Как найти середину интервала значений статистика

Как найти середину интервала

При статистической обработке результатов исследований самого разного рода полученные значения часто группируются в последовательность интервалов. Для расчета обобщающих характеристик таких последовательностей иногда приходится вычислять середину интервала — «центральную варианту». Методы ее расчета достаточно просты, но имеют некоторые особенности, вытекающие как из используемой для измерения шкалы, так и из характера группировки (открытые или закрытые интервалы).

Инструкция

Если интервал является участком непрерывной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте обычные математические методы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение интервала (его начало) сложите с максимальным (окончанием) и разделите результат пополам — это один из способов вычисления среднеарифметического значения. Например, это правило применимо, когда речь идет о возрастных интервалах. Скажем, серединой возрастного интервала в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, так как (21+33)/2=27.

Иногда бывает удобнее использовать другой метод вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала. В этом варианте сначала определите ширину диапазона — отнимите от максимального значения минимальное. Затем поделите полученную величину пополам и прибавьте результат к минимальному значению диапазона. Например, если нижняя граница соответствует значению 47,15, а верхняя — 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала будет 63,14, так как 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

Если интервал не является участком обычной числовой последовательности, то вычисляйте его середину в соответствии с цикличностью и размерностью используемой измерительной шкалы. Например, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала будет являться определенная календарная дата. Так для интервала с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.

Кроме обычных (закрытых) интервалов статистические методы исследований могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Например, открытый интервал может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется методом аналогий — если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют одинаковую ширину, то предполагается, что и этот открытый интервал имеет такую же размерность. В противном случае вам надо определить динамику изменения ширины интервалов, предшествующих открытому, и вывести его условную ширину, исходя из полученной тенденции изменения.

Источники:

• что такое открытый интервал

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Intervals are used in mathematics for a variety of reasons. An interval is a specific segment of a data set. For example, an interval might be from 4 to 8. Intervals are used in statistics and in calculus when deriving integrals. Intervals are also used when attempting to find the mean from frequency tables. The midpoint of each interval is needed to complete this process and find the mean.

Find the upper and lower limit of the interval. For example, an interval from 4 to 8 would have 4 as the lower limit and 8 as the upper limit.

Sum the upper and lower limit. In the example, 4 + 8 = 12.

Divide the sum of the upper and lower limits by 2. The result is the midpoint of the interval. In the example, 12 divided by 2 yields 6 as the midpoint between 4 and 8.



3.1.4. Как вычислить среднюю, моду и медиану интервального ряда?

Начнём опять с ситуации, когда нам даны первичные статические данные:

Пример 10

По результатам выборочного исследования цен на ботинки в магазинах города получены следующие данные (ден. ед.):

– это в точности числа из Примера 6.  Но теперь нам нужно найти среднюю, моду и медиану.

Решение: чтобы найти среднюю по первичным данным, нужно

просуммировать все варианты и разделить полученный результат на объём совокупности:
 ден. ед.

Эти подсчёты, кстати, займут не так много времени и при использовании оффлайн калькулятора. Но если есть Эксель, то,

конечно, забиваем в любую свободную ячейку:
=СУММ(, выделяем мышкой все числа, закрываем скобку ), ставим знак деления /, вводим число 30 и жмём Enter. Готово.

Что касается моды, то её оценка по исходным данным, становится непригодна. Хоть мы и видим среди чисел

одинаковые, но среди них запросто может найтись так 5-6-7 вариант с одинаковой максимальной частотой, например, частотой 2.

Поэтому модальное значение рассчитывается по сформированному интервальному ряду (см. ниже).

Чего не скажешь о медиане: забиваем в Эксель  =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем

скобку ) и жмём Enter: . Причём, здесь даже ничего

не нужно сортировать.

Но в Примере 6 я проводил сортировку совокупности по возрастанию (вспоминаем и сортируем), и это хорошая возможность

повторить формальный алгоритм отыскания медианы.

Делим объём выборки пополам:
, и поскольку она состоит из чётного

количества вариант, то медиана равна среднему арифметическому 15-й и 16-й варианты упорядоченного (!) вариационного

ряда:
 ден. ед.

Ситуация вторая. Когда даны не первичные данные, а готовый интервальный ряд (что в учебных задачах бывает чаще).

Продолжаем анализировать этот же пример с ботинками, где по исходным данным был составлен ИВР. Для вычисления средней потребуются середины  интервалов:

– чтобы воспользоваться знакомой формулой дискретного случая:

 – и это отличный результат! Расхождение с

более точным значением (), вычисленным по

первичным данным, составило всего 0,04!

Здесь мы использовали упомянутый ранее приём – приблизили интервальный ряд дискретным, и это приближение оказалось

весьма эффективным. Впрочем, с современными программами не составляет особого труда вычислить точное значение даже по

очень большому массиву первичных данных. Если они нам известны

С другими центральными показателями всё занятнее.

Чтобы найти моду, нужно найти модальный интервал (с максимальной частотой) – в нашей задаче

это интервал  с частотой 11, и воспользоваться

следующей страшненькой формулой:

, где:

 – нижняя граница модального интервала;
 – длина модального интервала;
 – частота модального интервала;
 – частота предыдущего интервала;
 – частота следующего интервала.

Таким образом:
 ден. ед. – как видите, «модная» цена на

ботинки заметно отличается от среднего арифметического значения .

Не вдаваясь в геометрию формулы, просто приведу гистограмму относительных частот

и отмечу :

откуда хорошо видно, что мода смещена относительно центра модального интервала в сторону левого интервала

с бОльшей частотой. По той причине, что дешёвых ботинок больше. И, возможно, они тоже вполне себе модные.

Справочно остановлюсь на редких случаях:
– если модальный интервал крайний, то  либо ;
– если обнаружатся два смежных модальных интервала, например,  и ,

то рассматриваем модальный интервал , при этом

близлежащие интервалы (слева и справа) по возможности тоже укрупняем в два раза;
– если между модальными интервалами есть расстояние, то применяем формулу к каждому интервалу, получая тем самым две

или бОльшее количество мод.

Вот такой вот депеш мод

И медиана. Она рассчитывается чуть по менее страшной формуле. Для её применения

нужно найти медианный интервал – это интервал, содержащий варианту (либо 2 варианты), которая делит вариационный ряд на две

равные части.

Выше я рассказал, как определить медиану, ориентируясь на относительные накопленные частоты

,  здесь же сподручнее рассчитать

«обычные» накопленные частоты . Вычислительный

алгоритм такой же – первое значение сносим слева (красная стрелка), а каждое следующее получается как сумма

предыдущего с текущей частотой из левого столбца (зелёные обозначения в качестве примера):

Всем понятен смысл чисел в правом столбце? – это количество вариант, которые успели «накопится» на всех «пройденных»

интервалах, включая текущий.
Поскольку у нас чётное количество вариант (30 штук), то медианным будет тот интервал, который содержит -ю и 16-ю варианту. И ориентируясь по накопленным частотам, легко

прийти к выводу, что эти варианты содержатся в интервале .

Формула медианы:

, где:

 – объём статистической совокупности;
 – нижняя граница медианного

интервала;
 – длина медианного интервала;
 – частота медианного интервала;
 – накопленная частота

предыдущего интервала.

Таким образом:
 ден. ед. – заметим, что медианное

значение, в отличие от моды, оказалось смещено правее, т.к. по правую руку находится значительное количество вариант:

Справочно особые случаи:
– если медианным является крайний левый интервал, то ;
– если вариационный ряд содержит чётное количество вариант и две средние варианты попали в разные интервалы, то

объединяем эти интервалы, и по возможности удваиваем предыдущий интервал.

Ответ:  ден. ед.

По сравнению с предыдущей задачей ,

центральные показатели оказались заметно отличны друг от друга. Это говорит об асимметрии

(«скошенности») распределения цен, что хорошо видно по гистограмме и совершенно логично –

ботинок низкого и среднего ценового сегмента много, а премиального – мало.

Задание для тренировки:

Пример 11

Для изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена выборка, в результате которой получено

следующее статистическое распределение:

…да, тот самый завод Петровского Найти среднюю, моду и медиану.

Решаем эту задачу в Экселе – все числа и инструкции уже там. Если нет Экселя, считаем на

калькуляторе, что в данном случае может оказаться даже удобнее. Образец решения, как обычно, в конце книги. Это, кстати, уже

каноничная «интервальная» задача, в которой исследуется непрерывная величина – время.

Что ещё можно сказать по теме?

Несмотря на разнообразия рассмотренных показателей, их всё равно бывает не достаточно. Существуют крайне неоднородные

совокупности, у которых варианты «кучкуются» во многих местах, и по этой причине средняя, мода и

медиана плохо характеризуют положение дел.

