Как найти s если известно вид

Содержание:

• Определения
• Формулы площади основных геометрических фигур

Определения

Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.

Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее
площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение
площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.

Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и
вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.

Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.

Формулы площади основных геометрических фигур

Площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними.
То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны
$a$ и $b$, а также угол
$alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

Читать дальше: формулы площади треугольника и примеры решений →

Площадь круга

Чтобы найти площадь круга, надо найти произведение числа
$pi$ на квадрат радиуса этого круга, то есть

Читать дальше: формула площади круга и примеры решений →

Площадь квадрата

Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

Читать дальше: формула площади квадрата и примеры решений →

Площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть

Читать дальше: формула площади прямоугольника и примеры решений →

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти произведение стороны
$a$ параллелограмма на высоту
, проведенную к этой стороне, то есть

Читать дальше: формулы площади параллелограмма и примеры решений →

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии
умножить на длину высоты
, опущенной к основанию:

Читать дальше: формулы площади трапеции и примеры решений →

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Читать дальше: формулы площади ромба и примеры решений →

Площадь эллипса

Чтобы найти площадь эллипса, нужно найти произведение длин большой и малой полуосей этого эллипса на число
$pi$, то есть

Читать дальше: формула площади эллипса и примеры решений →

• Как найти площадь треугольника
• Как найти площадь ромба
• Как найти площадь эллипса
• Как найти площадь прямоугольного треугольника
• Как найти площадь равнобедренного треугольника
• Как найти площадь равностороннего треугольника
• Как найти площадь круга
• Как найти площадь квадрата
• Как найти площадь прямоугольника
• Как найти площадь параллелограмма
• Как найти площадь трапеции

Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

1. Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
2. Найти квадрат известной стороны.
3. Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
4. Найти квадратный корень получившейся разности.
5. Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

1. Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
2. Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
3. Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
4. Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
5. Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

1. Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
2. Найдите квадрат известной стороны.
3. Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
4. Найдите квадратный корень разности.
5. Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

1. Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
2. Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
3. Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
4. Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
5. Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

1. Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
2. Умножить квадрат радиуса на 4.
3. Найти квадрат известной стороны.
4. Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
5. Найти квадратный корень разности.
6. Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

1. Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
2. Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
3. Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
4. Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
5. Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
6. Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.

1. Нахожу вторую сторону прямоугольника:
   1. P=2(a+b).
   2. P=2a+2b.
   3. 14= 2*3+2b.
   4. 14 = 6+2b.
   5. 2b = 14-6 = 8.
   6. b = 8/2.
   7. b = 4.
2. Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

1. Умножьте периметр на сторону.
2. Найдите квадрат стороны.
3. Умножьте квадрат стороны на 2.
4. Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
5. Поделите на 2.

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

1. Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
2. Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
3. Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
4. Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
5. Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

1. Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
2. Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
3. Найти синус угла между диагоналями.
4. Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

1. Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
2. Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
3. Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
4. Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

1. Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
2. Квадрат диагонали равен 144 см.
3. Половина квадрата: 72 см.
4. Синус 30 градусов равен 0,5.
5. Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

1. Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
2. Умножить квадрат радиуса на два.
3. Найти синус угла между диагоналями.
4. Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

1. Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
2. Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
3. Синус 30 градусов равен 0,5.
4. Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

Как найти площадь фигуры

О чем эта статья:

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

S = &pi × d 2 : 4;, где d — это диаметр.

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.

S = a × √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

S = 0,5 × d 2 × 𝑠𝑖𝑛(𝑎), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

S = а 2 , где a — сторона квадрата.

S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.

Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂ — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
2. Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
3. Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
5. Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0

Ответ: 7 x — 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .

Ответ: y — 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2

Ответ: — 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x

Ответ: y = — 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0

Ответ: y — 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

2. Формула площади треугольника по трем сторонам

   Формула Герона

   S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
   
   Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

   где S — площадь треугольника,
   a, b, c — длины сторон треугольника,
   h — высота треугольника,
   γ — угол между сторонами a и b,
   r — радиус вписанной окружности,
   R — радиус описанной окружности,

   p =	a + b + c	— полупериметр треугольника.
   2

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

   S = a²

2. Формула площади квадрата по длине диагонали
   Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

   где S — площадь квадрата,
   a — длина стороны квадрата,
   d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
   Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

   S = a · h

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

   S = a · b · sin α

3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

   где S — Площадь параллелограмма,
   a, b — длины сторон параллелограмма,
   h — длина высоты параллелограмма,
   d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,
   α — угол между сторонами параллелограмма,
   γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
   Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

   S = a · h

2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
   Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

   S = a² · sin α

3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
   Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

   где S — Площадь ромба,
   a — длина стороны ромба,
   h — длина высоты ромба,
   α — угол между сторонами ромба,
   d₁, d₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула Герона для трапеции

   S =	a + b	√(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
   |a — b|

2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
   
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

   где S — площадь трапеции,
   a, b — длины основ трапеции,
   c, d — длины боковых сторон трапеции,

   p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
   2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

   Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

   где S — площадь четырехугольника,
   d₁, d₂ — длины диагоналей четырехугольника,
   α — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)

   Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

   S = p · r

3. 

   Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

   S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos²θ

   где S — площадь четырехугольника,

   a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

   p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,

   θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

   S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус
   Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

   S = π r²

2. Формула площади круга через диаметр
   Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

   где S — Площадь круга,
   r — длина радиуса круга,
   d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

где S — Площадь эллипса,

a — длина большей полуоси эллипса,

b — длина меньшей полуоси эллипса.

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

S_полн. = S_бок. + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

S_бок. = P_осн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a². А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a².

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см². Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Как найти площадь многоугольника

К основным типам многоугольников можно отнести треугольник, параллелограмм и его виды (ромб, прямоугольник, квадрат), трапецию, а также правильные многоугольники. У каждого из них своя методика расчета площади. Более сложные, выпуклые и вогнутые многоугольники разбиваются на простые фигуры, площади которых затем суммируются.

Вам понадобится

• Линейка, инженерный калькулятор

Инструкция

Чтобы найти площадь треугольника найдите половину произведения одной из его сторон на высоту, которая опущена из противолежащей вершины на эту сторону и умножьте результат S=0,5•a•h.

Если известны длины двух сторон треугольника и угол между ними, найдите площадь, как половину произведения этих сторон на синус угла между ними S=0,5•a •b•Sin(α).

Когда известны длины всех сторон, для нахождения площади используйте формулу Герона. Найдите половину периметра треугольника, затем произведение полупериметра на его разность с каждой из сторон p•(p-a)•(p-b)•(p-c). Из полученного числа извлеките квадратный корень.

Площадь прямоугольного треугольника найдите, поделив на 2 произведение его катетов S=0,5•a•b.

Если многоугольник является параллелограммом, рассчитайте его площадь, умножив одну из сторон на опущенную на нее высоту S=a•h.

Если известны диагонали параллелограмма, рассчитайте его площадь как половину произведения диагоналей, на синус угла между ними S=0,5•d1•d2•Sin(α). Для ромба эта формула примет вид S=0,5•d1•d2, поскольку его диагонали перпендикулярны.

Если известны стороны параллелограмма, его площадь будет равна их произведению на синус угла между ними S=a•b•Sin(α). Для прямоугольника эта формула примет вид S=a•b, а для квадрата, все стороны которого равны S=a².

Для нахождения площади трапеции, умножьте полусумму ее оснований (параллельных сторон) на высоту S=h•(a+b)/2.

В общем случае, если четырехугольник можно вписать в окружность, найдите его полупериметр, затем произведение разности полупериметра и каждой из сторон (p-a)•(p-b)•(p-c)•(p-d). Из полученного числа извлеките квадратный корень.

Чтобы найти площадь правильного многоугольника (с равными сторонами и углами между ними) количество его сторон поделите на 4, умножьте на квадрат длины одной стороны и котангенс 180º поделенных на количество сторон, S=(n/4)•a²•ctg(180º/n).

Более сложные многоугольники разбейте на простые, например, треугольники. Найдите их площади по отдельности и сложите значения.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?