также с помощью колебательного контура можно построить различные резонансные фильтры.

Также смотрите видео: