Как найти секущую окружности зная касательную

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура Рисунок Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая
Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура Рисунок Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура Рисунок Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Теория и практика окружности

Свойство касательных.

Свойства касательных и секущих.

Площадь, сектор, длина окружности.

Задачи на окружности.

По статистике окружности никто не любит, но при этом леденец любим, солнце любим, давай и окружность полюбим!

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). На рисунке центр − точка О.

В окружности может быть проведено 3 типа отрезка:

Отрезок, проходящий через две точки окружности, но не через центр, называют хордой (AB).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (самая большая хорда в окружности − диаметр (D)).

Радиус − отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Диаметр в два раза больше радиуса (R).

А также две прямые снаружи от окружности:

Касательная имеет одну общую точку с окружностью. Сразу стоит сказать о том, что радиус, проведенный в точку касания, будет иметь с касательной угол 90°.

Секущая пересекает окружность в двух точках, внутри окружности получается хорда или, в частном случае, диаметр.

Теперь чуть-чуть об углах и дугах:

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Он в два раза меньше дуги, на которую опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, равен дуге на которую опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой (β=β=α/2) и равны половине дуги, на которую опираются.

Градусная мера дуги – величина в °, соответствует центральному углу. Длина дуги равна α.

А вот такой угол НЕвписанный, такой угол «никто и звать никак».

Можно сделать вывод, что вписанный угол, который опирается на половину дуги окружности, будет прямым, а также будет опираться на диаметр:

Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершина которых находится по разные стороны от хорды, составляет в сумме 180°.

Запишем основные свойства углов в окружности:

Нашел что-то общее?

Если угол находится вне окружности, без разницы, чем он получен (касательной или секущей), то найти его можно через половину разности дуг.

Если угол находится внутри окружности, то находим его через полусумму дуг.

Если есть одна дуга, которая находится на требуемом угле, то угол равен половине этой дуги.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку О, выполняет равенство:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

Согласен, что они похожи, особенно если не смотреть на картинки.
Как не перепутать такие равенства? В каждом отрезке должна присутствовать точка, вне окружности (О).

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая:

Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).

Если теперь провести две касательные из точки O, то получим такие равные отрезки:

Касательные равны, как, сообственно, и радиусы!

Площадь и длина окружности находятся по формуле:

По своему определению число π показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра, отсюда такая формула: L = πD

Если хочешь вывести площадь круга, можешь проинтегрировать длину окружности относительно R или вывести зависимость, как сделал Архимед!

Задача №1. Дано на рисунке:

Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.

Ответ: 39°

Задача №2. Дано на рисунке:

Найти нужно меньшую дугу BD

Ответ: 100°

Задача №3. Дано на рисунке:

Найти меньшую дугу ВС

Ответ: 114°

Задача №4. Дано на рисунке:

Найти отрезок МК

Ответ: МК = 15.

Задача №5. Дано на рисунке:


Попробуй найти подобные треугольники

Ответ: 6

Задача №5. Дано на рисунке:

Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело

Ответ: 12√7.

Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.

О треугольниках
О четырехуголниках

p.s. Не бойся ошибаться и задавать вопросы!

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kasatelnaya-k-okruzhnosti

http://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_okruzhnosti

Источник

Касательные, секущие, хорды.

Окружность — это фигура, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Отрезок, соединяющий любую точку на окружности с центром окружности, называется радиусом ($R$).

$ОС=OD=OE=R.$

Отрезок, соединяющий любые две точки на окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром ($d$).

$ВС$ – хорда

$СЕ$ — диаметр

Свойства хорды и диаметра:

1. Диаметр равен двум радиусам $d=2R; СЕ=2СО$

2. Равные хорды стягивают равные дуги

Если $AB=CD$, то $∪AB=∪CD$.

3.Вся окружность составляет $360°$. Диаметр делит окружность на две полуокружности по $180°$.

4. Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

5. Из двух хорд больше та, которая менее отдалена от центра.

Касательные и секущие:

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. $АВ$ — касательная

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. $CD$ — секущая

Свойства:

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

$ОА⊥АС; OB⊥BC$

2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

$АС=ВС; ОС$ — биссектриса

3. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

Пример:

Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.

Решение:

Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$

Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:

$ЕD^2=AЕ·ЕВ$

Подставим числовые значения

$ЕD^2=16·9$

$ЕD=√{16·9}=4·3=12$

Ответ: $12$

4. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

5. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

$∠О=∪BmA$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

$∠B={∪AmC}/{2}$

Пример:

Точки $A, B, C$, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как $2:3:7$. Найдите больший угол треугольника $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Данное условие можно рассмотреть как задачу на части:

1) Найдем общее количество частей, на которые разделили окружность.

$2+3+7=12$ (всего частей)

2) Найдем, сколько градусов приходится на одну часть

$360:12=30°$

3) $∪АВ$ составляет две части, следовательно, $∪АВ=2·30=60°$

$∪АС=3·30=90°$

$∪СВ=7·30=210°$

4) В треугольнике $АВС$ самым большим углом является $∠А$, он вписанный, опирается на дугу $СВ$ и равен ее половине.

$∠А={∪СВ}/{2}={210}/{2}=105°$

Ответ: $105$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, отсекаемой хордой .

$∠B={∪BmC}/{2}$

1. Угол между хордами равен полусумме дуг, на которые этот угол опирается

$∠СND={∪CD+∪AB}/{2}$

2. Угол между двумя касательными равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

$∠В={∪АmC-∪AnC}/{2}$

3. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

$∠С={∪AE-∪BD}/{2}$

4. Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

$∠B={∪AD-∪AC}/{2}$

Источник

Теорема о секущей и касательной

Анна Малкова

Об этой теореме можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть. Конечно, в учебнике она тоже есть – но никак не выделена и найти ее почти невозможно.

Множество задач ЕГЭ и ОГЭ решаются с помощью этой теоремы.

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

MC^2=MA cdot MB.

Пусть МС – касательная, МВ — секущая к окружности. Покажем, что MC^2=MA cdot MB

Как мы доказали angle MCA = angle ABC = varphi, и это значит, что треугольники МСА и МВС подобны по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон:
frac{MC}{MB}=frac{MA}{MC}.

Отсюда MC^2=MA cdot MB.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Теорема о секущей и касательной» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

На этой странице вы узнаете

  • Сколько вариантов “окружность + прямая” можно начертить на листе бумаги?
  • Что такое сопряжение и с чем его едят?
  • Какие окружности изображены на олимпийском флаге? 

В жизни мы ежедневно сталкиваемся с касаниями. Касаемся предметов или друг друга. А может ли окружность, подобно человеку, чего-то касаться?  Давайте узнаем в этой статье.

Взаимное расположение прямой и окружности

Перед нами стоит задача начертить прямую и окружность на бумаге. Задумайтесь на секунду: как бы вы сейчас выполнили эту задачу? 

Поскольку их взаимное расположение не уточнено, то есть несколько вариантов, как их начертить. 

1 случай. Прямая и окружность будут лежать в разных местах на листе и никак не пересекутся друг с другом. 

2 случай. Прямая будет только касаться окружности. 

3 случай. Прямая пересечет окружность. 

Сколько вариантов “окружность + прямая” можно начертить на листе бумаги?

Каждый человек изобразит эти элементы в разных положениях относительно друг друга. Но так ли много разнообразия будет? На самом деле, существует всего три варианта расположения фигур: 
— Они не касаются и не пересекаются;
— Прямая касается окружности;
— Прямая пересекает окружность.

Оказывается, в математике существуют термины для второго и третьего случая. Начнем их рассматривать с касательной к окружности. 

Касательная

Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку. 

На рисунке АВ – касательная, которая касается окружности в точке А. 

Что такое сопряжение и с чем его едят?

Многие вещи, которые нас окружают, имеют плавные формы. Например, если мы посмотрим на цепь велосипеда, она имеет изогнутую форму. 

Все такие детали можно вычертить, а называться эти чертежи будут сопряжениями. Сопряжение в черчении – это плавный переход линии в окружность или окружности до окружности. Чтобы построить сопряжения, есть целые законы, которые основаны на касании к окружности. 

Свойства касательной

1 свойство. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности в точку касания. 

Проведем радиус ОА, тогда ОА ⟂ АВ. 