В таких случаях вариационный ряд дробят с помощью квартилей, децилей, а в упоротых специализированных исследованиях – и с

помощью перцентилей.

Квартили упорядоченного вариационного ряда – это варианты , которые делят его на 4 равные (по количеству вариант) части. Из чего

автоматически следует, что 2-я квартиль – есть в точности медиана: .

В тяжёлых случаях проводится разбиение на 10 частей – децилями  – это варианты, который делят упорядоченный вариационный ряд на 10 равных (по

количеству вариант) частей.

И в очень тяжелых случаях в ход пускается 99 перцентилей .

После разбиения вариационного ряда каждый участок исследуется по отдельности – рассчитываются локальные средние и другие

показатели.

В учебном курсе квартили, децили, перцентили встречаются редко, и посему я оставляю этот материал (их нахождение) для

самостоятельного изучения.

Ну а сейчас мы переходим к изучению второй группы статистических показателей:

3.2. Показатели вариации

3.1.3. Медиана

| Оглавление |



m_i
число
значений в данном интервале

k
число интервалов

средняя арифметическая

²
=((10-48.4)2*7+(30-48.4)2*14+(50-48.4)2*17+(70-48.4)2*8+(90-48.4)2)*4/50=

(1474.56*7+338.56* 14+2.56*
17+466.56*8+1730.56*4)/50=(10322+4740+44+3732+6922)/50=25760/50=515

Коэффициент
вариации считаем по формуле

Анализ рядов динамики

Рассмотрим смысл
и возможности применения анализа рядов
динамики на примере изучения динамики
посетителей магазина «Заводской»
.

Таблица № 9

Посетители
магазина «Заводской»

Неделя (номер с момент п крытая магазина)	1	2	3	4	5	6	7	8
Кол-во посетителей (чел.)	138	234	288	343	388	446	491	532
Условные обозначения	У1	У1	У3	У4	У5	У6	У7	У8

Абсолютный
прирост (сокращение),
его также называют абсолютным изменением
— это разность между двумя уровнями ряда
динамики, он показывает, на сколько
данный уровень отличается от
уровня,
взятого в качестве базы для сравнения.
Соответственно, формулы для базисного
и цепного способа выглядят так:

Базисный
способ: А
= y_i
— у₀

Цепной
способ: А = y_i
– y_i
+1

Где,
соответственно, А — абсолютное изменение,
Y_o
— базисный уровень; Yi
— сравниваемый уровень (или отчетный);
Y_;.i
— уровень предшествующего периода. Если
мы проведем расчеты по этим формулам
для наших данных, получим следующую
таблицу:

Таблица
№ 10

Расчет
абсолютного прироста

Неделя	1	2	3	4	5	6	7	8
Кол-во посетителей (чел.)	138	234	288	343	388	446	491	532
Базисный абсолютный прирост		234-138=96	288-138=150	343-138=205	250	308	353	394
Цепной абсолютный прирост		234-138=96	288-234=54	343-288=55	45	58	45	41

Если значение
абсолютного изменения положительное
(А>0), то это прирост, а если отрицательное
(А<0) — сокращение. Цепные и базисные
абсолютные приросты связаны между собой
— сумма последовательных цепных абсолютных
приростов равна базисному, то есть
общему приросту за

весь изучаемый
промежуток времени.

Для характеристики
интенсивности, то есть относительного
изменения уровня ряда за какой-либо
период, вычисляют такие относительные
показатели, как коэффициент и темп роста
(снижения). Эти показатели ассчитываются
как отношение отчетного уровня к
базисному, при этом

Базисный коэффициент роста (базисный уровень уо = у,-138)		234:138 =1,70	288:138 = 2,09	2,49	2,81	3,23	3,56	3,86
Цепной коэффициент роста		234:138 = 1,70	288:234 = 1,23	1,19	1,13	1,15	1,10	1,08
Базисный темп роста		170	209	249	281	323	356	386
Цепной темп роста		170	123	119	113	115	110	108

коэффициент роста
рассчитывается в долях единицы и
означает, во сколько раз сравниваемый
уровень больше или меньше того, с которым
проводится сравнение. Темп роста — это
тот же самый показисазатель, но
рассчитанный в %. Формулы для расчета
коэффициента и темпа роста выглядят
так:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #