Как найти сечение множества - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сечения в множестве действительных чисел.

Сечения в множестве действительных чисел. Свойства непрерывности вещественных чисел могут быть сформулированы в различных терминах. Рассмотрим формулировку этой характеристики с точки зрения так называемого реального поперечного сечения. Во-первых, мы определяем это понятие. Определение 3. 2 множества a K и B K называются наборами вещественных K сечений. I0) объединение множеств A и B есть целое множество действительных K. AY B =K. Пятьдесят два 2°) каждое из множеств A и B не пусто, A ^ 0, B ^ 0; 3°)каждое число множества а меньше любого числа из набора Б. А€А, B€в, б. Дело Свойство 1°) означает, что все вещественные числа принадлежат по меньшей мере 1 множеству A и B. Из Свойства 3°) ясно видно, что множества A и B не пересекаются. А П В =0.На самом деле、 Если элемент x∈aв B, т. е. x∈A и X∈B, то свойство 3°) от x x. Сечения множества вещественных чисел, образованных множествами A и B, обозначаются через A / B. множество A называется подчиненным, а множество B называется верхним классом определенного сечения.

Простой пример поперечного сечения может быть получен следующим образом. Правильное число a∈К. Во-первых, назначить все числа х, чтобы установить, и все числа г а для установки В.
Людмила Фирмаль

Таким образом, определенные множества A и B образуют раздел, который устанавливается путем прямой проверки исполнения. Определение 3 требования 1°), 2°), 3°） Вы можете сделать это по-другому. Назначить все числа х, чтобы установить и настроить B-все цифры у. А * = {х. ХД}, Б * = {г. В (2.11） Опять же, наборы A и B образуют a section. In в обоих случаях (2.1°) и(2.11) мы говорим, что сечение порождается числом a, и пишем a = A / B. Обратите внимание на 2 свойства раздела, которые генерируются определенным числом. 1°.Для класса A (2.1°) существует максимальное число, это число a, а для класса B нет минимального числа. Для (2.11) класс A не имеет максимума, А Класс B имеет минимум, который является числом A. Например, рассмотрим первый случай (2.1°). то, что a-максимальное число классов A, ясно из первого выражения (2.1°), определяющего множество A.

Пятьдесят три Указывает, что набор B не имеет минимального числа. Скажем, наоборот. Пусть B-минимальное число. Это представлено П. из условия P∈B, 2-м выражением(2.10), так как неравенство A P справедливо, a + + a a + p, то есть для 2-й формы, для 2-й формы mula(2.10), 2 p. m. аналогично, существует от P до a + P P + P, то есть a 2 P P. €A. полученное противоречие доказывает утверждение. Я не уверен. 20.Номер, который генерирует раздел, уникален Фактически, мы предполагаем, что есть разделы, которые определяются 2 различными числами. a = A | B и P = A | B например, a равно P. тогда, как указано в предыдущем доказательстве свойства, неравенство Для (2.10) и выше, а также для (2.11), условие составляет 2p€B. Л + П ^ О, А + Р ^、 Аналогично, неравенство будет составлять от 2 р, до 2€А. Это противоречит тому факту, что множества A и B не пересекаются. Я не уверен. Характеристика непрерывности действительных чисел состоит в том, что нет никаких других сечений действительных чисел, кроме тех, которые производятся определенным числом. То есть, непрерывность действительных чисел можно объяснить следующим образом: У1.

Каждый раздел A B в наборе вещественных чисел имеет номер a для создания этого раздела. А = А | B Это число, как было доказано выше, является самым большим в классе потомков, а не самым маленьким в классе предков, или самым маленьким в классе предков, а не самым большим в классе потомков.
Людмила Фирмаль

Пятьдесят четыре Итак, если a B-это раздел, то A B Форма 2, в зависимости от характера ее смежности, от поедания множества действительных чисел） Этого не случится, это случится, это случится, это случится, это случится, это случится, это случится. Класс A имеет максимальное число и a） В то же время класс В имеет минимальное число(Рис.4, а).Не могу-Рисунок 4 Класс а не имеет максимального числа, А класс В не имеет минимального числа одновременно(Рис. 4, 2).Образно говоря, непрерывность действительного числа означает, что в множестве нет скачка или пространства, то есть нет пустоты. Сечение A / B означает, геометрически, деление числовой линии на 2 луча, которые имеют общую начальную точку и идут в противоположном направлении. Как и в случае с характеристикой эквивалентности Y, сформулированная характеристика непрерывности действительного числа V называется принципом дециндо непрерывности действительного числа. В дальнейшем мы встретимся с другими подходами к понятию непрерывности множества вещественных чисел (см.§ 3.7). Давайте покажем, что свойство V-это эквивалент имущества В. Во-первых, собственность в заполняется и в некоторых разделах даются. A / B. требования 3°в определении сечений A∈A и B€B выполняется неравенство A b, поэтому пара множеств A и B удовлетворяет условиям.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Источник

Пусть Ао, Во, Со – упорядоченные множества, удовлетворяющие условиям:

(1)
,,

Существование
таких множеств гарантирует теорема
2.2с. На основании леммы 2.1 мы можем
допустить, что

(2) А·В=А·С=В·С=0

Введем обозначения:

(3) D^о=А^о+В^о,
Е^о=В^о+С^о;

Х^о=(А^о+В^о)+С^о,
Y^о=А^о+(В^о+С^о)

Из определения
3.1, (2) и (3) следуют равенства:

Х = (А+В)+С, Y=А+(В+С)

Отсюда:

(4) Х=Y

Из определения
3.1, (2) и (3) следует ниже равенство:

;

Отсюда:

(5)

Из
определения 2.4, а также из (4) и (5) следует,
что отношение тождества, ограниченное
множеством Х, устанавливает подобие
множеств Х^оиY^о.
Отсюда, из определения 2.5 и аксиомы 2.1
следует

(6)

Cдругой стороны, из определения 3.3, (2) и
(3) следует равенство:

Из
этих равенств, а также из формул (6) и (1)
следует формула а). Приведем еще следующую
теорему:

Теорема
3.2.а)

Таким
образом, умножение порядковых типов
дистрибутивно относительно сложения.
Некоммуникативность умножения порядковых
типов приводит к тому, что фигурируют
два закона дистрибутивности.

Доказательство
теоремы 3.2 опускаем.

§ 4. Сечения. Плотные и непрерывные множества.

Понятием
сечения множеств всех рациональных
чисел пользовался Дедекинд, строя
арифметику действительных чисел.

Определяемое
ниже понятие сечения является обобщением
понятия, введенного Дедекиндом.

Определение
4.1.
есть сечение упорядоченного множества;

Таким
образом, сечения– это упорядоченные
пары упорядоченных множеств с непустыми
и непересекающимися запасами. Множество
А^о– нижний класс сечения, В^о– высший класс.

Из
определений 4.1 и 3.1 легко следует, что

Поэтому
сечение определяетразбиение всех
элементов данногоупорядоченного
множества на два таких класса, что
каждый элемент первого класса предшествует
каждому элементу второго класса.

Определение
4.2.а) х есть первый элемент
упорядоченного множества

b)
х есть последний элемент упорядоченного
множества

Определение 4.3.
а) Сечение

есть скачок
тогда, и только тогда,
когда
существует последний элемент множества
А^о
и первый элемент множества В^о.

b)
Сечение
есть предел
тогда и только тогда, когда не существует
последнего элемента множества А^о
и не существует первого элемента
множества В^о.

Легко видеть, что
любое сечение множества
– скачок. Можно показать ниже, что
сечениемножества всех положительных рациональных
чисел, упорядоченного отношением
«меньше», которое определяется
эквивалентностями

есть
пробел.

х²<2
х²>2

А
В

Существуют,
очевидно, сечения,
которые не являются ним скачками, ни
пробелами.
К таким сечениям относится, например
сечение
множества,<,
в котором множеству А^о
принадлежат все неположительные, а
множеству В^о
– все положительные числа. Последний
элемент множества А^о
есть число 0, но множество В^о
не имеет первого элемента.

Определение 4.4.
а) Упорядоченное
множество плотно
тогда, и только тогда, когда ни
одно его сечение не есть скачок.

b)
Упорядоченное множество непрерывно
тогда, и только тогда, когда ни одно его
сечение не есть ни
скачок, ни пробел.

Множество
N,<
не является, очевидно, ни плотным, ни
непрерывным. Множество всех рациональных
чисел, упорядоченное отношением «меньше»,
плотно, но не непрерывно,
потому что, как следует из приведенного
выше примера, существуют его сечения,
являющиеся пробелами.

Однако, множество ,<непрерывно.(-
действительные числа:,).

Введем
понятие включения для упорядоченных
множеств, которым мы в дальнейшем будем
пользоваться:

Определение
4.5.

Таким
образом, множество А^овключается
(содержится) в упорядоченное(м) множество(е)
В^отогда, и только тогда, когда
запас первого из этих множеств включается
(содержится) в смысле установленном в
алгебре множеств – в запасе второго и
когда элементы множества А^оупорядочены в нем так же, как и в множестве
В^о. Тем самым символ «»
имеет два смысла. Но это не грозит
путаницей, потому что обозначения
аргументов этого символа будет всегда
указываться в каком смысле он употребляется.
Заметим, что если А^оВ^о,то
множество А^оназываетсячастью,или
подмножествоммножества В^о.

Из
определений 4.5 и 4.1 непосредственно
следует:

Следствие
4.1.а)

b)есть сечение множества

Теорема
4.1..

Таким
образом, отношение включения упорядоченных
множеств, как и отношение включения
неупорядоченных множеств, транзитивно.

Доказательство.

(1)

(2)

(3)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Теорема 4.2.
а) Если А^оВ^о
и существует
первый элемент множества А^о,
то существует и первый элемент множества
В^о;

b)
Если А^оВ^ои
существует последний элемент множества
А^о,
то существует и последний элемент
множества В^о;

с) Если А^оВ^о
и множество А^о
плотно, то плотно и множество В^о;

d)
Если А^оВ^о
и множества А^о
непрерывно, то непрерывно и множество
В^о.

Доказательство.
Эта теорема – непосредственное следствие
основной теоремы об изоморфизме,
сформированный в §1.

Однако это
доказательство теории является трудным.
Потому мы проводим доказательство
теорем 4.2а, b,
с, d,
не опирающиеся на основную теорему об
изоморфизме; эти доказательства не
представляют трудностей.

Докажем сначала
часть а) теоремы. Допустим, что
взаимооднозначное отношение R
устанавливает подобие множеств А^о
и В^о,
а также, что а₁
– первый элемент множества А^о.
Покажем, что b₁=R(а₁)
– первый элемент множества В^о.

В самом деле, если
бы существовал такой элемент b₂
множества В^о,
что
,
то существовал бы также и элемент а₂
множества А^о,
удостоверяющий условию b₂=R(а₂);
причем по определению 2.4 имела бы место
эквивалентность

Таким образом,
элемент а₁
не был бы – вопреки условию – первым
элементом множества А^о.

Доказательство
части b)
теоремы аналогично. Докажем теперь
часть c)
теоремы.

Допустим вновь,
что взаимооднозначное отношение R
устанавливает подобие множеств А^о
и В^о,
а также, что множество А^о
плотно.

Допустим также –
вопреки тому, что мы хотим доказать, —
что некоторое сечение
множества В^о
– скачок. Обозначим через Z^о
и U^о
подмножества множества А^о,
удовлетворяющие условиям

Легко выдать, что
,и что упорядоченная пара— сечение множества А^о.
Поэтому из допущения, что сечение
— скачок, из теоремы 4.2а,b
следует, что в в множества Z^о
имеется последний элемент, а в множества
U^о
– первый элемент. Поэтому сечение
— скачок. Однако это заключение противоречит
допущению, что множество А^о
плотно.

Доказательство
части 
теории аналогично.

Теорема 4.3.
Упорядоченное
множество А⁰
плотно

________________________

* – выражение
— конъюнкция выраженийи

Доказательство.

Допустим вначале,
что множество А^о
плотно, и пусть х и у – его произвольные
элементы, удовлетворяющие условию

(1)

Пусть подмножества
Х^о
и Y^о
множества А^о
удовлетворяют условиям

(2)
;

(3)
;

Если бы не
существовало элемента Z,
удовлетворяющего условию

(4)
,

то как легко видеть
– упорядоченная пара
была бы сечение множества, и притомскачком.
Это заключение, однако, противоречит
допущению, что множество А^о
плотно.

Значит, из этого
допущения следует, что для любых двух
элементов х, у множества А^о,
удовлетворяющих условию (1), существует
элемент, удовлетворяющий условию (4).

Допустим теперь,
что множество А^о
не плотно.
Поэтому существует сечение
этого множества, являющиеся скачком.
Легко видеть, что тогда существуют
элементы х и у множества А^о,
удовлетворяющие условиям (1), (2) и (3).

Если бы некоторый
элемент z
множества А^о
удовлетворял бы условию (4), то этот
элемент не принадлежал бы ни множеству
Х^о,
ни множеству Y^о
и упорядоченная пара
не была бы – вопреки допущению – сечением
множества А^о.

Тем самым
доказательство теоремы закончено.

Источник

Соответствия и бинарные отношения на множествах

Отображение из множества в множество считается заданным, если каждому элементу xin A сопоставлен единственный элемент yin B . Отображение из множества в множество обозначают записью fcolon Ato B или Aoverset{f}{longrightarrow}B . Элемент yin B , который отображением сопоставляется элементу xin A , называют образом элемента при отображении и обозначают f(x) .

Каждое отображение однозначно определяет множество упорядоченных пар {(x,y)colon, xin A,~ y=f(x)} , являющееся подмножеством декартова произведения Atimes B множества на множество и называемое графиком отображения .

Наоборот, пусть в декартовом произведении Atimes B задано такое подмножество , что:

1) для любого xin A существует yin B , для которого (x,y)in f ;
2) для любых двух пар (x,y) и (x',y') множества из равенства x=x' следует равенство y=y' .

Тогда множество единственным образом определяет некоторое отображение из в . Это отображение, обозначаемое также , элементу xin A сопоставляет элемент yin B , удовлетворяющий условию (x,y)in f . Таким образом, мы можем отождествить отображения с их графиками и считать, что отображение есть подмножество декартова произведения.

Отображение множества в себя называют тождественным, если f(x)=x при всех из .

В общем случае для отображения fcolon Ato B может существовать несколько различных элементов множества , образы которых совпадают. Множество всех элементов xin A , для которых f(x)=y_0 , называют прообразом элемента y_0in B при отображении .

Так, прообраз числа a~(|a|leqslant 1) при отображении y=sin{x} есть множество всех решений уравнения sin{x}=a , т.е. множество

bigl{xcolon, x=arcsin{a}+2pi n,~ nin mathbb{Z}bigr}cup bigl{ xcolon, x=pi-arcsin{a}+2pi n,~ nin mathbb{Z}bigr}.

Прообраз элемента y_0in B может быть пустым множеством. Это имеет место, например, для числа a=2 при отображении y=sin{x} .

Множество всех yin B , таких, что найдется xin A , для которого y=f(x) , называют областью значений отображения . Область значений отображения будем обозначать R(f) .

Отображение fcolon Ato B называют инъективным (инъекцией), если каждый элемент из области его значений имеет единственный прообраз, т.е. из f(x_1)=f(x_2) следует x_1=x_2 .

Отображение fcolon Ato B называют сюръективным (сюръекцией), если его область значений совпадает со всем множеством . Сюръективное отображение из в называют также отображением множества на множество .

Отображение fcolon Ato B называют биективным (биекцией), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Таким образом, если отображение fcolon Ato B биективно, то каждому элементу множества отвечает единственный элемент множества и наоборот. Тогда говорят, что множества и находятся между собой во взаимно однозначном соответствии.

Биекцию множества на себя называют автоморфизмом множества . Используют также термин «подстановка множества».

Пример 1.2. а. Отображение, заданное равенством nu(n)=n+1 , есть, как нетрудно показать, биекция множества натуральных чисел mathbb{N} на его подмножество mathbb{N}setminus{1} .

б. Отображение nucolon nmapsto2n есть биекция множества всех натуральных чисел на множество всех четных натуральных чисел.

в. Любая показательная функция y=a^x,~ a>0 , есть биекция множества mathbb{R} всех действительных чисел на множество $mathbb{R}^{+}$ всех положительных действительных чисел.

г. Функция y=operatorname{arctg}x есть биекция множества mathbb{R} на интервал $left(-tfrac{pi}{2};,tfrac{pi}{2}right)$ .

