Как найти ротор вектора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х>у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и<М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Ротор векторного поля. Формула Стокса

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Отметим некоторые свойства ротора.

Если — постоянный вектор, то .
, где .
, т. e. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
Если — скалярная функция, а — векторная, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора по контуру , т. е. (см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора через поверхность , ограниченную контуром (см. (71.3)), т. е.

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре и выбор стороны у поверхности согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченную контуром (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки с контуром , содержащей точку .

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

где — некоторая (средняя) точка площадки (см. рис. 279).

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Пусть контур стягивается в точку . Тогда , a . Перейдя к пределу, получаем:

Ротором вектора в точке называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор ноля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) , т. е. ротор вектора .

По определению ротора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание. Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке .

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

Поток поля через поверхность

Циркуляция векторного поля

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline = z overline+ (x+y)overline+y overline, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

источники:

http://lfirmal.com/rotor-vektornogo-polya/

http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mafield

Источник

Пусть поле
—
дифференцируемое поле (то есть проекции
вектора поля на оси координат являются
дифференцируемыми функциями).

Определение.Вихрем векторного поля(обозначаетсяrot)
называется вектор, проекция которого
на произвольный векторопределяется как предел отношения
циркуляции поляпо некоторому контуру (L),
содержащему точкуM,
и лежащему в плоскости, перпендикулярной
вектору,
к площади области, ограниченной этим
контуром, при условии, что этот контур
стягивается в точкуM,
а площадь области (S)
стремится к нулю:

.
(1.13)

В трехмерном
пространстве
через декартовы прямоугольные координаты
векторавыражается следующим образом:

,
(1.14)

или в удобной для
запоминания символической форме

.
(1.15)

Теорема Стокса.Пусть координаты вектора+непрерывны и имеют непрерывные частные
производные. Тогда циркуляция векторного
поляпо замкнутому контуру (L)
равна потоку вихрей поля через произвольную
поверхность (S),
натянутую на этот контур:

.
(1.16)

Предполагается,
что ориентация контура (L)
и поверхности (S)
согласованы: при положительном обходе
контура нормаль направлена от “ног к
голове”.

Свойства ротора:
1)
;
2)
.

Определение.Векторное поленазывается безвихревым в данной области
(V), если.

Пример 1.Найти
ротор поля вектора напряженности
магнитного поля.

Решение. Векторв координатной форме:.
Вычислим ротор по формуле (1.15):

+—

— поле напряженности
— безвихревое поле.

Пример 2.Вычислить циркуляцию векторапо контуру1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Рис.5.

ешение. 1)Контур (L)
– окружность радиуса,
лежащая в плоскостиz=3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней,
как указано на рисунке. Параметрические
уравнения линии,
так что,.
Для циркуляции вектораимеем:.
2)Для вычисления циркуляции по теореме
Стокса выберем какую-нибудь поверхность
(S), натянутую на контур
(L).Естественно в
качестве (S) взять
круг, имеющий линию (L)
своей границей. Согласно выбранной
ориентации контура нормальк кругу необходимо взять равной.
Вычислим ротор:.

По теореме Стокса.

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные
линии плоских векторных полей:

1.;2.
;3.
;4.;

5..

Найти векторные
линии:

6.
;
7.
,
где;

8.
;
9.,

;

10.;
11.;
12.;

13.,
где
—постоянные векторы.

Найти векторные
линии, проходящие через заданную точку:

14.,;15.,.

Вычислить поток
векторного поля, используя поверхностный
интеграл первого рода:

16.,
(S): верхняя сторона
треугольника, ограниченного плоскостями,.

17.
,
(S): внешняя сторона
параболоида,
ограниченного плоскостью;

18.,:
боковая поверхность кругового цилиндра,
ограниченного плоскостями;

19.
,
(S): внешняя сторона
части параболоида,
расположенной в первом октанте;

20.,
(S): полная поверхность
конуса,
ограниченного плоскостью;

21.
,
(S): замкнутая поверхность,
ограниченная параболоидоми плоскостьюz= 0;

22.
,
(S): полная поверхность
пирамиды, ограниченной плоскостями,,,;

23.,
(S): сфера.

Вычислить поток,
используя метод проектирования на все
три координатные плоскости.

24.,
(S): верхняя сторона
круга, вырезанного конусомна плоскости

25.,
(S): верхняя сторона
треугольника, полученного пересечением
плоскостис координатными плоскостями;

26.
,
(S): часть плоскости,
ограниченная окружностью,
в направлении орта.

Определить поток
поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:

27.,
(S): произвольная
кусочно гладкая замкнутая поверхность;

28.
,
(S): поверхность куба,,;

29.,
(S): сфера;

30.
,
(S): часть параболоида,
отсекаемая плоскостью;
в отрицательную сторону осиOx;

31.,
(S): поверхность тела,,,

;

32.
,
(S): поверхность тела,;

33.
,
(S):;

34.;

35.
.

Найти линейный
интеграл вектора на плоскости:

36.
верхняя половина эллипсаот точкиA(a,0),
до точкиB(-a,0);

37.а) отрезок прямойOB;
б) дуга параболы;
в) дуга параболы;
г) ломанаяOAB, гдеA(1,0); д) ломанаяOCB,
гдеC(0,1);

38.

39.от точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Вычислить линейный
интеграл:

40.

41.,отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки
(4,4,4);

42.

43.

44.
отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки
(1,1,1).

45.Дана
напряженностьсилового поля. Найти работу поля при
перемещении массыmвдоль одного витка винтовой линии,из точкив точкуB(t=2);

46.Силовое поле
образовано силой, равной по величине
расстоянию от начала координат до точки
ее приложения и направленной к началу
координат. Найти работу поля по перемещению
единицы массы вдоль дуги параболыот точки с абсциссойдо точки с абсциссой.

В задачах 47- 51 найти
циркуляцию поля:

47.
в отрицательном направлении;

48.
замкнутая
линия, образованная отрезками осей
координатOxиOyи другой астроиды,,
лежащей в первом квадранте;

49.

50.

51.линия пересечения параболоидас координатными плоскостями (в первом
октанте);

52.Твердое тело
вращается с постоянной угловой скоростьювокруг осиOz. Вычислить
циркуляцию поля линейных скоростей
вдоль окружности радиусаR,
центр которой лежит на оси вращения,
если плоскость окружности перпендикулярна
оси вращения (циркуляция рассматривается
в направлении вращения).

53.Найти работу
поляпри перемещении точки единичной массы
вдоль замкнутой линии, состоящей из
трех прямолинейных отрезков, лежащих
в координатных плоскостях, отсекающих
на осях координат отрезки, равные
единице.

Найти дивергенцию
нижеследующих полей:

54..
При какой функциибудет?

55.
;56.
— линейная скорость точек вращающейся
жидкости— угловая скорость);

57.напряженность магнитного поля,J,– постоянные;

58.; 59.
;

60.Вычислитьв точке (1,-1,1).

Найти поток
векторного поля через указанные замкнутые
поверхности: 1) непосредственно, 2) по
теореме Гаусса-Остроградского в векторной
формулировке:

61.

62.

63.

64.;

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

В задачах 73 и 74
вычислить ротор указанных векторных
полей:

73.74.

75.Показать,
что если координаты вектораимеют непрерывные частные производные
второго порядка, то.

76.Показать,
что еслии—
постоянные векторы, то.

77.Показать,
что.

78.Показать,
что.

79.Показать,
что векторное полеявляется безвихревым.

80.Показать,
что ротор поля линейных скоростейточек вращающегося твердого тела есть
постоянный вектор, направленный
параллельно оси вращения, модуль которого
равен удвоенной угловой скорости
вращения:.

81.Какова должна
быть функция,
чтобы ротор векторного полясовпадал с вектором?

Найти циркуляцию
поля по указанным контурам 1)непосредственно,
2)по теореме Стокса в векторной
формулировке:

82.

83.

84.по контуру, образованному пересечением
плоскостис координатными плоскостями;

85.

86.

87.

88.

89.

90.

15.2. Частные случаи
векторных полей. Операции второго
порядка

15.2.1. Потенциальное
векторное поле

Определение.Векторное поленазывается потенциальным полем, если
существует некоторая скалярная функция,
градиент которой образует это поле:

.
(2.1)

Функция uназывается потенциалом векторного поля.

