Как найти сегмент в квадрате

В данной публикации мы рассмотрим определение сегмента круга и формулы, с помощью которых можно вычислить его площадь (через радиус и центральный угол кругового сектора). Также разберем примеры решения задач для демонстрации практического применения формул.

Определение сегмента круга

Сегмент круга – это часть круга, которая ограничена дугой окружности и ее хордой.

Хорда – это часть прямой (секущей), которая пересекает круг. Концы хорды соединяются с центром круга, в результате чего образуется равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются радиусом окружности. Если к этом треугольнику добавить сегмент, получится сектор.

На рисунке выше:

• сегмент круга закрашен зеленым цветом;
• отрезок AB – это хорда;
• часть окружности между точками AB – дуга окружности;
• R – радиус круга;
• α – угол сектора.

Формулы нахождения площади кругового сегмента

Через радиус и центральный угол в градусах

α° – угол в градусах.

Примечание: в расчетах используется значение π, приблизительное равное числу 3,14.

Через радиус и угол сектора в радианах

α_рад – угол в радианах.

Примеры задачи

Задание 1
Найдите площадь сегмента круга, если его радиус равен 8 см, а центральный угол сектора, стягивающего сегмент, составляет 45 градусов.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Площадь кругового сегмента составляет 24 см², а центральный угол сектора круга, частью которого является сегмент, равняется 1 радиану. Найдите радиус круга.

Решение
В данном случае мы можем получить радиус из формулы, в которой задействован угол в радианах:

Информация по назначению калькулятора

Сегмент круга — это область, ограниченная дугой и хордой этого круга. Когда что-то делится на части, каждая часть называется сегментом. Точно так же сегмент является частью окружности. Но сегмент — это не какая-то случайная часть окружности, это определенная часть окружности, которая разрезана ее хордой.

Дуга — это часть окружности круга. Хорда — это отрезок прямой, соединяющий любые две точки на окружности круга.

Существует два типа сегментов: один — второстепенный сегмент, а другой — основной сегмент. Второстепенный сегмент образован малой дугой, а основной сегмент образован большой дугой окружности.

Далее представлены свойства сегмента круга:

⇒ Это область, которая окружена хордой и дугой.

⇒ Угол, уменьшенный на отрезок в центре окружности, совпадает с углом, уменьшенным на соответствующую дугу. Этот угол обычно известен как центральный угол.

⇒ Меньший сегмент получается путем удаления соответствующего большого сегмента из общей площади круга.

⇒ Большой сегмент получается путем удаления соответствующего меньшего сегмента из общей площади окружности.

⇒ Полукруг — это самый большой сегмент в любом круге, образованном диаметром и соответствующей дугой.

Онлайн калькулятор предназначен для нахождения параметров сегмента круга, таких как:

• Площадь

— дуга и два радиуса окружности образуют сектор. Эти два радиуса и хорда сегмента вместе образуют треугольник. Таким образом, площадь сегмента окружности получается путем вычитания площади треугольника из площади сектора.

• Длина хорды

— находится через радиус и угол между радиусами (c = 2r * sin(α / 2))

• Высота

— можно найти зная радиус и длину хорды (h = r — √(r² — c² / 4))

• Длина дуги

— находится путем умножения радиуса на центральный угол сектора в радианах (L = r * α)

• Периметр сегмента

— равен сумме длины дуги и длины хорды (Ps = L + c)

• Центральный угол сегмента в градусах и радианах

Итак, «нанизывая» квадраты со сторонами 1, 2, 3, … на прямую в условиях нашей задачи, мы получили параболу (y=sqrt2x^2). Ясно, что если «нанизывать» квадраты со сторонами (sqrt1, sqrt2, ldots), то получится парабола (y=x^2). Вообще, квадраты со сторонами (frac{sqrt{2}}{a}), (frac{2sqrt{2}}{a}), (frac{3sqrt{2}}{a}), … своими вершинами определяют параболу (y=ax^2). Рассуждая так же, как в решении, и проделав такие же выкладки, можно показать, что при неограниченном увеличении числа (k) множество этих квадратов стремится занять половину площади соответствующего сегмента параболы (y=ax^2).

Можно пойти в другом направлении, а именно — рассмотреть параболы более высоких степеней (y=x^n), где (n) — четное число. На рис. 3 показаны такие параболы при различных значениях (n), заполненные соответствующими последовательностями квадратов. В каждой из этих последовательностей первый квадрат всегда один и тот же и имеет размеры (sqrt2timessqrt2), потому что парабола (y=x^n) при любом значении (n) проходит через точку (1; 1).

Множество этих квадратов, вписанных в каждую параболу n-й степени (при четном n) по рассмотренной в задаче схеме, тоже занимает половину площади соответствующего сегмента параболы.

При (n=2) этот факт мы доказали выше. В предельном случае (рис. 3, справа) ветви параболы будут практически вертикальны, и любой сегмент параболы будет мало отличаться от прямоугольника, а вписанные квадраты будут практически равны, поэтому отношение суммарной площади квадратов к площади соответствующего сегмента в пределе также стремится к (frac12).

Для четных (nge4) на первый взгляд тоже кажется, что можно провести рассуждения как в решении, но при реализации этого подхода возникают трудности с громоздкими преобразованиями, затрудняющие доведение рассуждений и выкладок до логического завершения. Обосновать, что и в этих случаях квадраты занимают половину площади соответствующего сегмента параболы, помогут следующие геометрические соображения.

Рассмотрим слой параболы, заключенный между параллельными диагоналями двух соседних квадратов. Его можно назвать криволинейной трапецией, у которой боковые стороны — куски параболы (рис. 4).

При неограниченном увеличении (n) боковые стороны становятся все вертикальней, и трапеция (MNKF) по форме все ближе к квадрату, поэтому доля, занимаемая половинками двух квадратов на каждом следующем «этаже», приближается к половине, а это указывает на то, что и суммарная площадь всех квадратов стремится к половине площади соответствующего сегмента параболы. Но, опять же, эти рассуждения совсем не строгие.

Добавим, что это утверждение справедливо для степенных функций и при нечетном (n), если степень (x^n) взять по модулю.

Рассмотрим теперь замощение полуплоскости косыми рядами квадратов, продолжающими последовательность «нанизанных» на ось Oy квадратов из условия задачи как показано на рис. 5. Первый ряд состоит из квадратов со стороной 1, второй ряд состоит из квадратов со стороной 2, и так далее. Оказывается, у каждого из квадратов в каждом из таких рядов по две вершины лежат на параболах из семейства, задаваемого формулой (y=frac{sqrt2}{n^2}x^2+frac{n-1}{n}x), где (n) — номер параболы (убедиться в том, что это действительно так — неплохая задача!).

Продолжу рассуждения Vasil Stryz­hak.

Можно рассчитать площадь сегмента по всем правилам.

Очень проблематично, находясь на строительной площадке.

Попробуем рассчитать приблизительно.

Впишем с сегмент треугольник.

Далее оставшиеся сегменты то же заполним треугольниками.

И еще раз заполним оставшиеся четыре сегмента.

Можно рассчитать на калькуляторе, но очень хлопотно.

А теперь в самый раз оценить полученные результаты.

Нарисуем очень пологую ферму (маленькая высота сегмента по отношению к длине фермы).

В таблицах даны значения площади при расчете и при трех степенях приближения. А также какой процент данное значение имеет по отношению к расчетному.

Обратим особое внимание на значение процента при первом приближении (74.85%)

А теперь нарисуем ферму с крутым прогибом.

Процент изменился до 71%

Зная, что площадь треугольника составляет 71-74%%, в зависимости от кривизны прогиба, несложно определить площадь сегмента. Степень кривизны можно определять на глаз, но можно ведь составить и таблицу В которой будет прописан процент в зависимости от соотношения c/h.

Или рассчитать сразу через коэффициент.

ССЫЛКА НА РАСЧЕТ.

Данный калькулятор Desmos позволяет программировать и сохранять любые алгоритмы расчета. Имеется мобильная версия для телефонов.