Как найти с в задача на сплавы

Как правило, ученики очень не любят задачи на сплавы и смеси. Для них они являются сложными и непонятными.

Поэтому многие даже время не тратят на попытки решения такой задачи в ЕГЭ, а просто пропускают ее. А зря!

Сейчас покажем, как можно решить такую задачу, выполнив всего три действия.

1. Как решить задачу на смеси и сплавы: 3 действия
2. Примеры решения задач на смеси: от простого к сложному
3. Примеры решения задач на сплавы: от простого к сложному

Как решить задачу на смеси и сплавы: 3 действия

 Итак, решение любой задачи на смеси и сплавы сводится к выполнению трех действий:

1. Необходимо составить таблицу, в которой указываем общую массу каждого вещества и чистую массу каждого вещества. Эти данные содержатся в условии задачи. Если какие-то данные в условии отсутствуют, то обозначаем их как неизвестные — х, у.
2. Составляем систему уравнений, основываясь на том, что при соединении двух смесей (или сплавов) их массы складываются. Т.е. мы складываем как общую массу двух изначальных смесей (или сплавов), так и чистую массу каждого вещества, содержащихся в них. Решаем полученную систему уравнений.
3. После решения системы уравнений и нахождения всех неизвестных обязательно возвращаемся к условию задачи и смотрим, что требовалось найти. Многие ученики, решив правильно систему уравнений, неправильно записывают ответ. Ведь решение системы – это еще не ответ к задаче! Вернитесь к условиям задачи, прочитайте, что именно требовалось найти, и запишите ответ.

 Примеры решения задач на смеси: от простого к сложному

 А теперь разберем на примерах, как с помощью этих трех действий решать задачи на смеси и сплавы.

Задача 1

Смешали 3 литра раствора, содержащего 20% кислоты, и 5 литров раствора, содержащего 40% той же кислоты. Какова концентрация кислоты в полученном растворе.

Решение:

Для решения задачи выполняем три действия, о которых мы говорили выше:

1. Составляем таблицу, в которой указываем общую массу раствора и массу чистого вещества, то есть в нашем случае – кислоты.

Из условий задачи имеем три раствора:

Раствор 1: 3 литра с 20% кислотой, т.е. общая масса = 3 литра, масса чистого вещества = 3 * 20% = 3 * 0,2 = 0,6

Раствор 2: 5 литров с 40% кислотой, т.е. общая масса = 5 литров, масса чистого вещества = 5 * 40% = 5 * 0,4 = 2

Раствор 3: какое-то количество раствора (обозначим его общую массу за х) с какой-то концентрацией кислоты (обозначим ее чистую массу за у), заносим эти данные в таблицу:Первое действие выполнено, переходим ко второму.

2. Составляем уравнения. Вспоминаем, что общая масса раствора 3 является суммой общих масс раствора 1 и раствора 2. А масса чистого вещества в растворе 3 является суммой массы чистового вещества в растворе 1 и массы чистового вещества в растворе 2. Таким образом, получаем:

3 + 5 = х

0,6 + 2 = у

Решаем простейшее уравнение и получаем, что х = 8, а у = 2,6. Таким образом, раствор 3 получился 8 литров, из которых 2,6 литра – это кислота.

Но ответ к задаче записывать рано! Переходим к третьему действию решения нашей задачи.

3. Возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, а что же требовалось найти. В нашей задаче требовалось определить концентрацию кислоты в растворе 3. Когда мы решили уравнения, мы нашли общую массу раствора 3 и массу чистого вещества (кислоты), содержащегося в нем.

Чтобы определить концентрацию вещества необходимо разделить массу чистого вещества на общую массу раствора.

Таким образом, концентрация кислоты в растворе 3 равна:

2,6 / 8 = 0,325

Переводим долю вещества в проценты. Для этого умножаем полученный результат на 100:

0,325 * 100 = 32,5%

Ответ: 32,5%

Задача 2

Газ в сосуде А содержал 21% кислорода, а газ в сосуде В содержал 5% кислорода. Масса газа в сосуде А была больше массы газа в сосуде В на 300 г. Когда перегородку между сосудами убрали, газы перемешались, и получился третий газ, который содержит 14,6% кислорода. Найти массу третьего газа.

Решение:

1. Составляем таблицу. Для этого обозначим массу газа в сосуде В – х. Остальные данные берем из условий задачи и формируем таблицу:2. Составляем уравнение. Известно, что третий газ имеет содержание кислорода 14,6%, соответственно мы можем приравнять массу чистого вещества газа 3 к 0,146 * (х + (х +300)). Получим уравнение:

(х +300)  * 0,21 + х * 0,05 = 0,146 (х + (х +300))

0,21х + 63 + 0,05х = 0,292х + 43,8

0,26х + 63 = 0,292х + 43,8

0,032х = 19,2

х = 600

3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что нужно было найти. А найти нам нужно было массу третьего газа. Подставляем в уравнение общей массы газа 3 из таблицы и получаем:

600 + 600 + 300 = 1500 г

Ответ: масса третьего газа равна 1500 г.

Задача 3

Смешали 40%ый и 15%ый растворы кислоты, затем добавили 3 кг чистой воды, в результате чего получили 20%ый раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80% раствора той же кислоты, то получили бы 50%ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40%го и 15%го растворов кислоты было смешано?

Решение:

1. Составляем таблицу. По условиям задачи мы имеем пять растворов:

Раствор 1: 40%ая кислота. Обозначим ее массу за х, тогда масса чистого вещества = х * 40% = 0,4х

Раствор 2: 15%ая кислота. Обозначим ее массу за у, тогда масса чистого вещества = х * 15% = 0,15х

Вода: вода, масса которой равна 3 кг. Концентрация кислоты в воде равна 0. Таким образом, масса чистого вещества равна 3 * 0 = 0

Раствор 3: 80%ая кислота. Ее масса по условию задачи равна 3 кг, тогда масса чистого вещества равна 3 * 80% = 3 *0,8 = 2,4

Раствор 4: соединение раствора 1, раствора 2 и воды. Таким образом, общая масса полученного раствора равна х + у + 3. А масса чистого вещества в этом растворе равна 0,4х + 0,15у + 0

Раствор 5: соединение раствора 1, раствора 2 и раствора 3. Таким образом, общая масса полученного раствора равна х + у + 3. А масса чистого вещества в этом растворе равна 0,4х + 0,15у + 2,4.

Сводим полученные результаты в таблицу:2. Составляем уравнение.