Теорема.Для
того, чтобы поле было потенциальным,
необходимо и достаточно, чтобы оно было
безвихревым:

.
(2.2)

Формула (2.2) есть
критерий потенциальности векторного
поля
.

Свойства
потенциальных полей.

1)
в области непрерывности потенциала
поля u
линейный интеграл не зависит от пути
интегрирования и равняется приращению
потенциала

(2.3)

2)
циркуляция (1.9) вектора
по любому замкнутому контуру, целиком
лежащему в области непрерывности поля,
равна нулю:

.
(2.4)

3)
потенциал
находится по формуле (2.3):

,
(2.5)

где
(AM)
– произвольная кривая, стягивающая
точки A
и M.
Если путь (AM)
взять в виде ломаной, состоящей из
отрезков, параллельных осям координат
(количество таких ломаных равно шести),
то для нахождения потенциала может быть
применена одна из формул, выражающая
потенциал
через определенные интегралы;):

.
(2.6)

Пример.
Проверить, что поле вектора
является потенциальным и найти его
потенциал.

Решение.
Составим для данного поля критерий
потенциальности (2.2):

—
поле потенциально. Найдем потенциал
по формуле (2.6): за начальную точку удобно
взять точкуA(0,0,0):

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Конев В.В. Скалярные и векторные поля

Вычисление ротора в прямоугольной системе координат

Проекция ротора векторного поля A в точке

на направление нормали к поверхности, натянутой на контур ΔL, определяется формулой

где – циркуляция вектора A вдоль контура ΔL; ΔS – площадь области, ограниченной этим контуром.

Теорема. В прямоугольной системе координат ротор вектора A можно представить в виде

где A_x, A_y и A_z – координаты вектора A .

Доказательство. Выберем в качестве контура интегрирования ΔL границу бесконечно малого прямоугольника, расположенного в плоскости, параллельной координатной плоскости x0y (как это показано на рисунке 1).

Рис. 1. Контур интегрирования ΔL представляет собой прямоугольник, центром которого является точка .

Площадь ΔS такого прямоугольника равна Δx · Δy, а направление его нормали совпадает с положительным направлением оси z.

Рис. 2. Контур интегрирования.

Следовательно, отношение циркуляции    к площади ΔS при стягивании контура в точку дает z-компоненту ротора.


Представим циркуляцию векторного поля A в виде суммы интегралов:

Учитывая малость сторон прямоугольника, функции A_x и A_y можно заменить их средними значениями на соответствующих отрезках. Заметим, однако, что значение проекции A_x на отрезке DC отличается от соответствующего значения на отрезке AB на величину .

Тогда

Аналогично, разность значений A_y на отрезках BC и AD составляет . Следовательно,

Таким образом,

Принимая во внимание предельное соотношение

приходим к формуле

Выражения для других координат ротора могут быть получены с помощью циклической замены переменных :

Представление ротора в терминах оператора набла.

Рассмотрим векторное произведение оператора и векторной функции :

Преобразуем это выражение, применяя теорему о разложении определителя по элементам строки. (Напомним, что операторы дифференцирования должны всегда располагаться слева от функций, на которые они действуют.)

Полученный результат совпадает с выражением для ротора векторного поля A. Следовательно,

Источник

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Отметим некоторые свойства ротора.

Если — постоянный вектор, то .
, где .
, т. e. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
Если — скалярная функция, а — векторная, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки с контуром , содержащей точку .

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

где — некоторая (средняя) точка площадки (см. рис. 279).

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Отсюда:

Пусть контур стягивается в точку . Тогда , a . Перейдя к пределу, получаем:

Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

По определению ротора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Источник

Содержание:

Пример 3:
Правила вычисления ротора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х}у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Пример 3:

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и{М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Лекции:

Векторное произведение векторов
Таблица производных полная: для студентов
Функции двух переменных. Действия над случайными величинами
Найти значение выражения
Исследование графика функции
Нормальное распределение
Ранг матрицы: примеры решения
Найдите объем тела ограниченного
Разложение вектора по базису
Умножение матрицы на вектор

Источник