д. Поворот окружности на заданный угол alpha , т.е. отображение, сопоставляющее каждой точке окружности точку, в которую она перейдет при повороте всей окружности вокруг ее центра на угол alpha , есть автоморфизм множества точек окружности.

Образ и прообраз множества

Пусть задано отображение fcolon Ato B и C subseteq A — некоторое множество. Множество f(C) элементов yin B , таких, что y=f(C),~ xin C , называют образом множества при отображении . Например, при отображении y=sin{x} отрезок [0;1] является образом множества (отрезка) [0;pi] , равно как и любого объединения отрезков вида [2pi k; (2k+1)pi] (для произвольного целого ). При k=0 это можно записать следующим образом: sin([0;pi])=[0;1] .

Заметим, что для любого отображения fcolon Ato B образ f(A) всего множества есть область значений данного отображения.

Для произвольного множества D subseteq B множество всех элементов xin A , таких, что f(x)in D , называют прообразом множества при отображении .

Например, для любого действительного числа ain[0;1) множество, которое является объединением всех отрезков вида

bigl[arcsin{a}+2pi k,, pi-arcsin{a}+2pi kbigr],quad kinmathbb{Z},,

есть прообраз отрезка [a,1] при отображении y=sin{x} .

Прообраз области значений произвольного отображения fcolon Ato B совпадает со всем множеством .

Множество всех отображений из в будем обозначать как B^A .

Частичное отображение и его область определения

Понятие отображения можно обобщить. Обобщение может проходить по двум позициям. Во-первых, можно отказаться от полной определенности отображения, полагая, что образ определен не для каждого элемента множества , а для некоторых элементов этого множества. Тогда придем к понятию частичного отображения. При этом подмножество всех элементов , для которых определен образ, называют областью определения данного частичного отображения.

Многие элементарные функции являются частичными отображениями множества mathbb{R} всех действительных чисел в себя. Например, функция y=operatorname{tg}x есть частичное отображение с областью определения

$mathbb{R} setminusleft{xcolon, x=frac{pi}{2}+pi k,~ kinmathbb{Z} right}.$

Во-вторых, можно отказаться от однозначности отображения, полагая, что данному xin A сопоставлен не один, а несколько образов (множество образов) в множестве . В этом случае говорят, что задано соответствие из множества в множество .

Примером могут служить обратные тригонометрические функции: скажем, «большой» арксинус, сопоставляющий каждому xin mathbb{R} множество всех таких чисел , что sin{y}=x , т.е. множество, являющееся прообразом элемента при отображении, определяемом графиком функции y=sin{x} .

Если задано соответствие rho из в , будем использовать обозначение rho(x) по аналогии с обозначением f(x) для отображений, понимая при этом, что rho(x) есть уже не элемент множества , а его подмножество.

Аналогично графику отображения можно определить график соответствия rho из множества в множество как множество $C_{rho}$ упорядоченных пар (x,y) , таких, что xin A,,yin B и элементы x,y связаны соответствием rho , то есть yinrho(x) . Указанное множество $C_{rho}$ упорядоченных пар есть подмножество декартова произведения Atimes B .

Обратно, фиксируя на декартовом произведении Atimes B какое-либо подмножество , мы тем самым однозначно определяем некоторое соответствие rho_C из в , а именно

$rho_C(x)= bigl{ycolon, yin Bland (x,y)in Cbigr}.$

Нетрудно заметить, что графиком соответствия rho_C будет как раз множество , а соответствием, отвечающим графику Crho , будет rho . Поэтому можно отождествить соответствие с его графиком и считать, что соответствие из множества в множество есть некоторое подмножество rho декартова произведения Atimes B , то есть rhosubseteq Atimes B . В частности, при rho=varnothing получаем пустое соответствие, а при rho , совпадающем со всем указанным декартовым произведением, — универсальное соответствие.

При этом будем писать (x,y)inrho для упорядоченных пар, связанных соответствием rho .

Используют также термины «частичное мультиотображение» и «частичная многозначная функция».

Пример 1.3. Рассмотрим множество программистов A={I,P,S} и множество программ $B={n_1,n_2,n_3,n_4,n_5}$ . Зададим соответствие tau из в , связывающее программистов и разрабатываемые ими программы:

$tau= bigl{(I,n_1),, (I,n_3),, (I,n_5),, (P,n_2),, (P,n_4),, (S,n_2),, (S,n_5)bigr} subseteq Atimes B,.$

Область определения соответствия rho subseteq Btimes B из множества в множество — это множество всех первых компонент упорядоченных пар из rho:

D(rho)= bigl{xcolon, (exists yin B)(x,y)inrhobigr}.

Область значения соответствия rho — это множество всех вторых компонент упорядоченных пар из rho:

R(rho)= bigl{ycolon, (exists xin A)(x,y)inrhobigr}.

Из определения вытекает, что D(rho)subseteq A,~ R(rho)subseteq B . Соответствие из в называют всюду определенным, если его область определения совпадает с множеством Acolon,D(rho)=A .

Сечением соответствия rho subseteq Atimes B для фиксированного элемента xin A будем называть множество rho(x)= {ycolon, (x,y)inrho} . Можно сказать, что сечение соответствия rho(x) есть множество всех «образов» элемента при данном соответствии.

Сечением соответствия rho по множеству Csubseteq A будем называть множество

rho(C)= bigl{ycolon, (x,y)inrho,~ xin Cbigr}.

Пример 1.4. Область определения соответствия т из примера 1.3 есть все множество , а область значения — все множество . Сечением соответствия tau по элементу будет множество $tau(Pi)={n_2,n_4}$ .

Бинарные отношения на множествах

Соответствие rho subseteq Atimes A из множества в себя, т.е. подмножество множества A^2 , называют бинарным отношением на множестве .

Пример 1.5. Простейшим примером бинарного отношения является отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел mathbb{R} . Здесь каждому xinmathbb{R} поставлены в соответствие такие yin mathbb{R} , для которых справедливо x leqslant y .

Для произвольного бинарного отношения на некотором множестве часто используют запись xrho y вместо (x,y)inrho , говоря при этом об элементах, связанных бинарным отношением rho . Это согласуется с традиционной формой записи некоторых часто используемых бинарных отношений. Так, пишут xleqslant y , а не (x,y)in leqslant . Для таких бинарных отношений употребляют устоявшиеся словосочетания. Например, запись читается так: « не больше «.

Бинарное отношение на множестве , состоящее из всех пар (x,y) , т.е. пар с совпадающими компонентами, называют диагональю множества и обозначают operatorname{id}A . Нетрудно понять, что диагональ есть тождественное отображение на себя.

Иногда говорят о диагонали в множестве , хотя правильнее было бы называть это отношение диагональю декартова квадрата множества .

Для наглядного изображения соответствий из в (бинарных отношений, в частности) будем использовать два способа. Первый из этих способов состоит в интерпретации соответствия как подмножества декартова произведения, которое можно изображать примерно так же, как на плоскости можно изображать подмножества декартова квадрата числовых множеств. Второй способ, применяемый для конечных множеств в , — построение так называемого графа соответствия. В этом случае элементы множеств в изображаются на плоскости кружочками. Если и только если пара (u,v) принадлежит соответствию rho , то в графе соответствия из кружочка, обозначающего элемент uin A , проводим стрелку к кружочку, обозначающему элемент vin B . Для бинарного отношения на конечном множестве часто удобнее использовать граф другого вида. Элементы множества изображаются кружочками только один раз, а стрелки проводятся по тем же правилам, что и в графе соответствия. Заметим, что при таком построении возможно соединение кружочка стрелкой с самим собой (петля).

Пример 1.6. а. На рис. 1.1, а изображены график и граф бинарного соответствия из примера 1.3.

б. Пусть A={1;2;3;4} . Бинарное отношение rho на определим как множество всех упорядоченных пар (x,y) , таких, что x geqslant y . Тогда

rho=bigl{(1;1),, (2;1),, (2;2),, (3;1),, (3;2),, (3;3),, (4;1),, (4;2),, (4;3),, (4;4)bigr}

Область определения отношения D(rho)={1;2;3;4} , область значений R(rho)= {1;2;3;4} . График и два варианта графа отношения rho изображены на рис. 1.1, б.

в. Множество точек окружности x^2+y^2=1 есть график бинарного отношения на множестве действительных чисел, состоящего из всех таких упорядоченных пар (x,y) , что $y=pmsqrt{1-x^2}$ , или, что равносильно, компоненты пары удовлетворяют уравнению x^2+y^2=1 . Область определения бинарного отношения есть отрезок [-1;1] , область значения — также отрезок [-1;1] .

Графики и графы бинарных соответствий

Функциональное соответствие

Соответствие rho subseteq Atimes B называют функциональным по второй (первой) компоненте, если для любых двух упорядоченных пар (x,y)inrho и (x'y')inrho из равенства x=x' следует y=y' (и из y=y' следует x=x' ). Функциональность соответствия по второй компоненте означает, что, фиксируя в любой упорядоченной паре, принадлежащей данному соответствию, первую компоненту, мы однозначно определяем и вторую компоненту. Таким образом, мы можем сказать, что соответствие, функциональное по второй компоненте, есть отображение (возможно, частичное).

Поэтому соответствие f subseteq Atimes B является отображением из в , если и только если оно всюду определено (т.е. D(f)=A ) и функционально по второй компоненте. Отметим также, что отображение из в является инъекцией тогда и только тогда, когда оно функционально по первой компоненте.

Отношения произвольной арности

Связь между понятиями отношения, соответствия и отображения

В заключение обобщим понятие соответствия, определив отношения произвольной арности.

Определение 1.4. Произвольное подмножество rho декартова произведения A_1times A_n называют (п-арным или п-местным) отношением на множествах A_1,ldots,A_n .

В случае если все множества A_1,ldots,A_n совпадают, т.е. A_1=ldots= A_n=A , говорят об n-арном отношении на множестве .

Если rho — n-арное отношение на множествах A_1,ldots,A_n и (a_1,ldots,a_n)inrho , то говорят об элементах , связанных отношением rho .

Замечание 1.3. При n=2 получаем бинарное отношение на множествах A_1,A_2 . Это не что иное, как соответствие из A_1 в A_2 , где множества A_1 и A_2 , вообще говоря, различны.

При A_1=A_2=A получаем введенное ранее бинарное отношение на множестве, т.е. подмножество декартова квадрата .

Таким образом, в общем случае (при произвольном ngeqslant 2 ) следует, строго говоря, различать термины «n-арное отношение» и «n-арное отношение на множестве».

Связь между введенными понятиями отношения, соответствия и отображения проиллюстрирована на рис. 1.2.

Пусть n-арное отношение rho subseteq A_1timesldotstimes A_n удовлетворяет условию: для любых двух кортежей

(x_1, ldots, x_i,ldots, x_n)inrho и (y_1,ldots, y_i,ldots, y_n)inrho

из выполнения равенств x_k=y_k для любого kne i~(0 leqslant k leqslant n) следует, что и x_i=y_i . Тогда отношение rho называют функциональным по i-й компоненте (1 leqslant i leqslant n) .

Другими словами, функциональность n-местного отношения по i-й (ileqslant n) компоненте равносильна условию, что, фиксируя все компоненты, кроме i-й, мы однозначно определяем и i-ю компоненту.

Пример 1.7. а. Представим строку учебного расписания как кортеж вида

(преподаватель, группа, дисциплина, аудитория, день, час).

Тогда расписание можно рассматривать как секстарное (шестиместное) отношение на соответствующих множествах. Оно будет функционально по первой компоненте, если, конечно, предположить, что два преподавателя или более не проводят одно и то же занятие одновременно в одном и том же месте (хотя, например, на лабораторных работах это возможно). Оно также функционально по третьей компоненте (один преподаватель не может вести одновременно занятия по разным дисциплинам), по четвертой (преподаватель со своей группой не могут находиться в разных аудиториях) и не будет, вообще говоря, функционально по второй, пятой и шестой компонентам.

б. Рассмотрим на множестве V_3 геометрических векторов в пространстве тернарное (трехместное) отношение rho , состоящее из всех упорядоченных троек (boldsymbol{x},boldsymbol{y},boldsymbol{z}) компланарных векторов. Это отношение не является функциональным ни по одной компоненте, так как любым двум векторам соответствует бесконечно много векторов, образующих с ними компланарную тройку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник