Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.
Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:
- 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,
- 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6
А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.
An = 2n.
Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.
An = 2n − 1
Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.
Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:
An = n2 + 2
Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 10002 + 2 = 1000002.
Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.
Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.
Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:
- An = 2n
- Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)
Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Замечания
Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.
Понятие арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.
Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.
Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…
Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…
Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:
An = a1 + (n − 1)d
Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.
Sn = [(a1 + an) / 2] × n
Примеры задач
Пример 1
В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 3
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 3
Получаем:
- Арифметическая прогрессия: 61
- Сумма членов прогрессии: 650
- Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61
Проверяем самостоятельно по формулам с теории:
- a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61
Пример 2
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 5
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 2
Результаты рассчета:
- Арифметическая прогрессия: 43
- Сумма членов прогрессии: 480
- Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43
Проверяем:
- Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
- S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480
Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.
11. Числовые последовательности
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Арифметическая прогрессия
Даны некоторые члены арифметической прогрессии … -2,5; x; -6,5;-8,5 … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой (x).
Найдем разность арифметической прогрессии (d=-8,5-(-6,5)=-2). Тогда (x=-2,5-2=-4,5).
Ответ: -4,5
Дана арифметическая прогрессия ((a_n)), разность которой равна -3,8, а (a_1=25,6).
Найдите сумму первых 13 ее членов.
Воспользуемся формулой суммы первых (n) членов прогрессии (S_n=frac{2a_1+(n-1) cdot d}{2}n), где (d) — разность арифметической прогрессии.
[begin{aligned}
S_{13} = frac{2 cdot 25,6 + 12 cdot (-3,8)}{2} cdot 13,\
S_{13} = frac{5,6}{2} cdot 13,\
S_{13} = 36,4.
end{aligned}]
Ответ: 36,4
Арифметическая прогрессия ((a_n)) задана условием (a_n = 5,6 + 4,4n).
Найдите (a_{15}).
Из формулы следует, что (a_{15}=5,6+4,4 cdot 15) или (a_{15}=71,6).
Ответ: 71,6
Арифметическая прогрессия ((a_n)) задана условием (a_n = -3,7 — 5,5n).
Найдите сумму первых 20 членов прогрессии.
Из формулы следует, что (a_1=-3,7-5,5=-9,2) (,) и (,) (a_{20}=-3,7 — 5,5 cdot 20=-113,7).
Воспользуемся формулой суммы первых (n) членов прогрессии (S_n=frac{a_1+a_n}{2} cdot n).
[begin{aligned}
S_{20} = frac{-9,2-113,7}{2} cdot 20,\
S_{13} = frac{-122,9}{2} cdot 20,\
S_{13} = -1229.
end{aligned}]
Ответ: -1229
Дана арифметическая прогрессия 4,2; 2,4; 0,6 … . Какое число стоит на 20 месте?
Найдем разность этой прогрессии (d=2,4-4,2=-1,8).
Значит, (a_{20}= a_1 — 19d = 4,2 — 19 cdot 1,8 = -30).
Ответ: -30
Дана арифметическая прогрессия 8; 3; -2 … . Найдите сумму первых 13 членов прогрессии.
Найдем разность этой прогрессии (d=3-8=-5).
Значит, (S_{13}=frac{2a_1-12 cdot d}{2} cdot 13).
[S_{13}=frac{2 cdot 8 — 12 cdot 5}{2} cdot 13 = -286.]
Ответ: -286
Дана арифметическая прогрессии -45; -41; -37;… . Найдите первый положительный член этой прогрессии
Разность прогрессии (d = -41 — (-45) = 3).
Тогда по формуле (n)-го члена прорессии (a_n=a_1+(n-1)d) имеем:
[begin{aligned}
-45 + 3(n-1) > 0,\
3n> 48,\
n > 16.
end{aligned}]
Значит, (n = 17) — номер первого положительного члена.
(a_{17} = -45 + 3 cdot 16 = 3).
Ответ: 3
УСТАЛ? Просто отдохни
Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
Калькулятор n-го члена и суммы n членов:
Арифметическая прогрессия
Первый член прогрессии а1
Показать все члены прогрессии
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма арифметической прогрессии Sn
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, … , an, …, для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1 = an + d
где d – это разность арифметической прогрессии.
Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, … является арифметической прогрессией с разностью d = 4.
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
- Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной
Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, … является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3.
- Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной
Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, … является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2.
- Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю
Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, … является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.
Основные формулы арифметической прогрессии
Члены арифметической прогрессии
Общая формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности:
an = a1 + d(n — 1)
Следующий член арифметической прогрессии можно найти по предыдущему члену и разности:
an+1 = an + d
Предыдущий член арифметической прогрессии можно найти по следующему члену и разности:
an-1 = an — d
Также член арифметической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:
an = (an-1 + an+1) / 2, где n > 1
Сумма арифметической прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна
Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2
Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:
Sn = (2a1 + d(n — 1)) ⋅ n / 2
Решение задач на арифметическую прогрессию
Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных арифметической прогрессии.
Задача 1:
Доказать, что последовательность, заданная формулой an = 5 + 4n, является арифметической.
Решение:
Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.
an+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n
d = an+1 — an = 9 + 4n — (5 + 4n) = 9 + 4n — 5 — 4n = 4
Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.
Задача 2:
Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a1 = -18 и d = 5
Решение:
a20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77
S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45
Ответ: 77 и 45
Задача 3:
Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, … . Найти номер этого члена.
Решение:
Пусть n — номер, который нужно найти.
a1 = 8
d = a2 — a1 = 15 — 8 = 7
Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n
8 + 7 ⋅ (n — 1) = 85
7 ⋅ n — 7 = 85 — 8
7 ⋅ n = 77 + 7
7 ⋅ n = 84
n = 12
Ответ: 12
Задача 4:
В арифметической прогрессии a8 = 22 и a14 = 34. Найти формулу для n-ого члена.
Решение:
Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:
a8 = a1 + d ⋅ 7
a14 = a1 + d ⋅ 13
Подставив в эти выражения a8 и a14 получаем систему уравнений:
a1 + 7d = 22
a1 + 13d = 34
Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:
Подставляем d в первое уравнение для получения a1:
Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:
an = 8 + 2 ⋅ (n — 1) = 8 + 2n — 2 = 6 + 2n
Ответ: an = 6 + 2n
Задача 5:
Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, … , если их сумма равна 81.
Решение:
Из заданной арифметической прогрессии получаем a1 и d:
И подставляем известные данные в формулу суммы:
(2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (n — 1)) ⋅ n / 2 = 81
(2 + 2n — 2) ⋅ n = 81 ⋅ 2
2n² = 162
n² = 81
n = 9
Ответ: 9
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Другими словами, последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие аn+1=аn+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = аn+1–аn. Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18….., так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = a1+2d;
a4 = a3 + d = a1+3d.
Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:
Формула n-ого члена арифметической прогрессии
an = a1 + d(n−1)
где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a1 – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии
Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.
Пример №1. Найти а20 арифметической прогрессии (аn), если а1=14, d=5. Составляем формулу для а20 и подставляем в нее данные: а20= a1 + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.
Найти а7 арифметической прогрессии (аn), если а1=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а7= a1 + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.
Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а12. Здесь для нахождения а12 надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а12: а12= a1 + d(12−1)=10+2(12−1)=32.
Утверждение
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.
Так, например, формула an=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a20=5×20+1=101.
Свойство арифметической прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:
аn=(аn-1+ аn+1):2
Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.
Пример №2. Найти а10 арифметической прогрессии (аn), если а9=24; а11=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а10 известны соседние члены. Значит, а10=(а9+а11):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.
Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии
Для нахождения суммы (обозначим ее буквой S) большого количества членов арифметической прогрессии существует формула, позволяющая это сделать быстро.
Формула суммы членов арифметической прогрессии с известными членами
Sn=
(a1+an
)n2
В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда аn не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.
Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью
Sn=2a1+d(n−1)2n
Рассмотрим на примерах применение данных формул.
Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (аn), если а1=11, а50=39.
Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а1=11, а50=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:
S50=(a1+a50
)502=(11+39)502=25002=1250
Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.
Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:
d=18-3=15; а10=3+15(10-1)=138
S10=(a1+a10
)102=(3+138)102=705
Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:
S10=2a1+d(10−1)210=2×3+15(10−1)210=705
Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.
Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.
Задание OM1420223
Миша решил заказать себе такси. Подача машины и первые пять минут поездки в совокупности стоят 159 рублей, а стоимость каждой последующей минуты поездки фиксирована. Стоимость поездки с 6 по 15 минуту (включительно) составила 80 рублей, а с 6 по 25 минуту – 160 рублей. Найти итоговую стоимость поездки, если она длилась 1 час.
Выпишем, что мы имеем по условию задачи в левый столбец, а в правый запишем то, что из этого следует
| Известно | Решение |
| Подача и первые 5 минут – 159 руб | – |
| Стоимость с 6 по 15 минуту – 80 рублей
Стоимость с 6 по 25 минуту – 160 рублей. |
Разница во времени 10 минут стоит 80 руб |
| Значит, 1 минута стоит 8 руб (80:10=8) | |
| 1 час – ? руб | 1 час=60 мин; убираем 5 минут, которые включены в подачу машины, значит, надо найти стоимость 55 минут: 55•8=440 руб
Прибавляем стоимость подачи: 440+159=599 рублей |
Ответ: 599
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1420221
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Из условия задачи видно, что имеем дело с арифметической прогрессией, так как сказано, что в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем.
Выписываем, что нам известно и определяем, что нужно найти: всего 12 рядов, значит n=12; в первом ряду 18 мест, значит, а1=18; так как в каждом последующем ряду мест на 2 больше, то разность арифметической прогрессии d=2. Надо найти, сколько всего мест в амфитеатре, т.е. найти сумму арифметической прогрессии S12.
Для нахождения суммы имеем формулу Sn=a1+an2×n, то есть для нашей задачи S12=a1+a122×12. У нас нет а12, найдем его по формуле n-ого члена арифметической прогрессии: a12=a1+d(n-1)=18+2(12-1)=18+22=40. Подставим данные в формулу суммы:
S12=18+402×12=348
Следовательно, 348 мест всего в амфитеатре.
Проверка: можно проверить решение следующим способом, просто прибавляя по 2 места в каждый ряд до 12-ого, а затем сложить количество мест. Записать можно так: 18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40=348. Этим же способом, кстати, можно решить задачу, если от волнения забыли про арифметическую прогрессию.
Ответ: 348
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание 14OM21R
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 80С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -60С.
Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:
-6-8=-14 через 1 минуту
-14-8=-22 через 2 минуты
-22-8=-30 через 3 минуты
-30-8=-38 через 4 минуты
-38-8=-46 через 5 минут
-46-8=-54 через 6 минут
Значит, наш ответ -540С
Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. an=a1+d(n – 1). В данном случае a1=-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a7=-61-8(7 – 1). Вычислим: a6=-6-8∙5=-6-48=-54.
Ответ: -54
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1407
К концу 2008 года в городе проживало 38100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2016 года в городе проживало 43620 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2012 года?
Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.
Рассмотрим данные:
2008 г – 38100 человек
2012 г – ? человек
2016 г. – 43620 человек
Удобно решить данную задачу способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=an−akk−n , где k>n. Число d (разность прогрессии) будет являться ежегодным приростом населения.
Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:
(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.
Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.
38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек
Ответ: 40860
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1406
Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?
Анализируя содержание задачи, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, так как после первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8, а это значит, что с каждой последующей минутой количество очков удваивается. То есть знаменатель геометрической прогрессии q равен 2, b1=2 по условию (после 1 минуты 2 очка). Так как очки суммируются, то будем использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn=b1(qn−1)q−1, где Sn>30000, так как для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков.
Подставляем наши данные в формулу: 2(2n−1)2−1>30000
Упрощаем выражение: так как в знаменателе дроби получается 1, то получим 2(2n-1)>30000; делим обе части на 2: 2n-1>15000; переносим 1 в правую часть и получим: 2n>15001. Теперь надо подобрать число n, при котором будет верно наше неравенство. Делать это можно постепенно, возводя 2 в степени, а можно запомнить, что 210=1024. Тогда легко будет добраться до числа, которое меньше 15001, а это 214=16384, где 16384<15001. Следовательно, наш ответ 14 минут.
Ответ: 14
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1405
В течение 25 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 7-й день акция стоила 777 рублей, а в 12-й день – 852 рубля?
В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а7=777; в 12-й день – 852 рубля, это а12=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а25.
1 способ:
В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой аn=ak+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а12=а7+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.
Теперь, зная число d, мы можем найти а25 через, например, а12, используя всё ту же формулу. Получаем: а25=а12+d(25-12); а25=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.
2 способ:
Можно решить данную задачу другим способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=an−akk−n , где k>n. Составим формулу для наших а12 и а7, а затем подставим в нее данные: d=a12−a712−7; d=852−77712−7=15. Теперь по этой же формуле найдем а25, связывая его с а12: d=a25−a1225−12; 15=a25−85213; найдем отсюда а25, а25=15∙13+852=1047.
Ответ: 1047
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1404
Грузовик перевозит партию щебня массой 176 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что в первый день было перевезено 6 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней.
В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а1=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S11=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а11.
Итак, если нам встретилась сумма арифметической прогрессии, значит, нам надо воспользоваться формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn=а1+аn2∙n, куда мы и подставим все данные: 176=6+а112∙11.
Разделим обе части на 11, получим 16= 6+а112 ; умножим 16 на 2 (правило пропорции): 32=6+а11. Отсюда найдем а11=32–6=26. Итак, мы нашли, что 26 тонн щебня было перевезено в последний день.
Ответ: 26
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1403
Для получения витамина D могут быть рекомендованы солнечные ванны. Загорать лучше утром до 10 часов или вечером после 17 часов. Михаилу назначили курс солнечных ванн. Михаил начинает курс с 15 минут в первый день и увеличивает время этой процедуры в каждый следующий день на 15 минут. В какой по счету день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 15 минут?
Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а1=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.
Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии аn=a1+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.
Ответ: 5
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1402
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 7,5 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 60 метрам.
Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а1+аn=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. Sn=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.
Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии
Sn=а1+аn2∙n, имеем 60=7,5 ∙ n2. Отсюда находим n, умножая сначала 60 на 2 (по определению пропорции), затем 120 делим на 7,5 и получаем, что n=16. Таким образом, улитка потратила на весь путь 16 дней.
Ответ: 16
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1401
При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.
При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.
Итак, имеем а1=0,2; d=0,2. Ищем а7. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу аn=a1+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а7=a1+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4
Ответ: 1,4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 8.2k