Математика
5 класс
Урок №80
Представление дробей на координатном луче
Перечень рассматриваемых вопросов
– изображение дробей на координатном луче;
– запись координаты дроби;
– решение текстовых задач с опорой на смысл понятия координаты числа;
– применение дроби для выражения единиц измерения длины, массы, времени в более крупных единицах.
Тезаурус
Единичный отрезок – это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.
Координатная ось – это прямая, с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта.
Координата данной точки – это число, которое соответствует данной точке на координатной оси.
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатным лучом.
Начало отсчёта – точка 0.
Единичный отрезок – это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.
Координатный луч обычно располагают горизонтально и направляют вправо.
На координатном луче можно изобразить дробь.
Изобразим дробь 
Для этого единичный отрезок разделим на q частей.
Возьмём 
часть и отложим p раз на координатном луче от точки 0.
Точку, изображающую на координатном луче дробь p/q, называют точкой с координатой p/q или короче – точкой p/q
Например, точка А имеет координату три пятых. Пишем A (3/5).
Точка В имеет координату семь пятых, выраженную неправильной дробью или одна целая две пятых, выраженную смешанным числом. Пишем В (7/8) или В(1 2/5)
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами, а точки, изображающие их на луче, называют положительными рациональными точками.
3/5, 7/5,1 2/5 – положительные дроби, или положительные рациональные числа.
Если а и с – два положительных рациональных числа и с > a, то:
- точка c на координатном луче находится правее точки а;
- расстояние между точками а и c равно c – а;
- точка (a + c) : 2 является серединой отрезка, соединяющего точки а и с.
Докажем, что точка (a + c) : 2 является серединой отрезка, соединяющего точки а и с:
Рассмотрим задачу.
Найдём длину отрезка, соединяющего точки:
и с = 1, и координату середины этого отрезка.
Решение
3/7 < 1, поэтому точка 1 находится правее 3/7.
Значит, длина отрезка, соединяющего точки а и с, равна:
Середина этого отрезка будет иметь координату:
Таким способом можно вычислить координату середины отрезка, соединяющего любые две рациональные точки.
Т. е. между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка.
Число (a + c) : 2 называется средним арифметическим чисел а и с.
Например:
Если необходимо вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно найти частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Например:
Рассмотрим, как применять дроби для выражения единиц измерения длины, массы и времени в более крупных единицах.
Известно, что для измерения массы используют единицы измерения: граммы, килограммы, центнеры, тонны. Если масса тела небольшая, используют г или кг. Если тело более крупное, то массу измеряют в тоннах.
Мы знаем, что 1 кг = 1000 г. А как узнать, сколько килограмм в грамме? Для этого нужно один разделить на тысячу, получим одну тысячную, т. е. в одном грамме содержится одна тысячная килограмма.
Рассмотрим единицы измерения времени. Время измеряют в секундах, минутах, часах. Вы знаете, что в одном часе шестьдесят минут, следовательно, минута будет равна одной шестидесятой часа.
Рассмотрим единицы измерения длины.
Длину измеряют в метрах, километрах, сантиметрах.
Тренировочные задания
№ 1. Подставьте к изображению координаты середин отрезков АВ, ВС и СК.
Варианты ответов:
Координаты середины отрезка определяются по формуле (a + c) : 2, где а и с – координаты концов отрезка.
Найдём середину отрезка АВ. Для этого сложим координаты точки А и В, поделим на два и получим:
Значит, 1 – это середина отрезка АВ.
Найдём середину ВС. Для этого сложим координаты точки В и С, поделим на два и получим:
Значит, 2 – это середина отрезка ВС.
Найдём середину СК. Для этого сложим координаты точки С и К, поделим на два и получим:
Значит, 3 – это середина отрезка СК.
№ 2. Найдите среднее арифметическое чисел 11, 14 и 17. В ответе напишите только число: __
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
У нас три слагаемых, значит, сложим числа 11, 14 и 17 и полученную сумму разделим на 3.
(11 + 14 + 17) : 3 = 42 : 3 = 14
Правильный ответ:14.
Координаты точки середины отрезка в пространстве онлайн
Калькулятор рассчитывает координаты середины отрезка в пространстве по координатам конца отрезка с подробным порядком вычислений. В поля можно вводить целые или десятичные числа.
Введите координаты точки A
Введите координаты точки B
Определение середины отрезка
Середина отрезка — это точка которая лежит на отрезке, делит этот отрезок пополам и находится на равном расстоянии от начала и конца отрезка.
Формула расчёта координаты середины отрезка в пространстве
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
xc=(xa+xb)/2
yc=(ya+yb)/2
zc=(za+zb)/2
A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) — координаты концов отрезка
C(xc, yc, zc) — координаты середины отрезка
Разберём пример
Найдите координаты середины отрезка AC заданного точками A(4,5,7), C(10,11,5)
По формуле найдём координаты середины отрезка
x=(4+10)/2=7
y=(5+11)/2=8
z=(7+5)/2=6
Найдите координаты точки C середины отрезка AB заданного точками A(3,4,5), B(9,10,11)
xc=(3+9)/2=6
yc=(4+10)/2=7
yc=(5+11)/2=8
Найти координаты середины отрезка AB если A(4, 2, 2), B(3, 0, 6).
Найти координаты середины отрезка AB если A(1, 4, 5), B(6, 6, 4).
Найти координаты середины отрезка AB если A(5, 5, 3), B(0, 3, 6).
Найти координаты середины отрезка AB если A(1, 5, 0), B(4, 0, 6).
Похожие калькуляторы
Определение.
Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc — za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Поиск середины отрезка – легкая задача когда вам известны координаты двух конечных точек. Самый распространенный способ сделать это состоит в использовании формулы для нахождения середины отрезка; но есть еще один способ найти середину отрезка, если линия вертикальная или горизонтальная. Если вы хотите знать, как найти середину отрезка в течение нескольких минут, выполните следующие действия.
-
1
Определение. Середина отрезка — точка, которая находится на равном расстоянии от конечных точек отрезка и лежит на нем. Таким образом, ее координаты – среднее из двух координат х и двух координат у.
-
2
Формула. Формула записывается в виде суммы двух координат х (конечных точек), деленной на два, и суммы двух координат у (конечных точек), деленной на два. Это даст среднее значение х и у координат. Формула:[(x1 + x2)/2,( y1 + y2)/2]
-
3
Найдите координаты конечных точек. Вы не можете использовать формулу, не зная х и у координаты конечных точек. Например, необходимо найти середину (точку О) отрезка, ограниченного точками М (5,4 ) и N (3, -4). Таким образом, (x1, y1) = (5, 4) и (x2, y2) = (3, -4).
- Обратите внимание, что любая пара координат может обозначаться как (x1, y1) или (x2, y2). Так как вы будете просто складывать координаты и делить результат на два, не имеет значения, какую пару координат выбрать в первую очередь.
-
4
Подставьте координаты в формулу. Теперь, когда вам известны координаты конечных точек, подставьте их в формулу. Вот как это делается:
- [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2]
-
5
Решите. После того как вы подставили координаты в формулу, проделайте арифметические действия для вычисления середины. Вот как это делается:
- [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2] =
- [(8/2), (0/2)] =
- (4, 0)
- Середина отрезка между точками (5,4) и (3, -4) есть точка (4,0).
Реклама
-
1
Рассмотрим вертикальную или горизонтальную линию.
- Линия горизонтальная, если две у- координаты конечных точек равны. Например, отрезок с концами ( -3 , 4) и (5, 4) расположен горизонтально.
- Линия расположена вертикально, если две х -координаты конечных точек равны. Например, отрезок с концами (2, 0 ) и (2 , 3) находится в вертикальном положении.
- Линия горизонтальная, если две у- координаты конечных точек равны. Например, отрезок с концами ( -3 , 4) и (5, 4) расположен горизонтально.
-
2
Найдите длину отрезка. Вот как это сделать:
- Длина горизонтального отрезка с конечными точками (-3 , 4) и ( 5, 4) равна 8. Вы можете найти это сложением абсолютных величин координат х: | -3| + |5| = 8.
- Длина вертикального отрезка с конечными точками (2 ,0) и (2,3) равна 3. Вы можете найти это сложением абсолютных величин координат у: |0| + |3| = 3.
- Длина горизонтального отрезка с конечными точками (-3 , 4) и ( 5, 4) равна 8. Вы можете найти это сложением абсолютных величин координат х: | -3| + |5| = 8.
-
3
Разделите длину отрезка на два. Теперь, когда вы нашли длину отрезка, нужно разделить его на два.
- 8/2 = 4
- 3/2 = 1,5
- 8/2 = 4
-
4
Вычислите координаты середины. Вот как это делается:
- Чтобы найти середину отрезка, ограниченного точками (-3,4) и (5,4), прибавьте или вычтите 4 из х-координаты первой или второй конечной точки соответственно. Для точки (-3 , 4) это будет -3+4=1 и координаты середины: (1, 4) (Вам не нужно менять у- координаты, так как линия горизонтальная и у-координаты постоянны). Итак, середина отрезка (-3,4) и (5,4) есть точка (1,4).
- Чтобы найти середину отрезка, ограниченного точками (2, 0) и (2,3), прибавьте или вычтите 1,5 из у-координаты первой или второй конечной точки соответственно. Для точки (2 ,0) это будет -0+1,5=1,5 и координаты середины: (2,1,5) (Вам не нужно менять х-координаты, так как линия вертикальная и х-координаты постоянны). Итак, середина отрезка (2, 0 ) и (2,3) есть точка (2,1,5).
Реклама
- Чтобы найти середину отрезка, ограниченного точками (-3,4) и (5,4), прибавьте или вычтите 4 из х-координаты первой или второй конечной точки соответственно. Для точки (-3 , 4) это будет -3+4=1 и координаты середины: (1, 4) (Вам не нужно менять у- координаты, так как линия горизонтальная и у-координаты постоянны). Итак, середина отрезка (-3,4) и (5,4) есть точка (1,4).
Что вам понадобится
- Карандаш
- Лист бумаги
- Линейка
Об этой статье
Эту страницу просматривали 31 340 раз.
Была ли эта статья полезной?
Отрезок – часть прямой (или множество точек, расположенных на одной прямой), ограниченная двумя точками с определенными параметрами в двухмерной системе координат.
То есть, отрезок АВ имеет координаты:
• А (x1; y1);
• В (x2;y2).
Координаты середины отрезка – точки (С) – вычисляются по формуле: сумму абсцисс (Х1+Х2) и ординат (Y1 + Y2) точек А и В, поделить пополам. Соответственно, в трехмерной системе добавляются координаты оси (Z).
Нахождение середины отрезка очень важно для решения геометрических задач, доказательства теорем.Чтобы не рассчитывать данные по формулам, определяя середину отрезка, проще воспользоваться онлайн-калькулятором. В соответствующие поля вводятся данные X, Y, Z и вычисляются координаты точки, которая является серединой отрезка, расположенного на плоскости или в трехмерном пространстве.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
