При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
Напомним свойства числовых неравенств.
1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.
3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.
4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
Замечание.
Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и 
, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и 
, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.
8. Если а > b, где а, b > 0, то 
и если а < b , то 
.
Виды неравенств и способы их решения
1. Линейные неравенства и системы неравенств
Пример 1. Решить неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: х < – 2.
Пример 2. Решить систему неравенств 
Решение:
.
Ответ: (– 2; 0].
Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств
Решение:
Ответ: 
2. Квадратные неравенства
Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.
Решение:
х2 > 4 (х – 2)∙(х + 2) > 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ:
3. Неравенства высших степеней
Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где 
.
Решение:
Область определения неравенства: 
.
С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству
Решаем методом интервалов.
Решение неравенства: 
.
Середина отрезка: 
.
Ответ: 
.
4. Рациональные неравенства
Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству 
.
Решение:
Методом интервалов:
Решение неравенства: 
.
Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.
5. Иррациональные неравенства
Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.
Пример 8. Решить неравенство 
.
Решение:
Область определения: 
.
Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то 
.
Ответ: 
.
Пример 9. Найти все целые решения неравенства 
.
Решение:
Область определения 
.
– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства 
, при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе 
.
Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.
Ответ: 2; 3; 4.
Пример 10. Решить неравенство 
.
Решение:
Область определения: 
Преобразуем неравенство: 
. С учётом области определения видим, что обе части неравенства — положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.
т.е. 
, и этот числовой отрезок включён в область определения.
Ответ: .
Пример 11. Решить неравенство 
.
Решение:
Раскрываем знак модуля.
Объединим решения систем 1) и 2): 
.
Ответ: .
6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
Пример 12. Решите неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 13. Решите неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 14. Решите неравенство 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 15. Решите неравенство 
.
Решение:
Ответ: 
.
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
Целые неравенства и системы неравенств
1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.
2) Решите неравенство – 5х > 0,25.
3) Решите неравенство 
.
4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.
5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).
6) Решите неравенство 
.
7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.
Решить систему неравенств 
9) Найдите целочисленные решения системы неравенств 
.
10) Решить систему неравенств 
.
11) Решить систему неравенств 
12) Найти наименьшее целое решение неравенства 
13) Решите неравенство 
.
14) Решите неравенство 
.
15) Решите неравенство 
.
16) Решите неравенство 
.
17) Найдите решение неравенства 
, принадлежащие промежутку 
.
18) Решить систему неравенств 
19) Найти все целые решения системы 
Рациональные неравенства и системы неравенств
20) Решите неравенство 
.
21) Решите неравенство 
.
22) Определите число целых решений неравенства 
.
23) Определите число целых решений неравенства 
.
24) Решите неравенство 
.
25) Решите неравенство 2x<16 .
26) Решите неравенство 
.
27) Решите неравенство 
.
28) Решите неравенство 
.
29) Найдите сумму целых решений неравенства 
на отрезке [– 7, 7].
30) Решите неравенство 
.
31) Решите неравенство 
.
Иррациональные неравенства
32) Решите неравенство 
.
33) Решите неравенство 
34) Решите неравенство 
.
Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
35) Решите неравенство 
.
36) Решите неравенство 
.
37) Решите неравенство 
.
38) Решите неравенство 
.
39) Решите неравенство 
.
40) Решите неравенство 49∙7х < 73х + 3.
41) Найдите все целые решения неравенства 
.
42) Решите неравенство 
.
43) Решите неравенство 
.
44) Решите неравенство 7x+1-7x<42 .
45) Решите неравенство log3(2x2+x-1)>log32 .
46) Решите неравенство log0,5(2x+3)>0 .
47) Решите неравенство 
.
48) Решите неравенство 
.
49) Решите неравенство 
.
50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .
51) Решите неравенство logx9<2.
52) Решите неравенство 
.
Повышенный уровень
53) Решите неравенство |x-3|>2x.
54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.
55) Найдите наибольшее целое решение неравенства 
.
56) Решить систему неравенств 
57) Решить систему неравенств 
.
58) Решите неравенство 
.
59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .
60) Решите неравенство 
.
Ответы
1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) 
; (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11)
; 12) 1; 13)
; 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17)
; 18) 
; 19) 3, 4, 5;
20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26)
; 27) (– 3; 17); 28)
; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31)
; 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35)
; 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) 
; 44) х < 1; 45) 
; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48)
; 49) 
; 50) х > 0; 51) 
; 52) 
; 53) х < 1; 54)
; 55) – 1; 56) 
; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)
.
Как найти середину интервала
При статистической обработке результатов исследований самого разного рода полученные значения часто группируются в последовательность интервалов. Для расчета обобщающих характеристик таких последовательностей иногда приходится вычислять середину интервала — «центральную варианту». Методы ее расчета достаточно просты, но имеют некоторые особенности, вытекающие как из используемой для измерения шкалы, так и из характера группировки (открытые или закрытые интервалы).
Инструкция
Если интервал является участком непрерывной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте обычные математические методы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение интервала (его начало) сложите с максимальным (окончанием) и разделите результат пополам — это один из способов вычисления среднеарифметического значения. Например, это правило применимо, когда речь идет о возрастных интервалах. Скажем, серединой возрастного интервала в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, так как (21+33)/2=27.
Иногда бывает удобнее использовать другой метод вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала. В этом варианте сначала определите ширину диапазона — отнимите от максимального значения минимальное. Затем поделите полученную величину пополам и прибавьте результат к минимальному значению диапазона. Например, если нижняя граница соответствует значению 47,15, а верхняя — 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала будет 63,14, так как 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Если интервал не является участком обычной числовой последовательности, то вычисляйте его середину в соответствии с цикличностью и размерностью используемой измерительной шкалы. Например, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала будет являться определенная календарная дата. Так для интервала с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.
Кроме обычных (закрытых) интервалов статистические методы исследований могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Например, открытый интервал может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется методом аналогий — если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют одинаковую ширину, то предполагается, что и этот открытый интервал имеет такую же размерность. В противном случае вам надо определить динамику изменения ширины интервалов, предшествующих открытому, и вывести его условную ширину, исходя из полученной тенденции изменения.
Источники:
- что такое открытый интервал
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Совет 1: Как обнаружить середину интервала
При статистической обработке итогов изысканий самого различного рода полученные значения зачастую группируются в последовательность промежутков. Для расчета обобщающих колляций таких последовательностей изредка доводится вычислять середину интервала – «центральную варианту». Способы ее расчета довольно примитивны, но имеют некоторые особенности, вытекающие как из применяемой для измерения шкалы, так и из нрава группировки (открытые либо закрытые промежутки).
Инструкция
1. Если промежуток является участком постоянной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте обыкновенные математические способы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение интервала (его предисловие) сложите с максимальным (окончанием) и поделите итог напополам – это один из методов вычисления среднеарифметического значения. Скажем, это правило применимо, когда речь идет о возрастных интервала х. Скажем, серединой возрастного интервала в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, потому что (21+33)/2=27.
2. Изредка бывает комфортнее применять иной способ вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала . В этом варианте вначале определите ширину диапазона – отнимите от максимального значения минимальное. После этого поделите полученную величину напополам и прибавьте итог к минимальному значению диапазона. Скажем, если нижняя граница соответствует значению 47,15, а верхняя – 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала будет 63,14, потому что 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
3. Если промежуток не является участком обыкновенной числовой последовательности, то вычисляйте его середину в соответствии с повторяемостью и размерностью применяемой измерительной шкалы. Скажем, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала будет являться определенная календарная дата. Так для интервала с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.
4. Помимо обыкновенных (закрытых) промежутков статистические способы изысканий могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Скажем, открытый промежуток может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется способом аналогий – если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют идентичную ширину, то предполагается, что и данный открытый промежуток имеет такую же размерность. В отвратном случае вам нужно определить динамику метаморфозы ширины промежутков, предшествующих открытому, и вывести его условную ширину, исходя из полученной склонности метаморфозы.
Совет 2: Как обнаружить середину
Изредка в повседневной деятельности может появиться надобность обнаружить середину отрезка прямой линии. Скажем, если предстоит сделать выкройку, эскиз изделия либо легко распилить на две равные части деревянный брусок. На поддержка приходит геометрия и немножко житейской смекалки.
Вам понадобится
- Циркуль, линейка; булавка, карандаш, нить
Инструкция
1. Воспользуйтесь обыкновенными инструментами, предуготовленными для измерения длины. Это самый легкой метод разыскать середину отрезка. Измерьте линейкой либо рулеткой длину отрезка, поделите полученное значение напополам и отмерьте от одного из концов отрезка полученный итог. Вы получите точку, соответствующую середине отрезка.
2. Существует больше точный метод нахождения середины отрезка, вестимый из курса школьной геометрии. Для этого возьмите циркуль и линейку, причем линейку может заменить всякий предмет подходящей длины с ровной стороной.
3. Установите расстояние между ножками циркуля так, дабы оно было равным длине отрезка либо же огромным, чем половина отрезка. После этого поставьте иглу циркуля в один из концов отрезка и проведите полуокружность так, дабы она пересекала отрезок. Переставьте иглу в иной конец отрезка и, не меняя размах ножек циркуля, проведите вторую полуокружность верно таким же образом.
4. Вы получили две точки пересечения полуокружностей по обе стороны от отрезка, середину которого мы хотим обнаружить. Объедините эти две точки при помощи линейки либо ровного бруска. Соединительная линия пройдет в точности посередине отрезка.
5. Если под рукой не оказалось циркуля либо длина отрезка значительно превышает возможный размах его ножек, дозволено воспользоваться простым приспособлением из подручных средств. Изготовить его дозволено из обыкновенной булавки, нитки и карандаша. Привяжите концы нитки к булавке и карандашу, при этом длина нитки должна немножко превышать длину отрезка. Таким импровизированным заменителем циркуля остается проделать шаги, описанные выше.
Видео по теме
Полезный совет
Довольно верно обнаружить середину доски либо бруска вы можете, использовав обыкновенную нитку либо шнур. Для этого отрежьте нить так, дабы она соответствовала длине доски либо бруска. Остается сложить нить верно напополам и разрезать на две равные части. Приложите один конец полученной мерки к концу измеряемого предмета, а 2-й конец будет соответствовать его середине.