В данной публикации мы рассмотрим формулу, с помощью которой можно вычислить объем сектора шара, а также пример решения задачи для демонстрации ее применения на практике.
- Определение сектора шара
- Формула для нахождения объема сектора шара
- Пример задачи
Определение сектора шара
Сектор шара (или шаровый сектор) – это часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса, вершиной которого является центр шара, а основанием – основание соответствующего сегмента. На рисунке ниже сектор закрашен оранжевым цветом.
- R – радиус шара;
- r – радиус основания сегмента и конуса;
- h – высота сегмента; перпендикуляр от центра основания сегмента до точки на сфере.
Формула для нахождения объема сектора шара
Чтобы найти объем шарового сектора, необходимо знать радиус шара и высоту соответствующего сегмента.
Примечания:
- если вместо радиуса шара (R) дан его диаметр (d), последний следует разделить на два, чтобы найти требуемый радиус.
- π округленно равняется 3,14.
Пример задачи
Дан шар радиусом 12 см. Найдите объем шарового сектора, если высота сегмента, из которого состоит данный сектор, равняется 3 см.
Решение
Применим формулу, рассмотренную выше, подставив в нее известные по условиям задачи значения:
({color{red}{{small{textbf{Факт 1. Про шаровой сегмент}}}}})
(bullet) Шаровой сегмент – шасть шара, отсекаемая от него плоскостью ((alpha)).
(bullet) Если (O) – центр шара, (OB=R) – радиус шара, перпендикулярный плоскости (alpha), (A) – центр круга (основания шарового сегмента), а также точка пересечения радиуса (OB) c этим кругом, то
(H=AB) – высота шарового сегмента.
(bullet) Площадь сферического сегмента (часть сферы, отсекаемая от нее плоскостью (alpha)) вычисляется по формуле [S=2pi cdot RH] (bullet) Объем шарового сегмента вычисляется по формуле [V=pi H^2cdot left(R-frac13Hright)]
({color{red}{{small{textbf{Факт 2. Про шаровой слой}}}}})
(bullet) Шаровой слой – часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.
(bullet) Основания шарового слоя – это сечения шара плоскостями.
(bullet) Высота (H=AB) шарового слоя – это расстояние между основаниями.
(bullet) Площадь сферической части шарового слоя равна [S=2pi RH] где (R) – радиус шара.
(bullet) Объем шарового слоя равен разности объемов двух шаровых сегментов: [V=V_{A}-V_{B}]
({color{red}{{small{textbf{Факт 3. Про шаровой сектор}}}}})
(bullet) Шаровой сектор – часть шара, ограниченная сферической частью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, имеющего то же основание, что и шаровой сегмент.
(bullet) Если (H=AB), то объем шарового сектора равен [V=dfrac23pi R^2cdot H]
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Определение.
Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).
Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).
Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара:
| V = | 4 | πR3 = | 1 | πD3 |
| 3 | 6 |
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4πR2 = πD2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:
x2 + y2 + z2 = R2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:
(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2
3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R · sin θ · cos φ
y = y0 + R · sin θ · sin φ
z = z0 + R · cos θ
где θ ϵ [0,π], φ ϵ [0,2π].
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d < R
Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m < R
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:
r = √R2 — m2,
где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение.Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение.Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
S = 2πRh
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
Определение. Срез шара — это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.
Формула. Площадь поверхности сектора S с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
S = πR(2h + √2hR — h2)
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.
Шаровой сектор представляет собой совокупное тело, полученное путем соединения шарового сегмента и конуса с одним и тем же основанием, с учетом того что, вершина конуса находится в центре первоначальной сферы.
Диаметр шарового сектора является по совместительству диаметром первоначальной сферы, поэтому он рассчитывается через больший радиус шарового сектора.
D=2R
При необходимости можно найти и периметр окружности, лежащей в основании шарового сегмента и конуса, из которых состоит шаровой сектор, умножив меньший радиус на удвоенное число π.
P=2πr
Для того чтобы вычислить площадь поверхности шарового сектора, нужно найти площадь поверхности шарового сегмента и боковую площадь поверхности конуса. Для этого необходимо знать радиус и высоту шарового сектора. В ходе преобразований данной суммы, площадь поверхности шарового сектора становится равна следующему выражению.
S=πR(2(R-√(R^2-r^2 ))+r)
Чтобы найти объем шарового сектора, зная высоту шарового сегмента и радиус сферы, нужно умножить произведение числа π, квадрата большего из двух радиусов и высоты сегмента на две трети.
V=2/3 πR^2 H
Площадь поверхности шарового сектора, формула
Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.
Поверхность шарового сектора складывается из кривых поверхностей шарового сегмента и конуса.
Зная радиус основания сегмента и конуса r при помощи теоремы Пифагора и прямоугольного треугольника получим высоты
сегмента и конуса:
[ h_{конуса} = sqrt{R^2-r^2} ]
[ h_{сегмента} = R — sqrt{R^2-r^2} ]
Подставим формулы площади конуса и шарового сегмента:
[ S_{сектора} = S_{сегмента} + S_{конуса} ]
[ S_{сектора} = 2 pi R h_{сегмента} + pi R r ]
[ S_{сектора} = pi R ( 2 (R — sqrt{R^2-r^2}) + r ) ]
Формулы шара, сферы
Вычислить, найти площадь поверхности шарового сектора по формуле (5)
Площадь поверхности шарового сектора |
стр. 317 |
|---|