2 свойство. Если провести две касательных из одной точки, то их отрезки будут равны.

Проведем из точки В еще одну касательную ВС, тогда АВ = ВС. 

Если перевернуть рисунок, то можно заметить, что он отдаленно напоминает воздушный шар. А в воздушных шарах, также как и в свойстве касательных, используются равные по длине веревки. 

3 свойство. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, которая заключена между этими касательной и хордой. 

Проведем хорду АС, тогда угол САВ равен (frac{1}{2}⋃АС). 

Секущая

Теперь обратим внимание на третий случай, когда прямая пересекает окружность. Такая прямая называется секущей.

Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух точках. 

Пусть на рисунке АВ – секущая, тогда точки А и В – точки пересечения окружности и секущей. 

Вспомни, как мы нарезаем пиццу или пирог. Каждый разрез будет секущей, то есть будет разделять круг на несколько частей. 

Свойства секущей 

1 свойство. Если из одной точки провести секущую и касательную к окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. 

Проведем из точки А касательную АВ и секущую АС. Пусть секущая будет пересекать окружность в точках С и Е. Тогда выполняется равенство АВ2 = АС * АЕ. 

2 свойство. Если из одной точки провести две секущих к окружности, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равняется произведению второй секущей на ее внешнюю часть. 

Проведем секущие АВ (пересекает окружность в точках Е и В) и АС (пересекает окружность в точках С и D). Тогда выполняется равенство АС * AD = АВ * АЕ. 

3 свойство. Угол между двумя секущими равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, которые заключены между секущими. 

Допустим, необходимо найти угол САВ. Тогда угол (CAB = frac{1}{2}(⋃CB-⋃DE)). 

Не стоит пугаться знака “⋃” – в математике таким образом обозначают дугу окружности. 

Касание окружностей

Мы рассмотрели касание прямой и окружности, но могут ли две окружности касаться друг друга? Если у окружностей одна общая точка, то они являются касающимися друг к другу. 

И есть даже несколько вариантов такого касания: 

  • Внешнее, когда окружности лежат по разные стороны от точки касания. 

В данном случае точка С – точка касания. 

  • Внутреннее, когда одна окружность как бы “лежит” в другой. 

В данном случае точка С также является точкой касания. 

Касание окружностей нередко применяется при создании ювелирных украшений. Такое решение создает неповторимые и очень красивые образы. 

Какие окружности изображены на олимпийском флаге? 

Как мы уже определили, окружности могут касаться друг друга. Но есть еще один вариант их взаимного расположения: окружности пересекаются друг с другом. В этом случае они будут иметь две общие точки. 

Пересекающиеся окружности изображены на олимпийском флаге, их там целых 5. По одной из версий, они обозначают 5 частей света.

Рассмотрим свойство касающихся окружностей: 

  •  Прямая, построенная через центры таких окружностей, включает точку касания. 

Если мы построим прямую через центры окружностей А и В, то на этой же прямой будет лежать точка касания С. 

Фактчек

  • Прямая и окружность имеют три варианта взаимного расположения: не пересекаться, касаться или пересекать друг друга. 
  • Касательная – это прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней только одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания. 
  • Секущая – это прямая, которая проходит через окружность и имеет с ней две точки пересечения. 
  • Если провести из одной точки касательную и секущую, то квадрат касательной будет равен произведению секущей на ее внешнюю часть. 
  • Две окружности также могут касаться друг друга. Касание может быть как внешним, так и внутренним. При этом если соединить центры окружности прямой, то на этой же прямой будет лежать точка касания. 

Проверь себя

Задание 1.
Как называется прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней одну общую точку?

  1. Секущая;
  2. Хорда;
  3. Касательная;
  4. Диаметр.

Задание 2. 
Дуга, заключенная между касательной и хордой, равняется 50(circ). Чему равен угол между касательной и хордой?

  1. 25(circ);
  2. 50(circ);
  3. 100(circ);
  4. 180(circ).

Задание 3. 
Длина секущей равна 9, а ее внешняя часть равняется 4. Чему равна касательная к окружности, проведенная из той же точки, что и секущая?

  1. 36;
  2. 6;
  3. 9;
  4. 5.

Задание 4. 
Между секущими заключены дуги окружности, которые равняются 70 и 30 градусам. Чему равен угол между секущими?

  1. 40;
  2. 10;
  3. 80;
  4. 20. 

Задание 5. 
Каким бывает касание двух окружностей?

  1. Только внешним;
  2. Только внутренним;
  3. Внешним и внутренним;
  4. Две окружности не могут касаться друг друга. 

Ответы: 1. – 3 2. – 1 3. – 2 4. – 4 5. – 3

Источник

Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой данной точки, называемой центром окружности. 

Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности, называют радиусом окружности. 

Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.

Например, на рисунке 8.83: точка LaTeX formula: O – центр окружности; отрезки LaTeX formula: OA, OB и LaTeX formula: OD – радиусы окружности; отрезки LaTeX formula: AC, MN и LaTeX formula: AB – хорды окружности. 

Если хорда перпендикулярна радиусу окружности, то точкой пересечения она делится пополам. 

Например, на рисунке 8.83 LaTeX formula: MNperp OD, следовательно, LaTeX formula: MN=NP.

Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром окружности. Диаметр состоит из двух радиусов. 

Например, на рисунке 8.83 хорда LaTeX formula: AB – диаметр окружности и LaTeX formula: AB = 2R. 

Дугой окружности называют часть окружности, заключенную между двумя точками окружности. Если точки – концы диаметра окружности, то имеем две равные дуги, называемые полуокружностями.

Например, на рисунке 8.84 изображены дуги окружности: LaTeX formula: AB , BD , DC и т.д. Среди них две равные полуокружности LaTeX formula: CD. 

Дуги можно измерять в угловых единицах. Градусная мера полуокружности равна LaTeX formula: 180^{circ}.

Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, включая точки окружности. 

Например, на рисунке 8.85 изображен круг. 

Круговым сектором называют часть круга, ограниченную радиусами и дугой, на которую опираются радиусы. 

Например, на рисунке 8.86 изображен круговой сектор LaTeX formula: OAB. 

Круговым сегментом называют часть круга, отсекаемую хордой. 

Например, на рисунке 8.87 изображен круговой сегмент LaTeX formula: ACB.

Свойство пересекающихся хорд: если через точку, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, то произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны. 

Например, на рисунке 8.88 LaTeX formula: AP cdot BP= CP cdot DP.  

Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Например, на рисунке 8.89 из точки LaTeX formula: A к окружности проведены касательные LaTeX formula: AB и LaTeX formula: AC.

Если к окружности из одной точки провести две касательные, то окружность будет вписана в угол, образованный этими касательными. Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла (рис. 8.89). 

Свойства касательных

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны ( LaTeX formula: AB=AC на рис. 8.89).

2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания ( LaTeX formula: OBperp AB на рис. 8.89). 

Свойство хорды и касательной: угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. 

Например, на рисунке 8.90 LaTeX formula: AD – касательная к окружности, LaTeX formula: AC – хорда окружности, LaTeX formula: angle DAC = frac{1}{2}angle AOC и LaTeX formula: angle DAC = angle ABC.

Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки. 

Например, на рисунке 8.91 LaTeX formula: AC – отрезок секущей, а LaTeX formula: AD – внешняя часть отрезка секущей.

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей и ее внешней части.

Например, на рисунке 8.91 LaTeX formula: AB^{2}=ACcdot AD.

Свойство секущих к окружности: если из одной точки к окружности проведены секущие, то все произведения отрезков секущих и их внешних частей равны.

Например, на рисунке 8.92 LaTeX formula: OCcdot OD=OBcdot OA=a^{2}.

Угол называют центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

Например, на рисунке 8.93 изображен центральный угол LaTeX formula: AOB. 

Угол называют вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности. 

Например, на рисунке 8.94 изображен вписанный в окружность угол LaTeX formula: ACB.

Свойства вписанных в окружность углов

1. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла. 

Например, LaTeX formula: angle ABC=frac{1}{2}angle AOCна рисунке 8.95.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 8.96).

3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (рис. 8.97).

