Как найти с параболы без графика

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

   — Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

   

   — Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

   

   — Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

   

   — Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

   

   — Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

   

2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

   

3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) — абсциссы (икса) вершины параболы:

   (x_в=-frac{b}{2a})
   (b=-x_вcdot 2a)
   

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:

   

2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

   Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

   (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

3. Решаем систему.
   Пример:

   (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

   Вычтем из второго уравнения первое:

   (0=9a-b)
   (b=9a)

   Подставим (9a) вместо (b):

   (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
   (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

   (2=-2a)
   (a=-1)

   Найдем (b):

   (b=-9)

   Подставим в первое уравнение (a):

   (5=20+c)
   (c=-15).

   Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

   

2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
   – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

   

3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
   — График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

   

4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
   График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

   

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

   

2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax² + bx +c

I Нахождение коэффициента а :

1. по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

1. решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b: b= — (х₁ + х₂) это для приведённого уравнения

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

1. Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с: с = х₁ ∙ х₂ это для приведённого уравнения

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,Ь)

3. Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

I Нахождение коэффициента а :

1. по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

1. решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b:

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

1. Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,b)

3. Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

Рассмотрим задачу: где невозможно по графику найти точно m и n необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение: координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и  (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Алгоритм

нахождения 
значений коэффициентов a,
b,
c

 по
графику квадратичной функции

у=ax²
+bx+c.

Автор: Храмова Ирина Михайловна

МБОУ Луговская ООШ

Источники : алгебра 9 класс, Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией А.С.Теляковского,

 Москва «Просвещение», 2013г.

I.
Нахождение коэффициента a
:

1) по графику
параболы  определяем координаты вершины (m,
n)

2) по графику
параболы  определяем координаты любой точки  А(х₁;у₁)

3) подставляем эти
значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом  виде:

y=a(х-m)²+n

4) решаем
полученное уравнение.

II.
Нахождение коэффициента b:

1) Сначала
находим значение коэффициента a(шаг
I,
смотри выше)

2) В
формулу для абсциссы параболы m=
—b/2a
подставляем значения m и
a

3) Находим
значение коэффициента b.

       III.
Нахождение коэффициента с:

1)    Находим
ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно
коэффициенту с, т.е. точка (0;с) — точка пересечения параболы с
осью Оу.

2)    Если
по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I,
II (находим
коэффициенты a,
b)

3)    Подставляем
найденные значения a,
b
, А(х_{1 ;}у₁) в  уравнение у=ax²
+bx+c            и находим с.

Как найти точку пересечения прямой и параболы

Задачи по поиску точек пересечения каких-нибудь фигур идеологически просты. Сложности в них бывают только из-за арифметики, так как именно в ней допускаются различные опечатки и ошибки.

Инструкция

Данная задача решается аналитически, поэтому можно вовсе не рисовать графики прямой и параболы. Часто это дает большой плюс в решении примера, так как в задаче могут быть даны такие функции, что их проще и быстрее не нарисовать.

Согласно учебникам по алгебре парабола задается функцией вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c – это вещественные числа, притом коэффициент a отличен он нуля. Функция g(x)=kx+h, где k,h – это вещественные числа, определяет прямую на плоскости.

Точка пересечения прямой и параболы – это общая точка обеих кривых, поэтому в ней функции примут одинаковые значение, то есть f(x)=g(x). Данное утверждение позволяет записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст возможность найти множество точек пересечения.

В уравнении ax^2+bx+c=kx+h необходимо перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Теперь остается решить полученное квадратное уравнение.

Все найденные «иксы» – это еще не ответ на задачу, так как точку на плоскости характеризуют два вещественных числа (x,y). Для полного завершения решения необходимо вычислить соответствующие «игрики». Для этого нужно подставить «иксы» либо в функцию f(x), либо в функцию g(x), ведь для точки пересечения верно: y=f(x)=g(x). После этого вы найдете все общие точки параболы и прямой.

Для закрепления материала очень важно рассмотреть решение на примере. Пусть парабола задается функцией f(x)=x^2-3x+3, а прямая – g(x)=2x-3. Составьте уравнение f(x)=g(x), то есть x^2-3x+3=2x-3. Перенося все слагаемые в левую часть, и приводя подобные, получите: x^2-5x+6=0. Корни данного квадратного уравнения: x1=2, x2=3. Теперь найдите соответствующие «игрики»: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Таким образом, найдены все точки пересечения: (2,1) и (3,3).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

---

Как найти нули квадратичной функции

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x² − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

Ответ: нули функции «y = x² − 3» :
    

x₁ = √3;
    

x₂ = −√3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x² − x − 3» принимает значение
«−3».

Подставим в исходную функцию
«y = x² − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x² − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x²»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x²»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x²», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1).

Подставим в функцию
«y = x²»

координаты точки (·) А(2; 6).

Подставим в функцию
«y = x²»

координаты точки (·) B(−1; 1).

---

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x² −3x + 2» с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x² −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x² −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).

---

Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---