Как найти середину на овале

Площадь эллипса
(S = pi ab)

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных и ;

2) всякое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат и :

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство и нулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса с центром в точке требуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку
(рис. 38). Имеем

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как и . Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса с центром в точке . Если центр окружности находится на оси , т. е. если , то уравнение (I) примет вид

Если центр окружности находится на оси т. е. если то уравнение (I) примет вид

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если , то уравнение (I) примет вид

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса с центром в точке .

Решение:

Имеем: . Подставив эти значения в уравнение (I), найдем .

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных и , как бы она ни была расположена в плоскости . Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) , то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на , получим:

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Положим Так как, по условию, то можно положить
Получим

Если в уравнении то оно определяет точку (говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же то уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: . Следовательно, .

Пример:

Установить, какое из уравнений:

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что . Во втором уравнении . Однако и оно не определяет окружность, потому что . В третьем уравнении условия выполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром и радиусом .

В четвертом уравнении также выполняются условия Однако преобразовав его к виду
, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы и которого лежат на оси
и находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Обозначив , получим Пусть произвольная точка эллипса. Расстояния называются фокальными радиусами точки . Положим

тогда, согласно определению эллипса, — величина постоянная и По формуле расстояния между двумя точками находим:

Подставив найденные значения и в равенство (1), получим уравнение эллипса:

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Имеем: положим

последнее уравнение примет вид

Так как координаты и любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть — произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

то откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Но так как то

т. е. точка действительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

1. Координаты точки не удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем Следовательно, эллипс пересекает ось в точках . Положив в уравнении (1) , найдем точки пересечения эллипса с осью :
(рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные и входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных и . В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

получим откуда или

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

мы видим, что при возрастании от 0 до величина убывает от до 0, а при возрастании от 0 до величина убывает от до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Точки пересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок называется
большой осью эллипса, а отрезок — малой осью. Оси являются осями симметрии эллипса, а точка — центром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Следовательно,

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Если же то уравнение

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси (рис. 42). В этом случае длина большой оси равна , а малой . Кроме того, связаны между собой равенством

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой .

Если , то, по определению,

При имеем

Из формул (3) и (4) следует . При этом с
увеличением разности между полуосями и увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между и уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если и уравнение эллипса примет вид , которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы и окружность , хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Для этого на осях координат строим вершины эллипса . Затем из вершины (можно из ) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки (рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что . Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна , и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , если его большая ось равна 14 и

Решение. Так как фокусы лежат на оси , то По
формуле (2) находим:

Следовательно, искомое уравнение, будет

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив получим , Пусть
— произвольная точка гиперболы.

Расстояния называются фокальными радиусами точки . Согласно определению гиперболы

где — величина постоянная и Подставив

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Имеем: . Положим

тогда последнее равенство принимает вид

Так как координаты и любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

1. Координаты точки (0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем . Следовательно, гипербола пересекает ось в точках . Положив в уравнение (1) , получим , а это означает, что система

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось .

3. Так как в уравнение (1) переменные и входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных и ; для этого из уравнения. (1) находим:

Имеем: или ; из (3) следует, что — любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой и справа от прямой

5. Из (2) следует также, что

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой , а другая слева от прямой .

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок , , называется мнимой осью. Число называется действительной полуосью, число — мнимой полуосью. Оси являются осями симметрии гиперболы. Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы всегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках , а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: . По формуле находим

Следовательно, искомое уравнение будет

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси , если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку .

Решение:

Имеем: . Положив в уравнении (1) , получим

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая называется
асимптотой кривой при , если

Аналогично определяется асимптота при . Докажем, что прямые

являются асимптотами гиперболы

при

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Положив найдем:

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям и и равны соответственно и , а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку и, имеющей асимптоты

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Заменив в уравнении гиперболы переменные и координатами точки и его найденным значением, получим:

Следовательно, искомое уравнение будет

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

к длине действительной оси и обозначается буквой :

Из формулы (§ 5) имеем поэтому

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы .

Решение:

По формуле (5) находим

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. . В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром и асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол (рис.49).

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат . Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Положив , получим:

Учитывая равенство (6), получим

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные — величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку .

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные координатами точки , получим:

Следовательно, искомое уравнение будет

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус которой лежит на оси , а
директриса параллельна оси и удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через . Из рис. 50 видно, что следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или

Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точки
и и проведем . Непосредственно из рис. 50 видно, что

а по формуле расстояния между двумя точками

согласно определению параболы

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Последнее уравнение эквивалентно

Координаты точки параболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Но так как из (3) , и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

1. Координаты точки удовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная входит только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Так как . Следовательно, парабола расположена справа от оси .

4. При возрастании абсциссы ордината изменяется от , т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси , так и от оси .

Парабола имеет форму, изображенную на рис. 51.

Ось является осью симметрии параболы. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок называется фокальным радиусом точки .

5. Если фокус параболы лежит слева от оси , а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси (рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Координаты ее фокуса будут ; директриса определяется уравнением .

6. Если фокус параболы имеет координаты , а директриса задана уравнением , то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты а директриса задана уравнением , то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Пример:

Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси , ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы будет , или .

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением .

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси и ветви расположены слева от оси , поэтому искомое уравнение имеет вид . Так как и, следовательно,

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке , ось симметрии которой параллельна оси , а ветви направлены вверх (рис. 53).

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке . Относительно новой системы координат парабола определяется уравнением

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Подставив значения из формул (2) в уравнение (1), получим

Преобразуем это уравнение следующим образом:

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке и с фокусом в точке .

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси (у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно

Заменив в уравнении (3) и координатами точки и его найденным значением, получим:

Пример:

Дано уравнение параболы

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной , получим

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Из формул (4) имеем:
следовательно, Подставляем найденные значения в уравнение (3):

Положив получим т. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными и :

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при и уравнение (1) примет вид

т. е. определяет эллипс;
2) при и уравнение (1) примет вид

т. е. определяет гиперболу;
3) при и уравнение (1) примет вид т. е. определяет параболу.

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

где — действительные числа; и одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная , является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным . Если , то кривая второго порядка — эллипс; — парабола; — гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная . Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: .

Если , то эллипс расположен вдоль оси ; если , то эллипс расположен вдоль оси (рис. 9а, 9б).

Если , то, сделав замену , перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то .

Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки , лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. .

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная (рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. и называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то .

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки , лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно .

Гипербола с равными полуосями называется равносторонней.

Прямые с уравнениями в канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось — осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы имеет координаты .

Директрисой параболы называется прямая в канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса равно .

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение:

1) Вычисляя значения с точностью до сотых при указанных значениях , получим таблицу:

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

из полярной в декартовую систему координат, получим: .

Возведем левую и правую части в квадрат: Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: , где

3) Это эллипс, смещенный на вдоль оси .

Ответ: эллипс , где

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Кривая второго порядка и её определение

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и b — координаты центра окружности, а х и у — текущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Перепишем это уравнение в следующем виде:

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Перепишем его в следующем виде:

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

и хорда Найти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

в уравнение окружности, получим:

Находим значение у:

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Приведем подобные члены:

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Но согласно определению эллипса

Из последнего неравенства следует, что а потому эту разность можно обозначить через Подставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Наконец, разделим все члены последнего равенства на окончательно получим:

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Из того же уравнения (5) найдем:

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х |

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

тогда из равенства (2) имеем:

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

тогда из равенства (1) имеем:

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

IV. Пусть х принимает такие значения, что

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка О — его центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2b — малой осью, Отрезки FМ и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Но согласно формуле (7)

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

Так как 0 а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Пример:

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Итак, большая ось эллипса а малая

Координаты вершин его будут:

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину

Из равенства (7) имеем:

Следовательно, координаты фокусов будут:

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

и, заменив в равенстве (2) F1М и FМ их выражениями, напишем:

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > FМ , и знак —, если F1М

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приведем подобные члены:

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Согласно определению гиперболы

При условии (5) разность имеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через

Сделав это в равенстве (4), получим:

Разделив последнее равенство на найдем окончательно:

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Из этого же уравнения (6) находим:

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

III. Пусть

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Следовательно, гипербола симметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и то величина у будет изменяться от 0 до : т. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и , то у будет изменяться опять от 0 до а это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и FМ — фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е.

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Но согласно равенству (8)

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Так как для гиперболы с > а , то дробь

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Но угловой коэффициент

Заменив в уравнении (1) найденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы

что невозможно, так как

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола не имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Из уравнения гиперболы имеем:

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза NМ и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

положим а = b то это уравнение примет вид

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

так как отношение

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем и

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Из рисежа имеем:

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Положим для краткости

тогда равенство (4) перепишется так:

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой <при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

тогда координаты фокуса F будут

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками FМ и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты , найдем:

Заменив FМ и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Отсюда следует: парабола проходит через начало координат.

II. Если х 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и будет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола состоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Точка О называется вершиной параболы, отрезок FМ — фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

а потому ее уравнение примет вид:

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Пример:

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Расстояние фокуса от начала координат равно , поэтому абсцисса фокуса будет Итак, фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Следовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

и уравнение параболы будет:

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Положив в уравнении (1)

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

тогда уравнение (5) примет вид

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Преобразуем его следующим образом:

тогда уравнение (10) примет вид:

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную ордината же ее

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Решение:

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Решая для этой цели систему уравнений

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна ордината же ее

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = = 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±, т.е. линия задается двумя функциями у = (верхняя полуокружность) и у = — (нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = = R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + ⇔
(х — ) + y² = .

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(;0) и радиусом .

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(; r) = 0. Если при этом зависимость r от обладает тем свойством, что каждому значению из области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от : r = f().

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3, ∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

	0
r	0	1		2		1	0	-2

Рис. 70. График функции r = 2 sin 3 в декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках ∈ [0; ], ∈ [;π], ∈ [-;] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе ∈ [0; ], то в секторах ∈ [; π], ∈ [— ; ] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах ∈ (; ), ∈ ;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r Рис. 71. График функции r = 2 sin 3 в полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:

Рис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4)

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Рис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = = 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Уравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5)

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
= ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: , |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = и нижней у = — . При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = (изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у = и у =-, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Рис. 74. Гипербола

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (= = — 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = = √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7)

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Рис. 75. Фокус и директриса параболы

Приравнивая, получаем:

(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = , х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Рис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = y, откуда 2р =; р =. Поэтому фокус имеет координаты F(0; ), а директриса — уравнение у = — (см. рис. 77).

Рис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C Рис. 78. Гипербола

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ = 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Рис. 79. Решение примера 6.7 Рис. 80. Решение примера 6.8

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: .

Ответ:

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = ⇔ а = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: .
Ответ: .

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ = 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса с полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: = 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ =1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: =1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

источники:

Answering part of the question with code

How to find the center of an ellipse by coordinates of a pair of points on its curve.

This is a TypeScript function which is based on the excellent accepted answer by Sergey Illinsky above (which ends somewhat halfway through, IMHO). It calculates the center of an ellipse with given radii, given the condition that both provided points a and b must lie on the circumference of the ellipse. Since there are (almost) always two solutions to this problem, the code choses the solution that places the ellipse «above» the two points:

(Note that the ellipse must have major and minor axis parallel to the horizontal/vertical)

/**
 * We're in 2D, so that's what our vertors look like
 */
export type Point = [number, number];

/**
 * Calculates the vector that connects the two points
 */
function deltaXY (from: Point, to: Point): Point {
    return [to[0]-from[0], to[1]-from[1]];
}

/**
 * Calculates the sum of an arbitrary amount of vertors
 */
function vecAdd (...vectors: Point[]): Point {
    return vectors.reduce((acc, curr) => [acc[0]+curr[0], acc[1]+curr[1]], [0, 0]);
}

/**
 * Given two points a and b, as well as ellipsis radii rX and rY, this 
 * function calculates the center-point of the ellipse, so that it
 * is "above" the two points and has them on the circumference
 */
function topLeftOfPointsCenter (a: Point, b: Point, rX: number, rY: number): Point {
    const delta = deltaXY(a, b);
    
    // Sergey's work leads up to a simple system of liner equations. 
    // Here, we calculate its general solution for the first of the two angles (t1)
    const A = Math.asin(Math.sqrt((delta[0]/(2*rX))**2+(delta[1]/(2*rY))**2));
    const B = Math.atan(-delta[0]/delta[1] * rY/rX);
    const alpha = A + B;
    
    // This may be the new center, but we don't know to which of the two
    // solutions it belongs, yet
    let newCenter = vecAdd(a, [
        rX * Math.cos(alpha),
        rY * Math.sin(alpha)
    ]);

    // Figure out if it is the correct solution, and adjusting if not
    const mean = vecAdd(a, [delta[0] * 0.5, delta[1] * 0.5]);
    const factor = mean[1] > newCenter[1] ? 1 : -1;
    const offMean = deltaXY(mean, newCenter);
    newCenter = vecAdd(mean, [offMean[0] * factor, offMean[1] * factor]);

    return newCenter;
}

This function does not check if a solution is possible, meaning whether the radii provided are large enough to even connect the two points!

Отстойные, но довольно быстрые, способы — через решение систем уравнений влоб. Типа, окружность по трем точкам, эллипс по восьми (?) точкам, перебираем комбинации все/случайным образом и усредняем результат. То, что предлагает mayorovp вторым пунктом. Почему отстойные — устойчивость плохая. Именно так мы делаем у себя — способы действительно отстойные и требуют костылей, но действительно быстрые. Разница между реальным центром и найденным таким способом намного меньше пикселя, но костылей действительно много. Например, отбирая треугольник при поиске окружности по 3-м точкам, нужно, чтобы все три точки были из разных четвертей окружности.
Я не рекомендую — кода много, а экономия оправдывает себя только на железе 20 летней давности, когда нужен околорилтайм. Для эллипса по-моему малореально вообще что-либо нормальное получить.

Универсальный способ — метод наименьших квадратов. То есть заставить компьютер подобрать такие параметры эллипса чтобы разница между эллипсом и нашими точками была минимальной. Лучше критерий сложно придумать — хотя иногда получается не то, что ожидаешь, но это скорее говорит о том, что исходные данные неправильные.

Алгоритм такой:
1. Выбираем подходящее уравнение эллипса.
2. Пишeм целевую функцию (сумма квадратов уравнения для каждой точки исходных данных). По необходимости добавляем к целевой функции дополнительные условия, типа невырождаемости эллипса в гиперболу. Типа, если условие нарушается, устремляем ее в бесконечность.
3. Выбираем минимизатор (градиентный спуск, нормальное уравнение т. д.)
4. Если результаты не устраивают по скорости или качеству, возвращаемся к п. 3 или к п. 1.

По поводу третьего пункта. В России почему-то считается, что МНК — это когда решение идет с помощью нормального уравнения (составляем матрицы и решаем (AtA)^-1*At*x=b без итераций в один присест). Это не так. Минимизировать можно каким угодно способом. Хоть генетическими алгоритмами. Нормальное уравнение хорошо тогда, когда член (AtA)^-1 получается маленькой квадратной матрицей. То есть когда параметров мало, а точек очень много. Систему уравнений для эллипса вообще к виду A*x-b=0 привести служно. Искать соответствующие статьи как это делается мне влом, поэтому я пойду влоб, в качестве минимизатора взяв стандартный матлабовский.

Используя формулы mayorovp.

%точки
xs = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
ys = [11 10 9 7 5 4 3 2 1 1];

%сначала приблизим окружностью - чтобы не вырождалось в гиперболу
%уравнение окружности
circ = @(xs, ys, x0, y0, Rsq) (xs - x0).^2 + (ys - y0).^2 - Rsq;
%целевая функция МНК
fitfunc1 = @(X) sum( ( circ(xs, ys, X(1), X(2), X(3)) ) .^2 );

%начальное приближение
x0 = mean(xs);
y0 = mean(ys);
R = 1;
result1 = fminsearch(fitfunc1, [x0 y0 R], optimset('display', 'iter'));


%уравнение эллипса
ellipse = @(xs, ys, x0, y0, A, B, C, F) A*(xs-x0).^2 + B*(xs-x0).*(ys-y0) + C*(ys-y0).^2 - F;
%целевая функция МНК
fitfunc2 = @(X) sum( ( ellipse(xs, ys, X(1), X(2), X(3), X(4), X(5), X(6))) .^2 );

%начальное приближение - найденная окружность
x0 = result1(1);
y0 = result1(2);
A = 1;
B = 0;
C = 1;
F = result1(3);
 
%сумма квадратов целевой функции для каждой точки
result = fminsearch(fitfunc2, [x0 y0 A B C F], optimset('display', 'iter'));
 
figure
hold on;
%изначальные точки
scatter(xs, ys,'b');
%эллипс
xs1 = -2:0.005:20;
ys1 = -2:0.005:20;
[xss yss] = meshgrid(xs1, ys1);
ell = abs(ellipse(xss(:), yss(:), result(1), result(2), result(3), result(4), result(5), result(6)) ) < 0.0001;
scatter(xss(ell), yss(ell),'r');

Российская кривая: коническое сечение Эллипс (красный), полученный как пересечение конуса с наклонной плоскостью. Эллипс: обозначения Эллипсы: примеры с возрастающим эксцентриситетом

В математике, эллипс — это плоская кривая , окружающая два фокальные точки, так что для всех точек на кривой сумму двух расстояний до фокальных точек является постоянной. Таким образом, он обобщает круг , который представляет собой особый тип эллипса, в котором две точки фокусировки совпадают. Удлинение эллипса измеряется его эксцентриситетом e, числом от e = 0 (предельный случай окружности) до e = 1 (предельный случай бесконечного удлинения, больше не эллипс, а парабола ).

Эллипс имеет простое алгебраическое решение для своей площади, но только приближения для его периметра, для которого требуется интегрирование для получения точного решения.

Анали уравнение стандартного эллипса с центром в начале координат с шириной 2a и высотой 2b имеет вид:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. { displaystyle { frac {x ^ {2 }} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

Предполагая, что a ≥ b, фокусы равны (± c, 0) для c = a 2 — b 2 { displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}. Стандартное параметрическое уравнение:

(x, y) = (a cos ⁡ (t), b sin ⁡ (t)) для 0 ≤ t ≤ 2 π. { displaystyle (x, y) = (a cos (t), b sin (t)) quad { text {for}} quad 0 leq t leq 2 pi.}

эллипсы являются закрытым типом конического сечения : плоская кривая, отслеживающая пересечение конуса с плоскостью (см. рисунок). Эллипсы имеют много общего с двумя другими формами конических сечений, параболами и гиперболами, обе из которых являются открытыми и неограниченными. Угловое поперечное сечение цилиндра также является эллипсом.

Эллипс также может быть определен в терминах одной точки фокусировки и линии за пределами эллипса, называемой направляющей : для всех точек на эллипсе отношение расстояния к фокус, расстояние до директрисы является постоянным. Это постоянное соотношение является упомянутым выше эксцентриситетом:

e = ca = 1 — b 2 a 2 { displaystyle e = { frac {c} {a}} = { sqrt {1 — { frac {b ^ { 2}} {a ^ {2}}}}}}.

Эллипсы распространены в физике, астрономии и инженерии. Например, орбита каждой планеты в солнечной системе представляет собой эллипс с Солнцем в одной точке фокусировки (точнее, фокус — это барицентр пары Солнце — планета). То же верно и для спутников, вращающихся вокруг планет, и для всех других систем двух астрономических тел. Формы планет и звезд часто хорошо описываются эллипсоидами. Круг, если смотреть под боковым углом, как эллипс: то есть эллипс — это изображение круга под параллельной или перспективной проекцией. Эллипс также является самой простой фигурой Лиссажу, образованной, когда горизонтальные и вертикальные движения синусоиды с одинаковой точностью: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптика.

Имя λλειψις (élleipsis, «упущение») было дано Аполлонием Пергским в его Кониксах.

Содержание

• 1 Определение как геометрическое место точек
• 2 В декартовых координатах
  • 2.1 Стандартное уравнение
  • 2.2 Параметры
    • 2.2.1 Главные оси
    • 2.2.2 Линейный эксцентриситет
    • 2.2.3 Эксцентриситет
    • 2.2.4 Semi-latus rectum
  • 2.3 Касательная
  • 2.4 Сдвинутый эллипс
  • 2.5 Общий эллипс
• 3 Параметрическое представление
  • 3.1 Стандартное параметрическое представление
  • 3.2 Рациональное представление
  • 3.3 Наклон касательной как параметр
  • 3.4 Общий эллипс
• 4 Полярные формы
  • 4.1 Полярная форма относительно центра
  • 4.2 Полярная форма относительно фокуса
• 5 Эксцентриситет и свойство директрисы
• 6 Свойство отражения от фокуса к фокусу
• 7 Сопряженные диаметры
  • 7.1 Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах
• 8 Ортогональные касательные
• 9 Рисование эллипсов
  • 9.1 Построение точки де Ла Хира
  • 9.2 Штифты Метод струн
  • 9.3 Методы бумажной ленты
  • 9.4 Аппроксимац ия соприкаса с кругами
  • 9.5 Поколение Штейнера
  • 9.6 Как гипотрохоида
• 10 вписанные углы и трехточечная форма
  • 10.1 окружности
    • 10.1.1 теорема вписанных углов для окружностей
    • 10.1.2 трехточечная форма уравнения окружности
  • 10.2 эллипсы
    • 10.2.1 вписанные Теорема об углах для эллипсов
    • 10.2.2 Трехточечная форма уравнения эллипса
• 11 Соотношение полюсов и полюсов
• 12 Метрические свойства
  • 12.1 Площадь
  • 12.2 Окружность
  • 12.3 Кривизна
• 13 В геометрии треугольника
• 14 В виде плоских сечений квадрик
• 15 Приложения
  • 15.1 Физика
    • 15.1.1 Эллиптические отражатели и акустика
    • 15.1.2 Планетарные орбиты
    • 15.1.3 Гармонические осцилляторы
    • 15.1.4 Просмотр фаз
    • 15.1.5 Эллиптические шестерни
    • 15.1.6 Оптика
  • 15.2 Статистика и финансы
  • 15.3 Компьютерная графика
  • 15.4 Теория оптимизации
• 16 См. Также
• 17 Примечания
• 18 Ссылки
• 19 Внешние ссылки

Определение как геометрическое место точек

Эллипс: определение по сумме расстояний до фокусов Эллипс: определение по фокусу и круговой направляющей

эллипс может быть определен геометрически как набор или геометрическое место точек на евклидовой плоскости:

Даны две фиксированные точки F 1, F 2 { displaystyle F_ {1}, F_ {2}}называется фокусами и расстояние 2 a { displaystyle 2a}, больше, чем расстояние между фокусами, эллипс — это набор точек P { displaystyle P}такие, что сумма расстояний | P F 1 |, | P F 2 | { displaystyle | PF_ {1} |, | PF_ {2} |}равно 2 a { displaystyle 2a}:E = {P ∈ R 2 ∣ | P F 2 | + | P F 1 | = 2 а}. { Displaystyle E = {P in mathbb {R} ^ {2} , mid , | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a } .}

Средняя точка C { displaystyle C}отрезка линии, соединяющего фокусы, называется центр эллипса. Линия, проходящая через фокус, называется большая осью, а линия, перпендикулярная ей, проходящая через центр, — малой осью. Большая ось пересекает эллипс в точках вершин V 1, V 2 { displaystyle V_ {1}, V_ {2}}, которые имеют расстояние a { displaystyle a}в центре. Расстояние c { displaystyle c}фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентитетом. Частное e = c a { displaystyle e = { tfrac {c} {a}}}— это эксцентриситет.

Случай F 1 = F 2 { displaystyle F_ {1} = F_ {2}}дает круг и включен как особый тип эллипса.

Уравнение | P F 2 | + | P F 1 | Знак равно 2 а { Displaystyle | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}можно просмотреть по-другому (см. Рисунок):

If c 2 { displaystyle c_ {2}}— круг со средней точкой F 2 { displaystyle F_ {2}}и радиусом 2 a { displaystyle 2a}, тогда расстояние от точки P { displaystyle P}до окружности c 2 { displaystyle c_ {2}}равно расстояние до фокуса F 1 { displaystyle F_ {1}}:

| P F 1 | = | P c 2 |. { displaystyle | PF_ {1} | = | Pc_ {2} |.}

c 2 { displaystyle c_ {2}}называется круговой направляющей (связано с фокусом F 2 { displaystyle F_ {2}}) эллипса. Это свойство не следует путать с определением эллипса с помощью прямой линии ниже.

Используя сферы Данделина, можно доказать, что любое плоское сечение конуса с плоскостью является эллипсом, при условии, что плоскость не содержит вершины и имеет наклон меньше, чем у прямого на конусе.

В декартовых координатах

Параметры формы:

• a: большая полуось,
• b: малая полуось,
• c: линейный эксцентриситет,
• p: semi-latus rectum (обычно ℓ { displaystyle ell}).

Стандартное уравнение

Стандартная форма эллипса в декартовых координатах предполагает, что начало координат находится в центре эллипса ось x — большая ось, и:

фокусы — это точка F 1 = (c, 0), F 2 = (- c, 0) { displaystyle F_ {1} = (c, , 0), F_ { 2} = (- c, , 0)},

вершинами являются V 1 = (a, 0), V 2 = (- a, 0) { displaystyle V_ {1} = (a, , 0), V_ {2} = (- a, , 0)}.

для произвольной точки (x, y) { displaystyle (x, y)}расстояние до фокуса (с, 0) { displaystyle (c, 0)}равно (x — c) 2 + y 2 { displaystyle { sqrt {(xc) ^ {2 } + y ^ {2}}}}и в другом фокусе (x + c) 2 + y 2 { displaystyle { sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}}}. Следовательно, точка (x, y) { displaystyle (x, , y)}находится на эллипсе всякий раз, когда:

(x — c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2 a. { displaystyle { sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}} + { sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a .}

Удаление радикалов подходящими квадратами и использованием b 2 = a 2 — c 2 { displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}}производит стандартное уравнение эллипса:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, { displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

или, решенное относительно y:

y = ± baa 2 — x 2 = ± (a 2 — x 2) (1 — е 2). { displaystyle y = pm { frac {b} {a}} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} = pm { sqrt { left (a ^ {2} — x ^ {2} right) left (1-e ^ {2} right)}}.}

Параметры ширины и высоты a, b { displaystyle a, ; b}называются большой и малой полуосями. Верхняя и нижняя точки V 3 = (0, b), V 4 = (0, — b) { displaystyle V_ {3} = (0, , b), ; V_ {4} = (0, , — b)}— совпадающие вершины. Расстояния от точки (x, y) { displaystyle (x, , y)}на эллипсе до левого и правого фокусов равны a + ex { displaystyle a + ex}и a — ex { displaystyle a-ex}.

Из уравнения следует, что эллипс симметричен относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат.

Параметры

Главные оси

В этой статье большая и малая полуоси обозначаются a { displaystyle a}и b { displaystyle b}соответственно, т.е. а ≥ b>0. { displaystyle a geq b>0 .}

В принципе, каноническое уравнение эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2 }} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}может иметь a < b {displaystyle a(и, следовательно, эллипс будет быть выше, чем ширина). Эту форму можно преобразовать в стандартную, переставить имена чисел x { displaystyle x}и y { displaystyle y}и имена параметров a { displaystyle a}и b. { Displaystyle b.}

Линейный эксцентриситет

Это расстояние от центра к фокусу: c = a 2 — b 2 { displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}.

Эксцентриситет

Эксцентриситет можно выразить как:

e = ca = 1 — (ba) 2 { displaystyle e = { frac {c} {a}} = { sqrt {1- left ({ frac {b}) {a}} right) ^ {2}}}},

предположим г а>б. { displaystyle a>b.}Эллипс с одинаковыми осями (a = b { displaystyle a = b}) имеет нулевой эксцентриситет и представляет собой окружность.

-lat7

Длина хорды, проходящей через один очаг, перпендикулярной большой оси, называется latus rectum. Половина ее составляет semi-latus rectum ℓ { displaystyle ell}. Расчет показывает:

ℓ знак равно b 2 a = a (1 — e 2). { Displaystyle ell = { frac {b ^ {2}} {a}} = a left (1-e ^ {2} right).}

Прямая полу-широта ℓ { displaystyle ell}равна радиусу кривизны в вершинах (см. Раздел кривизна).

Касательная

Произвольная линия g { displaystyle g}пересекает эллипс в 0, 1 или 2 точках соответственно называется внешней линией, касательной и с екущей. Через любую точку эллипса есть единственная касательная. Касательная в точке (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}эллипса x 2 a 2 + y 2 б 2 знак равно 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}имеет координатное уравнение:

x 1 a 2 x + y 1 b 2 y = 1. { displaystyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + { frac {y_ { 1}} {b ^ {2}}} y = 1.}

Векторное параметрическое уравнение касательной:

x → = (x 1 y 1) + s (- y 1 a 2 Икс 1 б 2) { Displaystyle { vec {x}} = { begin {pmatrix} x_ {1} \ y_ {1} end {pmatrix}} + s { begin {pmatrix} ; ! — y_ {1} a ^ {2} \; x_ {1} b ^ {2} end {pmatrix}} }с s ∈ R. { displaystyle s in mathbb {R} .}

Доказательство: Пусть (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}быть точкой на эллипсе и x → = (Икс 1 Y 1) + s (УФ) { textstyle { vec {x}} = { begin {pmatrix} x_ {1} \ y_ {1} end {pmatrix}} + s { begin {pmatrix} u \ v end {pmatrix}}}быть уравнением любого прямого g { displaystyle g}представ (x 1, y 1) { Displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}. Вставка уравнения линии в уравнении эллипса и соблюдение x 1 2 a 2 + y 1 2 b 2 = 1 { displaystyle { frac {x_ {1} ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y_ {1} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}дает:

(x 1 + su) 2 a 2 + (y 1 + sv) 2 b 2 знак равно 1 ⟹ 2 s (x 1 ua 2 + y 1 vb 2) + s 2 (u 2 a 2 + v 2 b 2) = 0. { displaystyle { frac { left (x_ {1) } + su right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { left (y_ {1} + sv right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 quad Longrightarrow quad 2s left ({ frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + { frac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} вправо) + s ^ {2} left ({ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {v ^ {2}} {b ^ {2}}} right) = 0 .}

Тогда есть случаи:

1. x 1 a 2 u + y 1 b 2 v = 0. { displaystyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + { frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v = 0.}Затем строка g { displaystyle g}и эллипс имеют только точка (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}в общем, а g { displaystyle g}— ка сательная. Касательное направление имеет перпендикулярный вектор (x 1 a 2 y 1 b 2) { displaystyle { begin {pmatrix} { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} { frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} end {pmatrix}}}, поэтому касательная линия имеет уравнение x 1 a 2 x + y 1 б 2 y = к { textstyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + { tfrac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = k}для некоторых k { displaystyle k}. <Времен738>(x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}находится на касательной и эллипсе, получаем k = 1 { displaystyle к = 1}.
2. x 1 a 2 u + y 1 b 2 v ≠ 0. { displaystyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + { frac {y_ {1) }} {b ^ {2}}} v neq 0.}Тогда строка g { displaystyle g}имеет вторую точку, общую с эллипсом, и является секансом.

Используя (1), получаем, что (- y 1 a 2 x 1 b 2) { displaystyle { begin {pmatrix} -y_ {1} a ^ {2} x_ {1} b ^ {2} end {pmatrix}}}— касательный вектор в точке (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}, что доказывает образец уравнение.

Если (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}и (u, v) { displaystyle (u, v)}— две точки эллипса, такие что x 1 ua 2 + y 1 vb 2 = 0 { textstyle { frac {x_ {1} u} {a ^ { 2}}} + { tfrac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} = 0}, то точки лежат на двух сопряженных диаметрах (см. ниже). (Если a = b { displaystyle a = b}, эллипс представляет собой круг, а «сопряженный» означает «ортогональный».)

Сдвинутый эллипс

Если стандартный эллипс смещен так, чтобы его центр был (x ∘, y ∘) { displaystyle left (x _ { circ}, , y _ { circ} right)}, его уравнение:

(x — x ∘) 2 a 2 + (y — y ∘) 2 b 2 = 1. { displaystyle { frac { left (xx _ { circ} right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { left (yy _ { circ} right)) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 .}

Оси по-прежнему параллельны осям x и y.

Общий эллипс

В аналитической геометрии эллипс определяется как квадрика: набор точек (X, Y) { displaystyle (X, , Y)}в декартовой плоскости, которая в невырожденных случаях удовлетворяет неявному уравнению

AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F = 0 { displaystyle AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DX + EY + F = 0}

при условии B 2–4 AC < 0. {displaystyle B^{2}-4AC<0.}

Чтобы различать вырожденные случаи из невырожденного случая, пусть ∆ — детерминант

∆ = | A 1 2 B 1 2 D 1 2 B C 1 2 E 1 2 D 1 2 E F | = (AC — B 2 4) F + BED 4 — CD 2 4 — AE 2 4. { displaystyle Delta = { begin {vmatrix} A { frac {1} {2}} B { frac {1} {2}} D \ { frac {1} {2}} BC и { frac {1} {2}} E \ { frac {1} {2}} D { frac {1} {2}} EF end {vmatrix}} = left (AC — { frac {B ^ {2}} {4}} right) F + { frac {BED} {4}} — { frac {CD ^ {2}} {4}} — { frac {AE ^ {2}} {4}}.}

Тогда эллипс является невырожденным действительным эллипсом тогда и только тогда, когда C∆ < 0. If C∆>0, у нас есть мнимый эллипс, а если ∆ = 0, у нас есть точечный эллипс.

коэффициенты общих уравнений могут быть получены из известной большой полуоси a { displaystyle a}, малой полуоси b { displaystyle b}, координаты центра (x ∘, y ∘) { displaystyle left (x _ { circ}, , y _ { circ} right)}и угол поворота θ { displaystyle theta}(угол между положительной горизонтальной осью и большой осью эллипса) по формулам:

A = a 2 sin 2 ⁡ θ + b 2 cos 2 ⁡ θ B = 2 (b 2 — a 2) sin ⁡ θ cos ⁡ θ C = a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 sin 2 ⁡ θ D = — 2 A x ∘ — B y ∘ E = — B x ∘ — 2 C у ∘ F = A Икс ∘ 2 + В Икс ∘ Y ∘ + С Y ∘ 2 — а 2 б 2. { Displaystyle { begin {align} A = a ^ {2} sin ^ {2} theta + b ^ {2 } cos ^ {2} theta \ B = 2 left (b ^ {2} -a ^ {2} right) sin theta cos theta \ C = a ^ {2} cos ^ {2} theta + b ^ {2} sin ^ {2} theta D = — 2Ax _ { circ} -By _ { circ} \ E = — Bx _ { circ} -2Cy _ { circ} \ F = Ax _ { circ} ^ {2} + Bx _ { circ} y _ { circ} + Cy _ { circ} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2}. end {align}}}

Эти выражения могут быть получены из канонического уравнения x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2 }}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}аффинным преобразованием координат (x, y) { displaystyle (x, , y)}:

x = (X — x ∘) cos ⁡ θ + (Y — y ∘) sin ⁡ θ y = — (X — x ∘) sin ⁡ θ + (Y — y ∘) cos ⁡ θ. { Displaystyle { begin {выровнено} х = влево (X-х _ { circ} right) cos theta + left (Yy _ { circ} right) sin theta \ y = — left (Xx _ { circ} right) sin theta + left (Yy _ { circ} right) cos theta. end {align}}}

И наоборот, Параметры канонической формы могут быть получены из коэффициентов общей формы с помощью уравнений:

a, b = — 2 (AE2 + CD 2 — BDE + (B 2 — 4 AC) F) ((A + C) ± (A — C) 2 + B 2) B 2 — 4 AC x ∘ = 2 CD — BEB 2 — 4 AC y ∘ = 2 AE — BDB 2 — 4 AC θ = {arctan ⁡ (1 B (C — A — (A — C) 2 + B 2)) для B ≠ 0 0 для B = 0, A < C 90 ∘ for B = 0, A>C { displaystyle { begin {align} a, b = { frac {- { sqrt {2 { Big (} AE ^ {2} + CD ^ {2} -BDE + (B ^ {2} — 4AC) F { Big)} left ((A + C) pm { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} right)}}} {B ^ {2} — 4AC}} \ x _ { circ} = { frac {2CD-BE} {B ^ {2} — 4AC}} \ [3pt] y _ { circ} = { frac {2AE- BD} {B ^ {2} -4AC}} \ [3pt] theta = { begin {cases} arctan left ({ frac {1} {B}} left (CA — { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} right) right) { text {for}} B neq 0 \ 0 { text {for}} B = 0, A C \ end {case}} end {align}}}

Параметрическое представление

П остроение точек связано на основе параметрического уравнения и интерпретации t, что с de la Hire Точки Эллипса, вычисленные с помощью рационального представления с равными разнесенными объектами (

Δ u = 0,2 { displaystyle Delta u = 0, 2}

).

Стандартное параметрическое представление

Использование тригонометрические функции, параметрическое представление стандартного эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}равно:

(x, y) = (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t), 0 ≤ t < 2 π. {displaystyle (x,,y)=(acos t,,bsin t), 0leq t<2pi .}

Параметр t (который в астрономии называется эксцентрической аномалией ) не является углом (x (t), y ( t)) { displaystyle (x (t), y (t))}с осью x, но имеет геометрию этрическое значение согласно Philippe de L Прокат (см. Рисование эллипсов ниже).

Рациональное представление

С заменой u = tan ⁡ (t 2) { textstyle u = tan left ({ frac {t} {2}} right) }и тригонометрические формулы

cos ⁡ t = 1 — u 2 U 2 + 1, ⁡ T знак равно 2 uu 2 + 1 { displaystyle cos t = { frac {1- u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} , quad sin t = { frac {2u} {u ^ {2} +1}}}

и рациональное параметрическое уравнение эллипса

x (u) = a 1 — u 2 u 2 + 1 y (u) = 2 buu 2 + 1, — ∞ < u < ∞, {displaystyle {begin{aligned}x(u)=a{frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\y(u)={frac {2bu}{u^{2}+1}}end{aligned}};,quad -infty

который покрывает любую точку эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}кроме вершины левой (- a, 0) { displaystyle (-a, , 0)}.

Для u ∈ [0, 1], { displaystyle u in [0, , 1 ],}эта формула представляет правый верхний четверть эллипса, движущегося против часовой стрелки u. { displaystyle u.}Левая вершина является пределом lim u → ± ∞ (x (u), y (u)) = (- a, 0). { displaystyle lim _ {u to pm infty} (x (u), , y (u)) = (- a, , 0) ;.}

Рациональные представления конических сечений обычно используются в автоматизированном проектировании (см. кривая Безье ).

Наклон касательной как параметр

Параметрическое представление, в котором используется наклон m { displaystyle m}касательной в точке эллипса, можно полученное из производной стандартного представления Икс → (T) = (a соз ⁡ T, b sin ⁡ t) T { displaystyle { vec {x}} (t) = (a cos t, , b sin t) ^ { mathsf {T}}}:

x → ′ (t) = (- грех ⁡ t, b cos ⁡ t) T → m = — ba cot ⁡ t → cot ⁡ t = — маб. { displaystyle { vec {x}} ‘(t) = (- a sin t, , b cos t) ^ { mathsf {T}} quad rightarrow quad m = — { frac { b} {a}} cot t quad rightarrow quad cot t = — { frac {ma} {b}}.}

С помощью тригонометрических формул получаем:

cos ⁡ t = детская кроватка ⁡ t ± 1 + детская кроватка 2 ⁡ t = — ma ± m 2 a 2 + b 2, sin ⁡ t = 1 ± 1 + детская кроватка 2 ⁡ t = b ± m 2 a 2 + b 2. { displaystyle cos t = { frac { cot t} { pm { sqrt {1+ cot ^ {2} t}}}} = { frac {-ma} { pm { sqrt { m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}} , quad quad sin t = { frac {1} { pm { sqrt {1+ cot ^ {2) } t}}}} = { frac {b} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}.}

Замена cos ⁡ t { displaystyle cos t}и sin ⁡ t { displaystyle sin t}стандартного представления дает:

c → ± (m) = ( — ma 2 ± m 2 a 2 + b 2, b 2 ± m 2 a 2 + b 2), m ∈ R. { displaystyle { vec {c}} _ { pm} (m) = left ( — { frac {ma ^ {2}} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2}) + b ^ {2}}}}}, ; { frac {b ^ {2}} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}} right), , m in mathbb {R }.}

Здесь m { displaystyle m}— наклон касательной в точке эллипса, c → + { displaystyle { vec {c}} _ {+} }является верхним, а c → — { displaystyle { vec {c}} _ {-}}нижняя половина эллипса. Вершины (± a, 0) { displaystyle ( pm a, , 0)}, имеющие вертикальные касательные, не охватываются представлением.

Уравнение касательной в точке c → ± (m) { displaystyle { vec {c}} _ { pm} (m)}имеет вид y знак равно mx + n { displaystyle y = mx + n}. Все еще неизвестное n { displaystyle n}может быть определено вставки координат точки эллипса c → ± (m) { displaystyle { vec {c}} _ { pm } (m)}:

y = mx ± m 2 a 2 + b 2. { displaystyle y = mx pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} ;.}

Это описание касательных эллипса является важным инструментом для определения ортоптики эллипса. Ортоптическая статья содержит другое доказательство, без дифференциального исчисления и тригонометрических формул.

Общий эллипс

Эллипс как аффинное изображение единичной окружности

Другое определение эллипса использует аффинные преобразования :

Любой эллипс является аффинным представлением единичной окружности с уравнением x 2 + y 2 = 1 { displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}.

параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости вид x → ↦ е → 0 + A x → { displaystyle { vec {x}} mapsto { vec {f}} ! _ {0} + A { vec {x}}}, где A { displaystyle A}— это обычная матрица (с ненулевым определителем ) и f → 0 { displaystyle { vec {f}} ! _ {0}}— произвольный вектор. Если f → 1, f → 2 { displaystyle { vec {f}} ! _ {1}, { vec {f}} ! _ {2}}являются устойчивыми столбцами матрицы A { displaystyle A}, единичный круг (cos ⁡ (t), sin ⁡ (t)) { displaystyle ( cos (t), sin (t))}, 0 ≤ t ≤ 2 π { displaystyle 0 leq t leq 2 pi}, отображается на эллипс:

x → = p → (t) = f → 0 + f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ t. { displaystyle { vec {x}} = { vec {p}} (t) = { vec {f}} ! _ {0} + { vec {f}} ! _ {1} cos t + { vec {f}} ! _ {2} sin t .}

Здесь f → 0 { displaystyle { vec {f}} ! _ {0}}— центр, а f → 1, f → 2 { displaystyle { vec {f}} ! _ {1}, ; { vec {f}} ! _ {2}}— это направления двух сопряженных диаметров, обычно не перпендикулярные.

вершины

Четыре вершины эллипса: p → (t 0), p → (t 0 ± π 2), p → (t 0 + π) { displaystyle { vec {p}} ( t_ {0}), ; { vec {p}} left (t_ {0} pm { tfrac { pi} {2}} right), ; { vec {p}} left (t_ {0} + pi right)}, для проекта t = t 0 { displaystyle t = t_ {0}}определенного количества:

детская кроватка ⁡ (2 t 0) = f → 1 2 — f → 2 2 2 f → 1 ⋅ f → 2. { displaystyle cot (2t_ {0}) = { гидроразрыв {{ vec {f}} ! _ {1} ^ {, 2} — { vec {f}} ! _ {2} ^ {, 2}} {2 { vec {f}} ! _ {1} cdot { vec {f}} ! _ {2}}}.}

(Если f → 1 ⋅ f → 2 = 0 { displaystyle { vec {f}} ! _ {1} cdot { vec {f}} ! _ {2} = 0}, затем t 0 = 0 { displaystyle t_ {0} = 0}.) Это выводится следующим образом. Касательный вектор в точке p → (t) { displaystyle { vec {p}} (t)}равенство:

p → ′ (t) = — f → 1 sin ⁡ t + f → 2 cos ⁡ t. { displaystyle { vec {p}} , ‘(t) = — { vec {f}} ! _ {1} sin t + { vec {f}} ! _ {2} cos t .}

При параметре вершины t = t 0 { displaystyle t = t_ {0}}касательная перпендикулярна большая / вспомогательной осям, поэтому:

0 = p → ′ (t) ⋅ (p → (t) — f → 0) = (- f → 1 sin ⁡ t + f → 2 cos ⁡ t) ⋅ (f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ т). { displaystyle 0 = { vec {p}} ‘(t) cdot left ({ vec {p}} (t) — { vec {f}} ! _ {0} right) = left (- { vec {f}} ! _ {1} sin t + { vec {f}} ! _ {2} cos t right) cdot left ({ vec {f} } ! _ {1} cos t + { vec {f}} ! _ {2} sin t right).}

Расширение и применение тождеств cos 2 ⁡ t — sin 2 ⁡ t знак равно соз ⁡ 2 T, 2 грех ⁡ T соз ⁡ T знак равно грех ⁡ 2 t { displaystyle cos ^ {2} t- sin ^ {2} t = cos 2t, 2 sin t cos t = sin 2t}дает уравнение для t = t 0 { displaystyle t = t_ {0}}.

неявного представления

Решение параметрического представления для cos ⁡ т, грех ⁡ т { displaystyle ; cos t, sin t ;}по правилу Крамера и с использованием cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t — 1 = 0 { displaystyle ; cos ^ {2} t + sin ^ {2} t-1 = 0 ;}, получается неявное представление

det (x → — f → 0, f → 2) 2 + det (е → 1, x → — f → 0) 2 — det (f → 1, f → 2) 2 = 0 { displaystyle det ({ vec {x}} ! — ! { vec { f}} ! _ {0}, { vec {f}} ! _ {2}) ^ {2} + det ({ vec {f}} ! _ {1}, { vec { x}} ! — ! { Vec {f}} ! _ {0}) ^ {2} — det ({ vec {f}} ! _ {1}, { vec {f} } ! _ {2}) ^ {2} = 0}.

Определение эллипса в этом разделе дает параметрическое представление произвольноголипса, даже в пространстве, если можно f → 0, f → 1, е → 2 { displaystyle { vec {f}} ! _ {0}, { vec {f}} ! _ {1}, { vec {f}} ! _ {2}}быть векторми в дизайне.

Полярные формы

Полярные формы относительно центра

Полярные координаты с центром в центре.

В полярных координатах, с началом в центре эллипса и с угловой координатой θ { displaystyle theta}, измеренной от большой оси, уравнение эллипса имеет вид

р (θ) знак равно ab (b соз ⁡ θ) 2 + (грех ⁡ θ) 2 знак равно б 1 — (е соз ⁡ θ) 2 { displaystyle r ( theta) = { frac {ab} { sqrt {(b cos theta) ^ {2} + (a sin theta) ^ {2}}}} = { frac {b} { sqrt {1- (e cos theta) ^ { 2}}}}

Полярная форма относительно фокуса

Полярные координаты с центром в фокусе.

Если вместо этого мы будем использовать полярные координаты с началом в одном фокусе, с угловой координатой θ = 0 { displaystyle theta = 0}, все еще измеренной от большой оси уравнения эллипса имеет вид

r (θ) = a (1 — e 2) 1 ± e cos ⁡ θ { displaystyle r ( theta) = { frac {a (1-e ^ {2})} {1 pm e cos theta}}}

где знак в знаменателе отрицательный, если направление ссылки θ = 0 { displaystyle theta = 0}указывает к центру (как показано справа), и положительно, если это направление указывает от центра.

В немного более общем случае эллипса с одним фокусом в начале и другим фокусом в угловой координате ϕ { displaystyle phi}, полярная форма имеет вид

r = a (1 — e 2) 1 — e cos ⁡ (θ — ϕ). { displaystyle r = { frac {a (1-e ^ {2})} {1-e cos ( theta — phi)}}.}

Угол θ { displaystyle theta }в этих формулах называется истинной аномалией точки. Числителем этой формул является прямая полушария прямой кишки ℓ = a (1 — e 2) { displaystyle ell = a (1-e ^ {2})}.

Эксцентриситет и свойство directrix

Эллипс: свойство directrix

Каждая из двух линий, параллельных малой оси, и на расстоянии d = a 2 c = ae { displaystyle d = { frac {a ^ {2}} {c} } = { frac {a} {e}}}от него, называется директрисой эллипса (см. Диаграмму).

Для произвольной точки P { displaystyle P}эллипса отношение расстояния до одного фокуса и соответствующей направляющей (см. Диаграмму) равно эксцентриситету:

| P F 1 | | P l 1 | = | P F 2 | | P l 2 | = е = с а. { displaystyle { frac { left | PF_ {1} right |} { left | Pl_ {1} right |}} = { frac { left | PF_ {2} right |} { left | Pl_ {2} right |}} = e = { frac {c} {a}} .}

Доказательство для пары F 1, l 1 { displaystyle F_ {1}, l_ {1}}следует из того, что | P F 1 | 2 = (x — c) 2 + y 2, | P l 1 | 2 знак равно (Икс — a 2 с) 2 { Displaystyle left | PF_ {1} right | ^ {2} = (xc) ^ {2} + y ^ {2}, left | Pl_ {1} right | ^ {2} = left (x — { tfrac {a ^ {2}} {c}} right) ^ {2}}и y 2 = b 2 — b 2 a 2 x 2 { displaystyle y ^ {2} = b ^ {2} — { tfrac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} x ^ {2}}удовлетворяют уравнению

| P F 1 | 2 — с 2 а 2 | P l 1 | 2 = 0. { displaystyle left | PF_ {1} right | ^ {2} — { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} left | Pl_ {1} right | ^ {2} = 0 .}

Второй случай доказывается аналогично.

Обратное также верно и может использоваться для определения эллипса (аналогично определению параболы):

Для любой точки F { displaystyle F}(фокус), любая строка l { displaystyle l}(directrix) не через F { displaystyle F}и любое действительное число e { displaystyle e}с 0 < e < 1, {displaystyle 0эллипс — это геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки и линии равно e, { displaystyle e, }то есть:

E = {P | | P F | | P l | = e}. { Displaystyle E = left {P left | { frac {| PF |} {| Pl |}} = e right. right }.}

Выбор e = 0 { displaystyle e = 0}, который является эксцентриситетом круга, не допускается в этом контексте. Можно считать, что директрисой окружности является бесконечно удаленная линия.

(выбор e = 1 { displaystyle e = 1}дает параболу, и если e>1 { displaystyle e>1}, гипербола.)

Карандаш из коник с общей вершиной и общей полу-латусной прямой кишкой

Доказательство

Пусть F = (f, 0), e>0 { displaystyle F = (f, , 0), e>0}и предположим, что (0, 0) { displaystyle (0, , 0)}— точка на кривая. Директриса l { displaystyle l}имеет уравнение x = — f e { displaystyle x = — { tfrac {f} {e}}}. При P = (x, y) { displaystyle P = (x, , y)}отношение | P F | 2 = e 2 | P l | 2 { displaystyl e | PF | ^ {2} = e ^ {2} | Pl | ^ {2}}дает уравнения

(x — f) 2 + y 2 = e 2 (x + fe) 2 = (ex + f) 2 { displaystyle (xf) ^ {2 } + y ^ {2} = e ^ {2} left (x + { frac {f} {e}} right) ^ {2} = (ex + f) ^ {2}}и x 2 (e 2-1) + 2 xf (1 + e) ​​- y 2 = 0. { displaystyle x ^ {2} left (e ^ {2} -1 right) + 2xf (1 + e) ​​-y ^ {2} = 0.}

Подстановка p = f (1 + e) ​​{ displaystyle p = f (1 + e)}возвращает

x 2 (e 2-1) + 2 px — y 2 = 0. { displaystyle x ^ {2} left (e ^ {2} -1 right) + 2px- y ^ {2} = 0.}

Это уравнение эллипса (e < 1 {displaystyle e<1}) или параболы (e = 1 { displaystyle e = 1}) или гипербола (e>1 { displaystyle e>1}). Все эти невырожденные коники имеют общее начало в виде вершины (см. диаграмму).

Если e < 1 {displaystyle e<1}, введите новые параметры a, b { displaystyle a, , b}так что 1 — e 2 = b 2 a 2 и p = b 2 a { displaystyle 1-e ^ {2} = { tfrac {b ^ { 2}} {a ^ {2}}}, { text {and}} p = { tfrac {b ^ {2}} {a}}}, а приведенное выше уравнение принимает вид

(x — a) 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, { displaystyle { frac {(xa) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ,}

который представляет собой уравнение эллипса с центром (a, 0) { displaystyle (a, , 0)}, ось x как большая ось и большая / малая полуось a, b { displaystyle a, , b}.

Общий эллипс

Если фокус F = (f 1, f 2) { Displaystyle F = left (f_ {1}, , f_ {2} right)}и директриса ux + vy + w = ​​0 { displaystyle ux + vy + w = 0}, уравнение

(x — f 1) 2 + (y — f 2) 2 = e 2 (ux + vy + w) 2 u 2 + v 2. { displaystyle left (x-f_ {1} right) ^ {2} + left (y-f_ {2} right) ^ {2} = e ^ {2} { frac { left (ux + vy + w right) ^ {2}} {u ^ {2} + v ^ {2}}} .}

(В правой части уравнения используется нормальная форма Гессе линии для вычислений расстояния | P l | { displaystyle | Pl |}.)

Свойство отражения в фокусе

Эллипс: касательная делит пополам дополнительный угол между линиями и фокусами. Лучи из одного фокуса отражаются от эллипса и проходят через другой фокус.

Эллипс следующим образом:

Нормаль в точке P { displaystyle P}делит пополам угол между линиями PF 1 ¯, PF 2 ¯ { displaystyle { overline { PF_ {1}}}, , { overline {PF_ {2}}}}.

Доказательство

Потому что касательная перпендикулярная нормали, утверждение верно и для касательной и дополнительного угла угла между линиями к фокусам (см. Диаграмму).

Пусть L { displaystyle L}будет точкой на линии PF 2 ¯ { displaystyle { overline {PF_ {2}}}}с расстояниями 2 a { displaystyle 2a}до фокуса F 2 { displaystyle F_ {2}}, a { displaystyle a}— большая полуось эллипса. Пусть линия w { displaystyle w}будет биссектрисой дополнительного угла к углу между линиями PF 1 ¯, PF 2 ¯ { displaystyle { overline {PF_ {1}}}, , { overline {PF_ {2}}}}. Чтобы доказать, что w { displaystyle w}является касательной в точке P { displaystyle P}, проверяется, что любая точка Q { displaystyle Q}в строке w { displaystyle w}, что отличается от P { displaystyle P}, не может быть на эллипсе. Следовательно, w { displaystyle w}имеет только точку P { displaystyle P}, общую с эллипсом, и, следовательно, является касательной в точке P { displaystyle P}.

Из диаграммы и неравенства треугольника видно, что 2 a = | L F 2 | < | Q F 2 | + | Q L | = | Q F 2 | + | Q F 1 | {displaystyle 2a=left|LF_{2}right|<left|QF_{2}right|+left|QLright|=left|QF_{2}right|+left|QF_{1}right|}удерживается, что означает: | Q F 2 | + | Q F 1 |>2 а { displaystyle left | QF_ {2} right | + влево | QF_ {1} right |>2a}. Но если Q { displaystyle Q}— это точка эллипса, сумма должна быть 2 a { displaystyle 2a}.

Приложение

Лучи из одного фокуса отражаются эллипсом во втором положении. Это свойство имеет оптические и акустические приложения, аналогичные отражательные свойства параболы (см. шепчущая галерея ).

Сопряженные диаметры

Ортогональныерыры. Окружность с квадратом касательных, серединами параллельных хорд и аффинным изображением, которое эллипс с сопряженными диаметрами, параллелограмм касательных и середины хорд.

Окружность имеет следующее свойство:

Передние параллельные хорд лежат на диаметре.

Аффинное преобразование параллелизм и середины. прямой сегмент, поэтому это свойство верно для любого эллипса. орды и диаметр больше не ортогональны.)

Определение

Два диаметра d 1, d 2 { displaystyle d_ {1}, , d_ {2}}эллипса сопряжены, если середины хорд, параллельные d 1 { displaystyle d_ {1}}, лежат на d 2. { displaystyle d_ {2} .}

Из диаграммы можно найти:

Два диаметра P 1 Q 1 ¯, P 2 Q 2 ¯ { displaystyle { overline {P_ {1} Q_ {1}}}, , { overline {P_ {2} Q_ {2}}}}эллипса сопряжены, если касательные в точке P 1 { displaystyle P_ {1}}и Q 1 { displaystyle Q_ { 1}}параллельны P 2 Q 2 ¯ { displaystyle { overline {P_ {2} Q_ {2}}}}.

Сопряженные диаметры в эллипсе обобщают ортогональные диаметры в окружности.

В параметрическом уравнении для общего эллипса, приведенном выше,

x → = p → (t) = f → 0 + f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ t, { displaystyle { vec {x}} = { vec {p}} (t) = { vec {f}} ! _ {0} + { vec {f}} ! _ {1} cos t + { vec {f}} ! _ {2} sin t,}

любая пара точек p → (t), p → (t + π) { displaystyle { vec {p}} (t), { vec { p}} (t + pi)}принадлежат диаметру, а пара p → (t + π 2), p → (t — π 2) { displaystyle { vec {p} } left (t + { tfrac { pi} {2}} right), { vec {p}} left (t — { tfrac { pi} {2}} right)}принадлежат его сопряженному диаметру.

Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах

Эллипс: теорема Аполлония о сопряженных диаметрах

Для эллипса с полуосями a, b { displaystyle a, , b}верно следующее:

Пусть c 1 { displaystyle c_ {1}}и c 2 { displaystyle c_ {2}}быть половинками двух сопряженных диаметров (см. Диаграмму), тогда

1. c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 { displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}},
2. треугольник, образованный c 1, c 2 { displaystyle c_ {1}, , c_ {2}}, имеет постоянную площадь A Δ = 1 2 ab { textstyle A _ { Delta} = { frac {1} {2}} ab}
3. параллелограмм касательных, примыкающих к данным сопряженным диаметром, имеет Площадь 12 = 4 пр. { displaystyle { text {Area}} _ {12} = 4ab .}

Доказательство

Пусть эллипс имеет каноническую форму с параметрическим уравнением

p → (t) = (a cos ⁡ t, b грех ⁡ t) { displaystyle { vec {p}} (t) = (a cos t, , b sin t)}.

Две точки c → 1 = p → (т), с → 2 знака равно п → (т + π 2) { displaystyle { vec {c}} _ {1} = { vec {p}} (т), { vec {c}} _ {2 } = { vec {p}} left (t + { frac { pi} {2}} right)}имеют сопряженные диаметры (см. Предыдущий раздел). Из тригонометрических формул получаем c → 2 = (- грех ⁡ t, b cos ⁡ t) T { displaystyle { vec {c}} _ {2} = (- a sin t, , b cos t) ^ { mathsf {T}}}и

| c → 1 | 2 + | c → 2 | 2 знак равно ⋯ знак равно а 2 + Ь 2. { displaystyle left | { vec {c}} _ {1} right | ^ {2} + left | { vec {c}} _ {2} right | ^ {2} = cdots = a ^ {2} + b ^ {2} .}

Площадь треугольника, образованная c → 1, c → 2 { displaystyle { vec {c}} _ {1}, , { vec {c}} _ {2}}равно

A Δ = 1 2 det (c → 1, c → 2) = ⋯ = 1 2 ab { displaystyle A _ { Дельта} = { frac {1} {2}} det left ({ vec {c}} _ {1}, , { vec {c}} _ {2} справа) = cdots = { frac {1} {2}} ab}

и из диаграммы видно, что площадь параллелограмма в 8 раз больше, чем у A Δ { displaystyle A _ { Delta} }. Следовательно,

Площадь 12 = 4 a b. { displaystyle { text {Area}} _ {12} = 4ab .}

Ортогональные касательные

Эллипс с его ортоптиком

Для эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}точка пересечения ортогональных касательных лежат на окружности x 2 + y 2 = a 2 + b 2 { displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}.

Эта окружность называется ортоптической или направляющей окружностью эллипса (не путать с круговой направляющей, тип выше).

Рисование эллипсов

Центральная проекция окружностей (затвор)

Эллипсы появляются в описательной геометрии как изображения (параллельная или центральная проекция) окружностей. Существуют различные инструменты для рисования эллипса. Компьютеры обеспечивают самый быстрый и точный метод рисования эллипса. Однако технические средства (эллипсографы ) для рисования эллипса без использования компьютера существуют. Принцип эллипсографов был известен греческим математикам, таким как Архимед и Проклос.

. Если эллипсограф недоступен, можно нарисовать эллипс, используя аппроксимацию четырьмя соприкасающимися кругами на вершины.

Для любого метода, ниже, необходимо знание осей и полуосей (или, что эквивалентно: фокусов и большой полуоси). Если это предположение не выполнено, необходимо знать как минимум два сопряженных диаметра. С помощью конструкции Ритца оси и полуоси могут быть восстановлены.

Построение точки де Ла Хира

Следующее построение отдельных точек эллипса связано с де Ла Хиром. Он основан на стандартном параметрическом представлении (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}эллипса :

1. Нарисуйте две окружности в центре эллипса с радиусами a, b { displaystyle a, b}и осями эллипса.
2. Проведите линию через центр, которая пересекает два круга в точке A { displaystyle A}и B { displaystyle B}соответственно..
3. Проведите линию через A { displaystyle A}, которая параллельна малой оси, и линию через B { displaystyle B}, которая параллельна большой оси. Эти линии пересекаются в точке эллипса (см. Диаграмму).
4. Повторите шаги (2) и (3) с разными линиями через центр.

• 

  Метод де Ла Хира

• 

  Анимация метода

Эллипс: метод садовника

Метод булавок и цепочек

Характеристика эллипса как геометрического места точек, так что сумма расстояний до фокусов постоянна, приводит к методу рисования одного из двух булавки для рисования, веревка и карандаш. В этом методе булавки вставляются в бумагу в двух точках, которые становятся фокусами эллипса. На каждом конце к двум булавкам привязывается веревка; его длина после связывания составляет 2 a { displaystyle 2a}. Затем кончик карандаша образует эллипс, если его перемещать, сохраняя натянутую нить. Используя два колышка и веревку, садовники используют эту власть, чтобы очертить эллиптические клумбу, она называется эллипсом садовника поэтому.

Подобный метод рисования конфокальных эллипсов с замкнутой цепочкой был разработан ирландским епископом Чарльзом Грейвсом.

Методы бумажной ленты

Два следующих метода использования на параметрическом представлении (см.. параметрическое представление выше):

(a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}

Технически это представление можно смоделировать двумя простыми способами. В обоих случаях центр оси и полуоси a, b { displaystyle a, , b}должны быть известны.

Метод 1

Первый метод начинается с

полосы бумаги длиной a + b { displaystyle a + b}.

Точка, где встречаются полуоси, отмечена P { displaystyle P}. Если полоса скользит обоими концами по осям желаемого эллипса, то точка P отслеживает эллипс. Для доказательства показана точка P { displaystyle P}имеет параметрическое представление (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}, где параметр t { displaystyle t}— угол наклона бумажной полосы.

Техническая реализация бумажной ленты может быть достигнута с помощью пары Туси (см. Анимацию). Устройство способно нарисовать любой эллипс с фиксированной суммой a + b { displaystyle a + b}, которая является охраной большого круга. Это ограничение может быть недостатком в реальной жизни. Более гибким является второй метод бумажной ленты.

• 

  Конструкция бумажной ленты 1

• 

  Эллипсы с парой Туси. Два примера: красный и голубой.

Вариант метода 1 с бумажной полоской использует наблюдение, что средняя точка N displaystyle N}бумажной полоски перемещается по окружности с центром M { displaystyle M}(эллипса) и радиус a + b 2 { displaystyle { tfrac {a + b} {2}}}. Следовательно, полоску бумаги можно разрезать в точке N { displaystyle N}на половинки, снова соединенные стыком в точке N { displaystyle N}и скользящий конец K { displaystyle K}закреплен в центре M { displaystyle M}(см. Диаграмму). После этой операции изменить половину полоски бумаги не изменяется. Этот вариант требует только одного скользящего башмака.

• 

  Вариант метода 1 полосы бумаги

• 

  Анимация варианта метода 1 полосы бумаги

Построение эллипса: метод 2 полосы бумаги

Метод 2

Второй метод начинается с

a полоска бумаги длиной a { displaystyle a}.

Одна отмечает точку, которая делит полосу на две части длиной b { displaystyle b}и а — b { displaystyle ab}. Полоса размещается на осях, как показано на схеме. Затем свободный конец полоски очерчивает эллипс, при этом полоска перемещается. Для доказательства следует установить, что точка может быть описана параметрами как (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}, где параметр t { displaystyle t}— угол наклона бумажной полосы.

Этот метод используется для нескольких эллипсографов (см. Раздел ниже).

Аналогичным способом способом 1 с бумажной полосой, можно найти вариант способа 2 с бумажной полосой (см. Диаграмму) путем разрезания части между осями пополам.

• 

  Траммель Архимеда (принцип)

• 

  Эллипсограф из-за Бенджамина Брамера

• 

  Вариант метода бумажной полосы 2

Большинство эллипсографов чертежей основы на второй метод бумажной ленты.

Аппроксимация эллипса, соприкасающиеся кругами

Аппроксимация соприкасаса разными кругами

Из метрических свойств, приведенных ниже, можно получить:

На схеме показан простой способ найти центры кривизны C 1 = (a — b 2 a, 0), С 3 знак равно (0, b — a 2 b) { displaystyle C_ {1} = left (a — { tfrac {b ^ {2}} {a}}, 0 right), , C_ {3} = left (0, b — { tfrac {a ^ {2}} {b}} right)}в вершине V 1 { displaystyle V_ {1}}и совпадающая вершина V 3 { displaystyle V_ {3}}соответственно:

1. отмечает точку H = (a, b) { displaystyle H = (a, , b)}и нарисуйте отрезок линии V 1 V 3, { displaystyle V_ {1} V_ {3} ,}
2. нарисуйте линию через H { displaystyle H}, которая перпендикулярна линии V 1 V 3, { displaystyle V_ {1} V_ {3} ,}
3. пересечение точки этой линии с осями центрами соприкасающихся окружностей.

(доказательство: простой расчет).

Центры остальных вершин находятся симметрично.

С помощью французской строительной кривой С помощью французской строительной кривой, которая имеет плавный контакт с соприкаса нашими кругами.

Поколение Штейнера

Эллипс: Поколение Штейнера Эллипс: Поколение Штайнера

Следующий метод построения отдельных точек эллипса основан на генерации Штейнера конического сечения сечения :

Даны два карандаша B (U), B (V) { displaystyle B (U), , B (V)}линий в двух точках U, V { displaystyle U, , V}(все строки, содержащие U displaystyle U}и V { displaystyle V}соответственно) и проекционное, но не перспективное отображение π { displaystyle pi}из B (U) { displaystyle B (U)}на B (V) { displaystyle B (V)}, то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.

Для генерации точек эллипс x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ { 2}} {b ^ {2}}} = 1}карандаши используются в вершинах V 1, V 2 { displaystyle V_ {1}, , V_ {2}}. Пусть P = (0, b) { displaystyle P = (0, , b)}верхняя совершина эллипса и A = (- a, 2 б), В знак равно (а, 2 б) { Displaystyle А = (- а, , 2b), , В = (а, , 2b)}.

Р { Displaystyle P}— центр прямоугольника V 1, V 2, B, A { displaystyle V_ {1}, , V_ {2}, , B, , A}. Сторона AB ¯ { displaystyle { overline {AB}}}прямоугольное деление на равных отрезках прямой, и это деление проецируется параллельно параллонали AV 2 { displaystyle AV_ {2}}в качестве направления на отрезок линии V 1 B ¯ { displaystyle { overline {V_ {1} B}}}и назначьте деление, как показано на схеме. Параллельная проекция вместе с обратной ориентацией представляет собой часть проективного отображения карандашами в V 1 { displaystyle V_ {1}}и V 2 { displaystyle V_ {2}}необходимо. Точки пересечения любых двух связанных линий V 1 B i { displaystyle V_ {1} B_ {i}}и V 2 A i { displaystyle V_ {2} A_ {i} }— точка однозначно определенного эллипса. С помощью точек C 1,… { displaystyle C_ {1}, , dotsc}можно определить точки второй четверти эллипса. Аналогичным образом точки нижней половины эллипса.

Генерация Штейнера также может быть определена для гипербол и парабол. Иногда его используют методом параллелограммы, потому что можно использовать другие точки, а не вершины, которые начинается с параллелограммы вместо прямоугольника.

Как гипотрохоиды

Эллипс (красный) как частный случай гипотрохоиды с R = 2r

Эллипс является частным случаем гипотрохоиды , когда R = 2r, как показано на соседнем изображении. Частный случай движущегося круга с радиусом r { displaystyle r}внутри круга с радиусом R = 2 r { displaystyle R = 2r}— это называется пара Туси.

Вписанные углы и трехточечная форма

Круги

Круг: теорема о вписанном угле

Круг с уравнением (x — x ∘) 2 + (Y — Y ∘) 2 знак равно р 2 { displaystyle left (xx _ { circ} right) ^ {2} + left (yy _ { circ} right) ^ {2} = r ^ {2}}однозначно определяется тремя точками (x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3) { displaystyle left (x_ {1}, y_ {1} верно), ; left (x_ {2}, , y_ {2} right), ; left (x_ {3}, , y_ {3} right)}не в строке. Простой способ определения параметров x ∘, y ∘, r { displaystyle x _ { circ}, y _ { circ}, r}использует теорему о вписанном угле для кругов:

Для четырех точек P i = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i}, , y_ {i} right), i = 1, , 2, , 3, , 4, ,}(см. диаграмму) верно следующее утверждение:

Четыре точки находятся на окружности тогда и только тогда, когда углы равны P 3 { displaystyle P_ {3}}и P 4 { displaystyle P_ {4}}равны.

Обычно вписанные углы измеряются градусом или радианом θ, но здесь более удобно следующее измерение:

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений y = m 1 Икс + d 1, Y знак равно м 2 Икс + d 2, м 1 ≠ м 2, { displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, y = m_ {2} x + d_ {2}, m_ {1} neq m_ {2},}используется частное:

1 + m 1 m 2 m 2 — m 1 = cot ⁡ θ. { displaystyle { frac {1 + m_ {1} m_ {2}} {m_ {2} -m_ {1}}} = cot theta .}

Теорема о вписанном угле для окружностей

Для четырех точек P i = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i}, , y_ {i}) справа), i = 1, , 2, , 3, , 4, ,}нет трех из них на строке, мы имеем следующее (см. диаграмму):

точки находятся на окружности, если и только если углы равны P 3 { displaystyle P_ {3}}и P 4 { displaystyle P_ {4}}равны. В терминах измерения угла выше это означает:

(x 4 — x 1) (x 4 — x 2) + (y 4 — y 1) (y 4 — y 2) (y 4 — y 1) (x 4 — x 2) — (y 4 — y 2) (x 4 — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (x 3 — x 1). { displaystyle { frac {(x_ {4} -x_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) + (y_ {4} -y_ {1}) (y_ {4} -y_ {2 })} {(y_ {4} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) — (y_ {4} -y_ {2}) (x_ {4} -x_ {1})} } = { frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) — (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}

Сначала такт доступен только для хорд, не параллельных оси Y, но окончательная формула работает для любого аккорда.

Трехточечная форма уравнения круга

Как следствие, получается уравнение для круга, определяемого тремя неколлинеарными точками P i = (xi, yi) { displaystyle P_ { i} = left (x_ {i}, , y_ {i} right)}:

(x — x 1) (x — x 2) + (y — y 1) (y — y 2) ( y — y 1) (x — x 2) — (y — y 2) (x — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (x 3 — x 1). { displaystyle { frac {({ color {red} x} -x_ {1}) ({ color {red} x} -x_ {2}) + ({ color {red} y} -y_ { 1}) ({ цвет {красный} y} -y_ {2})} {({ color {красный} y} -y_ {1}) ({ color {красный} x} -x_ {2}) — ({ color {red} y} -y_ {2}) ({ color {red} x} -x_ {1})}} = { frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) — (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}

Например, для P 1 = (2, 0), п 2 знак равно (0, 1), п 3 знак равно (0, 0) { displaystyle P_ {1} = (2, , 0), ; P_ {2} = (0, , 1), ; P_ {3} = (0, , 0)}трехточечное уравнение:

(x — 2) x + y (y — 1) yx — (y — 1) (х — 2) знак равно 0 { displaystyle { frac {(x-2) x + y (y-1)} {yx- (y-1) (x-2)}} = 0}, который можно переформатировать в (x — 1) 2 + (y — 1 2) 2 = 5 4. { displaystyle (x-1) ^ {2} + left (y — { tfrac {1} {2}} right) ^ {2} = { tfrac {5} {4}} .}

Используя векторы, скалярные произведения и детерминанты, эту формулу можно упорядочить более четко, позволяя x → = (x, y) { displaystyle { vec {x} } = (x, , y)}:

(x → — x → 1) ⋅ (x → — x → 2) det (x → — x → 1, x → — x → 2) = (x → 3 — x → 1) ⋅ (x → 3 — x → 2) det (x → 3 — x → 1, x → 3 — x → 2). { displaystyle { frac { left ({ color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {1} right) cdot left ({ color {red}) { vec {x}}} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ color {red} { vec {x}}} — { vec {x }} _ {1}, { color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {2} right)}} = { frac { left ({ vec { x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1} right) cdot left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1}, { vec {x}} _ {3} — { vec { x}} _ {2} right)}}.}

Центр круга (x ∘, y ∘) { displaystyle left (x _ { circ}, , y _ { circ } right)}удовлетворяет:

[1 y 1 — y 2 x 1 — x 2 x 1 — x 3 y 1 — y 3 1] [x ∘ y ∘] = [x 1 2 — x 2 2 + y 1 2 — y 2 2 2 (x 1 — x 2) y 1 2 — y 3 2 + x 1 2 — x 3 2 2 (y 1 — y 3)]. { displaystyle { begin {bmatrix} 1 { frac {y_ {1} -y_ {2}} {x_ {1} -x_ {2}}}\ { frac {x_ {1} -x_ {3)}} {y_ {1} -y_ {3}}} 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x _ { circ} y _ { circ} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} -y_ {2} ^ {2}} {2 (x_ {1} — x_ {2})}} \ { frac {y_ {1} ^ {2} -y_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}} {2 (y_ {1} -y_ {3})}} end {bmatrix}}.}

Радиус — это расстояние между любым из трех точек и центр.

r = (x 1 — x ∘) 2 + (y 1 — y ∘) 2 = (x 2 — x ∘) 2 + (y 2 — y) 2 = (x 3 — x ∘) 2 + ( у 3 — у) 2. { displaystyle r = { sqrt { left (x_ {1} -x _ { circ} right) ^ {2} + left (y_ {1} -y _ { circ} right) ^ {2}}} = { sqrt { left (x_ {2} -x _ { circ} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y _ { circ} right) ^ {2}}} = { sqrt { left (x_ {3} -x _ { circ} right) ^ {2} + left (y_ {3} -y _ { circ} right) ^ {2}}}.}

Эллипсы

В этом разделе мы рассматриваем семейство эллипсов, определяемым уравнением (x — x ∘) 2 a 2 + (y — y ∘) 2 б 2 знак равно 1 { displaystyle { tfrac { left (xx _ { circ} right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac { left (yy _ { circ} right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}с фиксированным эксцентриситетом e. Удобно использовать параметр:

q = a 2 b 2 = 1 1 — e 2, { displaystyle { color {blue} q} = { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} = { frac {1} {1-e ^ {2}}},}

и записать уравнение эллипса в виде:

(x — x ∘) 2 + q (y — y ∘) 2 знак равно a 2, { displaystyle left (xx _ { circ} right) ^ {2} + { color {blue} q} , left (yy _ { circ} right) ^ {2} = a ^ {2},}

где q фиксировано и x ∘, y ∘, a { displaystyle x _ { circ}, , y _ { circ}, , a}изменяются по действительному числум. (Оси таких эллипсов параллельны осям координат: если q < 1 {displaystyle q<1}, большая ось параллельна оси x; если q>1 { displaystyle q>1}, он параллелен оси y.)

Теорема для эл.

Для этого семейства эллипсов вводится следующее q-аналог угловая мера, которая не является обычной угловой мера, которая не является обычной угловой меры θ:

Для этого семейства эллипсов вводится следующее q-аналог Измерение угла между двумя линиями с помощью соотношений y = m 1 x + d 1, y = m 2 Икс + d 2, м 1 ≠ м 2 { displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, y = m_ {2} x + d_ {2}, m_ {1} neq m_ {2}}используется частное:

1 + qm 1 m 2 m 2 — m 1. { Displaystyle { frac {1 + { color {blue} q} ; m_ {1} m_ {2}} {m_ {2} -m_ {1}}} .}

Теорема о вписанном угле для эллипсов

Дано четыре точка п i = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4 { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i}, , y_ {i} right), i = 1, , 2, , 3, , 4}, три из них на прямой (см. диаграмму).

Четыре точки находятся на эллипсе с уравнением (Икс — Икс ∘) 2 + Q (Y — Y ∘) 2 = a 2 { displaystyle (xx _ { circ}) ^ {2} + { color {blue} q} , (yy _ { circ}) ^ {2} = a ^ {2}}тогда и только тогда, когда углы в P 3 { displaystyle P_ {3}}и P 4 { displaystyle P_ {4}}равны в смысле измерения выше, то есть если

(x 4 — x 1) (x 4 — x 2) + q (y 4 — y 1) (y 4 — y 2) (y 4 — y 1) (x 4 — x 2) — (y 4 — y 2) (x 4 — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + q (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (х 3 — х 1). { displaystyle { frac {(x_ {4} -x_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; (y_ {4} -y_ {1})) (y_ {4} -y_ {2})} {(y_ {4} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) — (y_ {4} -y_ {2}) (x_ {4} -x_ {1})}} = { frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) — (y_ { 3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} .}

Сначала такт доступны только для хорд, которые не параллельны оси y. Но окончательная формула работает для любого аккорда. Доказательство следует из простого вычисления. Для доказательства, что находится точка на эллипсе, можно предположить, что центр эллипса является началом координат.

Трехточечная форма уравнения эллипса

Как следствие, уравнение для эллипса, определяемое тремя неколлинеарными точками P i = (xi, yi) { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i }, , y_ {i} right)}:

(x — x 1) (x — x 2) + q (y — y 1) (y — y 2) (y — y 1) (x — x 2) — (y — y 2) (x — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + q (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (x 3 — x 1). { displaystyle { frac {({ color {red} x} -x_ {1}) ({ color {red} x} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; ({ color {red} y} -y_ {1}) ({ color {red} y} -y_ {2})} {({ color {red} y} -y_ {1}) ({ цвет {красный} x} -x_ {2}) — ({ color {red} y} -y_ {2}) ({ color {red} x} -x_ {1})}} = { frac { (x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) — (y_ { 3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} .}

Например, для P 1 = (2, 0), P 2 = (0, 1), П 3 знак равно (0, 0) { Displaystyle P_ {1} = (2, , 0), ; P_ {2} = (0, , 1), ; P_ {3} = (0, , 0)}и q = 4 { displaystyle q = 4}получается трехточечная форма

(x — 2) Икс + 4 Y (Y — 1) Yx — (Y — 1) (X — 2) = 0 { Displaystyle { frac {(x-2) x + 4y (Y-1)} {yx- (y- 1) (x-2)}} = 0}и после преобразования (x — 1) 2 2 + (y — 1 2) 2 1 2 = 1. { displaystyle { frac {(x-1) ^ {2}} {2}} + { frac { left (y — { frac {1} {2}} right) ^ {2}} { frac {1} { 2}}} = 1.}

Аналогично случаю круга уравнение можно записать более четко используя:

(x → — x → 1) ∗ (x → — x → 2) det (x → — x → 1, x → — x → 2) знак равно (x → 3 — x → 1) ∗ (x → 3 — x → 2) det (x → 3 — x → 1, x → 3 — x → 2), { displaystyle { frac { left ({ color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {1} right) * left ({ color {red} { vec { x}}} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ color {красный} { vec {x}}} — { vec {x}} _ { 1}, { color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {2} right)}} = { frac { left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1} righ t) * left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1}, { vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {2} right)}},}

где ∗ { displaystyle *}— это модифицированное скалярное произведение u → ∗ v → = uxvx + quyvy. { displaystyle { vec {u}} * { vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + { color {blue} q} , u_ {y} v_ {y}.}

Отношение полюса к полюсу

Эллипс: отношение полюса к полюсу

Любой эллипс можно описать в подходящей системе координат уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ { 2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}. Уравнение касательной в точке P 1 = (x 1, y 1) { displaystyle P_ {1} = left (x_ {1}, , y_ {1} right)}эллипса составляет x 1 xa 2 + y 1 yb 2 = 1. { displaystyle { tfrac {x_ {1} x} {a ^ {2}}} + { tfrac {y_ {1} y} {b ^ {2}}} = 1.}Если разрешена точка P 1 = (x 1, y 1) { displaystyle P_ {1} = left (x_ {1}, , y_ {1} right)}, чтобы быть произвольной точкой, отличной от начала координат, тогда

точка P 1 = (x 1, y 1) ≠ (0, 0) { displaystyle P_ {1} = left (x_ {1}, , y_ {1} right) neq (0, , 0)}отображается в строке x 1 xa 2 + y 1 yb 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x_ {1} x} {a ^ {2}}} + { tfrac {y_ {1} y} {b ^ {2}}} = 1}, а не через центр эллипса.

Это отношение между точками и линией является биекцией.

обратной функцией отображает

• линию y = mx + d, d ≠ 0 { displaystyle y = mx + d, d neq 0}на точку (- ma 2 d, б 2 d) { displaystyle left (- { tfrac {ma ^ {2}} {d}}, , { tfrac {b ^ {2}} {d}} справа)}и
• строка x = c, c ≠ 0 { displaystyle x = c, c neq 0}на точку (а 2 с, 0). { displaystyle left ({ tfrac {a ^ {2}} {c}}, , 0 right) .}

Такое отношение между точками и линиями, образованными коникой, называется полюсом -полярное отношение или полярность. Полюс — это точка, полярная линия.

Расчетным путем можно подтвердить следующие свойства полярно-полярного отношения эллипса:

• Для точки (полюса) на эллипсе полярность является касательной в этой точке (см. Диаграмму: P 1, p 1 { displaystyle P_ {1}, , p_ {1}}).
• Для полюса P { displaystyle P}вне эллипса точки пересечения его полярные с эллипсом — это точки касания двух касательных, проходящих через P { displaystyle P}(см. диаграмму: P 2, p 2 { displaystyle P_ {2}, , p_ {2}}).
• Для точки внутри эллипса полярная точка не имеет общей точки с эллипсом (см. диаграмму: F 1, l 1 { displaystyle F_ {1}, , l_ {1 }}).

1. Точка пересечения двух поляр — это полюс линии, проходящей через их полюса.
2. Фокусы (c, 0), { displaystyle (c, , 0),}и (- c, 0) { displaystyle (-c, , 0)}соответственно и директрисы x = a 2 c { displaystyle x = { tfrac {a ^ {2}} {c}}}и x = — a 2 c { displaystyle x = — { tfrac {a ^ {2}} {c}}}соответственно относятся к парам полюса и полюса.

Соотношения полюс-полярность существуют также для гипербол и парабол.

Свойства показателей

Все приведенные ниже свойства показателей относятся к эллипсу с уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { frac {x ^ {2 }} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}.

Площадь

Область Эллипс { displaystyle A _ { text {ellipse}}}, заключенный в эллипс:

Эллипс = π ab { displaystyle A _ { text {ellipse}} = pi ab}

где a { displaystyle a}и b { displaystyle b}— длина большой и малой полуосей соответственно. Формула площади π ab { displaystyle pi ab}интуитивно понятна: начните с круга радиусом b { displaystyle b}(поэтому его площадь равна π b 2 { displaystyle pi b ^ {2}}) и растяните его на коэффициент a / b { displaystyle a / b}до сделать эллипс. Это масштабирует площадь с тем же коэффициентом: π b 2 (a / b) = π a b. { displaystyle pi b ^ {2} (a / b) = pi ab.}Также легко строго доказать формулу площади, используя интегрирование следующим образом. Уравнение (1) можно переписать как y (x) = b 1 — x 2 / a 2. { displaystyle y (x) = b { sqrt {1-x ^ {2} / a ^ { 2}}}.}Для x ∈ [- a, a], { displaystyle x in [-a, a],}эта кривая является верхней половиной эллипса. Таким образом, удвоенный интеграл от y (x) { displaystyle y (x)}на интервале [- a, a] { displaystyle [-a, a]}будет площадью эллипса:

Эллипс = ∫ — aa 2 b 1 — x 2 a 2 dx = ba ∫ — aa 2 a 2 — x 2 dx. { displaystyle { begin {align} A _ { text {ellipse}} = int _ {- a} ^ {a} 2b { sqrt {1 — { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} , dx \ = { frac {b} {a}} int _ {- a} ^ {a} 2 { sqrt {a ^ {2} -x ^ { 2}}} , dx. end {align}}}

Второй интеграл — это площадь круга радиуса a, { displaystyle a,}то есть π a 2. { displaystyle pi a ^ {2}.}Итак,

A эллипс = ba π a 2 = π a b. { displaystyle A _ { text {ellipse}} = { frac {b} {a}} pi a ^ {2} = pi ab.}

Эллипс, неявно определяемый A x 2 + B xy + C y 2 = 1 { displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} = 1}имеет площадь 2 π / 4 AC — B 2. { displaystyle 2 pi / { sqrt {4AC-B ^ {2}}}.}

Площадь также может быть выражена через эксцентриситет и длину большой полуоси как a 2 π 1 — e 2 { displaystyle a ^ { 2} pi { sqrt {1-e ^ {2}}}}(получено путем решения для выравнивания с последующим вычислением малой полуоси).

Окружность

Эллипсы с одинаковой окружностью

Окружность C { displaystyle C}эллипса:

C = 4 a ∫ 0 π / 2 1 — е 2 грех 2 ⁡ θ d θ = 4 a E (e) { displaystyle C , = , 4a int _ {0} ^ { pi / 2} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} theta}} d theta , = , 4a , E (e)}

где снова a { displaystyle a}— длина большой полуоси, e = 1 — b 2 / a 2 { displaystyle e = { sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}}— E { displaystyle E}— полный эллиптический интеграл эксрал второго рода,

E (e) = ∫ 0 π / 2 1 — е 2 грех 2 ⁡ θ d θ { Displaystyle E (e) , = , int _ {0} ^ { pi / 2} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} theta}} d theta}

, которая в общем случае не является элементарной функцией.

Окружность эллипса может быть оценена в терминах E (e) { displaystyle E (e)}с использованием среднего арифметико-геометрического Гаусса ; это квадратично сходящийся итерационный метод.

точный бесконечный ряд :

C = 2 π a [1 — (1 2) 2 e 2 — (1 ⋅ 3 2 ⋅ 4) 2 e 4 3 — (1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6) 2 e 6 5 — ⋯] = 2 π a [1 — ∑ n = 1 ∞ ((2 n — 1) !! (2 n) !!) 2 e 2 n 2 n — 1] = — 2 π a ∑ N знак равно 0 ∞ ((2 n — 1) !! (2 n) !!) 2 e 2 n 2 n — 1, { Displaystyle { begin {align} C = 2 pi a left [{1- left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2} e ^ {2} — left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}}) right) ^ {2} { frac {e ^ {4}} {3}} — left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) ^ {2} { frac {e ^ {6}} {5}} — cdots} right] \ = 2 pi a left [1- sum _ { n = 1} ^ { infty} left ({ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} right) ^ {2} { frac {e ^ {2n}} { 2n-1}} right] \ = — 2 pi a sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(2n-1) !!} {(2n)! !}} right) ^ {2} { frac {e ^ {2n}} {2n-1}}, end {align}}}

где п! ! { displaystyle n !!}— это двойной факториал (расширенный до отрицательных нечетных целых чисел рекуррентным (2n-1) !! = (2n + 1) !! / (2n + 1) для n ≤ 0). Этот ряд сходится, но при расширении в виде h = (a — b) 2 / (a ​​+ b) 2, { displaystyle h = (ab) ^ {2} / (a ​​+ b) ^ {2},}Джеймс Айвори и Бессель вывели выражение, сходится намного быстрее:

C = π (a + b) ∑ n = 0 ∞ ((2 n — 3) !! 2 nn !) 2 hn = π (a + b) [1 + h 4 + ∑ n = 2 ∞ ((2 n — 3) !! 2 nn!) 2 hn] = π (a + b) [1 + ∑ n = 1 ∞ ((2 n — 1) !! 2 nn!) 2 hn (2 n — 1) 2]. { displaystyle { begin {align} C = pi (a + b) sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(2n-3) !!} {2 ^ {n} n!}} right) ^ {2} h ^ {n} \ = pi (a + b) left [1 + { frac {h} {4}} + sum _ { n = 2} ^ { infty} left ({ frac {(2n-3) !!} {2 ^ {n} n!}} Right) ^ {2} h ^ {n} right] = pi (a + b) left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n} n !}} right) ^ {2} { frac {h ^ {n}} {(2n-1) ^ {2}}} right]. end {align}}}

Шриниваса Рамануджан дает два близких приближения для окружности в §16 «Модульных уравнений и приближения к π { displaystyle pi}»; они равны

C ≈ π [3 (a + b) — (3 a + b) (a + 3 b)] = π [3 (a + b) — 10 ab + 3 (a 2 + b 2) ] { displaystyle C приблизительно pi { biggl [} 3 (a + b) — { sqrt {(3a + b) (a + 3b)}} { biggr]} = pi { biggl [} 3 (a + b) — { sqrt {10ab + 3 left (a ^ {2} + b ^ {2} right)}} { biggr]}}

и

C ≈ π ( а + б) (1 + 3 ч 10 + 4 — 3 ч). { displaystyle C приблизительно pi left (a + b right) left (1 + { frac {3h} {10 + { sqrt {4-3h}}}} right).}

Ошибки этих приближений, полученные эмпирическим путем, имеют порядок h 3 { displaystyle h ^ {3}}и h 5, { displaystyle h ^ {5},}соответственно.

В более общем смысле, длина дуги части окружности как функция от угла наклона (или x-координат любых двух точек в верхней половине эллипса), дается неполным эллиптическим интегралом . Верхняя половина эллипса параметризуется как

y = b 1 — x 2 a 2. { displaystyle y = b { sqrt {1 — { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}}.}

Тогда длина дуги s { displaystyle s}от x 1 { displaystyle x_ {1}}до x 2 { displaystyle x_ {2}}:

s = — b ∫ arccos ⁡ x 1 a arccos ⁡ x 2 a 1 — (1 — a 2 b 2) sin 2 ⁡ zdz. { displaystyle s = -b int _ { arccos { frac {x_ {1}} {a}}} ^ { arccos { frac {x_ {2}} {a}}} { sqrt {1 — left (1 — { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} right) sin ^ {2} z}} , dz.}

Это эквивалентно

s знак равно — б [E (z | 1 — a 2 b 2)] arccos ⁡ x 1 a arccos ⁡ x 2 a { displaystyle s = -b left [E left (z ; { Biggl |} ; 1 — { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} right) right] _ { arccos { frac {x_ {1}} {a}}} ^ { arccos { frac {x_ {2}} {a}}}}

где E (z ∣ m) { displaystyle E (z mid m)}— неполный эллиптический интеграл второго рода с параметром m = k 2. { displaystyle m = k ^ {2}.}

Обратная функция , создающая функцию длины дуги, задается некоторой угол эллиптической функции .

Некоторая нижняя и верхняя границы окружности канонического эллипса x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 { displaystyle x ^ {2} / a ^ {2} + y ^ {2} / b ^ {2 } = 1}с a ≥ b { displaystyle a geq b}равны

2 π b ≤ C ≤ 2 π a, π (a + b) ≤ C ≤ 4 (a + b), 4 a 2 + b 2 ≤ C ≤ 2 π a 2 + b 2. { Displaystyle { begin {align} 2 pi b leq C leq 2 pi a, \ pi (a + b) leq C leq 4 (a + b), \ 4 { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} leq C leq { sqrt {2}} pi { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}. end {выровнен}}}

Здесь верхняя граница 2 π a { displaystyle 2 pi a}— это длина окружности опис концентрической окружности проходящий через конечные точки большой оси эллипса и нижнюю границу 4 a 2 + b 2 { displaystyle 4 { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}— это периметр вписанного ромба с вершинами на концах большой и малой осей.

Кривизна

Кривизна определяет как κ = 1 a 2 b 2 (x 2 a 4 + y 2 b 4) — 3 2, { displaystyle kappa = { frac {1} {a ^ {2} b ^ {2}}} left ({ frac {x ^ {2}} {a ^ {4}}} + { frac {y ^) {2}} {b ^ {4}}} right) ^ {- { frac {3} {2}}} ,}радиус кривизны в точке (x, y) { displaystyle (x, y)}:

ρ = a 2 b 2 (x 2 a 4 + y 2 b 4) 3 2 = 1 a 4 b 4 (a 4 y 2 + b 4 x 2) 3. { displaystyle rho = a ^ {2} b ^ {2} left ({ frac {x ^ {2}} {a ^ {4}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {4}}} right) ^ { frac {3} {2}} = { frac {1} {a ^ {4} b ^ {4}}} { sqrt { left (a ^ { 4} y ^ {2} + b ^ {4} x ^ {2} right) ^ {3}}} .}

Радиус кривизны в двух вершинах (± a, 0) { displaystyle ( pm a, 0)}и центры кривизны:

ρ 0 = b 2 a = p, (± c 2 a | 0). { displaystyle rho _ {0} = { frac {b ^ {2}} {a}} = p , qquad left ( pm { frac {c ^ {2}} {a}} , { bigg |} , 0 right) .}

Радиус кривизны в двух совпадающих вершинах (0, ± b) { displaystyle (0, pm b)}и центры кривизны:

ρ 1 = a 2 b, (0 | ± c 2 b). { displaystyle rho _ {1} = { frac {a ^ {2}} {b}} , qquad left (0 , { bigg |} , pm { frac {c ^ { 2}} {b}} right) .}

В геометрии треугольника

Эллипсы появляются в геометрии треугольника как

1. эллипс Штейнера : эллипс, проходящий через вершины треугольника с центром в центроид,
2. в эллипсах : эллипсы, соприкасающиеся со стороны треугольника. Особыми случаями являются эллипс Штейнера и эллипс Мандарта.

В виде плоских сечений квадрик

Эллипсы появляются как плоские с использованием следующих квадрик :

• Эллипсоид
• Эллиптический конус
• Эллиптический цилиндр
• Гиперболоид из одного листа
• Гиперболоид из двух листов

• 

  Эллипсоид

• 

  Эллиптический конус

• 

  Эллиптический цилиндр

• 

  Гиперболоид из одного листа

• 

  Гиперболоид из двух листов

Приложения

Физика

Эллиптические отражатели и акустика

Если поверхность воды нарушается в одном фокусе эллиптического резервуара с водой, Круговые волны этого возмущения после отражения от стен одновременно сходятся к одной точке: второму фокусу. Это следствие того, что общая длина пути одинакова на любом пути отскока от стен между двумя фокусами.

Аналогично, если источник света помещен в один фокус эллиптического зеркала, все световые лучи в плоскости эллипса отражаются во втором фокусе. Так как никакая другая гладкая кривая не обладает таким свойством, ее можно использовать как альтернативное определение эллипса. (В частном случае круга с кругом в центре весь свет будет отражаться обратно к центру.) Если эллипс повернуть вдоль его большой оси, чтобы получить эллипсоидальное зеркало (в частности, вытянутый сфероид ), это свойство сохраняется для всех лучей, выходящих из источника. В качестве альтернативы можно использовать цилиндрическое зеркало с эллиптическим поперечным сечением для фокусировки света от линейной люминесцентной лампы вдоль линии бумаги; такие зеркала используются в некоторых сканерах документов.

Звуковые волны отражаются аналогичным образом, поэтому в большой эллиптической комнате человек, стоящий в одном фокусе, может замечательно хорошо слышать человека, стоящего в другом фокусе. Эффект еще более очевиден под сводчатой ​​крышей, имеющей форму вытянутого сфероида. Такая комната называется камера шепота. Тот же эффект может быть использован с двумя отражателями, расположенными между ними, расположенными сфероидами. Примеры: Национальный скульптурный зал в Капитолии США (где Джон Куинси Адамс, как говорят, использует это свойство для прослушивания вопросов); Скиния мормонов на Храмовой площади в Солт-Лейк-Сити, Юта ; на выставке звука в Музее науки и промышленности в Чикаго ; напротив Университета Иллинойса в Урбане-Шампейн Аудитория Феллингера; а также в боковой камере дворца Карла V, в Альгамбре.

планетных орбитах

В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым путешествующие вокруг Солнца, соответственно, собой эллипсы с Солнцем [приблизительно] в одном фокусе, в его первом законе движения планет. Позже Исаак Ньютон объяснил это следствие своего всемирного тяготения.

В более общем плане, в гравитационной задаче двух тел, если два тела связаны друг с другом (то есть полная энергия отрицательна), их орбиты являются подобными эллипсами, при этом общем барицентр является одним из фокусов каждого эллипса. Другой фокус любого эллипса не имеет физического физического значения. Орбита одного тела в системе отсчета другого тела также является эллипсом, а другое тело находится в том же фокусе.

Кеплеровские эллиптические орбиты являются результатом любой радиально направленной силы притяжения, сила которой обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом, в принципе двух движущихся изображений заряженных частиц. (Этот вывод игнорирует потери из-за электромагнитного излучения и квантовых эффектов, которые становятся значительными, когда частицы движутся с высокой скоростью.)

Для эллиптические орбиты, полезные соотношения, включающие эксцентриситет e { displaystyle e}:

e = ra — rpra + rp = ra — rp 2 ara = (1 + e) ​​arp = (1 — e) a { displaystyle { begin {align} e = { frac {r_ {a} -r_ {p}} {r_ {a} + r_ {p}}} = { frac {r_) {a} -r_ {p}} {2a}} \ r_ {a} = (1 + e) ​​a \ r_ {p} = (1-e) a end {align}}}

где

Кроме того, с точки зрения ra { displaystyle r_ {a}}и rp { displaystyle r_ {p}}большая полуось а { displaystyle a}— их среднее арифметическое, малая полуось b { displaystyle b}— их среднее геометрическое, а полу-latus rectum ℓ { displaystyle ell}— их среднее гармоническое значение. Другими словами,

a = ra + rp 2 b = rarp ℓ = 2 1 ra + 1 rp = 2 rarpra + rp { displaystyle { begin {align} a = { frac {r_ {a} + r_) {p}} {2}} \ [2pt] b = { sqrt {r_ {a} r_ {p}}} \ [2pt] ell = { frac {2} {{ frac { 1} {r_ {a}}} + { frac {1} {r_ {p}}}}} = { frac {2r_ {a} r_ {p}} {r_ {a} + r_ {p}} } end {align}}}.

Гармонические осцилляторы

Общее решение для гармонического осциллятора в двух или более измерениях также является эллипсом. Так обстоит дело, например, с длинным маятником, который может свободно двигаться в двух измерениях; массы, прикрепленной к фиксированной точке с помощью идеально упругой пружины ; или любого объекта, который движется под действием силы притяжения, который прямо пропорциональна его расстоянию от фиксированного аттрактора. Однако, в отличие от кеплеровских орбитов, эти «гармонические орбиты» имеют центр притяжения в геометрическом центре эллипса и имеют довольно простые уравнения движения.

Визуализация фазы

В электронике относительную фазу двух синусоидальных сигналов можно сравнить, подав их на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа . Если изображение фигуры Лиссажу представляет собой эллипс, а не прямую линию, два совпадения по фазе.

Эллиптические шестерни

Две некруглые шестерни с одинаковым эллиптическим контуром, каждая из которых вращается вокруг одного фокуса и установлены под нужным углом, плавно поворачиваются, сохраняя при этом контакт раз. В качестве альтернативы они могут быть соединены цепью звеньев или ремнем привода ГРМ, или, в случае велосипеда, основная передняя звезда может быть эллиптической, или яйцевидная похожая на эллипс по форме. Такие эллиптические шестерни могут быть установлены в механическом оборудовании для эксплуатации угловой или крутящего момента за счет постоянного вращения ведущей оси или, в случае велосипеда, для обеспечения вращения кривошипа. скорость с обратным изменением скорости механическое преимущество.

Эллиптические велосипедные шестерни облегчают соскальзывание цепи с зубца при переключении передач.

Пример применения шестерни может быть устройство, которое наматывает резьбу на конический шпулька на прядильной машине. Шпулька должна наматываться быстрее, когда нить находится около вершины, чем когда она находится рядом с основанием.

Оптика

• Из материала, который оптически анизотропный (двулучепреломляющий ), показатель преломления зависит от направления света. Зависимость может быть описана эллипсоидом индекс . (Если материал оптически изотропный, этот эллипсоид представляет собой сферу.)
• В твердотельных лазерах с лампой накачкой использовались отражатели эллиптической формы цилиндрической. для направления света от лампы накачки (коаксиально с одной фокальной осью эллипса) на стержень активной среды (коаксиально со второй фокальной осью).
• В лазерно-плазменном производстве используются источники света EUV В литографии микрочипа свет EUV генерируется плазмой, расположенной в первичном фокусе эллипсоидного зеркала, и предназначено во вторичном фокусе на представлении литографической машины.

Статистика и финансы

В статистике двумерный случайный вектор (X, Y) вместе эллиптически распределен, если его контуры изоплотности — равных плотности плотности функция — это эллипсы. Эта концепция произвольное количество элементов случайного вектора, и в этом случае в общем случае контуры изоплотности представит собой эллипсоиды. Особым случаем является многомерное нормальное распределение. Эллиптические распределения важны в финансах, потому что, если нормы прибыли на национальном уровне распределены эллиптически, тогда все портфели могут полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией портфеля, то есть любыми портфелями с одинаковыми средним средним размером и дисперсией портфеля. return имеют идентичное распределение доходности портфеля.

Компьютерная графика

Рисование эллипса в виде графического примитива распространено в стандартных библиотеках отображения, таких как MacIntosh QuickDraw API и Direct2D в Windows. Джек Брезенхэм из IBM наиболее известным изобретением примитивов 2D-рисования, включая рисование линий и окружностей, с использованием только быстрых целочисленных операций, таких как сложение и переход по биту переноса. В 1967 году MLV Pitteway расширил алгоритм Брезенхэма для линий на коники. Еще одно эффективное обобщение для рисования эллипсов было изобретено в 1984 году Джерри Ван Акеном.

В 1970 году Дэнни Коэн представил на конференции «Компьютерная графика 1970» в Англии линейный алгоритм рисования эллипсов и окружностей. В 1971 г. Л. Б. Смит опубликовал аналогичные алгоритмы для всех конических сечений и доказал их хорошие свойства. Этим алгоритмам требуется всего несколько умножений и сложений для каждого события.

В компьютерной графике полезно использовать параметрическую формулировку, потому что плотность точек максимальна там, где больше всего кривизны. Таким образом, изменение наклона между каждой точкой невелико, снижает очевидную «неровность» приближения.

Рисование с использованием Безье

Составные кривые Безье также можно использовать для рисования эллипса с достаточной точностью, поскольку любой эллипс может быть истолкован как аффинное преобразование окружности. Сплайновые методы, применяемые для рисования круга круга, преподаватели для рисования эллипса, поскольку производящие кривые Безье ведут себя соответствующим образом при таких преобразованиях.

Теория оптимизации

Иногда бывает полезно найти минимальный ограничивающий эллипс для набора точек. Метод эллипсоида весьма полезен для решения этой проблемы.

См. Также

• Декартов овал, обобщение эллипса
• круговой и инконической
• Расстояние наибольшего сближения эллипсов
• Подгонка эллипса
• Эллиптические координаты, ортогональная система координат, основанная на семействах эллипсов и гипербол
• Эллиптических уравнение в частных производных
• Эллиптическое распределение в статистике
• Геодезические на эллипсоиде
• Большой эллипс
• Законы движения планет Кеплера
• n-эллипс, обобщение эллипса для n фокусов
• Овальный
• Сфероид, эллипсоид, полученный вращением эллипса вокруг его большой или малой оси
• Стадион (геометрия), двумерная геометрическая форма, построенная из прямоугольника с полукругами на паре противоположных сторон
• круговой эллипс Штейнера, уникальный эллипс, описывающий треугольник и d разделяет свой центроид
• Суперэллипс, обобщение эллипса, которое может выглядеть более прямоугольным или более «заостренным»
• Истинный, эксцентрический и означает аномалию

Примечания

Ссылки

• Безант, WH (1907). «Глава III. Эллипс». Конические сечения. Лондон: Джордж Белл и сыновья. п. 50. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Coxeter, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. Стр. 115–9.
• Месерв, Брюс Э. (1983) [1959], Основные концепции геометрии, Дувр, ISBN 978-0-486-63415-9
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы алгебры колледжа (3-е изд.). Скотт Форесман / Литтл. Стр. 381. ISBN 978-0-673-38638-0 .
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б., младший (1970), Колледж по исчислению с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, LCCN 76087042

Внешние ссылки

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.