Как найти середину диагонали квадрата

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
   
   
   
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
   
   
3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
   
4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
   
   
5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
   
   

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме

Тогда , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Решение:

Мы знаем, что . Тогда .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

Тогда по формуле площади квадрата:

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

Поэтому

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата: 

Периметр квадрата со стороной 3 равен: 

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью .

Решение:

Площадь круга  откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными .

 

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Ответ: 5.

Стороны квадрата 15, как найти середину?

А если надо тебе найти длину то по теореме пифагора это равно 15корень из 2.

Если если расстояние от середины до стороны то 15 корень из 2 раздели на 2.

K, L, N, M — середины сторон квадрата ABCD ; AC = 10 см?

K, L, N, M — середины сторон квадрата ABCD ; AC = 10 см.

Найти периметр KMNL.

Найти периметр KMNL, помогите, пожалуйста).

Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке o k середина стороны ab найти велечину угла aok?

Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке o k середина стороны ab найти велечину угла aok.

Длина стороны квадрата АВСD равна 6 см?

Длина стороны квадрата АВСD равна 6 см.

Точка М удалена от каждой вершины на 17 см.

Найдите расстояние от, середины отрезка МА до середины каждой из сторон квадрата.

У квадрата с диагональю 6 см последовательно соединили отрезки середины сторон?

У квадрата с диагональю 6 см последовательно соединили отрезки середины сторон.

Найти периметр образовавшегося четырехугольника.

Дан квадрат со стороной 2 см?

Дан квадрат со стороной 2 см.

Точка S отдалёная от каждой из вершин квадрата на 2 см.

Найти расстояние от середины отрезка SC до середины стороны AD квадрата.

Сторона квадрата равна а?

Сторона квадрата равна а.

Если соединить середины смежных сторон и противоположную вершину квадрата, то площадь полученного треугольника равна.

Найти объем тела, полученного при вращении квадрата со сторонами 7 см вокруг прямой, проходящей через середины его противоположных сторон?

Найти объем тела, полученного при вращении квадрата со сторонами 7 см вокруг прямой, проходящей через середины его противоположных сторон.

В квадрате АВСД точка К середина стороны ВС, точка М середина стороны АВ?

В квадрате АВСД точка К середина стороны ВС, точка М середина стороны АВ.

Докажите что прямые АК и МД взаимно перпендикулярны.

Дан квадрат со стороной 6 см?

Дан квадрат со стороной 6 см.

Точка S удалена от каждой вершины квадрата на 7 см.

Найдите расстояние от середины отрезка SA к середине стороны CD квадрата.

Площадь квадрата равна 12?

Площадь квадрата равна 12.

Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

На этой странице находится вопрос Стороны квадрата 15, как найти середину?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Б — да, ответствующие углы раны, В — да, сумма соседних углов = 180 градусов а — нет . Накрест лежащие углы не равны г — нет, сумма соседних углов не равна 180 градусов.

Помойму 30 но это не точно.

Нет, не всегда теоремы равенства треугольников знаешь .

Получ. Они образуют перпендикуляр.

Давайте я попробую помочь. : ).

1. нехай АВС — рівнобедрений трикутник ; АС = 4 см, АВ = 11см ; ВС = АВ = 11 см(АВС рівнобедрений), тоді Р = АВ + ВС + АС = 11 + 11 + 4 = 26(см) 2. Нехай АВС — рівнобедрений трикутник ; АС = 8см, Р = 26см ; у рівнобедреному трикутнику бічні сторони ..

Короче, вот тебе решение с чертежом. Я сама пыталась решить, но ничо не поняла) ответ скорее всего удалят.

Рисунка не будет, ибо там рисовать нечего. Обычный треугольник АВС только с продолженной стороной АС, там и будет угол в 150° Дано : ΔАВС — равносторонний. ∠С(внешний) = 150° Найти : ∠В Решение : 1)∠С = 180° — 150° = 30° (смежные углы) 2)∠А = ∠С = ..

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1 . Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Мы знаем, что . Тогда .

2 . Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

3 . Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

4 . Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

5 . Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите
.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр

Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата:

Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Квадрат – это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Все углы квадрата прямые. Каждый из них прямой и равен 90°.

Таким образом, все квадраты отличаются друг от друга только длиной стороны.

Рис. 2. Квадрат и диагонали квадрата

Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. AC и BD – это диагонали квадрата.

Квадрат является одновременно частным случаем других фигур: параллелограмма, ромба и прямоугольника. Поэтому квадрату присущи все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника .

Квадрат – это равносторонний прямоугольник.

Квадрат – это ромб с прямыми углами.

Свойства квадрата:

1. Длины всех сторон равны.

2. Противоположные стороны квадрата параллельны.

3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

5. Диагонали квадрата равны между собой.

6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.

9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.

10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника .

11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата:

Пусть a – длина стороны квадрата, d – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности квадрата, r – радиус вписанной окружности квадрата, P – периметр квадрата, S – площадь квадрата.

Формула диагонали квадрата:

, , , , .

Формула радиуса вписанной окружности квадрата:

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны.

.

Формула радиуса описанной окружности квадрата:

.

Формула периметра квадрата:

, , .

Формула площади квадрата:

, , , , .

Пусть есть квадрат со стороной 10 см и линейка длиной 11 см, как найти центр квадрата? Мало того что вставили снимок линейки с делениями, так ещё это какая несуразная линейка, связывающая неверно соотношение сантиметров и дюймов. Но не суть. У линейки, кроме длины, есть ещё и какая=то ширина, не важно, какая, главное, что она есть. Прикладывая линейку поочерёдно вдоль каждой стороны исходного квадрата, можно внутри его построить маленький квадрат, со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и диагональю, короче, чем 11см. Линейка узкая и диагональ маленького квадрата всё ещё длиннее линейки? Не беда, делаем тоже самое, но уже с внутренним квадратом. В итоге, так, или иначе, получим квадрат, в котором можно провести диагонали, пересечение которых и даст нам искомую точку. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим julie­tka [125K] более месяца назад  Если наша линейка длиннее стороны квадрата, значит на сторонах этого квадрата мы можем построить прямоугольные треугольники. Один катет — 10см — вся сторона квадрата, другой катет — часть соседней стороны. А гипотенуза — полностью длина нашей линейки -11см. И так строим 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Рисунок неточный, но суть понятна. Точки пересечения гипотенуз соединяем по диагонали. Точка пересечения этих диагоналей и будет центр изначального квадрата. Сырро­жа [172K] более месяца назад  Ну и чо, что линейка короткая и без разметки? В условии ведь умалчивается, что линейка металлическая? Надо из нее сделать подобие циркуля, проколов дырочки на концах линейки и воткнув в одну из них иголку, а в другую кусочек карандашного грифеля. Дырочки над сделать так, чтобы между ними аккурат укладывалась сторона квадрата. Теперь со смежных (рядом стоящих углов квадрата) отчертить два радиуса. Тоже самое проделать с противоположной стороной квадрата. Соединить точки пересечения противоположных дуг. Точка пересечения двух соединительных линий и укажет вам на центр квадрата. Извините, циркуля под рукой не оказалось, потому слепил его из того что было (пинцет и карандаш). Рисунок получился не красивый, но суть решения передает достаточно понятно: 123юр­ий456 [605] более месяца назад  1.Откладываем по 5 см на каждой стороне квадрата и проводим через эти точки 2 прямые линии,соединяющие середины противоположных сторон.Точка пересечения линий-центр квадрата. 2.Квадрат АВСД:строим биссектрису угла А, для чего откладываем по двум его сторонам по 2см,проводим с этих точек перпендикуляры внутрь квадрата до пересечения,получаем одну точку.Откладываем по 4 см и повторяем операцию.Через эти три точки,начиная с угла проводим прямую насколько хватит линейки,фактически это диагональ квадрата.Тоже самое делаем для угла В.Получаем две диагонали,точка их пересечения-центр квадрата. Евген­ий трохо­в [56.5K] более месяца назад  Пусть наш квадрат АВСД. Прикладываем линейку вначале, например, к стороне АД, а начало линейки к точке А, проводим линию. Получили точку Д1. Аналогично, совмещаем начало линейки и точку Д. Проводим линию, получаем точку А1 Далее, прикладывая линейку к остальным сторонам квадрата получаем точки А2, Д2, В1, В2, С1, С2. Получили 4 прямоугольника размером 1х10 см. Проводим в них диагонали, получаем точки пересечения диагоналей Н, Р, F, K. Расстояние НF=РК=11 сантиметров. Так что мы можем линейкой соединить точки Н и F, и точки Р и К и найти на пересечении их центр квадрата точку О. Любов­ь Л- [16K] более месяца назад  Не имеет значения есть ли деления или их нет. Делаем свою риску на линейке, которая будет отметкой меньшой стороны данного квадрата. Затем на каждой стороне отмечаем по нашей риске одинаковые отрезки и проводим по две параллельные линии от одной стороны к другой. Получаем аналогичный начальному квадрату квадрат вписанный в больший. И уже в этом полученном меньшим с помощью всё той же линейки проводим диагонали. На пересечении диагоналей и будет центр изначально данной геометрической фигуры. Знаете ответ?

В задачах по геометрии и физике приходится находить некоторые параметры прямоугольника: углы, стороны, периметр, площадь и диагонали. Все эти величины связаны между собой некоторыми соотношениями. Каждый должен уметь их рассчитывать, поскольку это необходимо не только для решения математических задач, но и в жизни. Например, при укладке керамзитной плитки на пол.

Используя свойство диагоналей, можно определить метод ее укладки. Кроме того, в физике иногда требуется рассчитать площадь поперечного сечения, а необходимая формула неизвестна. Во время планирования покупки строительных материалов нужно вычислить их количество, произведя вычисление площади или периметра помещения.

Однако формул для ведения расчетов недостаточно, поскольку нужно идентифицировать геометрическую фигуру. Для каждой из них применяются разные соотношения. В случае неверного определения вычисления окажутся недостоверными, а это негативно сказывается не только на экзаменах или контрольных, но и в финансовой сфере.

Сведения о прямоугольнике

Прямоугольником называется фигура с прямыми внутренними углами между смежными сторонами, у которой противоположные стороны равны. Его частным случаем, как говорят математики, является квадрат. У него все стороны равны, а углы также являются прямыми. Не каждый может правильно определить тип фигуры, поскольку от этого шага зависит правильность вычислений какого-либо параметра.

Для каждого геометрического тела существуют определенные критерии, по которым можно узнать его принадлежность. Эти критерии называются признаками. Некоторые новички путают признаки и свойства, но существует главное отличие, которое заключено в определении терминов «признак» и «свойство». Кроме того, специалисты предлагают простой способ, позволяющий избежать путаницы между терминами.

Идентификация или признаки

Признак — некоторые критерии, по которым можно отнести фигуру к определенному типу. Свойствами называются некоторые аксиомы и утверждения, полученные при доказательстве теорем.

Идентифицировать прямоугольник можно с помощью теоремы из эвклидовой геометрии. Она имеет такую формулировку: если три угла фигуры являются прямыми, то она является прямоугольником.

Для доказательства нужно выполнить такие действия:

• Вычислить значение четвертого угла: D = 360 — (90 * 3) = 90 (градусов).
• Сопоставить сведения, полученные при вычислении, с определением.

Существуют также и другие признаки, по которым можно идентифицировать фигуру. По одному из них можно определить ее принадлежность к прямоугольнику. К признакам можно отнести такие:

• Равенство сторон, которые противоположны между собой.
• Внутренние углы между собой равны, а их градусная мера соответствует 90 градусам.
• Диагонали равны между собой.
• Сумма квадратов двух сторон, которые не противоположны, равна квадрату одной диагонали. Это следует из теоремы Пифагора, по которой находится одна из сторон прямоугольного треугольника.
• Если прямоугольник не является квадратом, то его стороны не равны одному значению.

Первый и второй признаки получаются из основного определения фигуры. Третий признак является следствием доказательства теоремы, формулировка которой является следующей: диагонали прямоугольника равны. Она еще называется теоремой о диагоналях прямоугольника.

Для ее доказательства нужно начертить произвольный прямоугольник ABCD и провести в нем диагонали AC и BD. Они будут пересекаться в некоторой точке X. Они образуют прямоугольные треугольники ABC и ABD.

В этом случае нужно доказать равенство треугольников. Они равны между собой: сторона АВ — общая, угол А равен В и сторона BC = AD (по равенству противоположных сторон). Из этого следует, что треугольники равны.

Следовательно, их гипотенузы, которые также являются и диагоналями, равны.

Четвертый признак также доказывается. Следует рассматривать прямоугольный треугольник ABC.

Используя теорему Пифагора, нужно выразить гипотенузу, которая является диагональю фигуры, через катеты (стороны фигуры): AC 2 = AB 2 + BC 2. Таким способом доказывается данный признак.

Последнее утверждение получается из частного случая: если у прямоугольника все стороны равны, то он является квадратом.

Свойства фигуры

Необходимо отметить, что квадрат — правильный четырехугольник, поскольку у него все стороны равны. Результирующая формула диагонали прямоугольника будет выглядеть таким образом: d = (AB2 + BC2)^(½). При решении задач применяются свойства прямоугольника:

• Каждый из углов равен 90 градусам.
• Стороны, которые являются противолежащими и параллельными, равны.
• Сумма углов внутри фигуры составляет 360.
• Пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам, также является центром окружности, описанной вокруг фигуры и центром симметрии.
• Треугольники, полученные в результате проведения диагоналей, равны.
• Суммарное значение квадратичных значений всех сторон эквивалентно двойному квадрату диагонали.
• Большой и маленький треугольники, образованные диагоналями, подобны. Следует обратить внимание на коэффициент подобия.
• Диагональ эквивалентна диаметру окружности, описанной около фигуры.
• Геометрическая характеристика фигуры (сумма противоположных углов составляет 180) позволяет описать вокруг нее окружность.
• Вписать круг в прямоугольник можно тогда, когда он является правильным, т. е. ширина эквивалентна длине (квадрат).
• Угол между смежными сторонами равен 90.
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, когда он является квадратом.
• Диагонали, пересекаясь между собой, образуют не разносторонние, а прямоугольные и равносторонние треугольники.
• Половина диагонали, проведенная из любой вершины фигуры, является медианой и высотой.
• Диагональ является биссектрисой (прямоугольник — квадрат).
• Средняя линия прямоугольника проходит через точку пересечения диагоналей.

Однако при решении задач свойств недостаточно. Для этого применяются специальные соотношения и формулы. Некоторые из них были получены из свойств фигуры. Во всех формулах будет браться радиус описанной окружности — R и ее диаметр — D, а также функция «sqrt», которая эквивалентна квадратному корню (x^(1/2) = x^(0.5)).

Периметр и площадь

Для удобства необходимо ввести некоторые обозначения. Диагонали следует обозначить литерой d, а противолежащие стороны — a и b, соответственно. Периметр — характеристика, соответствующая суммарному значению сторон фигуры.

Очень часто ее обозначают литерой P. Существует также базовая формула: Р = 2а + 2b. Соотношение можно править таким способом: Р = 2 (a + b).

Кроме того, существуют другие соотношения для определения P, когда известны некоторые параметры:

• Величина площади и сторона, которая известна: P = (2S + 2a 2 ) / a или P = (2S + 2b 2 ) / b.
• Диагональ и a (b): P = 2(a + (d 2 — a 2 )^(0.5)) = 2(b + (d 2 — b 2 )^(0.5)).
• a (b) и R: P = 2(a + (4 * R 2 — a 2 )^(0.5)) = 2(b + (4 * R 2 — b 2 )^(0.5)).
• D и a (b): P = 2(a + sqrt(D 2 — a 2 )) = 2(b + sqrt(D 2 — b 2 )).

Площадь — характеристика размерности двумерной фигуры. Ее обозначают литерой S, и измеряют в метрических единицах в квадрате (мм 2, см 2, м 2 и т. д.). Следует отметить, что она вычисляется интегральным методом.

Однако для частных случаев существуют соотношения. Формула, которая является основанием для всех остальных соотношений, называется базовой. Она имеет такой вид: S = a * b.

Площадь находится в зависимости от параметров, которые известны:

• P и a (b): S = [(P * a) — 2a 2 ] / 2 = [(P * b) — 2b 2 ] / 2.
• a (b) и d: S = a * sqrt[d 2 — a 2 ] = b * sqrt[d 2 — b 2 ].
• Синус острого угла (Y) между двумя d и d: S = d 2 * sin (Y) / 2.
• R и a (b): S = a * sqrt[4 * R 2 — a 2 ] = b * sqrt[4 * R 2 — b 2 ].
• D и a (b): S = a * sqrt[D 2 — a 2 ] = b * sqrt[D 2 — b 2 ].

Для решения различных задач также могут быть полезны и другие соотношения, позволяющие найти не только диагонали, но и стороны прямоугольника.

Диагонали и стороны

Для оптимизации решения нужно знать формулы, с помощью которых можно находить одну из сторон или диагональ прямоугольника. Необходимо разобрать основные соотношения, по которым находятся стороны фигуры, когда известны следующие параметры:

• d и a (b): a = sqrt[d 2 — b 2 ] и b = sqrt[d 2 — a 2 ].
• S и a (b): a = S / b и b = S / a.
• P и a (b): a = (P — 2b) / 2 и b = (P — 2a) / 2.

Для нахождения диагонали также есть некоторые формулы. Для их применения следует знать такие параметры фигуры:

• a и b: d = [a 2 + b 2 ]^(1/2).
• S и a (b): d = (S 2 + a 4 )^(1/2) / a= (S 2 + b 4 )^(1/2) / b.
• P и a (b): d = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 2 = (P 2 — 4Pb + 8b 2 )^(1/2) / 2.
• R и D: d = 2R и d = D.

Однако это не все соотношения. В некоторых случаях разрешается описывать окружность вокруг фигуры. С помощью такого «геометрического хода» можно существенно упростить решение задачи. Это позволяет воспользоваться другими формулами.

Другие соотношения

Для решения задач используются и другие соотношения, которые позволяют найти параметры окружности, которая описана. Пусть дана окружность с радиусом R и диаметром D. Кроме того, известны некоторые параметры фигуры (a, b, d, P и S). С помощью формул можно найти D и R окружности при известных некоторых величинах:

• a и b: R = (a 2 + b 2 )^(1/2) / 2.
• P и a (b): R = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 4 = (P 2 — 4Pb + 8b 2 )^(1/2) / 4.
• S и a (b): R = (S 2 + a 4 )^(1/2) / 2a = (S 2 + b 4 )^(1/2) / 2b.
• d: R = d / 2.
• sin(F), прилегающего к диагонали и стороне, и a: R = a / 2sin (F).
• cos(F) и b: R = b / 2cos (F).

Для нахождения угла F следует воспользоваться такой формулой: sin (F) = a / d и cos (F) = b / d. Острый угол между двумя диагоналями определяется при помощи такого соотношения: sin (Y) = 2S / d 2 .

Пример решения

Пусть дана некоторая фигура, диагонали которой равны, а ее периметр равен 50. Одна из сторон a = 10. Следует провести идентификацию, а также найти такие параметры:

• Другие стороны.
• Значения диагоналей.
• Площадь.
• R описанной окружности через площадь и периметр.
• Выяснить возможность укладки плитки в форме квадрата на такую поверхность.
• Вычислить значения всех углов между смежными сторонами.

Данная задача является типом сложного класса, поскольку название фигуры не упоминается. Ее следует идентифицировать, а затем применить некоторые формулы для решения. Кроме того, необходимо верно выполнить 5 пункт. Однако не следует углубляться в строительную сферу. Бывают два метода укладки плитки: обычный — форма помещения является прямоугольником или квадратом, и с центра — другая фигура.

У фигуры диагонали равны, значит по третьему признаку она является прямоугольником. К нему можно применять вышеописанные формулы. Для нахождения другой стороны следует составить уравнение 2x + 2 * 10 = 50. Затем нужно перенести все известные значения в правую часть: 2х = 50 — 20.

Далее можно найти переменную: х = 30 / 2 = 15 (ед.). Следует обратить внимание на написание единицы измерения. Если в условии задачи она не указана, то пишется единица измерения, которая заключается в круглые скобки.

Достаточно найти только одну сторону, поскольку у прямоугольника существует свойство равенства противоположных сторон.

Значение диагоналей находится по формуле: d = [a 2 + b 2 ]^(1/2) = (15 2 + 10 2 )^(1/2) = (225 +100)^(1/2) = (325)^(1/2). Площадь можно найти таким образом: S = a * b = 15 * 10 = 150 [(ед.)^2]. Радиус вычисляется так:

• R = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 4 = (50 2 — 4 * 50 * 10 + 8 * 10 2 )^(1/2) / 4 = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).
• R = (S 2 + a 4 )^(1/2) / 2a = (150 2 + 100 4 )^(1/2) / (2 * 10) = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

Плитку можно укладывать обыкновенным способом, начиная не с центра, поскольку поверхность является прямоугольником. Все углы между сторонами равны между собой. Их градусная мера по 12 свойству соответствует 90.

Таким образом, при решении задач рекомендуется идентифицировать геометрическую фигуру, а затем применять к ней формулы.

Источник: https://nauka.club/matematika/svoystva-diagonaley-pryamougolnika.html

Квадрат, его свойства и признаки

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

1. Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

2. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

3. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

1. У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

3. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

4. У квадрата диагонали равны.

5. У квадрата стороны являются высотами.

6. Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

• Дано: – прямоугольник
• Доказать: – квадрат.
• Доказательство.
• Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

– квадрат (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

1. Дано: – прямоугольник
2. Доказать: – квадрат.
3. Доказательство.
4. Рассмотрим .
5. по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

• Дано: – прямоугольник
• – диагональ
• – биссектриса
• Доказать: – квадрат.
• Доказательство.
• Так как – биссектриса , то .

по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

1. Дано: – ромб
2. — диагонали
3. Доказать: – квадрат.
4. Доказательство.
5. Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

• Дано: – параллелограмм
• Доказать: – квадрат.
• Доказательство.
• Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.

Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

1. Дано: – четырёхугольник
2. Доказать: – квадрат.
3. Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

• Дано: – четырёхугольник
• Доказать: – квадрат.
• Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.

3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.

Итак, признаки квадрата:

1. Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

2. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

3. Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

4. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

5. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

6. Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

7. Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

1. Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .

2. На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.

3. На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.

4. В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .

5. В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .

6. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .

7. На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .

8. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .

9. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .

10. Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.

11. В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

12. Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.

13. Дан квадрат . Докажите, что – ромб.

1. Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.

2. Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .

3. Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .

4. Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .

5. Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.

6. На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .

7. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

8. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

9. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

10. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

11. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.

12. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.

13. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.

1. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.

2. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.

3. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .

4. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.

5. Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .

6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.

1. Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .

2. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

3. Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .

4. Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.

Источник: https://infourok.ru/kvadrat-ego-svoystva-i-priznaki-3996168.html

Урок. «Свойства диагоналей квадрата»

• Урок 13
• УМК «Школа России»
• 4 класс
• Тема: Свойство диагоналей квадрата;
• Тип урока: урок приобретения новых знаний;
• Цель урока: знакомство учащихся со свойствами диагоналей квадрата;
• Задачи урока:
• Образовательные:
• -Совершенствовать письменные вычислительные навыки, навыки устного счета, умение решать задачи;
• -Обеспечить усвоение учащимися свойств диагоналей квадрата.
• Воспитательные:
• -Формировать способности к исследованию, умение наблюдать и анализировать;
• -Воспитывать интерес к предмету;
• Развивающие:
• — Развивать умение ясно выражать свои мысли, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения;
• Планируемые результаты:
• Предметные:
• — Формировать умение построения квадрата на основе свойства диагоналей, решать геометрические задачи;
• -Развивать вычислительные навыки, умение решать составные задачи, логическое мышление, внимание, память.
• Метапредметные :
• -Учащиеся получат возможность учиться добывать информацию;
• -Строить логическое рассуждение, включающие причинно — следственные связи;
• -Возможность учиться принимать и сохранять учебную задачу.
• Личностные:
• — Формировать внутреннюю позицию школьника на уровне положительного отношения к школе;
• -Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
• Ход урока
• 1.Организационный момент

Учитель: Давайте улыбнемся друг другу, пусть улыбки и хорошее настроение будут верными спутниками на сегодняшнем уроке. А наша общая  дружная работа поможет разобраться во всем и справиться с любой задачей.

-Все готовы? Значит начинаем!

1. Откроем тетрадочки и запишем число и классная работа.
2. Я тетрадочку открою
3. И наклонно положу.
4. Я, друзья, от Вас не скрою-
5. Ручку правильно держу.
6. Сяду прямо, не согнусь,
7. На отлично потружусь.

2.Устный счёт.

1. Продолжите ряды чисел.

456, 466, 476, 486, …, …, …, … .

540, 530, 520, 510, …, …, …, … .

2. Найдите длину стороны прямоугольника и его периметр.

? см	5 дм	? м
8 см2	2 см	10 дм2	? дм	18 м2	2 м

3. Решите примеры.

• 16 : 8 – 0 • 5 + 7 •1
• 0 : 5 + 2 • 9 – 40 : 5
• 55 : 1 + 1 • 3 + 497 • 0
• 3.Постановка цели урока

Учитель. Ребята, сегодня на уроке мы продолжим работу с прямоугольниками. Поговорим о квадрате. Напомните, что это за фигура – квадрат?

Дети. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Учитель. Верно. А теперь вспомните, что вы знаете о диагоналях прямоугольника?

Дети. Диагонали прямоугольника равны. Отрезки, получаемые при пересечении диагоналей прямоугольника, равны.

Учитель. Верно. А что мы можем сказать о свойствах диагоналей квадрата?

Дети. Так как квадрат – это тоже прямоугольник, значит, его диагонали обладают теми же свойствами.

Учитель. Ребята, как вы думаете, что мы сегодня будем изучать?

Дети. Свойство диагоналей квадрата.

Учитель. Правильно, диагонали квадрата обладают одним интересным свойством: при пересечении диагоналей квадрата всегда получаются прямые углы. Давайте это проверим на чертеже. На с. 17 учебника вверху дан первый чертеж. Возьмите угольник и с помощью его определите, какие углы образовались при пересечении диагоналей.

Дети. Все углы получились прямые.

Учитель. Давайте проверим это еще раз на втором чертеже.

Дети работают в парах со вторым чертежом.

Учитель. Что у вас получилось? Какой вывод можно сделать?

Дети. Да, по чертежу мы еще раз убедились, что при пересечении диагоналей квадрата всегда получаются прямые углы.

Учитель. Молодцы. Теперь, используя это свойство, выполним задание 81. Просят начертить квадрат, длина диагонали которого 5 см. Как будем строить?

Дети. Надо построить два отрезка длиной 5 см так, чтобы они пересекались под прямым углом и чтобы точкой пересечения они делились пополам. Потом соединить концы этих отрезков, и мы получим квадрат.

Учитель. Верно. Выполните это задание у себя в тетради.

1. Учащиеся работают самостоятельно, учитель оказывает индивидуальную помощь.
2. 4. Физминутка:
3. Учитель:
4. Прыгай ножка по дорожке.
5. Прыгай и другая.
6. Все девчонки и мальчишки
7. в классе отдыхают.
8. Побежали все трусцой,
9. дружный бег на месте.
10. А теперь наклон большой,
11. поклонились вместе.
12. Руки вверх, глубокий вдох.
13.  Руки опустили.
14. А теперь ещё разок
15. это повторили.

Отдохнули? Хорошо!

• А теперь за дело.
• Вот и день уже прошёл.
• Время пролетело.

5. Работа над пройденным материалом.

1.Решение задач.

Задачу 82 учащиеся решают с комментированием у доски. Вызванный ученик записывает краткое условие:

Учитель.Сначала узнаем, сколько минут мальчик ехал на велосипеде и был в магазине, а потом полученный результата вычтем из общего времени. Только перед выполнением второго действия 1 ч 10 мин надо перевести в минуты.

1. 1) 25 + 15 = 40 (мин) – на велосипеде и в магазине
2. 2) 70 – 40 = 30 (мин)
3. О т в е т: 30 минут мальчик ехал обратно.
4. Задача 83 учащимся решается самостоятельно (два ученика решают у доски, после происходит самопроверка).

Приехали – 70 чел. и еще 50 чел.

Заняли – ? столов по 4 чел.

• 1) 70 + 50 = 120 (чел.) – приехали
• 2) 120 : 4 = 30 (ст.)
• О т в е т: 30 столов занято.

2. Решение примеров.

Задание 84 учащиеся решают самостоятельно. После происходит взаимная самопроверка.

6.Итоги урока. Рефлексия.

Учитель. Ребята, что нового узнал на уроке? Что повторяли?

Дети. Мы узнали на уроке новое свойство диагоналей квадрата. Решали задачи и примеры.

1. Итак, ребята, оцените свою работу на уроке с помощью карточек, которые лежат у вас на столе:
2. зеленая карточка – «я все понял и справился со всеми заданиями»;
3. желтая карточка – «изученный материал вызвал у меня трудности»;
4. красная карточка – «я не понял изученную тему».

8. Домашнее задание. (Упр. 85)

Учитель. Ребята, дома вам необходимо будет решить примеры из упражнения 85.

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-svoystva-diagonaley-kvadrata-4149.html

Квадрат. Определение и свойства

1. Длины сторон квадрата равны.

AB=BC=CD=DA

2. Все углы квадрата прямые.

angle ABC = angle BCD = angle CDA = angle DAB = 90^{circ}

3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.

AB parallel CD, BC parallel AD

4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.

angle ABC + angle BCD + angle CDA + angle DAB = 360^{circ}

5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.

angle BAC = angle BCA = angle CAD = angle ACD = 45^{circ}

Доказательство

Квадрат является ромбом Rightarrow AC — биссектриса угла A, и он равняется 45^{circ}. Тогда AC делит angle A, и angle C на 2 угла по 45^{circ}.

6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

• AO = BO = CO = DO
• angle AOB = angle BOC = angle COD = angle AOD = 90^{circ}
• AC = BD

Доказательство

Так как квадрат это прямоугольник Rightarrow диагонали равны; так как — ромб Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.

7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

riangle ABD = riangle CBD = riangle ABC = riangle ACD

8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.

riangle AOB = riangle BOC = riangle COD = riangle AOD

9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a sqrt{2}.

Доказательство

Доказывается по теореме Пифагора. Применим ее к riangle ADC.

AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} = a^{2} + a^{2} = 2^{2}

Отсюда: AC = sqrt{2}cdot a

10. Центром квадрата, а так же вписанной в него и описанной окружности является точка пересечения диагоналей

Источник: https://academyege.ru/page/kvadrat.html

Квадрат. Формулы и свойства квадрата

Определение.

Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:

AB||CD,   BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:

AC = BD

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC┴BD	AO = BO = CO = DO =	d
2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Определение.

Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

d = a·√2

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

d = √2S

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата: 4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:

d = Dо

6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

d = 2r√2

7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:

d = Dв√2

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

Определение.

Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата. 1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:

P = 4a

2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:

P = 4√S

3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:

P = 2d√2

4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:

P = 4R√2

5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:

P = 2Dо√2

6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:

P = 8r

7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:

P = 4Dв

8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:

S = a2

2. Формула площади квадрата через периметр квадрата: 3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата: 4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности: 6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 4r2

7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:

S = Dв2

8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:

Определение.

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

• Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
• Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
• Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата: 2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата: 3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата: 4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата: 5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности: 6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:

R = r √2

7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности: 8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:

Определение.

Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.

1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата: 2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата: 3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата: 4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата: 5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности: 6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности: 7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности: 8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:

© 2011-2020 Довжик МихаилКопирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/square/

Квадрат — СПИШИ У АНТОШКИ

Определения и свойства квадрата

«Квадрату» можно дать несколько определений.

 Определение 1.  Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.

Определение 2. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

• Получается, что квадрат это четырехугольник, который обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
• Перечислим  основные свойства квадрата:
• Свойство 1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
• AB = BC = CD = AD
• Свойство 2. Все углы квадрата — прямые
• ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
• Свойство 3. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
• ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
• Свойство 4. Противоположные стороны квадрата параллельны:
• AB||CD,  BC||AD

Свойство 5. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

1. AC┴BD AO = BO = CO = DO = 0,5d
2. Свойство 6. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
3. ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
4. ∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
5. Свойство 7. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
6. ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
7. Диагональ квадрата
8. Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. 
9. АС и BD – диагонали квадрата ABCD
10. Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
11. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть   d =   √2•а
12. Формулы определения длины диагонали квадрата
13. 1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
14. d = a•√2
15. 2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
16. d = √2S
17. 3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
18. d = P / 2√2
19. 4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
20. d = 2R
21. 5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
22. d = Dо
23. 6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
24. d = 2r√2
25. 7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
26. d = Dв√2
27. Периметр квадрата

Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата. Периметр обозначается буквой Р.

• Формулы определения длины периметра квадрата
• 1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
• P = 4a

Онлайн вычисления периметра квадрата можно посмотреть здесь

1. 2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
2. P = 4√S
3. 3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
4. P = 2d√2
5. 4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
6. P = 4R√2
7. 5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
8. P = 2Dо√2
9. 6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
10. P = 8r
11. 7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
12. P = 4Dв
13. Площадь квадрата
14. Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром. Площадь обозначается буквой S.

• Формулы определения площади квадрата
• 1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
• S = a2
• Онлайн вычисления площади квадрата можно посмотреть здесь
• 2. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
• S = d2/2

В старших классах также используются следующие формулы нахождения площади квадрата. Однако они не требуют заучивания, так как представляют собой математические преобразования основных формул, изученных ранее.

1. Рассмотри формулы
2. 3. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. S = P2/16
4. ( Доказательство:  P = 4a , в свою очередь a = P/4. Так как S = a2, подставив вместо а  значение  P/4, получаем S = P2/16)
5. 4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
6. S = 2R2
7. 5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
8. S = Do2/2
9. 6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
10. S = 4r2
11. 7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
12. S = Dв2

Окружность описанная вокруг квадрата

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз. Радиус окружности обозначается буквой R.

• Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
• Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
• Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
• 1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
• R = a √2 / 2
• 2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
• R = P/4√2
• 3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
• R = √2S/ 2
• 4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
• R = d/2
• 5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
• R = Dо/2
• 6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
• R = r √2
• 7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
• R = Dв √2/2
• Окружность вписанная в квадрата
• Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Радиус вписанной окружности обозначается буквой r.

1. Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.
2. Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
3. 1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
4. r = a/2
5. 2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
6. r = d/2√2
7. 3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
8. r = P/8
9. 4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
10. r = √S/2
11. 5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
12. r = R/√2
13. 6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
14. r = Dо/2√2
15. 7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
16. r = Dв/2

Источник: http://spishy-u-antoshki.ru/kvadrat.html

Матвокс ⋆ диагонали квадрата ⋆ энциклопедия математики

Skip to content

Диагонали квадрата

You are here:

1. …
2. Глава 7. Квадрат и его…

Свойство равенства диагоналей квадрата

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Свойство пересечения диагоналей квадрата следует из свойств прямоугольника:

Пересечение диагоналей квадрата

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом:

Свойство пересечения диагоналей квадрата под прямым углом следует из свойств ромба.

Пересечение диагоналей квадрата

Точка пересечения диагоналей квадрата – это центр квадрата, а также центр описанной и вписанной окружностей.

Точка пересечения диагоналей квадрата

Диагонали квадрата и являются биссектрисами его углов:

Данное свойство диагоналей квадрата следует из свойств ромба.

Диагонали и биссектрисы углов квадрата

Диагональ квадрата равна произведению его стороны на квадратный корень из двух:

Данное свойство следует из теоремы Пифагора:

Отсюда:

Диагональ квадрата через его площадь

Диагональ квадрата через его сторону и площадь

Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника, которые являются симметричными фигурами.

Свойство диагонали квадрата

Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника.

Свойства диагоналей квадрата

Диагональ квадрата и описанная окружность

• Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности.
• Диагональ квадрата в два раза больше радиуса описанной окружности вокруг квадрата:
• Диагональ квадрата через радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата и описанная окружность

1. Диагональ квадрата через отрезок, который соединяет вершину квадрата с серединой противоположной стороны:
2. Где
3. a – сторона квадрата;
4. d – диагональ квадрата;
5. P – периметр квадрата;
6. S – площадь квадрата;
7. R – радиус окружности, описанной около квадрата;
8. r – радиус окружности, вписанной в квадрат;
9. l – отрезок, соединяющий вершину квадрата с серединой противоположной стороны.

Формула диагоналей квадрата

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-7-kvadrat-i-ego-svoistva/diagonali-kvadrata/