Длину окружности радиуса LaTeX formula: R находят по формуле: 

LaTeX formula: C=2pi R. (8.30)

Длину дуги окружности радиуса LaTeX formula: R c центральным углом LaTeX formula: n^{circ} находят по формуле: 

LaTeX formula: l=frac{2pi R}{360^{circ}}n^{circ}. (8.31)

Площадь круга радиуса LaTeX formula: R находят по формуле: 

LaTeX formula: S=pi R^{2}. (8.32)

Площадь кругового сектора радиуса LaTeX formula: R с центральным углом LaTeX formula: n^{circ} находят по формуле: 

LaTeX formula: S_{c}=frac{pi R^{2}}{360^{circ}}n^{circ}. (8.33)

Пример 1. К окружности (рис. 8.98) проведены три касательные так, что в результате их пересечения образовался прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC. При этом отрезок LaTeX formula: AE = 4 см, а отрезок LaTeX formula: BE = 6 см. Найдите катеты этого треугольника.

Решение. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то: LaTeX formula: AE = AD = 4 см, LaTeX formula: BE = BK = 6 см. Пусть LaTeX formula: CD = CK = x см, тогда LaTeX formula: AC = (x+4) см, LaTeX formula: BC = (x+6) см, LaTeX formula: AB = 10 см.

По теореме Пифагора 8.3 LaTeX formula: AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.

Тогда LaTeX formula: (x+4)^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}, LaTeX formula: x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100, LaTeX formula: x^{2}+10x-24=0, откуда LaTeX formula: x=2.

Найдем катеты треугольника: LaTeX formula: AC = 2+4 = 6 (см), LaTeX formula: BC = 2+6 = 8 (см). 

Ответ: 6 см и 8 см.

Пример 2. В окружность вписан угол LaTeX formula: ABC, равный LaTeX formula: 30^{circ}. Хорды LaTeX formula: AB и LaTeX formula: BC соответственно равны 3 и LaTeX formula: sqrt{3}. Найдите длину окружности.

Решение. По теореме косинусов 8.4 найдем сторону LaTeX formula: AC треугольника LaTeX formula: ABC (рис. 8.99):

LaTeX formula: AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2ABcdot BCcdot cos30^{circ}, LaTeX formula: AC^{2}=9+3-2cdot 3sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}=9+3-9=3, LaTeX formula: AC = sqrt{3}.

Так как угол LaTeX formula: ABC вписан в окружность, а угол LaTeX formula: AOC соответствующий ему центральный угол, то LaTeX formula: angle ABC=frac{1}{2}angle AOC и LaTeX formula: angle AOC=60^{circ}.

Отрезки LaTeX formula: OA и LaTeX formula: OC радиусы окружности. Следовательно, треугольник LaTeX formula: AOC – равнобедренный и углы при его основании равны: LaTeX formula: angle OCA=angle OAC=60^{circ}. Тогда треугольник LaTeX formula: AOC – равносторонний и LaTeX formula: AO=OC=AC=sqrt{3}. 

Длину окружности найдем по формуле 8.30. Получим: LaTeX formula: C=2sqrt{3}pi.

Ответ: LaTeX formula: 2sqrt{3}pi. 

Пример 3. Прямой угол LaTeX formula: ABC вписан в окружность, радиус которой равен 9, а центральный угол LaTeX formula: BOC равен LaTeX formula: 140^{circ}. Найдите длину дуги LaTeX formula: AB (рис. 8.100).

Решение. Так как LaTeX formula: angle ABC = 90^{circ}, то центральный угол LaTeX formula: AOC развернутый. Так как углы LaTeX formula: BOC и LaTeX formula: BOA смежные, то LaTeX formula: angle BOA = 180^{circ}-140^{circ}=40^{circ}.

Длину дуги LaTeX formula: AB найдем по формуле 8.31: LaTeX formula: l=frac{2pi cdot 9cdot 40^{circ}}{360^{circ}}=2pi.

Ответ: LaTeX formula: 2pi. 

Пример 4. Площадь кругового сектора с центральным углом LaTeX formula: 120^{circ} равна LaTeX formula: 12pi. Найдите длину дуги, ограничивающей этот сектор.

Решение. Согласно формуле 8.33 запишем LaTeX formula: 12pi =frac{pi R^{2}cdot 120^{circ}}{360^{circ}}, откуда LaTeX formula: 12=frac{ R^{2}}{3}, LaTeX formula: R^{2}=36, LaTeX formula: R=6.

Согласно формуле 8.31 LaTeX formula: l=frac{2pi cdot 6cdot 120^{circ}}{360^{circ}}, LaTeX formula: l=4pi.

Ответ: LaTeX formula: 4pi.

Пример 5. Из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая. Длина касательной составляет LaTeX formula: frac{2}{3} внутреннего отрезка секущей. Определите длину секущей, если длина касательной равна 6 см.

Решение. Отметим вне окружности точку LaTeX formula: A и проведем из этой точки к окружности секущую LaTeX formula: AD и касательную LaTeX formula: AB (рис. 8.101).

Определим внутренний отрезок секущей: LaTeX formula: CD=6cdot frac{3}{2}=9 см.

Пусть внешний отрезок касательной LaTeX formula: AC = x см. По свойству касательной и секущей запишем: LaTeX formula: AB^{2}=ADcdot AC, LaTeX formula: 36=(x+9)cdot x, LaTeX formula: x^{2}+9x-36=0, LaTeX formula: x=3.

Тогда LaTeX formula: AD = 3+9=12 (см).

Ответ: 12 см.

Пример 6. Дана точка LaTeX formula: P, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. В каком отношении точка LaTeX formula: P делит хорду?

Решение. Рассмотрим окружность (рис.8.102) радиуса LaTeX formula: R=AO=BO=11 см. Отметим на диаметре LaTeX formula: AB точку LaTeX formula: Pтак, что LaTeX formula: OP = 7 см, LaTeX formula: PB = 4 см. Через точку LaTeX formula: P проведем хорду LaTeX formula: CD = 18 см. Тогда, если LaTeX formula: CP = x см, то LaTeX formula: PD = (18 - x) см.

По свойству пересекающихся хорд имеем: LaTeX formula: APcdot BP=CPcdot DP или LaTeX formula: 18cdot 4=x(18-x), LaTeX formula: x^{2}-18x+72=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=12, LaTeX formula: x_{2}=6.

Получили отрезки длиной 12 см и 6 см. Тогда LaTeX formula: CP : PD = 2:1. 

Ответ: LaTeX formula: 2:1.

Пример 7. В круговой сектор, дуга которого содержит LaTeX formula: 60^{circ}, вписан круг. Найдите процентное отношение площади этого круга к площади сектора.

Решение. В круговой сектор LaTeX formula: ABC (рис. 8.103) впишем круг с центром в точке LaTeX formula: O:OK= R_{circ }, LaTeX formula: BD=R_{c }. Поскольку прямая LaTeX formula: BC является касательной к кругу, то LaTeX formula: OKperp BK. Согласно условию задачи LaTeX formula: angle ABC=60^{circ}, тогда LaTeX formula: angle OBK=30^{circ}, так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Рассмотрим LaTeX formula: Delta OBK:OB=2OK=2R_{bigcirc } (по свойству катета, лежащего против угла LaTeX formula: 30^{circ}). Так как LaTeX formula: R_{c}=BO+DO, то LaTeX formula: R_{c}=3R_{bigcirc }. 

По формулам 8.32 и 8.33 найдем площадь круга и площадь сектора: LaTeX formula: S_{bigcirc }=pi R_{bigcirc }^{2}; LaTeX formula: S_{c}=frac{pi R_{c}^{2}}{360^{circ}}cdot 60^{circ}=frac{pi 9R_{bigcirc }^{2}}{6}=frac{3pi R_{bigcirc }^{2}}{2}.

Составим отношение площади круга к площади сектора: 

LaTeX formula: frac{S_{bigcirc }}{S_{c}}=frac{pi R_{bigcirc }^{2}2}{3pi R_{bigcirc }^{2}}, LaTeX formula: frac{S_{bigcirc }}{S_{c}}=frac{2}{3} или LaTeX formula: frac{200}{3}%.

Ответ: LaTeX formula: 66frac{2}{3}%.

Пример 8. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда длиной 32 см, которая касается меньшего круга. Определите отношение длин меньшей и большей окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.

Решение. Рассмотрим два круга с общим центром в точке LaTeX formula: O (рис. 8.104). Пусть LaTeX formula: R – радиус большего круга, а LaTeX formula: r – радиус меньшего круга, LaTeX formula: AB – хорда, касающаяся меньшего круга. Тогда LaTeX formula: OD = r, LaTeX formula: OA=OB=OC=R и LaTeX formula: OC=OD+DC. Поскольку ширина образовавшегося кольца равна 8 см, то LaTeX formula: R-r=8 см и LaTeX formula: OD = R-8.

Так как хорда LaTeX formula: AB касается меньшего круга, то LaTeX formula: ABperp OD, тогда LaTeX formula: OD высота и медиана равнобедренного треугольника LaTeX formula: AOB и LaTeX formula: AD=DB=16 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ODB. По теореме Пифагора 8.3 LaTeX formula: OB^{2}=OD^{2}+DB^{2}. Тогда: LaTeX formula: R^{2}=(R-8)^{2}+16^{2}, LaTeX formula: R^{2}=R^{2}-16R+64+16^{2}, LaTeX formula: 16R=64+16^{2}, откуда LaTeX formula: R=20 см и LaTeX formula: r=20-8=12 (см).

С учетом формулы 8.30 найдем отношение длин меньшей и большей окружностей:

LaTeX formula: frac{C_{1}}{C_{2}}=frac{2pi r}{2pi R}=frac{r}{R}=frac{12}{20}=frac{3}{5}.

Ответ: 3 : 5.

Пример 9. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Найдите отношение площадей этих сегментов.

Решение. Рассмотрим круг радиуса LaTeX formula: R и правильный треугольник LaTeX formula: ABC, вписанный в круг (рис. 8.105). Так как вписанный в окружность угол LaTeX formula: ABCравен LaTeX formula: 60^{circ}, то соответствующий ему центральный угол LaTeX formula: AOCравен LaTeX formula: 120^{circ}.

По формуле 8.11 найдем площадь треугольника LaTeX formula: AOC:

LaTeX formula: S_{AOC}=frac{1}{2}R^{2}sin120^{circ}=frac{sqrt{3}R^{2}}{4}.

По формуле 8.33 найдем площадь сектора LaTeX formula: AOC: LaTeX formula: S_{c}=frac{pi R^{2}}{360^{circ}}cdot 120^{circ}=frac{pi R^{2}}{3}.

Найдем площадь сегмента, вычитая из площади сектора LaTeX formula: AOC площадь треугольника LaTeX formula: AOC: LaTeX formula: S_{c_{1}}=frac{pi R^{2}}{3}-frac{sqrt{3}R^{2}}{4}=frac{R^{2}(4pi -3sqrt{3})}{12}.

Найдем площадь второго сегмента, вычитая из площади круга площадь первого сегмента: LaTeX formula: S_{c_{2}}=pi R^{2}-frac{R^{2}(4pi -3sqrt{3})}{12}=frac{R^{2}(8pi +3sqrt{3})}{12}.

Найдем отношение площадей этих сегментов: LaTeX formula: frac{R^{2}(4pi -3sqrt{3})}{12}:frac{R^{2}(8pi +3sqrt{3})}{12}=frac{4pi -3sqrt{3}}{8pi +3sqrt{3}}.

Ответ: LaTeX formula: frac{4pi -3sqrt{3}}{8pi +3sqrt{3}}.

1. Различайте круг и окружность. В свою очередь: а) в окружности различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, дугу, центральный угол и вписанный угол; б) в круге различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, сектор и сегмент.

2. Из одной точки, не принадлежащей окружности, можно провести две касательные к окружности и множество прямых, которые будут пересекать эту окружность (секущих).

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:

LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}, (8.3)

где LaTeX formula: c – гипотенуза, LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – катеты.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними: 

LaTeX formula: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosalpha, (8.4)

Площадь треугольника:

LaTeX formula: S=frac{1}{2}absinalpha, (8.11)

где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – стороны, LaTeX formula: alpha – величина угла между ними произвольного треугольника.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти золото в conan exiles
  • Социологический портрет личности как составить
  • Как найти нулевой сервер в роблокс
  • Как найти толщину изоляции труб
  • Как найти площадь трехмерной фигуры