Как найти середину окружности описанной около треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности	Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Окружность, описанная около треугольника

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.

Окружность, описанная около треугольника

Что такое окружность, описанная около треугольника? Что является центром этой окружности? Как расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

При этом треугольник называется вписанным в окружность .

Расстояние от любой вершины треугольника до центра описанной окружности равно радиусу этой окружности.

Окружность можно описать около любого треугольника.

Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (то есть отрезков, перпендикулярных к сторонам треугольника и проходящих через середины этих сторон).

Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника (напротив тупого угла, за большей стороной).

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Теорема.

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Дано: ∆ ABC,

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

Доказать:

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Доказательство:

Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

   

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

Аналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Описанная окружность — подробнее

Определение

Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.

Свойства и центр описанной кружности

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Почему этот факт удивительный?

Потому что треугольники ведь бывают разные!

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.

Доказательство этого удивительного факта мы приведем чуть позже, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.

Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!

А есть только для прямоугольника:

Подробнее об этом смотри в статье о вписанных четырехугольниках!

Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?

Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Прямая ( displaystyle a) – это серединный перпендикуляр к отрезку ( displaystyle AB).

А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке ( displaystyle O).

Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника ( displaystyle ABC) окружности.

Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!

Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!

Вот так:

А вот если остроугольный, то внутри:

Что же делать с прямоугольным треугольником?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Здорово, правда?

Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!

Да ещё с дополнительным бонусом:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.

А именно:

В произвольном треугольнике:
( Large displaystyle frac{a}{sin angle A}=2R)

Ну и, конечно,

( displaystyle begin{array}{l}frac{b}{sin angle B}=2R\frac{c}{sin angle C}=2Rend{array})

Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол. 

Хорошая формула? По-моему, просто отличная!

Доказательство теоремы

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Смотри, вот так:

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему.

Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Геометрическое место точек, обладающих свойством «( displaystyle X)» — такое множество точек, что все они обладают свойством «( displaystyle X)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы.

А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют.

В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «( displaystyle X)» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

• Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка
• Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему

Приступим:

Проверим 1. Пусть точка ( displaystyle M) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ( displaystyle AB).

Соединим ( displaystyle M) с ( displaystyle A) и с ( displaystyle B).Тогда линия ( displaystyle MK) является медианой и высотой в ( displaystyle Delta AMB).

Значит, ( displaystyle Delta AMB) – равнобедренный, ( displaystyle MA=MB) – убедились, что любая точка ( displaystyle M), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B).

Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка ( displaystyle M) равноудалена от точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B), то есть ( displaystyle MA=MB).

Возьмём ( displaystyle K) – середину ( displaystyle AB) и соединим ( displaystyle M) и ( displaystyle K). Получилась медиана ( displaystyle MK). Но ( displaystyle Delta AMB) – равнобедренный по условию ( displaystyle (MA=MB)Rightarrow MK) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка ( displaystyle M) — точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Рассмотрим треугольник ( displaystyle ABC). Проведём два серединных перпендикуляра ( displaystyle {{a}_{1}}) и ( displaystyle {{a}_{2}}), скажем, к отрезкам ( displaystyle AB) и ( displaystyle BC). Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем ( displaystyle O).

А теперь, внимание!

Точка ( displaystyle O) лежит на серединном перпендикуляре ( displaystyle {{a}_{1}}Rightarrow OA=OB);
точка ( displaystyle O) лежит на серединном перпендикуляре ( displaystyle {{a}_{2}}Rightarrow OB=OC).
И значит, ( displaystyle OA=OB=OC) и ( displaystyle OA=OC).

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 6. Описанная окружность. Многоугольники

Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства. 

Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность. 

Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью. 

Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.

ЕГЭ 6. Вписанная окружность

В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.

В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность. Научимся решать задачи на вписанную окружность.

Окружность, описанная около треугольника

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность.

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.

Свойства центра описанной около треугольника окружности

• У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (Рис.3).
• У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (Рис.4).
• У тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника (Рис.5).