Как найти середину отрезка между двумя точками

Формула вычисления середины отрезка A(x_a; y_a) и B(x_b; y_b) на плоскости:

Формула вычисления середины отрезка A(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b) в пространстве:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;

BC = y_b — y_a.

Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb
  2	2

• Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb		zc =	za + zb
  2	2	2

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

Была ли эта статья полезной?

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты. Координаты точки на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса, а на втором – ордината точки.

Например, точка (A) с координатами ((x; y)) обозначается как (A(x; y)).

У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты начала координат равны нулю.

Середина отрезка – это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формула вычисления координат середины отрезка точки (C (x_c; y_c)) с концами (A (x_a, y_a)) и (B (x_b, y_b)) на плоскости: (x_c=frac{x_a+x_b}{2}; y_c=frac{y_a+y_b}{2}).

Например, найдем координаты точки С середины отрезка AB, заданного точками A(–1; 3) и B(6; 5).

Решение: (begin{aligned} x_c=frac{-1+6}2=2,5; y_c=frac{3+5}2=4 end{aligned}).

Ответ: С(2,5; 4).

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Расстояние между двумя точками (A_1(x_1;y_1)) и (A_2(x_2;y_2)) в прямоугольной системе координат выражается формулой: (d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}).

Порядок точек не играет роли.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое середина отрезка, по какой формуле считаются ее координаты (в плоскости и пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Расчет координат середины отрезка

Серединой называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.

AC = CB

Если концы отрезка A (x_a, y_a) и B (x_b, y_b) расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) считаются по формуле:

Если отрезок с концами A (x_a, y_a, z_a) и B (x_b, y_b, z_b) находится в трехмерном пространстве, координаты его середины рассчитываются следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Вычислим координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, образованного точками A (5, -2) и B (11, 10).

Решение:
В данном случае нам подойдут формулы для плоскости:
x_c = (5 + 11) / 2 = 8
y_c = (-2 + 10) / 2 = 4

Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).

Задание 2
Найдем координаты точки B, являющейся одним из концов отрезка AB. При этом известны координаты точки A (7, 13) и середины отрезка – C (4, -3).

Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для расчета координат середины отрезка:

x_b = 2x_c – x_a = 2 · 4 – 7 = 1
y_b = 2y_c – y_a = 2 · (-3) – 13 = -19

Следовательно, координаты B – (1, -19).