По условиям задачи раствор 5 имеет концентрацию 50%. Таким образом, чтобы получить массу чистого вещества в растворе 5 нужно его общую массу умножить на концентрацию. Получаем (х + у + 3) * 0,5. Теперь берем массу чистого вещества раствора 5, которую мы выразили в таблице и приравниваем два этих уравнения:

 (х + у + 3) * 0,5 = 0,4х + 0,15у + 2,4

Аналогично поступаем с раствором 4. По условиям задачи его концентрация равна 20%. Тогда получаем следующее уравнение:

(х + у + 3) * 0,2 = 0,4х + 0,15у

Объединяем полученные уравнения в систему:Решаем систему и получаем х = 3,4, у = 1,6

3. Возвращаемся к условиям задачи.

По условиям задачи необходимо было найти, какое количество килограммов 40%го и 15%го растворов кислоты было смешано. Общая масса 40%й кислоты мы обозначали х, а общую массу 15%й кислоты мы обозначили у. Следовательно, масса 40%й кислоты = 3,4 кг, а масса15%й кислоты = 1,6 кг.

Ответ: масса 40%й кислоты = 3,4 кг, а масса15%й кислоты = 1,6 кг.

Примеры решения задач на сплавы: от простого к сложному

Задача 1

Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок бронзы, содержащий 1/12 часть олова, сплавляется с другим куском, содержащим 1/10 часть олова. Полученный сплав содержит 1/11 часть олова. Найдите вес второго куска, если вес первого равен 84 кг

Решение:

1. Составим таблицу. Обозначим массу второго куска – х.2. Составим уравнение. По условию задачи сплав 3 содержит 1/11 часть олова, тогда масса чистого вещества равна  1/11 * (84 + х). Таким образом, можно составить следующее уравнение:

1/12 * 84 + 1/10 * х = 1/11 * (84 + х)

7 + х/10 = 84/11 + х/11

х/10 – х/11 = 7/11

х/110 = 7/11

х/10 = 7

х = 70

3. Возвращаемся к условию задачи. Найти нужно было вес второго куска. Вес второго куска равен 70 кг.

Ответ: 70 кг.

Задача 2

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение.

1. Составим таблицу. Пусть масса первого сплава – х, масса второго сплава – у. Остальные данные берем из решения и составляем таблицу:2. По условиям задачи масса третьего сплава равна 200 г, значит:

х + у = 200

Содержание меди в третьем сплаве по условиям задачи равно 30%, т.е. масса чистого вещества равна 0,3(х + у). Следовательно, берем массу чистого вещества из таблицы и приравниваем:

0,15х + 0,65у = 0,3(х + у)

Получившиеся уравнения сводим в систему и решаем ее:х = 200 – у

0,15(200 – у) + 0,65у = 0,3 * 200

30 – 0,15у + 0,65у = 60

0,5у = 30

у = 60

х = 140

3. Возвращаемся к условиям задачи. Необходимо было найти массу первого и второго сплава. Масса первого сплава — 140 г, масса второго сплава -60 г.

Ответ: 140 г и 60 г.

Задача 3

В первом сплаве  содержание меди составляет 70%, а во втором – 40%. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы получить из них новый сплав, который содержит 50% меди?

Решение:

1. Составим таблицу. Обозначим массу первого сплава – х, массу второго сплава – у. Тогда:2. По условиям задачи содержание меди в третьем сплаве равно 50%. Таким образом, масса чистого вещества равна 0,5 (х + у). Приравняем полученное уравнение к массе чистого вещества в составе третьего сплава из таблицы, получим:

0,7х + 0,4у = 0,5 (х + у)

0,7х + 0,4у = 0,5х + 0,5у

0,2х = 0,1у

х/у = ½

3. Возвращаемся к условию задачи. Необходимо было определить отношение первого и второго сплавов в третьем сплаве. Отношение сплавов равно ½.

Ответ: ½

Итак, решение задач на сплавы и смеси можно свести к трем действиям: составление таблицы, составление уравнения (или системы уравнений), возвращение к условиям задачи, чтобы дать ответ на поставленный вопрос. Задание 11 ЕГЭ по математике профильного уровня является одной из самых сложных задач, так как может содержать текстовую задачу любого типа. Это может быть как задача на сплавы и смеси, так и задача на движение, работу, проценты. Как решать все эти задачи вы можете узнать на нашем сайте или

Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.

Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Покажем правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.

. В сосуд, содержащий  литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили  литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

.

---

. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.

Получаем:

Ответ: .

. Виноград содержит  влаги, а изюм — . Сколько килограммов винограда требуется для получения  килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось  воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме  воды и  «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось  кг изюма. Тогда

 от  от 

Составим уравнение:

и найдем .

Ответ: .

---

. Имеется два сплава. Первый сплав содержит  никеля, второй —  никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой  кг, содержащий  никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что .

Ответ: .

---

. Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив  кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо  кг воды добавили  кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Ответ: .

Задачи на смеси и сплавы — подробнее

Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора.

То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.

Обычно концентрация измеряется в процентах.

Что такое процент?

Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на ( displaystyle 100), получим ( displaystyle 1%) этой массы или объема.

Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на ( displaystyle 100%).

Почему?

Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна ( displaystyle M), а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – ( displaystyle m). Тогда один процент от массы раствора равен ( displaystyle frac{M}{100}).

Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе ( displaystyle m)?

Просто: поделить число ( displaystyle m) на этот один процент: ( displaystyle frac{m}{frac{M}{100}}=frac{m}{M}cdot 100), но ведь ( displaystyle frac{m}{M}) – это концентрация.

Вот и получается, что ее надо умножить на ( displaystyle 100), чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.

Более подробно о процентах – в темах  «Дроби, и действия с дробями»и «Проценты».

Поехали дальше.

Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих.

Логично, правда?

Например, если в растворе массой ( displaystyle 10) кг содержится ( displaystyle 3) кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, ( displaystyle 7)кг.

И еще одна очевидность:

При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов.

А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.

Например: в первом растворе массой ( displaystyle 10) кг содержится ( displaystyle 3) кг кислоты, а во втором растворе массой ( displaystyle 14) кг – ( displaystyle 5) кг кислоты.

Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора?

( displaystyle 10+14=24) кг.

А сколько в новом растворе будет кислоты? ( displaystyle 3+5=8) кг.

Перейдем к задачам.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №11. Задачи на растворы, смеси и сплавы (и на проценты)

В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы — на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении.

Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12).

Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений.

Также мы научимся решать сложные задачи на проценты — в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки.

Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической» задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).

ЕГЭ №17 Экономическая задача. Вклады

Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла!

Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения.

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!

На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

Методическое пособие
(сборник задач)

«Решения задач на смеси,
сплавы, растворы».

2018
г.

Подготовила
:

учитель
математики МАОУ Гимназия №2

Липатова
Ольга Сергеевна

Содержание:

1.
Теоретические основы решения задач «на смеси, сплавы, растворы»…………….………….…………………………………………………………..3

1.1.Основные
понятия……………………………………………………………….3

1.2.Алгоритм
решения задачи на сплавы, растворы и смеси……………………..3

1.3.
Способы решения задач………………………………………………………….4

 2.
Примеры решения задач различными способами………………………………4

2.1. Решение
задач помощью таблицы……………………………………………..4

2.2. Решение задач
с помощью математической модели……………………………7

2.3.
Старинный способ решения задач ……………………………………….……9

2.4. Решение задач
с помощью квадрата Пирсона………………………………..11

3. Задачи ……………………………………………………………………………14

4. Решения……………………………………………………………………………17

5.Дидактический
материал (для самостоятельной работы)……………………30

6.
Список использованной литературы…………………………………………34

 1. Теоретические основы
решения задач «на смеси, сплавы, растворы»

1.1.         
Основные понятия

Перед тем, как приступить к
объяснению различных способов

решения
подобных задач, примем некоторые основные допущения:

Ø
Все получающиеся сплавы или
смеси однородны

Ø
При решении этих задач
считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов

Определение: Процентным содержанием (концентрацией) вещества называется
отношение его массы к общей массе всей смеси.

Зачастую
концентрация  определена по массе, но иногда может быть определена и по объему.
Но, как показывает практика, не всегда сумма объемов смешиваемых веществ равна
объему их смеси. Поэтому чаще всего мы будем находить процентное содержание по
массе.

Еще одно
замечание по поводу терминологии такие понятия, как:

Ø    процентное содержание вещества

Ø    концентрация вещества

Ø    массовая доля вещества

будем считать синонимами.

1.2Алгоритм
решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

1)   
изучить условия задачи;

2)   
выбрать неизвестную величину (обозначить
ее буквой);

3)   
определить все взаимосвязи между данными
величинами;

4)   
составить математическую модель задачи
(выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной
величины) и решить ее;

5)   
провести анализ результата.

      1.3  Способы решения задач

Для
решения задач на смеси и сплавы существуют много различных методов:
алгебраический, арифметический, графический, способ расчета по формуле, при
помощи универсальной таблицы, метод «креста» (конверт Пирсона), метод «рыбки»,
метод «стаканчиков», при помощи прямоугольников и др.

 2.
Примеры решения задач различными способами

Рассмотрим
некоторые способы решения задач на смеси, сплавы и  растворы.

Задачи
легко решаются, если применить графическую иллюстрацию. Сначала рассмотрим
самый распространенный способ решения задачи, где для успешного решения задачи,
условие представляют в виде таблицы.

2.1 Алгебраический способ (Решение задач с
использованием таблицы)  (с помощью составления
уравнения или системы уравнений)

При
решении большинства задач этого вида, удобнее использовать таблицу,
которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие
определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию,
облегчающую процесс решения задачи.

Рассмотрим решения задач с применением
таблицы

Таблица для решения задач имеет вид

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

Задача №1Имеется
два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди.
Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего
30% меди?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	хг	0,15*х
Второй сплав	65%=0,65	(200 – х)г	0,65*(200–х)=130–0,65х
Получившийся сплав	30%=0,3	200 г	200*0,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах
равна массе меди в полученном сплаве:

Решив
это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а
второго 60г

Ответ:
140 г, 60г.

Задача №2 Имеется
два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в
отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы
получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?

Теперь внесем
данные в таблицу:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав:		Х кг
золото	0,1		0,1х кг
серебро
Второй сплав:		(15-х) кг
золото	0,4		0,4*(15-х) кг
серебро
Новый сплав:		15 кг
золото	0,2		0,2*15=3 кг
серебро

Решение:

Сумма
масс золото в двух первых сплавах равна массе золота в новом сплаве

0,1х+0,4(15-х)=3

х=10кг

m(1сплава)=10кг

m(2сплава)=5кг

Ответ:
10 кг и 5 кг.

Если
в условии задачи описаны несколько вариантов смесей, то составляется система,
содержащая два уравнения.

Задача
5. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 %
сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое
первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 %
содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то
получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа
и концентрацию сахара в нем.

Решение:

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
I сосуд	4	70 %	0,7·4=2,8
II сосуд	6	40 %	0,4·6 = 2,4
III сосуд	х	у %	0,01ху
I и III сосуды	4+х	55 %	0,55(4+х) = 2,8+0,01ху
II и III сосуды	6+х	35 %	0,35(6+х) = 2,4+0,01ху

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ
:1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

2.2 Решение
задач с помощью математической модели

         Графические иллюстрации к условию задач помогают найти
правильный путь к ответу на вопрос задачи.

Изобразим
каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу
составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание
веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=»
между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен
в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Решим задачу №1 данным способом.

Задача №1Имеется
два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди.
Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего
30% меди?

Рассматриваемый в задаче процесс
можно представить в виде следующей модели-схемы:

Решение:

Пусть
хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г –
масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим
следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах
(то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве
(справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140.
При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого
сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г.
60г.

Задача №3Сколько граммов
воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить
сироп, концентрация которого равна 20%?

0,75×180+х=0,8×(180+х);

135+х=144+0,8х;

0,2х=9;

х=45.

Ответ: 45 г.

2.3 Старинный
способ решения задач

Ввиду большой простоты предложенный
способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических
задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев
никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт
решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно
описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

         Впервые
о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.
Замечательный русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739)
фамилию свою получил от Петра I
за умение притягивать к наукам молодых людей.

М₁
– масса раствора с меньшей концентрацией

a₁-меньшая
концентрация раствора

М₂
– масса раствора с большей концентрацией

a₂-большая
концентрация раствора

М₁+
М₂ – масса конечного раствора

a₃
— концентрация конечного раствора

a₁<a₃<a₂

Следует, что

Докажем
это:

         Рассмотрим
типовую задачу в общем виде: Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное
содержание меди в них а₁ % и a₂
% соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы,
переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий а % меди?

	Массовая доля меди в сплаве	Масса каждого сплава	Масса меди в каждом сплаве
I сплав	а1 %	М1
II сплав	a2 %	М2
Новый сплав	а %	М1+М2

         Зная,
что масса меди в новом сплаве есть сумма масс меди в каждом из взятых кусков,
составим уравнение

 +
М₁(а₃-а₁)=М₂(а₂-а₃)

Задача
№4 Имеется два сплава с разным содержанием
золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком
отношении надо взять первый и второй сплавы,чтобы получить из них новый сплав,
содержащий 40% золота?

2.4
Решение задач с помощью квадрата Пирсона

         Но вначале немного истории и
любопытных фактов.

        
Немного о Пирсоне…Карл Пирсон родился 27 марта в 1857 году в Лондоне. Он был
разносторонним человеком, активно изучал историю, математику, статистику   и германистику. Большую часть 80-х
годов XIX века он провел в Берлине, Гейдельберге, Вене и Брикслеге.
Интересовали его религия и поэзия – с одинаковым интересом он изучал Гёте и
Священное Писание. Занимали Пирсона и вопросы пола – он даже основал Клуб
Мужчин и Женщин. В 1898 году получил медаль Дарвина. Карл Пирсон Погиб в Англии
в городе Суррее 27 апреля 1936 года. Прожил он 79 лет.    

              Как и все методы решений, квадрат
Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого
способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать
уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы  получать нужную концентрацию
уксуса или сиропа.

               Недостатком этого метода является то, что
его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно
смешать три или более веществ, квадрат Пирсона здесь не поможет.

Данный 
метод – «квадрат Пирсона» имеет ту же сущность, что и старинный метод, но
немного видоизменен и, как мне кажется, удобен.

Для того чтобы
решить задачу, используя квадрат Пирсона, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Строится квадрат, и проводятся его
диагонали.

2. В левом верхнем углу ставят больший
показатель крепости веществ (А).

3. В левом нижнем углу ставят меньший
показатель крепости веществ (В).

4. На пересечении диагоналей ставят
требуемый показатель крепости (С).

5. В правом нижнем углу после вычитания из
А С получают У.

6. В правом верхнем углу после вычитания
из С В получают Х.

7. Мы получаем, что нам надо взять Х
частей с концентрацией А

и У частей с концентрацией В, и мы
получим смесь с концентрацией С.

Приведу 
пример

Задача№5 Для
размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли.
Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым
содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

Т.е на 2 части
воды с 55% содержанием соли необходимо добавить 53 части пресной воды, чтобы
получить воду с 2% содержанием соли.

Пусть k-одна
часть, тогда

2k=80;

k=40.

53k=53*40=2120;

Значит, мы должны
взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную

для заполнения
аквариума.

Ответ: 2120 л
воды.

3.Задачи:

Задачи выбраны из
справочников и учебных пособий, экзаменационных материалов, в том числе и из
вариантов ОГЭ.

1.      Смешав
60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли
20%−ый рас­твор кислоты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра
той же кислоты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кислоты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов
60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?(решу ОГЭ)

2.      Име­ет­ся
два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во
вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы,
чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% меди?( решу ОГЭ)

3.      При
сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%,
и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли
рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый
и вто­рой рас­тво­ры?(решу ОГЭ)

4.     
На
пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв,
Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше
го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва
и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?(решу
ОГЭ)

5.      Первый
сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше
массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий
10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го сплава.(решу ОГЭ)

6.      Све­жие
фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся
из 288 кг све­жих фрук­тов?(решу ОГЭ)

7.      Сме­ша­ли
не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства
с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства.
Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?(решу
ОГЭ)

8.      Свежие
фрук­ты со­дер­жат 86 % воды, а вы­су­шен­ные — 23 %. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих
фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 72 кг вы­су­шен­ных фруктов?(решу ОГЭ)

9.      Имеются
два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55%
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом
растворе?(решу ОГЭ)

10.  Имеются
два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57%
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом
растворе?(решу ОГЭ)

11.  Имеются
два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты.
Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором
растворе?(решу ОГЭ)

12.  Имеются
два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33%
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом
растворе?(решу ОГЭ)

13.  Имеются
два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты.
Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать
60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?(решу
ОГЭ)

14.  Имеются
два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39%
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом
растворе?(решу ОГЭ)

15.  Имеются
два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты.
Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором
растворе?(решу ОГЭ)

16.  Имеются
два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32%
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?(решу
ОГЭ)

17.  Имеются
два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты.
Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором
растворе?(решу ОГЭ)

18.  Имеются
два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты.
Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет
содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором
растворе?(решу ОГЭ)ъ

19.  Свежие
фрук­ты со­дер­жат 88 % воды, а вы­су­шен­ные — 30 %. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих
фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 6 кг вы­су­шен­ных фруктов?(решу ОГЭ)

20.  Сме­ша­ли
не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства
с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства.
Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?(решу
ОГЭ)

21.  Све­жие
фрук­ты со­дер­жат 93% воды, а вы­су­шен­ные — 16%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся
из 252 кг све­жих фрук­тов?(решу ОГЭ)   

22.      Имеется
два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди.
Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего
30% меди?

23.  В
сосуд, содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды.
Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

24.  Смешали
некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 %
раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

25.  Имеется
два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором —
45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить
из них новый сплав, содержащий 55% меди?

26. 
Сме­шав 60% и 30% рас­тво­ры кис­ло­ты и,
до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20% рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто
5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90% рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы
70% рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60% рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли
для по­лу­че­ния смеси?

27. 
Имеется три сосуда. В первый сосуд налили
4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если
содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в
смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с
третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем
сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

28.  В
каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить
раствор 65%-й кислоты?

29.  Для приготовления коктейля
используют молоко, жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%. Сколько
грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля, жирность
которого 4%?

30.  Сплав золота и серебра,
содержащий 80% золота, сплавили с некоторым количеством серебра, в результате
чего было получено 20 кг нового сплава, содержащего 70% серебра. Определите,
сколько килограммов серебра было добавлено?

31.  Определите, сколько нужно
взять литров пресной воды, не содержащей солей, чтобы, смешав эту воду с
некоторым количеством морской воды, содержащей 3% солей, получить в результате
60 литров воды, содержащей 1% солей?

32.  Сплав весит 2,29 кг и состоит из серебра и меди,
причем масса серебра  составляет  14,5%  массы меди. Сколько
серебра в сплаве?

33.  сколько
надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го
раствора кислоты?

4. Решения

1.     Пусть х и у- массы 1 и 2
растворов, взятые в первой ситуации, тогда (х+у+5) — масса полученного
раствора. Составим уравнение:

0,6х+0,3у=0,2(х+у+5)

0,6x+0,3y+0,9*5=0,7(x+y+5)

Далее система из двух уравнений:

0,6х+0,3у=0,2х+0,2у+1                      
0,6х+0,3у-0,2х-0,2у=1                         х=2

0,6х+0,3у-0,7х+0,7у=3,5-4,5             
0,6х+0,3у+4,5=0,7х+0,7у+3,5             у=2

Ответ: 2 кг.

2.     Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве
x кг, тогда он будет со­дер­жать 0,6x кг меди, а вто­рой сплав
взят в ко­ли­че­стве y кг, тогда он будет со­дер­жать 0,45y
кг меди. Со­еди­нив два этих спла­ва, по­лу­чим сплав меди мас­сой x + y,
по усло­вию за­да­чи он дол­жен со­дер­жать 0,55(x + y)
меди. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:        

0,6х+0,45у=0,55(х+у)

х=2у

Ответ:
2/1

3.    
Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве
х грамм, тогда он со­дер­жит 0,2 х грамм чи­стой кислоты, а вто­рой рас­твор
взят в ко­ли­че­стве у грамм, тогда он со­дер­жит 0,5 у грамм чи­стой кислоты.
При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой х +
у  грамм, по усло­вию задачи, он со­дер­жит 0,3( х +  у ) чи­стой кислоты.
Следовательно, можно со­ста­вить уравнение:

0,2х+0,5у=0,3(х+у)

Х=2у

Ответ: 
2/1

4.    
Заметим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах
ока­жет­ся Зайцев. Пусть ко­ли­че­ство голосов, от­дан­ных за Зай­це­ва равно х
. Тогда за Журавлёва и Ива­но­ва вме­сте от­да­ли х/3. Про­цент голосов, от­дан­ных
за Зай­це­ва

Х:(
х+х/3)*100=75%

Ответ:
75%

5.    
Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг.
Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4)
кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x
+ 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг
меди, со­ста­вим и решим уравнение:

0,05х+0,13(х+4)=0,1(2х+4)

Х=6,
а в 3 сплаве 16 кг

Ответ:
16 кг

6.    
Свежие
фрук­ты со­дер­жат 20% пи­та­тель­но­го вещества, а вы­су­шен­ные — 72%. В
288 кг све­жих фрук­тов со­дер­жит­ся
0,2 · 288 = 57,6 кг пи­та­тель­но­го вещества.

В высушенных
фруктах 57,6/0,72=80 кг

Ответ: 80.

7.    
Пусть
взяли х г 10-процентного раствора, тогда взяли и х г 12-процентного раствора.
Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса вещества, разделённая на массу всего
раствора. В пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся 0,1х г, а во вто­ром – 0,12х г Кон­цен­тра­ция
по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна 0,1х+0,12х/х+х=0,11 или 11%.

Ответ: 11%

8.    
Заметим,
что сухая часть све­жих фрук­тов со­став­ля­ет 14%, а вы­су­шен­ных — 77%.
Значит, для при­го­тов­ле­ния 72 кг вы­су­шен­ных фрук­тов тре­бу­ет­ся 77/14*72=396кг свежих.

Ответ: 396 кг.

9.   Составим уравнение для
первого условия:
10x+16y=26*0,55 (26 — это масса нового раствора 10+16, 0,55 — концентрация
нового раствора).
10x+16y=14,3
10x=14,3-16y
Составим уравнение для второго условия:
10x+10y=20*0,61
10x+10y=12,2
Подставляем во второе уравнение значение 10х:
14,3-16y+10y=12,2
14,3-6y=12,2
6y=14,3-12,2
6y=2,1
y=0,35
Подставляем значение y в первое уравнение:
10x=14,3-16y
10x=14,3-16*0,35
10x=8,7
Ответ: 8,7

10.                     
пусть
у концентрация  кислоты во втором сосуде
тогда 16у масса активного в-ва во втором сосуде
 получим 4х+16у=11.4
 составим второе уравнение  возьмем одинаковое количество из двух
сосудов по 4 кг ,получим  4х+4у=8*0.6 (кг активного в-ва )
                     
                     
4х+4у=4.8
выразим значение у          у=(4.8-4х) /4
                     
                     
 у=1,2-х , подставим в первое ур-е
4х+16(1,2-х)=11.4
4х+19,2-16х=11,4
-12х=11,4-19.2
-12х=-7.8
  х=0,65
  Ответ : концентрация р-ра в первом сосуде 65%

11.                     
В
1 сосуде 40*x/100=0,4x кг кислоты. Во 2 сосуде 30*y/100=0,3y кг кислоты.

Если их слить вместе, то будет
0,4x+0,3y кг кислоты на 70 кг раствора, и это 73%.

0,4x+0,3y=70*0,73=51,1

Если же слить равные массы, то
получится 72%.

Например, сливаем по 100 кг.

В 1 будет x кг, во 2 будет y кг.

А всего 72% от 200 кг = 144 кг.

x+y=144

Получаем систему

{ 0,4x+0,3y=51,1

{ y=144-x

Подставляем

0,4x+0,3(144-x)=51,1

0,4x+43,2-0,3x=51,1

0,1x=51,1-43,2=7,9

x=79; y=144-79=65

Во 2 растворе содержится

30*65/100=65*3/10=19,5 кг.

Ответ: 19,5

12. Пусть концентрация первого
раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему
уравнений согласно условию задачи:

40х+20у=(40+20)*0,33                             

х+у=2*0,47                            

40х+20*(0,94-х)=19,8                                             х=0,05

у=0,94-х                                              
                     у=0,89

Таким образом, во первом растворе
содержится 40*0,05=2 килограмма кислоты.

Ответ: 2.

13. Пусть концентрация первого
раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений
согласно условию задачи:

    12х+8у=(12+8)*0,65                 12х+8(1,2-х)=13    
                    

    х+у=2*0,6                                   у=1,2-х                                                                     
                                                                                                                             

х=0,85

у=0,35

Таким образом, во втором растворе
содержится 8*0,35=2,8 килограмма кислоты

 Ответ:
2,8

14. Пусть концентрация первого раствора —
х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно
условию задачи:

24х+26у=(24+26)*0,39               
 24х+26(0,8-х)=19,5                     х=0,65                

х+у=2*0,4                                      у=0,8-х                     
                   у=0,15                

Таким образом, в первом растворе
содержится 24*0,65=15,6килограммов кислоты.

 Ответ:
15,6.

15. Пусть концентрация первого раствора —
х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно
условию задачи:

30х+20у=(30+20)*0,81                      30х+20*(1,66-х)=40,5               
             х=0,73

х+у=2*0,83                                      у=1,66-х                                                  
у=0,93

Таким образом, во втором растворе
содержится 20*0,93=18,6 килограмма кислоты

Ответ: 18,6

16. Пусть концентрация первого раствора —
х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно
условию задачи:

22х+18у=(22+18)*0,32                   22х+18(0,6-х)=12,8                                    
х=0,5

х+у=2*0,3                                         у=0,6-х                                                        
у=0,1

Таким образом, в первом растворе
содержится 22*0,5=11 килограммов кислоты.

Ответ: 11.

17. Пусть концентрация первого раствора —
х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно
условию задачи:

30х+42у=(30+42)0,4                               30х+42(0,74-х)=28,8                     
 х=0,19            х+у=2*0,37                                            у=0,74-х                                              
у=0,55

Таким образом, во втором растворе
содержится 42*0,55=23,1 килограммов кислоты

 Ответ:
23,1

18. Пусть концентрация первого
раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений
согласно условию задачи:

48х+42у=(48+42)0,42                       48х+42(0,8-х)=37,8                                  
х=0,7

х+у=2*0,4                                            у=0,8-х                                                     
у=0,1

Таким образом, во втором растворе
содержится 42*0,1=4,2 килограмма кислоты

Ответ: 4,2

19. Заметим, что сухая часть све­жих
фрук­тов со­став­ля­ет 12%, а вы­су­шен­ных — 70%. Значит, для при­го­тов­ле­ния
6 кг вы­су­шен­ных фрук­тов тре­бу­ет­ся 70/12*6=35 кг свежих.

Ответ: 35 кг.

20. Пусть взяли х г
21-процентного раствора, тогда взяли и х г 95-процентного раствора. Кон­цен­тра­ция
рас­тво­ра — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В пер­вом рас­тво­ре
со­дер­жит­ся 0,21хг, а во вто­ром —0.95хг Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся
рас­тво­ра равна 0,21х+0,95х/х+х=0,58 или 58%.

Ответ: 58.

21. Свежие фрук­ты со­дер­жат 7%
пи­та­тель­но­го вещества, а вы­су­шен­ные — 84%. В 252 кг све­жих фрук­тов
со­дер­жит­ся 0,07 · 252 = 17,64 кг пи­та­тель­но­го
вещества. Такое ко­ли­че­ство пи­та­тель­но­го ве­ще­ства будет со­дер­жать­ся
в 17,64/0,84=21 кг вы­су­шен­ных фруктов. 

Ответ: 21.

22.  

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	х	0,15*х
Второй раствор	65%=0,65	(200 – х)	0,65*(200–х)
Получившийся раствор	30%=0,3	200	200*0,3

Сумма
масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе
меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

0,15х+0,65(200-х)=
200*0,3

Решив
это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а
второго 60г.

23.
 

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m, кг
Исходный раствор	2	80 % = 0,8	0,8·2
Вода	3	—	—
Новый раствор	5	х % = 0,01х	0,01х·5

Масса уксусной
кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

0,01х·5 = 0,8·2;
0,05х = 1,6; х = 1,6:0,05; х = 32.

Ответ:
32 %.

24.
 

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, г	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m, г
I раствор	х	12 %	0,12х
II раствор	х	20 %	0,2х
Смесь	2х	0,32х/2х * 100%	0,12х+ 0,2 х = 0,32х

Анализируя
таблицу, получаем :

0,32х/2х * 100% =
16 %

Ответ : 16 %.

25.  

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m
Первый сплав	х	60%	0,6 х
Второй сплав	у	45%	0,45 у
Новый сплав	х + у	55%	0,6 х + 0,45у

Пусть
первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а
второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди.
Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он
должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение:
0,55(x + y) = 0,6 х + 0,45у;

0,55
х + 0,55 у = 0,6 х+ 0,45 у; 0,05 х = 0,1 у . Выразим x через y: х = 2 у.

Следовательно,
отношение, в котором нужно взять сплавы 1:2.

Ответ:
1:2

26.
 

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
Первый раствор	х	60 %	0,6 х
Второй раствор	у	30 %	03 у
Смесь 1	х + у +5	20 %	0,6 х + 0,3у
Третий раствор	5	90 %	0,9* 5 = 4,5
Смесь 2	х + у +5	70 %	0,6х + 0,3 у + 4,5

Пусть х кг
и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го рас­тво­ров, взя­тые при сме­ши­ва­нии.
Тогда (х + у +5) кг — масса по­лу­чен­но­го рас­тво­ра, со­дер­жа­ще­го (0,6
х + 0,3у) кг кис­ло­ты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20
%, значит 0,2(х + у +5) %. Концентрация кислоты во втором растворе 70 %, значит
0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5. Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных урав­не­ний:

0,2(х
+ у +5) = 0,6 х + 0,3у,

0,7 ( х + у + 5) =
0,6х + 0,3 у + 4,5;

0,4
х + 0,1 у = 1, х =2,

0,1 х + 0,4 у = 1;
у = 2.

Ответ: 2 кг.

27.  

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
I сосуд	4	70 %	0,7·4=2,8
II сосуд	6	40 %	0,4·6 = 2,4
III сосуд	х	у %	0,01ху
I и III сосуды	4+х	55 %	0,55(4+х) = 2,8+0,01ху
II и III сосуды	6+х	35 %	0,35(6+х) = 2,4+0,01ху

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ
:1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации

28. Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса
70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса
смеси, 0,65(x+y)г  — масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение:

0,5x+0,7y=0,65(x+y)

Получаем соотношение 1:3.

Ответ: растворы необходимо смешать в
отношении 1:3.

29. Составим уравнение по массе вещества:

0,02×(500 — х) + 0,1х = 20,

х = 125.

