Определение.
Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc — za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Вам понадобится:
- Треугольник
- Циркуль
- Линейка без делений
#1
Как найти середину треугольника: задачка по геометрии. Основные элементарные задачи по Евклидовой геометрии пришли к нам из античности. В них заключается сама первичная сущность и необходимые базовые знания о восприятии человеком пространственных форм. Одной из таких задач является проблема нахождения середины треугольника. Сегодня эта задачка рассматривается как учебный прием развития интеллектуальных способностей школьников. В древнем же мире, знание того, как найти середину треугольника, применялось и на практике: в землеустройстве, при изготовлении разнообразных механизмов и т.д. В чем же состоит сущность этого геометрического ребуса?
#2
Что такое медиана? Перед решением задачи необходимо ознакомиться с простейшей геометрической терминологией, касающейся треугольников. Прежде всего, у каждого треугольника есть три вершины, три стороны и три угла, от чего и происходит название данной геометрической фигуры. Важно знать, как называются линии, соединяющие вершины с противоположными сторонами: высота, биссектриса и медиана.
#3
Высота − линия перпендикулярная стороне, противоположной вершине, из которой она проводится; биссектриса − делит угол пополам; медиана же делит противоположную исходящей вершине сторону пополам. Для решения этой задачи нужно знать, как найти координаты середины отрезка, ведь именно точка пересечения медиан треугольника и является его серединой.
#4
Находим середины сторон треугольника. Нахождение середины отрезка тоже является классической геометрической задачей, для решения которой понадобится циркуль и линейка без делений. Ставим иглу циркуля в точку окончания отрезка и чертим полукруг, больший половины отрезка в середине последнего. Проделываем то же самое с другой стороны отрезка. Полученные полуокружности обязательно пересекутся в двух точках, ведь их радиусы больше половины исходного отрезка.
#5
Соединяем две точки пересечения окружности прямой линией при помощи линейки. Эта линия пересекает исходный отрезок точно в его середине. Теперь, зная то, как найти середину отрезка, проделываем это с каждой стороной треугольника. После нахождения всех середин сторон треугольника всё готово для построения его собственной середины.
#6
Строим середину треугольника. Соединив прямыми линиями вершины треугольника с серединами противоположных им сторон, получаем три медианы. Может кого-то это и удивит, но одним из законов гармонии этой геометрической фигуры является то, что все три медианы всегда пересекаются в одной точке. Именно эта точка и будет искомой серединой треугольника, которую не так трудно найти, если знать ;как построить середину отрезка.
#7
Интересно и то, что точка пересечения медиан представляет собой не только геометрическую, но и «физическую» середину треугольника. То есть, если, к примеру, вырезать треугольник из фанеры, найти его середину и поместить эту точку на кончик иглы, то в идеале такая фигура будет балансировать и не упадет. Элементарная геометрия несет в себе множество подобных захватывающих «тайн», знание которых помогает постигать гармонию окружающего мира и природу более сложных вещей.
2.9. Типовая задача с треугольником
Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в
сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не
будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.
Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется
найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:
Задача 95
Даны вершины треугольника 
. Требуется:
1) составить уравнения сторон 
и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны 
;
3) найти 
;
4) составить прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой 
;
5) составить уравнение высоты 
и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника 
;
7) составить уравнение медианы 
;
найти точку пересечения 
.
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы 
;
10) найти центр тяжести 
треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и
самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1
см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.
Вперёд без страха и сомнений:
1) Составим уравнения сторон 
и найдём их угловые
коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум
точкам.
Составим уравнение стороны 
по точкам 
:
Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.
Теперь
найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент: 
Самостоятельно разбираемся со сторонами 
и сверяемся, что
получилось:
2) Найдём длину стороны 
. Используем соответствующую формулу для точек 
:
Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка 
3) Найдём 
. Это Задача 31, повторим:
Используем формулу 
.
Найдём векторы:
Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого
он есть.
Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла
между прямыми, так как они всегда дают острый угол.
4) Составим уравнение прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой 
. Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!
Из общего уравнения прямой 
вытащим направляющий вектор 
.
Составим уравнение прямой 
по точке 
и направляющему вектору 
:
5) Составим уравнение высоты 
и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:
Из уравнения стороны 
снимаем вектор нормали 
. Уравнение высоты
составим по точке 
и направляющему вектору 
:
Обратите внимание, что координаты точки 
нам не известны.
Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: 
. В данном случае 
, тогда: 
. Уравнение высоты 
составим по точке 
и угловому коэффициенту 
:
Длину высоты можно найти двумя способами.
Существует окольный путь:
а) находим 
– точку
пересечения высоты и стороны 
;
б) находим длину отрезка 
по двум
известным точкам.
Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки 
до прямой 
:
6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:
7) Уравнение медианы 
составим в два шага:
а) Найдём точку 
– середину стороны 
. Используем формулы координат середины отрезка.
Известны концы 
, и тогда середина:
б) Уравнение медианы 
составим по точкам 
:
– для проверки подставим координаты точек 
.
Найдём точку пересечения 
высоты и медианы:
в
Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:
9) Биссектриса делит угол пополам:
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: 
.
Таким образом, 
. Координаты точки 
найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,
параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки 
известны и понеслась нелёгкая:
Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение 
– чтобы использовать формулу 
и
избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разбираемся со второй координатой:
аким образом: 
И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы 
составим по точкам 
по формуле 
:
обратите внимание на технику упрощений:
Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)
10) Найдём центр тяжести треугольника.
Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца
в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то
теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.
Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: 
. Как решить задачу?
Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь
короче! Нужно только знать полезное свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в
отношении 
, считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо
отношение 
Нам известны концы отрезка – точки 
и 
.
По формулам деления отрезка в данном отношении:
Таким образом, центр тяжести треугольника: 
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные
неравенства:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую 
. Треугольник лежит в полуплоскости, где находится
вершина 
. Составим вспомогательный многочлен 
и вычислим его значение в точке 
: 
. Поскольку сторона 
принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: 
Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к
Задаче 90.
Рассмотрим прямую 
. Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому
очевидно неравенство 
.
И, наконец, для 
составим многочлен 
, в который подставим координаты точки 
: 
.
Таким образом, получаем третье неравенство: 
.
Итак, треугольник 
определяется следующей системой линейных
неравенств:
Готово.
Какой можно сделать вывод?
Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них!
Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.
Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =)
Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:
3.1. Алгебраическая линия и её порядок
2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
На этой странице можно рассчитать координаты середины отрезка как на плоскости, так и в пространстве. Введите координаты точек и получите ответ, а также подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов.
Задача нахождения координат середины отрезка довольно часто возникает при решении задач, связанных с нахождением средней линии, медианы а также других вычислениях. На нашем сайте также можно рассчитать длину отрезка, заданного координатами.
Середина отрезка — точка, расположенная на отрезке на равном расстоянии от его конечных точек.
Формула для нахождения координат середины отрезка на плоскости
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}}
xa и ya — координаты первой точки A,
xb и yb — координаты второй точки B,
xc и yc — координаты середины отрезка (точка C).
Формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}; ; z_c=dfrac{z_a + z_b}{2}}
xa, ya и za — координаты первой точки A,
xb, yb и zb— координаты второй точки B,
xc, yc и zc — координаты середины отрезка (точка C).
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите координаты середины отрезка АВ,если А(-2,3) и В(6,-3).
Решение
Подставим координаты концов отрезка в формулы.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{-2 + 6}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{3 + (-3)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0).
Ответ: C(2, 0)
Калькулятор середины отрезка поможет проверить результат.
Задача 2
Дано: A(1, -1, 2), B(3, 1, -2). Найдите координаты середины отрезка AB.
Решение
Воспользуемся формулами координат середины отрезка в пространстве, подставив в них значение координат концов отрезка.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{1 + 3}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{-1 + 1}{2} = dfrac{0}{2} = 0
z_c=dfrac{z_a + z_b}{2} = dfrac{2 + (-2)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0, 0).
Ответ: C(2, 0, 0)
Проверка