Ответ: 125 грамм.

30. Составим уравнение по массе вещества:

0,2(20 — x) + х = 14,

х = 12,5.

Ответ: 12,5 кг.

31. Составим уравнение по массе вещества:

0,03(60 — x) = 0,6,

х = 40.

Ответ: 40 литров.

32. Решение: Пусть в сплаве содержится х кг меди.
Тогда в нем содержится 14,5· х /100 кг серебра. В результате получаем
уравнение:

х + 14,5· х /100 =2,29 ; х·
(100+14,5)/ 100=2,29; 114,5х = 229;

х = 2. Итак, в сплаве содержится 2 кг
меди и 2,29- 2= 0,29 (кг) серебра.

Ответ: 0,29кг.

33. Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х)
л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1*4=0,4, или 0,05х+0,25*(4-х) л.
Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4. Это уравнение имеет единственный
корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л
второго.          

Ответ. 3 л первого и 1 л второго.

Дидактический материал (для самостоятельного решения)

1.     Сколько
нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора
марганцовки?

2.     Сколько
граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация
марганцовки в растворе составила 10%?

3.     Сколько
граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы
концентрация йода уменьшилась до 1%?

4.     Требуется
приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого
потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

5.     Собрали
8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки
высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после
сушки?

6.     Имеется
руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной»
руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди
8%?

7.     Имеется
два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации.
Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если
смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47%
кислоты. Какова концентрация данных растворов?

8.     В
сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л
раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру
повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй
процедуры.

9.     Смешали
30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора.
Сколько граммов каждого раствора было взято?

10. Имеется
кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого
олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30%
меди?

11. Сколько
чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить
30%-ный раствор?

12. К
раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля
растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова
была в нем массовая доля соли?

13. Первый
сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав
содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно
получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

14.
 Смешали некоторое количество 15%-го
раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого
вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

15.
 Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с
10%-ным и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов 10%-го раствора было
взято?

16.
Имеется два сплава. Первый содержит 5%
никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой
225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава
меньше массы второго?

17.
Имеется два сплава с разным содержанием
золота. В первом  сплаве содержится 35% золота, а во втором — 60%. В каком
отношении надо взять первый и второй  сплавы, чтобы получить из них новый
сплав, содержащий 40% золота?

18.
При смешивании первого раствора кислоты,
концентрация которого 20%. и второго раствора этой ж кислоты концентрация
которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были
взяты первый  второй растворы?

19.
Смешали 3 литра 40%-го водного раствора
некоторого вещества с 12 литрами 35%-го водного раствора этого же вещества.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

20.
Смешали 8 литров 15%-го водного раствора
некоторого вещества с 12 литрами 40%-го водного раствора этого же вещества.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

21.
Смешали некоторое количество 17%-го
раствора некоторого вещества со втрое большим количеством 9-процентного
раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося
раствора?

22.
Смешали некоторое количество
14-процентного раствора некоторого вещества со вдвое большим количеством
8-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?

23.
В сосуд, содержащий 5 литров
12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько
процентов составляет концентрация получившегося раствора?

24.
Смешали некоторое количество
15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого
вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

25.
Смешали 4 литра 15% водного
раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же
вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

26.
Имеется два сплава. Первый содержит
10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав
массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого
сплава меньше массы второго?

27.
Первый сплав содержит 10%
меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из
этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу
третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

28.
Смешав 30% и 60% растворы
кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы
вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы
41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для
получения смеси?

29.
Имеются два сосуда. Первый
содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если
эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же
смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70%
кислоты. Сколько килограммов
кислоты содержится в первом сосуде?

 Список
использованной литературы

1.
Иванов М.А.  Математика без репетитора. 800 задач с
ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. – М.: Издательский центр
«Вентана – Граф», 2002г.

2. 
Кац
М. Проценты // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». М.: Издат.
дом «Первое сентября», 2004. № 20, 22, 23, 25−26.

3.Прокопенко
Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого
сентября». Выпуск 31 ).

4.Копылова
Н.П. Решебник «Задачи на смеси и сплавы» 2005г.  г.Шелехов.

Под
редакцией Лысенко Ф.Ф. «Тематические тесты» Издательство «Легион-М»,2010

4.
Лурье
М.В., АлександровБ.И. Задачи на составление
уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1990г.

5.  Фридман
Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов
сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989

6.Прокопенко
Н.И. «Задачи на смеси и сплавы» 2010г. г. Москва

Интернет
–ресурсы:

1.     http://www.ankolpakov.ru/2011/03/31/repetitor-po-matematike-o-metodike-raboty-s-tekstovymi-zadachami-zadachi-na-smesi-splavy-i-rastvory-kopilka-priemov-repetitora/

2.     http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2012/09/23/reshenie-zadach-po-teme-smesi-i-splavy

3.     http://www.вматематике.рф/uchimsya-reshat-zadachi-na-rastvory-smesi-splavy/

4.     http://www.fipi.ru

5.     http://www.shevkin.ru/

6.     http://mat—ege.ru

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Еловская средняя общеобразовательная школа»

Решение задач на растворы, смеси и сплавы при подготовке к ОГЭ по математике

Меренкова

Татьяна Владиславовна,

учитель математики

МОУ «Еловская СОШ»,

соответствие занимаемой

должности

с. Елово

2017

В математике есть ряд текстовых задач, которые вызывают затруднение у учащихся при их решении. К таким задачам можно отнести задачи на растворы, смеси и сплавы. Практическое значение этих задач огромно. Встречаются они при изучении смежных дисциплин, например, химии. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Вместе с этим они являются хорошим средством развития мышления учащихся.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

• составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;

• решения полученной модели;

• анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Основными компонентами в этих задачах являются:

• масса раствора (смеси, сплава);

• масса вещества;

• доля (% содержание) вещества.

При решении большинства задач этого вида, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Этапы решения задачи:

1. Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них. Заполнение таблицы.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m

2. Составление уравнения и его решение.

3. Анализ полученных данных, ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим решение задач с применением таблицы.

Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение:

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m, кг
Исходный раствор	2	80 % = 0,8	0,8·2
Вода	3	—	—
Новый раствор	5	х % = 0,01х	0,01х·5

Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

0,01х·5 = 0,8·2; 0,05х = 1,6; х = 1,6:0,05; х = 32.

Ответ: 32 %.

Задача 2. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

Решение:

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, г	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m, г
Исходный раствор	200	70 %	0,7·200
Вода	х	—	—
Новый раствор	200 + х	8 %	0,08(200 + х)

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200; 16 + 0,08х = 140; 0,08х = 124; х = 1550.

Ответ :1,55 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Решение:

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, г	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m, г
I раствор	х	12 %	0,12х
II раствор	х	20 %	0,2х
Смесь	2х	0,32х/2х * 100%	0,12х+ 0,2 х = 0,32х

Анализируя таблицу, получаем :

0,32х/2х * 100% = 16 %

Ответ : 16 %.

Задача 4. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m
Первый сплав	х	60%	0,6 х
Второй сплав	у	45%	0,45 у
Новый сплав	х + у	55%	0,6 х + 0,45у

Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение: 0,55(x + y) = 0,6 х + 0,45у;

0,55 х + 0,55 у = 0,6 х+ 0,45 у; 0,05 х = 0,1 у . Выразим x через y: х = 2 у.

Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы 1:2.

Ответ: 1:2

Задача 5. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Ре­ше­ние:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m
Первый сплав	х	5%	0, 05 х
Второй сплав	х + 4	13%	0,13(х +4)
Новый сплав	2х + 4	10%	0, 05 х + 0,13(х +4)=0,18 х + 0,52

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим урав­не­ние: 0,1(2x + 4) = 0,18 х + 0,52; 0,02 х = 0,12; х = 6.

От­ку­да масса тре­тье­го спла­ва равна 16 кг.

Ответ:16 кг.

Задача 6. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10 % рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12 % рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m
1	х	10%	0, 1 х
2	х	12%	0,12 х
3	2х	(0, 22 х / 2х)* 100 %	0, 1 х + 0,12х = 0,22 х

Пусть взяли х г 10-про­цент­но­го рас­тво­ра, тогда взяли и х г 12-про­цент­но­го рас­тво­ра. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса ве­ще­ства, раз­делённая на массу всего рас­тво­ра.  Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна 0, 22 х / 2х или 11%.

 Ответ: 11%.

Задача 7. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 4 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 57% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 60% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ре­ше­ние:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
Первый раствор	4	х %	0,04 х
Второй раствор	16	у %	0,16 у
Смесь 1	20	57%	0,04 х + 0,16у
Смесь 2	4+4 =8	60 %	0,04х + 0,04 у

Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра – х %, кон­цен­тра­ция вто­ро­го рас­тво­ра – y %. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний со­глас­но усло­вию за­да­чи:

0,57 * 20 = 0,04 х + 0,16у, х = 65,

0,6 * 8 = 0,04х + 0,04 у; у = 55.

Таким об­ра­зом, в пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся 0,65 * 4 = 2,6 ки­ло­грам­ма кис­ло­ты

 Ответ: 2,6

Задача 8.  Сме­шав 60% и 30% рас­тво­ры кис­ло­ты и, до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20% рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90% рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70% рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60% рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
Первый раствор	х	60 %	0,6 х
Второй раствор	у	30 %	03 у
Смесь 1	х + у +5	20 %	0,6 х + 0,3у
Третий раствор	5	90 %	0,9* 5 = 4,5
Смесь 2	х + у +5	70 %	0,6х + 0,3 у + 4,5

Пусть х кг и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го рас­тво­ров, взя­тые при сме­ши­ва­нии. Тогда (х + у +5) кг — масса по­лу­чен­но­го рас­тво­ра, со­дер­жа­ще­го (0,6 х + 0,3у) кг кис­ло­ты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, значит 0,2(х + у +5) %. Концентрация кислоты во втором растворе 70 %, значит 0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5. Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных урав­не­ний:

0,2(х + у +5) = 0,6 х + 0,3у,

0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5;

0,4 х + 0,1 у = 1, х =2,

0,1 х + 0,4 у = 1; у = 2.

Ответ: 2 кг.

Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m
Первый сплав	х	10%	0, 1 х
Второй сплав	200-х	30%	0,3(200-х)
Новый сплав	200	25%	0, 1 х + 0,3(200-х )= 0,25*200

Решим уравнение: 0, 1 х + 0,3(200-х )= 0,25*200; х = 50.

Масса второго сплава 150 кг.

Ответ: на 100 кг.

 Задача 10. Имеется два куска слитка олова и свинца, содержащие 40% и 60% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 граммов сплава, содержащего 45% олова?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества m
Первый кусок	х	40%	0, 4 х
Второй кусок	600-х	60%	0,6 (600-х)
Новый сплав	600	45%	0, 4 х + 0,6(600-х )= 0,45*600

Решим уравнение: 0, 4 х + 0,6(600-х )= 0,45*600; х = 450.

Ответ:450 кг и 150 кг.

Задача 11.  Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг, содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
Первый кусок	36	45%	0, 45 *36 = 16,2
Медь	х	100%	х
Новый сплав	36 + х	60 %	16,2 +х=0,6(36 + х)

Получаем уравнение: 0, 45 х +х=0,6(36 + х), х = 13,5

Ответ: 13,5 кг

Задача 12. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

Решение:

Наименование веществ, смесей	Масса раствора (смеси, сплава) М, кг	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества M, кг
I сосуд	4	70 %	0,7·4=2,8
II сосуд	6	40 %	0,4·6 = 2,4
III сосуд	х	у %	0,01ху
I и III сосуды	4+х	55 %	0,55(4+х) = 2,8+0,01ху
II и III сосуды	6+х	35 %	0,35(6+х) = 2,4+0,01ху

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задачи для самостоятельного решения:

13. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 10 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 55% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 61% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 8,7

14. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 40 кг и 30 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 73% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 72% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

 Ответ: 19,5

15. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 40 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 33% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 47% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 2.

16. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 24 кг и 26 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 39% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 40% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 15,6

17. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 81% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 83% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

Ответ: 18,6

18. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 22 кг и 18 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 32% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 30% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 11

19. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 42 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 40% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 37% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

20. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 48 кг и 42 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 42% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 40% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

21. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

 Ответ: 58.

Заключение

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.). Данная система задач на смеси, растворы и сплавы была апробирована в ходе КПВ по математике в 8 классе в 2016-17 учебном году. Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце темы успешно заполняли таблицу и получали верный ответ.

Литература:

1.Открытый банк заданий ОГЭ http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge;

2. https://oge.sdamgia.ru Каталог заданий. Задачи на проценты, сплавы и смеси